في ذكرى أستاذي ، العميد الأول لكلية الفيزياء والرياضيات في معهد نوفوتشركاسك البوليتكنيك ، رئيس قسم الميكانيكا النظرية ، ألكسندر نيكولايفيتش كابيلكوف

مقدمة

أغسطس ، الصيف يقترب من نهايته. هرع الناس بغضب إلى البحار ، ونعم ليس من المستغرب - الموسم نفسه. وفي الوقت نفسه ، تزدهر في علم هبر ، والروائح ذات اللون العنيف . إذا تحدثنا عن موضوع هذا العدد من "النمذجة ..." ، فسوف ندمج فيه العمل مع المتعة - سنستمر الدورة الموعودة ونقاتل قليلاً مع هذا العلم الزائف للعقول الفضوليين من الشباب الحديث.


لكن السؤال ليس صحيحًا - منذ سنوات الدراسة ، كنا نعتقد أن أقرب قمر صناعي لدينا في الفضاء الخارجي - يتحرك القمر حول الأرض لمدة 29.5 يومًا ، خاصة دون الدخول في التفاصيل ذات الصلة. في الواقع ، جارنا هو نوع من الأشياء الفلكية الفريدة إلى حد ما ، مع حركة حول الأرض ليست بهذه البساطة التي قد يرغب بها بعض زملائي من أقرب الخارج.

لذا ، إذا تركنا الجدل جانباً ، فسوف نحاول من جهات مختلفة ، إلى حد اختصاصنا ، النظر في هذه المهمة الجميلة وغير المشروطة والمثيرة للشفقة.

1. قانون الجاذبية وما هي النتائج التي يمكن أن نستخلصها منه

اكتشف قانون الجاذبية في النصف الثاني من القرن السابع عشر ، بواسطة السير إسحاق نيوتن ، أن القمر ينجذب إلى الأرض (والأرض إلى القمر!) مع قوة موجهة على طول الخط الذي يربط مراكز الأجرام السماوية قيد النظر ومتساوية في الحجم

$$

$$F_ {1،2} = G \، \ frac {m_1 \، m_2} {r_ {1،2} ^ 2}$$

حيث م ₁ ، م ₂ هي كتل القمر والأرض ، على التوالي ؛ G = 6.67e-11 m ³ / (kg * s ² ) - ثابت الجاذبية ؛ ص _1،2 هو المسافة بين مركزي القمر والأرض. إذا أخذنا في الاعتبار هذه القوة فقط ، فعندئذ ، بعد حل مشكلة حركة القمر كقمر صناعي للأرض وتعلمنا حساب موقع القمر في السماء على خلفية النجوم ، سنقتنع قريبًا ، من خلال القياسات المباشرة للإحداثيات الاستوائية للقمر ، أنه في المعهد الموسيقي ليس كل شيء سلسًا مثل أود ذلك. والنقطة هنا ليست قانون الجاذبية الكونية (وفي المراحل الأولى من تطور الميكانيكا السماوية تم التعبير عن مثل هذه الأفكار في كثير من الأحيان) ، ولكن السخط غير المحدود لحركة القمر من الأجسام الأخرى. اي منها؟ ننظر إلى السماء وتستند نظرتنا على الفور إلى كتلة ضخمة من 1.99e30 كيلوغرام من البلازما تحت أنفنا - الشمس. هل القمر ينجذب للشمس؟ تمامًا ، مع قوة تساوي في القيمة المطلقة

$$

$$F_ {1،3} = G \، \ frac {m_1 \، m_3} {r_ {1،3} ^ 2}$$

حيث m ₃ هي كتلة الشمس ؛ ص _1.3 هو المسافة من القمر إلى الشمس. قارن هذه القوة بالقوة السابقة.

$$

$$\ frac {F_ {1،3}} {F_ {1،2}} = \ frac {G \، \ frac {m_1 \، m_3} {r_ {1،3} ^ 2}} {G \، \ frac {m_1 \، m_2} {r_ {1،2} ^ 2}} = \ frac {m_3} {m_2} \، \ left (\ frac {r_ {1،2}} {r_ {1،3}} \ right) ^ 2$$

دعونا نأخذ موقع الأجسام التي يكون فيها جذب القمر للشمس ضئيلًا: جميع الأجسام الثلاثة على خط مستقيم وتقع الأرض بين القمر والشمس. في هذه الحالة ، ستتخذ صيغتنا الشكل التالي:

$$

$$\ frac {F_ {1،3}} {F_ {1،2}} = \ frac {m_3} {m_2} \، \ left (\ frac {\ rho} {a + \ rho} \ right) ^ 2$$

أين $$$\ rho = 3،844 \ cdot 10 ^ {8}$ ، م - متوسط ​​المسافة من الأرض إلى القمر ؛ $$$a = 1،496 \ cdot10 ^ {11}$ ، م - متوسط ​​المسافة من الأرض إلى الشمس. نستبدل المعلمات الحقيقية في هذه الصيغة

$$

$$\ frac {F_ {1،3}} {F_ {1،2}} = \ frac {1.99 \ cdot 10 ^ {30}} {5.98 \ cdot10 ^ {24}} \ ، \ left (\ frac {3.844 \ cdot10 ^ {8}} {1.496 \ cdot10 ^ {11} + 3.844 \ cdot10 ^ {8}} \ right) ^ 2 = $ 2.1$$

هذا هو الرقم! اتضح أن القمر ينجذب إلى الشمس بقوة تزيد على ضعف قوة جاذبيته للأرض.

لم يعد من الممكن تجاهل مثل هذا الاضطراب ، وسوف يؤثر بالتأكيد على المسار النهائي للقمر. دعنا نذهب أبعد من ذلك ، مع الأخذ في الاعتبار الافتراض بأن مدار الأرض دائري مع نصف القطر أ ، نجد المكان الهندسي للنقاط حول الأرض ، حيث قوة جذب أي جسم إلى الأرض تساوي قوة جاذبيته للشمس. ستكون كرة ذات نصف قطر

$$

$$R = \ frac {a \، \ sqrt {\ gamma}} {1 - \ gamma}$$

نزوح على طول الخط الذي يربط الأرض والشمس بالجانب المقابل للاتجاه للشمس من مسافة

$$

$$l = R \، \ sqrt {\ gamma}$$

أين $$$\ gamma = m_2 / m_3$ - نسبة كتلة الأرض إلى كتلة الشمس. باستبدال القيم العددية للمعلمات ، نحصل على الأبعاد الفعلية لهذه المنطقة: R = 259300 كيلومتر ، و l = 450 كيلومتر. هذا المجال يسمى مجال جاذبية الأرض بالنسبة للشمس.

يقع مدار القمر المعروف خارج هذه المنطقة. أي أنه في أي نقطة على المسار ، يعاني القمر من جاذبية أكبر بكثير من جانب الشمس أكثر من جانب الأرض.

2. القمر الصناعي أو الكوكب؟ نطاق الجاذبية

غالبًا ما تثير هذه المعلومات نقاشًا مفاده أن القمر ليس قمرًا صناعيًا للأرض ، ولكنه كوكب مستقل للنظام الشمسي ، والذي يزعج مداره بسبب جذب الأرض المجاورة.

دعونا نقيم الاضطراب الذي أدخلته الشمس في مسار القمر بالنسبة للأرض ، وكذلك الاضطراب الذي أدخلته الأرض في مسار القمر بالنسبة للشمس ، باستخدام المعيار الذي اقترحه P. لابلاس. تأمل ثلاث أجسام: الشمس (S) والأرض (E) والقمر (M).
نفترض أن مدارات الأرض بالنسبة للشمس والقمر بالنسبة للأرض دائرية.


ضع في اعتبارك حركة القمر في إطار مرجعي مركزية بالقصور الذاتي. يتم تحديد التسارع المطلق للقمر في النظام المرجعي المركزي بواسطة قوى الجاذبية التي تعمل عليه وهي تساوي:

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_1 ^ {(3)} + \ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \، \ vec F_ {1،3} + \ frac {1} { m_1} \، \ vec F_ {1،2}$$

من ناحية أخرى ، وفقًا لنظرية كوريوليس ، التسارع المطلق للقمر

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_2 + \ vec a_ {1،2}$$

أين $$$\ vec a_2$ - تسارع محمول يساوي تسارع الأرض بالنسبة للشمس ؛ $$$\ vec a_ {1،2}$ - تسارع القمر نسبة إلى الأرض. لن يكون هناك تسريع كوريوليس هنا - نظام الإحداثيات الذي اخترناه يتحرك تدريجيا. من هنا نحصل على تسارع القمر نسبة إلى الأرض

$$

$$\ vec a_ {1،2} = \ frac {1} {m_1} \، \ vec F_ {1،3} + \ frac {1} {m_1} \، \ vec F_ {1،2} - \ vec a_2$$

جزء من هذا التسارع يساوي $$$\ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \، \ vec F_ {1،2}$ بسبب انجذاب القمر إلى الأرض وتميز حركته المتمركزة حول الأرض دون عوائق. الباقي

$$

$$\ Delta \ vec a_ {1،3} = \ frac {1} {m_1} \، \ vec F_ {1،3} - \ vec a_2$$

تسارع القمر الناتج عن اضطراب الشمس.

إذا اعتبرنا حركة القمر في نظام مرجعي بالقصور الذاتي مركزية مركزية ، ثم كل شيء أبسط بكثير ، تسارع $$$\ vec a_1 ^ {(3)} = \ frac {1} {m_1} \، \ vec F_ {1،3}$ يميز حركة مركزية القمر بدون عائق ، والتسارع $$$\ Delta \ vec a_ {1،2} = \ frac {1} {m_1} \، \ vec F_ {1،2}$ - اضطراب هذه الحركة من جانب الأرض.

بالنظر إلى معلمات مداري الأرض والقمر الموجودة في الحقبة الحالية ، التفاوت

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1،3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} <\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1،2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (1)$$

والتي يمكن التحقق منها عن طريق الحساب المباشر ، لكنني سأشير إلى المصدر ، حتى لا أفسد المقالة دون داع.

ماذا يعني عدم المساواة (1)؟ نعم ، حقيقة أن تأثير اضطراب الشمس بواسطة القمر (وبشكل ملحوظ جدًا) أقل من تأثير جذب القمر إلى الأرض. على العكس من ذلك ، فإن استياء الأرض من مسار مركزية الأرض للقمر له تأثير حاسم على طبيعة حركته. تأثير جاذبية الأرض في هذه الحالة أكثر أهمية ، مما يعني أن القمر "ينتمي" إلى الأرض عن طريق الحق وهو قمره الصناعي.

شيء آخر مثير للاهتمام - تحويل اللامساواة (1) إلى معادلة ، يمكنك العثور على المكان الهندسي للنقاط حيث تأثيرات اضطراب القمر (وأي جسم آخر) هي نفسها للأرض والشمس. لسوء الحظ ، هذا ليس بهذه البساطة كما هو الحال في مجال الجاذبية. تظهر الحسابات أن هذا السطح موصوف بواسطة معادلة النظام المجنون ، لكنه قريب من القطع الناقص للثورة. كل ما يمكننا القيام به دون مشاكل غير ضرورية هو تقييم الأبعاد الكلية لهذا السطح بالنسبة لمركز الأرض. حل المعادلة عدديا

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1،3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} = \ frac {| \ Delta \ vec a_ {1،2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (2)$$

بالنسبة إلى المسافة من مركز الأرض إلى السطح المطلوب عند عدد كافٍ من النقاط ، نحصل على المقطع العرضي للسطح المطلوب بواسطة المستوى الكسوف


من أجل الوضوح ، يظهر هنا مدار الأرض المتمركز حول الأرض ومجال جاذبية الأرض الذي وجدناه أعلاه بالنسبة للشمس. يمكن أن نرى من الشكل أن مجال التأثير ، أو مجال عمل الجاذبية للأرض نسبة إلى الشمس ، هو سطح الثورة بالنسبة للمحور X ، الذي تم تسويته على طول الخط المستقيم الذي يربط الأرض والشمس (على طول محور الكسوف). مدار القمر عميق داخل هذا السطح الخيالي.

للحسابات العملية ، يتم تقريب هذا السطح بشكل مريح بواسطة كرة بمركز في مركز الأرض ونصف قطر يساوي

$$

$$r = a \، \ left (\ frac {m} {M} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} \ quad \ quad (3)$$

حيث m هي كتلة جسم سماوي أصغر ؛ M هي كتلة الجسم الأكبر الذي يتحرك جسم أصغر في مجال الجاذبية ؛ أ هي المسافة بين مراكز الجثث. في حالتنا

$$

$$r = a \، \ left (\ frac {m_2} {m_3} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 1.496 \ cdot10 ^ {11} \، \ left (\ frac {5.98 \ cdot10 ^ {24}} {1.99 \ cdot10 ^ {30}} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 925000، \، km$$

هذا المليون كيلومتر الذي لم يكتمل هو الحد النظري الذي لا تمتد بعده قوة المرأة العجوز على الأرض - تأثيرها على مسارات الأشياء الفلكية صغير جدًا بحيث يمكن إهماله. وهذا يعني أن إطلاق القمر في مدار دائري على مسافة 38.4 مليون كيلومتر من الأرض (كما يفعل بعض اللغويين) سيفشل ، فمن المستحيل ماديًا.

للمقارنة ، يظهر هذا المجال في الشكل بخط متقطع أزرق. في الحسابات التقييمية ، يُفترض أن الجسم داخل هذا المجال سيشهد انجذابًا حصريًا من جانب الأرض. إذا كان الجسم خارج هذا المجال ، فإننا نعتبر أن الجسم يتحرك في مجال الجاذبية للشمس. في علم الفضاء العملي ، تُعرف طريقة اقتران المخروط المخروطي ، والتي تسمح للمرء بحساب مسار المركبة الفضائية تقريبًا باستخدام حل مشكلة الجسمين. علاوة على ذلك ، تنقسم كل المساحة التي يتغلب عليها الجهاز إلى مجالات نفوذ مماثلة.

على سبيل المثال ، من الواضح الآن أنه من أجل الحصول على القدرة النظرية على إجراء مناورات لدخول مدار القمر القريب ، يجب أن تقع المركبة الفضائية داخل مجال عمل القمر بالنسبة للأرض. يتم حساب نصف قطرها بسهولة بواسطة الصيغة (3) وهي 66 ألف كيلومتر.

وبالتالي ، يمكن اعتبار القمر بحق قمرًا صناعيًا للأرض. ومع ذلك ، بسبب التأثير الكبير لمجال الجاذبية للشمس ، فإنه لا يتحرك في مجال الجاذبية المركزي ، مما يعني أن مساره ليس مقطعًا مخروطيًا.

3. مشكلة الأجسام الثلاثة في الصياغة الكلاسيكية

لذا ، سننظر في مشكلة نموذجية في بيئة عامة ، تعرف في الميكانيكا السماوية باسم مشكلة الأجسام الثلاثة. دعونا نفكر في ثلاث أجسام ذات كتلة اعتباطية تقع بشكل تعسفي في الفضاء وتتحرك حصريًا تحت تأثير قوى الجاذبية المتبادلة


نعتبر الأجسام نقاط مادية. سيتم احتساب موقف الهيئات على أساس تعسفي ، يرتبط بها نظام المرجع بالقصور الذاتي أوكسيز . يتم تعيين موضع كل من الأجسام بواسطة متجه نصف القطر ، على التوالي $$$\ vec r_1$ ، $$$\ vec r_2$ و $$$\ vec r_3$ . تعمل قوة جاذبية الجاذبية من جانب جسمين آخرين على كل جسم ، علاوة على ذلك ، وفقًا للبديهية الثالثة لديناميكيات النقطة (قانون نيوتن الثالث)

$$

$$\ vec F_ {i، j} = - \ vec F_ {j، i} \ quad \ quad (4)$$

نكتب المعادلات التفاضلية للحركة لكل نقطة في شكل متجه

$$

$$\ start {align} & m_1 \، \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1،2} + \ vec F_ {1،3} \\ & m_2 \، \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = \ vec F_ {2،1} + \ vec F_ {2،3} \\ & m_3 \، \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = \ vec F_ {3،1} + \ vec F_ {3،2} \ end {align}$$

أو مع مراعاة (4)

$$

$$\ start {align} & m_1 \، \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1،2} + \ vec F_ {1،3} \\ & m_2 \، \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ vec F_ {1،2} + \ vec F_ {2،3} \\ & m_3 \، \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} { dt ^ 2} = - \ vec F_ {1،3} - \ vec F_ {2،3} \ end {align}$$

وفقًا لقانون الجاذبية الشاملة ، يتم توجيه قوى التفاعل على طول المتجهات

$$

$$\ start {align} & \ vec r_ {1،2} = \ vec r_2 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {1،3} = \ vec r_3 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {2 ، 3} = \ vec r_3 - \ vec r_2 \\ \ end {align}$$

على طول كل من هذه المتجهات ، نصدر متجه الوحدة المقابل

$$

$$\ vec e_ {i، j} = \ frac {1} {r_ {i، j}} \، \ vec r_ {i، j}$$

ثم يتم حساب كل من قوى الجاذبية بواسطة الصيغة

$$

$$\ vec F_ {i، j} = G \، \ frac {m_i \، m_j} {r_ {i، j} ^ 2} \، \ vec e_ {i، j}$$

بالنظر إلى كل هذا ، يأخذ نظام معادلات الحركة الشكل

$$

$$\ start {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {G \، m_2} {r_ {1،2} ^ 3} \، \ vec r_ {1،2 } + \ frac {G \، m_3} {r_ {1،3} ^ 3} \، \ vec r_ {1،3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {G \، m_1} {r_ {1،2} ^ 3} \، \ vec r_ {1،2} + \ frac {G \، m_3} {r_ {2،3} ^ 3} \، \ vec r_ {2،3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {G \، m_1} {r_ {1،3} ^ 3} \، \ vec r_ {1،3} - \ frac {G \، m_2} {r_ {2،3} ^ 3} \، \ vec r_ {2،3} \ end {align}$$

نقدم الترميز المقبول في الميكانيكا السماوية

$$

$$\ mu_i = G \، m_i$$

هي معلمة الجاذبية لمركز الجذب. ثم تأخذ معادلات الحركة شكل المتجه النهائي

$$

$$\ start {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {\ mu_2} {r_ {1،2} ^ 3} \، \ vec r_ {1،2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {1،3} ^ 3} \، \ vec r_ {1،3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1،2} ^ 3} \، \ vec r_ {1،2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {2،3} ^ 3} \، \ vec r_ {2،3} \ \ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1،3} ^ 3} \، \ vec r_ {1،3} - \ frac {\ mu_2} {r_ {2،3} ^ 3} \، \ vec r_ {2،3} \ end {align}$$

4. تقنين المعادلات لمتغيرات بلا أبعاد

أسلوب شائع إلى حد ما في النمذجة الرياضية هو الحد من المعادلات التفاضلية والعلاقات الأخرى التي تصف العملية إلى إحداثيات المرحلة بلا أبعاد والوقت بلا أبعاد. يتم تطبيع المعلمات الأخرى أيضا. هذا يسمح لنا أن نفكر ، وإن كان مع استخدام النمذجة الرقمية ، ولكن بشكل عام إلى حد ما فئة كاملة من المشاكل النموذجية. أترك سؤال حول مدى مبرر هذا في كل مشكلة يجب حلها ، لكنني أوافق على أن هذا النهج عادل في هذه الحالة.

لذا ، نقدم بعض الأجرام السماوية المجردة بمعلمة جاذبية $$$\ mu$ ، مثل فترة دوران القمر الصناعي في مدار بيضاوي الشكل مع نصف محور رئيسي $$$a$ حولها يساوي $$$T$ . كل هذه الكميات ، بموجب قوانين الميكانيكا ، مرتبطة بالعلاقة

$$

$$T = 2 \، \ pi \، \ left (\ frac {a ^ 3} {\ mu} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}$$

نقدم استبدال المعلمات. لموقف نقاط نظامنا

$$

$$\ vec r_i = a \، \ vec \ xi_i$$

أين $$$\ vec \ xi_i$ - متجه نصف القطر بلا أبعاد للنقطة رقم i ؛
لمعلمات الجاذبية للأجسام

$$

$$\ mu_i = \ varkappa_i \، \ mu$$

أين $$$\ varkappa_i$ - معلمة جاذبية بلا أبعاد للنقطة رقم i ؛
للوقت

$$

$$t = T \، \ tau$$

أين $$$\ tau$ - وقت بلا أبعاد.

الآن ، نقوم بإعادة حساب نقاط التسارع للنظام من خلال هذه المعلمات غير ذات الأبعاد. نحن نطبق تمايز الوقت المزدوج. للسرعات

$$

$$\ vec v_i = \ frac {d \ vec r_i} {dt} = a \، \ frac {d \ vec \ xi_i} {dt} = \ frac {a} {T} \، \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} = \ frac {1} {2 \، \ pi} \، \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \، \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau }.$$

للتعجيل

$$

$$\ vec a_i = \ frac {d \ vec v_i} {dt} = \ frac {1} {2 \، \ pi} \، \ sqrt {\ mu} {a}} \، \ frac {1 } {dt} \ left (\ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} \ right) = \ frac {1} {4 \، \ pi ^ 2} \، \ frac {\ mu} {a ^ 2} \، \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_i} {d \ tau ^ 2}$$

عند استبدال العلاقات التي تم الحصول عليها في معادلات الحركة ، ينهار كل شيء بشكل أنيق في معادلات جميلة:

$$

$$\ start {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_1} {d \ tau ^ 2} = 4 \، \ pi ^ 2 \، \ varkappa_2 \، \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \، \ pi ^ 2 \، \ varkappa_3 \، \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_2} {d \ tau ^ 2} = -4 \، \ pi ^ 2 \، \ varkappa_1 \، \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \، \ pi ^ 2 \، \ varkappa_3 \، \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ quad \ quad (5) \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_3} {d \ tau ^ 2} = -4 \، \ pi ^ 2 \، \ varkappa_1 \، \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} - 4 \، \ pi ^ 2 \، \ varkappa_2 \، \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ end {align}$$

لا يزال نظام المعادلات هذا غير قابل للتكامل في الوظائف التحليلية. لماذا تعتبر ولا تعتبر؟ نظرًا لأن نجاح نظرية وظائف متغير معقد أدى إلى حقيقة أن حلًا عامًا لمشكلة الأجسام الثلاثة قد ظهر في عام 1912 - وجد كارل زاندمان خوارزمية للعثور على معاملات السلسلة اللانهائية فيما يتعلق بمعلمة معقدة ، والتي تعد نظريًا حلًا عامًا لمشكلة الأجسام الثلاثة. ولكن ... لتطبيق سلسلة Sundman في الحسابات العملية بالدقة المطلوبة لهم ، من الضروري الحصول على عدد من أعضاء هذه السلسلة بحيث تتجاوز هذه المهمة قدرات أجهزة الكمبيوتر حتى اليوم.

لذلك فإن التكامل العددي هو السبيل الوحيد لتحليل حل المعادلة (5)

5. حساب الشروط الأولية: نحصل على البيانات الأولية

كما كتبت سابقًا ، قبل البدء في التكامل العددي ، يجب أن تهتم بحساب الشروط الأولية للمشكلة التي يتم حلها. في المشكلة قيد النظر ، يتحول البحث عن الشروط الأولية إلى مشكلة فرعية مستقلة ، لأن النظام (5) يعطينا تسع معادلات قياسية من الدرجة الثانية ، والتي ، عند الانتقال إلى نموذج Cauchy العادي ، تزيد من ترتيب النظام بعامل 2. أي أننا بحاجة إلى حساب ما يصل إلى 18 معلمة - المواضع الأولية ومكونات السرعة الأولية لجميع النقاط في النظام. أين نحصل على بيانات عن موقف الأجرام السماوية التي تهمنا؟ نحن نعيش في عالم يسير فيه شخص على القمر - بطبيعة الحال ، يجب أن تمتلك البشرية معلومات حول كيفية تحرك هذا القمر نفسه ومكانه.

هذا ، كما تقول ، أنت يا رجل ، تعرض علينا أن نأخذ كتب فلكية سميكة من الرفوف ، ونفجر الغبار عنها ... لا تخمن! أقترح الذهاب إلى وكالة ناسا لأولئك الذين ساروا بالفعل على القمر ، أي إلى مختبر الدفع النفاث ، باسادينا ، كاليفورنيا. هنا - واجهة الويب JPL Horizonts .

هنا ، بعد قضاء بعض الوقت في دراسة الواجهة ، سنحصل على جميع البيانات التي نحتاجها. اختر تاريخًا ، على سبيل المثال ، نعم ، نحن لا نهتم ، ولكن فليكن 27 يوليو 2018 UT 20:21. في هذه اللحظة فقط ، لوحظت المرحلة الكاملة للكسوف القمري. سيعطينا البرنامج رقعة قدم ضخمة


بررر ما هو؟ بدون ذعر ، ليس هناك ما يدعو للخوف من شخص درس علم الفلك والميكانيكا والرياضيات جيدًا في المدرسة. لذا ، فإن أهم شيء هو الإحداثيات النهائية المطلوبة ومكونات السرعة للقمر.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y =-2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX= 4.593816208618667E-04 VY= 3.187527302531735E-04 VZ=-5.183707711777675E-05 LT= 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE 

نعم ، نعم ، نعم ، إنهم ديكارت! إذا قرأت بعناية وسادة القدم بالكامل ، فسوف نكتشف أن أصل نظام الإحداثيات هذا يتزامن مع مركز الأرض. يقع المستوى XY في مستوى مدار الأرض (المستوى الكسوف) لعصر J2000. يتم توجيه المحور X على طول خط تقاطع المستوى الاستوائي للأرض والكسوف عند الاعتدال الربيعي. يبدو المحور Z في اتجاه القطب الشمالي للأرض متعامدًا مع مستوى مسير الشمس. حسنًا ، يكمل المحور Y كل هذه السعادة إلى المتجهات الثلاثة الصحيحة. بشكل افتراضي ، تنسيق الوحدات: الوحدات الفلكية (الحركات الذكية من وكالة ناسا تعطي أيضًا حجم الوحدة المستقلة بالكيلومترات). وحدات السرعة: وحدات فلكية في اليوم ، يفترض أن يكون اليوم 86400 ثانية. حشو كامل!

يمكننا الحصول على معلومات مماثلة للأرض.


هنا ، يتم اختيار barycenter (مركز الكتلة) للنظام الشمسي كأصل. البيانات التي تهمنا

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y =-8.298818915224488E-01 Z =-5.366994499016168E-05 VX= 1.388633512282171E-02 VY= 9.678934168415631E-03 VZ= 3.429889230737491E-07 LT= 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE 

بالنسبة للقمر ، نحتاج إلى الإحداثيات والسرعة بالنسبة لمركز barycenter للنظام الشمسي ، يمكننا حسابها ، أو يمكننا أن نطلب من وكالة ناسا أن تقدم لنا مثل هذه البيانات

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.771034756256845E-01 Y =-8.321193799697072E-01 Z =-4.855790760378579E-05 VX= 1.434571674368357E-02 VY= 9.997686898668805E-03 VZ=-5.149408819470315E-05 LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE 

رائع! تحتاج الآن إلى معالجة البيانات المستلمة قليلاً باستخدام ملف.

6.38 الببغاوات وجناح الببغاء

بادئ ذي بدء ، سنحدد المقياس ، لأن معادلاتنا للحركة (5) مكتوبة بشكل بدون أبعاد. تخبرنا البيانات التي قدمتها وكالة ناسا نفسها أنه من الجدير أخذ وحدة فلكية واحدة لحجم الإحداثيات. وفقًا لذلك ، سنأخذ الشمس كجسم قياسي سنقوم بتطبيع كتل الأجسام الأخرى فيه ، وفترة ثورة الأرض حول الشمس كمقياس زمني.

كل هذا جيد بالطبع ، لكننا لم نضع الشروط الأولية للشمس. "لماذا؟" يسألني عالم لغوي. وأود أن أجيب أن الشمس ليست بلا حراك بأي حال من الأحوال ، ولكنها تدور أيضًا في مدارها حول مركز كتلة النظام الشمسي. ويمكن رؤية ذلك من خلال النظر إلى بيانات وكالة ناسا للشمس.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 6.520050993518213E+04 Y = 1.049687363172734E+06 Z =-1.304404963058507E+04 VX=-1.265326939350981E-02 VY= 5.853475278436883E-03 VZ= 3.136673455633667E-04 LT= 3.508397935601254E+00 RG= 1.051791240756026E+06 RR= 5.053500842402456E-03 $$EOE 

بالنظر إلى معلمة RG ، نرى أن الشمس تدور حول مركز barycenter للنظام الشمسي ، وفي 27 يوليو 2018 ، يقع مركز النجم على بعد مليون كيلومتر منه. نصف قطر الشمس ، كمرجع - 696 ألف كيلومتر. أي ، أن مركز ثنائي النظام الشمسي يقع على بعد نصف مليون كيلومتر من سطح النجم. لماذا؟ نعم ، لأن جميع الأجسام الأخرى التي تتفاعل مع الشمس تعطيها أيضًا تسارعًا ، بشكل أساسي ، بالطبع ، المشتري الثقيل. وبالتالي ، فإن الشمس لها أيضًا مدارها الخاص.

بالطبع ، يمكننا اختيار هذه البيانات كشروط أولية ، ولكن لا - نحن نحل مشكلة نموذج الجسم الثلاثة ، ولا يتم تضمين المشتري والشخصيات الأخرى فيه. على حساب الواقعية ، ومعرفة موقع وسرعات الأرض والقمر ، نقوم بإعادة حساب الظروف الأولية للشمس ، بحيث يكون مركز كتلة نظام الشمس والقمر والقمر في الأصل. بالنسبة لمعادلة كتلة نظامنا الميكانيكي ، المعادلة

$$

$$(m_1 + m_2 + m_3) \، \ vec r_C = m_1 \، \ vec r_1 + m_2 \، \ vec r_2 + m_3 \، \ vec r_3$$

نضع مركز الكتلة في الأصل ، أي نسأل $$$\ vec r_C = 0$ ثم

$$

$$m_1 \، \ vec r_1 + m_2 \، \ vec r_2 + m_3 \، \ vec r_3 = 0$$

من أين

$$

$$\ start {align} & m_3 \، \ vec r_3 = -m_1 \، \ vec r_1 - m_2 \، \ vec r_2 \\ & \ vec r_3 = - \ frac {m_1} {m_3} \ vec r_1 - \ frac {m_2} {m_3} \، \ vec r_2 \ end {align}$$

دعنا ننتقل إلى إحداثيات ومعلمات بلا أبعاد عن طريق الاختيار $$$\ mu = \ mu_3$

$$

$$\ vec \ xi_3 = - \ varkappa_1 \ vec \ xi_1 - \ varkappa_2 \ vec \ xi_2 \ quad \ quad (6)$$

التفريق (6) فيما يتعلق بالوقت والانتقال إلى وقت بلا أبعاد ، نحصل أيضًا على علاقة السرعات

$$

$$\ vec u_3 = - \ varkappa_1 \، \ vec u_1 - \ varkappa_2 \، \ vec u_2$$

أين $$$\ vec u_i = \ cfrac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} ، \ forall i = \ overline {1،3}$

الآن سنكتب برنامجًا سيشكل الشروط الأولية في "الببغاوات" التي اخترناها. على ماذا سنكتب؟ بالطبع في بيثون! بعد كل شيء ، كما تعلمون ، هذه هي أفضل لغة للنمذجة الرياضية.

ومع ذلك ، إذا ابتعدنا عن السخرية ، فسنحاول فعلًا الثعبان لهذا الغرض ، ولماذا لا؟ سأقدم بالتأكيد رابطًا لجميع الشفرات في ملفي الشخصي في Github .


عادم البرنامج

    mu[0] = 4901783000000.0 mu[1] = 386326400000000.0 mu[2] = 1.326663e+20    xi[0] = 3.6948215183509304e-08 xi[1] = 2.912016088486677e-06 xi[2] = 1.0   T = 31563683.35432583   , ..: [ 5.77103476e-01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05]   , ..: [ 5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05]   , ..: [-1.69738146e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10]   , /: [24838.98933473 17310.56333294 -89.15979106] -//- : [ 5.24078311 3.65235907 -0.01881184]   , /: [2.40435899e+04 1.67586567e+04 5.93870516e-01] -//- : [5.07296163e+00 3.53591219e+00 1.25300854e-04]   , /: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06] -//- : [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.30185861e-10] 

7. تكامل معادلات الحركة وتحليل النتائج

في الواقع ، يتم تقليل التكامل نفسه إلى إجراء قياسي إلى حد ما لإعداد نظام معادلات لـ SciPy: تحويل نظام ODE إلى نموذج Cauchy واستدعاء وظائف حلال المقابلة. لتحويل النظام إلى شكل كوشي ، نتذكر ذلك

$$

$$\ vec u_i = \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} ، \ forall i = \ overline {1،3} \ quad \ quad (7)$$

ثم إدخال متجه الدولة للنظام

$$

$$\ vec y = \ left [\ vec \ xi_1، \ vec \ xi_2، \ vec \ xi_1، \ vec u_1، \ vec u_2، \ vec u_3 \ right] ^ T$$

نقوم بتقليل (7) و (5) إلى معادلة متجه واحد

$$

$$\ frac {d \ vec y} {d \ tau} = \ vec f (\ tau، \ vec y) \ quad \ quad (8)$$

لدمج (8) مع الشروط الأولية الحالية ، نكتب رمزًا صغيرًا جدًا


دعونا نرى ما حصلنا عليه. المسار المكاني للقمر لأول 29 يومًا من نقطة البداية المختارة


وكذلك إسقاطها في مستوى مسير الشمس.


"يا عمي ، ماذا تعطينا ؟! هذه هي الدائرة! "

أولاً ، إنها ليست دائرة - يمكن ملاحظة التحول في إسقاط المسار من الأصل إلى اليمين والأسفل. ثانيًا - ألا تلاحظ أي شيء؟ لا حقا؟


أعدك بإعداد مبرر للحقيقة (بناءً على تحليل أخطاء الحساب وبيانات وكالة ناسا) أن إزاحة المسار التي تم الحصول عليها ليست نتيجة لأخطاء التكامل. حتى الآن أقترح أن يأخذ القارئ كلامي من أجله - هذا الإزاحة هو نتيجة للاضطراب الشمسي للمسار القمري. تحريف منعطف آخر



ما الوقت! علاوة على ذلك ، انتبه إلى حقيقة أنه ، استنادًا إلى البيانات الأولية للمشكلة ، تقع الشمس بالضبط على الجانب حيث يتغير مسار القمر في كل ثورة. نعم ، هذه الشمس الوقحة تسرق منا رفيقنا المحبوب! أوه ، إنها الشمس!

يمكننا أن نستنتج أن الجاذبية الشمسية تؤثر على مدار القمر بشكل كبير - المرأة العجوز لا تمشي في السماء مرتين بنفس الطريقة. صورة لمدة نصف عام من الحركة تسمح (على الأقل نوعيًا) بالاقتناع بهذا (الصورة قابلة للنقر)



مثيرة للاهتمام؟ بالطبع ستفعل. علم الفلك هو علم مسلي بشكل عام.

بوستسكريبت

في الجامعة التي درست فيها وعملت لما يقرب من سبع سنوات - Novocherkassk Polytechnic - يُقام أولمبياد المناطق للطلاب في الميكانيكا النظرية في جامعات شمال القوقاز سنويًا. ثلاث مرات أخذنا أولمبياد عموم روسيا. في الافتتاح ، قال الأستاذ أ. كوندراتينكو "الأولمبي" الرئيسي لدينا دائمًا: "الأكاديمي كريلوف وصف الميكانيكا بشعر العلوم الدقيقة".

أحب الميكانيكا. كل الخير الذي حققته في حياتي ومهنتي قد حدث بفضل هذا العلم وأساتذتي الرائعين. أحترم الميكانيكا.

لذلك ، لن أسمح أبدًا لأي شخص بالسخرية من هذا العلم واستغلاله بشكل صارخ لأغراضه الخاصة ، حتى لو كان على الأقل ثلاث مرات طبيبًا للعلوم وأربع مرات لغويًا ، وقد طور مليون برنامج دراسي على الأقل. أعتقد بصدق أن كتابة مقالات عن مورد عام شائع يجب أن توفر تدقيقًا دقيقًا للتصميم ، والتصميم العادي (صيغ LaTeX ليست نزوة من مطوري المورد!) وغياب الأخطاء التي تؤدي إلى نتائج تنتهك قوانين الطبيعة. هذا الأخير بشكل عام يجب أن يكون.

غالبًا ما أخبر طلابي: "الكمبيوتر يحرر يديك ، ولكن هذا لا يعني أنك بحاجة إلى إيقاف الدماغ أيضًا".

لتقدير الميكانيكا واحترامها ، أحثكم أيها القراء الأعزاء. سأجيب بكل سرور عن أي أسئلة ، وكما وعدت ، أنشر شفرة المصدر لمثال على حل مشكلة الأجسام الثلاثة في Python ، أنشر Github في ملفي الشخصي .

شكرا لكم على اهتمامكم!