مبدأ العمل الأقل. الجزء الأول

عندما علمت لأول مرة عن هذا المبدأ ، كان لدي شعور بنوع من التصوف. يبدو أن الطبيعة تمر بشكل غامض فوق جميع المسارات الممكنة للنظام وتختار الأفضل منها.

اليوم أريد أن أتحدث قليلاً عن أحد أهم المبادئ الفيزيائية - مبدأ العمل الأقل.

الخلفية

منذ أيام جاليليو ، كان معروفًا أن الجثث التي لا تتأثر بأي قوى تتحرك في خطوط مستقيمة ، أي على طول أقصر مسار. تنتشر أشعة الضوء في خطوط مستقيمة.

عند انعكاس الضوء ، يتحرك الضوء أيضًا بطريقة تنتقل من نقطة إلى أخرى بأقصر طريقة. في الصورة ، سيكون أقصر مسار هو المسار الأخضر حيث تكون زاوية الورود مساوية لزاوية الانعكاس. سيكون أي مسار آخر ، مثل الأحمر ، أطول.


من السهل إثبات ذلك من خلال عكس مسارات الأشعة إلى الجانب الآخر من المرآة. تظهر في الصورة بخط منقط.


يمكن ملاحظة أن المسار الأخضر لـ ACB يتحول إلى ACB مباشر. ويتحول المسار الأحمر إلى خط ADB مكسور ، وهو بالطبع أطول من الخط الأخضر.

في عام 1662 ، اقترح بيير فيرمات أن سرعة الضوء في مادة كثيفة ، على سبيل المثال ، في الزجاج ، أقل من الهواء. قبل ذلك ، كانت هناك نسخة مقبولة بشكل عام من ديكارت ، والتي بموجبها يجب أن تكون سرعة الضوء في المادة أكبر من الهواء من أجل الحصول على قانون الانكسار الصحيح. بالنسبة لفيرمات ، فإن الافتراض القائل بأن الضوء يمكن أن يتحرك في وسط أكثر كثافة أسرع مما هو عليه في وسيط غريب يبدو غير طبيعي. لذلك ، اقترح أن كل شيء كان عكس ذلك تمامًا وأثبت شيئًا مدهشًا - في ظل هذا الافتراض ، ينكسر الضوء حتى يصل إلى وجهته في أقصر وقت ممكن.


في الشكل مرة أخرى ، يظهر اللون الأخضر المسار الذي يتحرك فيه الشعاع الضوئي بالفعل. المسار باللون الأحمر هو الأقصر ، لكنه ليس الأسرع ، لأن الضوء له مسار أكبر يمر عبر الزجاج ، وسرعته أبطأ. الأسرع هو المسار الحقيقي لحزمة الضوء.

تشير كل هذه الحقائق إلى أن الطبيعة تتصرف بطريقة عقلانية ، وأن الضوء والأجسام تتحرك على النحو الأمثل ، مع بذل أقل جهد ممكن. لكن أي نوع من الجهد كان وكيف يتم احتسابه ظل غامضًا.

في عام 1744 ، قدم موبرتيس مفهوم "الفعل" وصاغ المبدأ الذي بموجبه يختلف المسار الحقيقي للجسيم عن أي شيء آخر في أن العمل له هو الحد الأدنى. ومع ذلك ، لم يستطع موبيرتوس نفسه إعطاء تعريف واضح لما يساوي هذا العمل. تم بالفعل تطوير الصيغة الرياضية الصارمة لمبدأ العمل الأقل من قبل علماء الرياضيات الآخرين - أويلر ، لاغرانج ، وأعطيت في النهاية من قبل ويليام هاميلتون:


في اللغة الرياضية ، يتم صياغة مبدأ العمل الأقل باختصار شديد ، لكن لا يمكن لجميع القراء فهم معنى الترميز المستخدم. أريد أن أحاول شرح هذا المبدأ بشكل أكثر وضوحا وبكلمات بسيطة.

الجسم الحر

لذا تخيل أنك تجلس في سيارة عند نقطة معينة $$ وفي الوقت المناسب $$ لقد تم تكليفك بمهمة بسيطة: بحلول الوقت $$ تحتاج إلى الوصول إلى النقطة بالسيارة $$ .


وقود السيارة باهظ الثمن ، وبالطبع ، تريد إنفاقه بأقل قدر ممكن. تم تصنيع سيارتك باستخدام أحدث التقنيات الفائقة ويمكنها التسارع أو الفرامل بالسرعة التي تريدها. ومع ذلك ، فقد تم تصميمه بحيث كلما زادت سرعته ، زاد استهلاكه للوقود. علاوة على ذلك ، فإن استهلاك الوقود يتناسب مع مربع السرعة. إذا كنت تقود بسرعة مضاعفة ، فستستهلك في نفس الفترة الزمنية 4 أضعاف الوقود. بالإضافة إلى السرعة ، تؤثر كتلة السيارة أيضًا على استهلاك الوقود. وكلما كانت سيارتنا أثقل ، زاد استهلاكها للوقود. استهلاك الوقود بسيارتنا في أي وقت $$ ، أي بالضبط الطاقة الحركية للسيارة.

فكيف تحتاج للذهاب للوصول إلى هذه النقطة $$ إلى الوقت المحدد بالضبط واستهلاك الوقود بأقل قدر ممكن؟ من الواضح أنك بحاجة للذهاب في خط مستقيم. مع زيادة مسافة القيادة ، سيتم استهلاك الوقود على أقل تقدير. ثم يمكنك اختيار تكتيكات مختلفة. على سبيل المثال ، يمكنك الوصول بسرعة إلى النقطة $$ مقدما والجلوس فقط ، انتظر ، عندما يحين الوقت $$ . ستكون سرعة القيادة ، وبالتالي استهلاك الوقود في أي وقت ، كبيرة ، ولكن سيتم تقليل وقت القيادة أيضًا. ربما لن يكون إجمالي استهلاك الوقود في هذه الحالة كبيرًا جدًا. أو يمكنك الركوب بالتساوي ، بنفس السرعة ، بحيث لا تصل بسرعة في وقت واحد دون التسرع $$ . أو جزء من الطريق للقيادة بسرعة وجزء أبطأ. ما أفضل طريقة للذهاب؟

اتضح أن الطريقة المثلى والأكثر اقتصادا للقيادة هي القيادة بسرعة ثابتة ، مثل أن تكون في نقطة $$ في الوقت المحدد بالضبط $$ . مع أي خيار آخر ، سيتم استهلاك الوقود أكثر. يمكنك التحقق من ذلك بنفسك مع بعض الأمثلة. والسبب هو أن استهلاك الوقود يزداد بما يتناسب مع مربع السرعة. لذلك ، مع زيادة السرعة ، يزداد استهلاك الوقود بشكل أسرع من انخفاض وقت القيادة ، كما يزيد الاستهلاك الكلي للوقود.

لذلك ، اكتشفنا أنه إذا كانت السيارة في أي وقت تستهلك الوقود بما يتناسب مع طاقتها الحركية ، فإن الطريقة الأكثر اقتصادا للوصول من نقطة $$ إلى هذه النقطة $$ إلى وقت معين بدقة هو الركوب بشكل موحد ومستقيم ، كما يتحرك الجسم في غياب قوى تعمل عليه. ستؤدي أي طريقة أخرى للقيادة إلى زيادة استهلاك الوقود بشكل عام.

في الجاذبية

الآن دعونا نحسن سيارتنا قليلاً. دعونا نعلق المحركات النفاثة عليها حتى تتمكن من الطيران بحرية في أي اتجاه. بشكل عام ، ظل التصميم كما هو ، لذلك بقي استهلاك الوقود متناسبًا تمامًا مع الطاقة الحركية للسيارة. إذا تم الآن إعطاء المهمة للخروج من النقطة $$ في الوقت المناسب $$ وتطير إلى النقطة $$ بالوقت $$ ، فإن الطريقة الأكثر اقتصادا ، كما كان من قبل ، بالطبع ، ستطير بشكل موحد ومستقيم ، لتكون في نقطة $$ في الوقت المحدد بالضبط $$ . هذا يتوافق مرة أخرى مع الحركة الحرة للجسم في الفضاء ثلاثي الأبعاد.


ومع ذلك ، تم تثبيت جهاز غير عادي في أحدث طراز السيارة. يمكن لهذه الوحدة إنتاج الوقود حرفيا من لا شيء. لكن التصميم بحيث أنه كلما ارتفعت السيارة ، زادت كمية الوقود التي يولدها الجهاز في كل لحظة من الزمن. يتناسب إنتاج الوقود بشكل مباشر مع الارتفاع $$ التي تقع عليها السيارة حاليًا. أيضا ، كلما كانت السيارة أثقل ، كلما تم تثبيت الجهاز عليها بقوة وكلما زاد الوقود الذي تنتجه ، وكان الناتج يتناسب بشكل مباشر مع كتلة السيارة $$ . تحول الجهاز بحيث يكون إنتاج الوقود متساويًا تمامًا $$ (أين $$ - تسارع الجاذبية) ، أي الطاقة الكامنة للسيارة.

استهلاك الوقود في كل لحظة من الزمن يساوي الطاقة الحركية ناقص الطاقة الكامنة للسيارة (ناقص الطاقة الكامنة ، لأن الجهاز المركب يولد الوقود ولا ينفق). الآن مهمتنا هي حركة السيارة الأكثر اقتصادا بين النقاط $$ و $$ تزداد صعوبة. الحركة الموحدة المستقيمة في هذه الحالة ليست الأكثر فعالية. اتضح أنه من الأفضل الحصول على الارتفاع قليلاً ، والبقاء هناك لبعض الوقت ، بعد تطوير المزيد من الوقود ، ثم النزول إلى النقطة $$ . مع مسار الرحلة الصحيح ، فإن إجمالي إنتاج الوقود الناتج عن التسلق سوف يمنع استهلاك الوقود الإضافي عن طريق زيادة طول المسار وزيادة السرعة. إذا قمت بالحساب بعناية ، فإن الطريقة الأكثر اقتصادية للسيارة ستطير على طول القطع المكافئ ، بالضبط على طول هذا المسار وبنفس السرعة التي يطير بها الحجر تمامًا في مجال جاذبية الأرض.


التفسير يستحق تقديمه هنا. بالطبع يمكنك من النقطة $$ رمي حجر بعدة طرق مختلفة بحيث يصل إلى نقطة $$ . ولكن عليك رميها بحيث تطير بعيدًا عن النقطة $$ في الوقت المناسب $$ ضرب النقطة $$ بالضبط في الوقت المناسب $$ . هذه الحركة ستكون الأكثر اقتصادية لسيارتنا.

وظيفة Lagrange ومبدأ العمل الأقل

الآن يمكننا نقل هذا القياس إلى أجسام مادية حقيقية. يسمى تناظري كثافة استهلاك الوقود للأجسام وظيفة Lagrange أو Lagrangian (تكريما لـ Lagrange) ويشار إليه بالحرف $$ . يوضح Lagrangian مقدار "الوقود" الذي يستهلكه الجسم في لحظة معينة من الزمن. بالنسبة لجسم يتحرك في مجال محتمل ، فإن Lagrangian يساوي طاقته الحركية مطروحًا منه الطاقة الكامنة.

تناظرية لإجمالي كمية الوقود المستهلك طوال فترة الحركة ، أي قيمة لاغرانج المتراكمة طوال فترة الحركة تسمى "العمل".

مبدأ أقل عمل هو أن الجسم يتحرك بطريقة تجعل العمل (الذي يعتمد على مسار الحركة) ضئيلاً. في الوقت نفسه ، لا ينبغي للمرء أن ينسى تحديد الشروط الأولية والنهائية ، أي حيث يكون الجسد في نقطة زمنية $$ وفي الوقت المناسب $$ .

علاوة على ذلك ، ليس على الجسم أن يتحرك في مجال جاذبية موحد ، والذي اعتبرناه لسيارتنا. يمكنك التفكير في مواقف مختلفة تمامًا. يمكن أن يتأرجح الجسم على شريط مطاطي ، أو يتأرجح على البندول أو يطير حول الشمس ، في كل هذه الحالات يتحرك بطريقة تقلل من "إجمالي استهلاك الوقود" أي عمل.

إذا كان النظام يتكون من عدة أجسام ، فإن Lagrangian لمثل هذا النظام سيكون مساوياً للطاقة الحركية الإجمالية لجميع الأجسام ناقص إجمالي الطاقة الكامنة لجميع الأجسام. ومرة أخرى ، ستتحرك جميع الهيئات بطريقة منسقة بحيث يكون عمل النظام بأكمله بهذه الحركة ضئيلاً.

ليس بهذه البساطة

في الواقع ، لقد خدعت قليلاً بالقول إن الجثث تتحرك دائمًا بطريقة تقلل من الحركة. على الرغم من أن هذا صحيح في كثير من الحالات ، يمكنك الخروج بمواقف يكون فيها الإجراء ليس بالحد الأدنى.

على سبيل المثال ، خذ كرة وضعها في مساحة فارغة. على مسافة من ذلك ، نضع جدارًا مرنًا. افترض أننا نريد أن تكون الكرة في نفس المكان بعد مرور بعض الوقت. في ظل هذه الظروف ، يمكن أن تتحرك الكرة بطريقتين مختلفتين. أولاً ، يمكن أن يبقى في مكانه. ثانيًا ، يمكن دفعه نحو الجدار. ستطير الكرة إلى الحائط وترتد عنها وتعود. من الواضح أنه يمكنك دفعه بسرعة كبيرة بحيث يعود في الوقت المناسب تمامًا.


كلا النوعين من حركة الكرة ممكنان ، لكن الإجراء في الحالة الثانية سيظهر أكثر ، لأنه طوال هذا الوقت ستتحرك الكرة بطاقة حركية غير صفرية.

كيف تحفظ مبدأ العمل الأقل بحيث يكون عادلاً في مثل هذه المواقف؟ سنتحدث عن هذا في المرة القادمة .