نظرية السعادة. لعنة المخرج والطابعات الملعونة

أستمر في إطلاع قراء حبر على فصول كتابه "نظرية السعادة" مع العنوان الفرعي "الأسس الرياضية لقوانين العقيدة". لم يتم نشر هذا الكتاب العلمي المشهور بعد ، حيث يتحدث بشكل غير رسمي للغاية عن كيف تسمح لك الرياضيات بالنظر إلى العالم وحياة الناس بدرجة جديدة من الوعي. إنه لمن يهتم بالعلوم ولأولئك الذين يهتمون بالحياة. وبما أن حياتنا معقدة ، وعلى العموم ، لا يمكن التنبؤ بها ، فإن التركيز في الكتاب ينصب بشكل أساسي على نظرية الاحتمالات والإحصاءات الرياضية. هنا لم يتم إثبات النظريات ولم يتم إعطاء أساسيات العلم ، وهذا ليس كتابًا بأي شكل من الأشكال ، ولكن ما يسمى العلم الترفيهي. ولكن هذا النهج الدقيق تقريبًا هو الذي يسمح لنا بتطوير الحدس ، وإضاءة المحاضرات للطلاب بأمثلة حية ، وأخيرًا ، شرح لغير الرياضيين وأطفالنا ما هو مثير للاهتمام وجدناه في علمنا الجاف.





سنتحدث عن ضغوط الوقت والمواعيد النهائية والطابعات غير المناسبة.

استراتيجية جوفي

تحدثنا في الفصل السابق عن العمليات العشوائية. يعد تدفق بواسون من أبسط العمليات التي تتطلب الحد الأدنى من الافتراضات الإضافية. دعني أذكرك أنه يمكن تنفيذه من خلال التوزيع العشوائي لعدد معروف من الأحداث المستقلة على مدار فترة زمنية. تشمل الأمثلة الجيدة ضربات قطرات المطر على السطح ، وتدفق السيارات الخاصة على الطريق ، والزلازل القوية ، وما إلى ذلك.

ولكن ماذا نحصل إذا توقفت الأحداث عن أن تكون مستقلة وتشكل سلسلة مرتبة؟ قل في سلسلة $$$\ {A، B، C \}$ حدث $$$B$ لا يمكن أن يحدث إلا بعد الحدث $$$A$ وقبل الحدث $$$C$ على الرغم من أن اللحظات التي تحدث فيها هذه الأحداث ستظل عشوائية. دعونا نرى كيف تتناسب هذه السلاسل المرتبة في فترة زمنية محدودة. سنرتب الحدث الأول في نقطة عشوائية ، والثاني أيضًا عشوائي ، ولكن دائمًا بعد الحدث الأول ، والثالث بعد الثاني ، وهكذا. سيبقى وقت أقل وأقل لكل مرحلة تالية ، لذلك يجب ملاحظة زيادة ملحوظة في شدة العملية نحو الجانب الأيمن من الفترة (قبل الموعد النهائي). عاجلاً أم آجلاً ، سينتهي وقت إكمال المهام وستنتهي السلسلة. نسمي العملية التي قمنا ببناء سلسلة عشوائية مع موعد نهائي ، والاستراتيجية المختارة المختارة للقيام بهذه المهمة استراتيجية غبية . يوضح الشكل مثالاً لسلسلة تم إنشاؤها بهذه الطريقة من $$$5$ مراحل العمل التي تم إصدارها $$ أيام.


مثال على سلسلة عشوائية مع موعد نهائي. في هذه الحالة ، كان من الممكن القيام بخمسة أشياء ، لا يزال لديك وقت للقيام بالمهمة السادسة ، ولكن لمدة سبع مرات لا يكفي.

نقوم بصياغة المشكلة ، على سبيل المثال ، كمختبر ، كمخرج مسرحي. دع المخرج والفرقة تحت تصرفهم $$$n$ أيام لتنظيم بعض الإجراءات. تم تحضير التحضير إلى $$$k$ مراحل بروفة متتالية ، كل منها يتطلب يومًا واحدًا لإكماله. ما هو احتمال عدم الوفاء بالموعد النهائي من خلال تنفيذ عملية العمل التي وصفناها؟ إذا كان التحضير لهذا الحدث يتطلب مشاركة أشخاص مختلفين وعمليات إنتاج مختلفة ، فإن التراكبات أو الأمراض أو ببساطة الكآبة ممكنة - جميع الشروط المسبقة لتنفيذ سلسلة المواعيد العشوائية لدينا.

بادئ ذي بدء ، لجأت إلى نمذجة التقليد لمعرفة كيفية توزيع طول السلاسل ، والتي يمكن إجراؤها في فترة زمنية محدودة من طول معين ، باستخدام استراتيجية البكم. إليك ما تحصل عليه $$$n = 10$ :


دالة الاحتمال لطول السلاسل التي يمكن القيام بها في الوقت المخصص.

لم يتم العثور على هذا التوزيع في أي كتب مرجعية حول نظرية الاحتمالات والإحصاءات الرياضية. تمكنت من الحصول على حل تحليلي لوظيفة الاحتمالية في الشكل النهائي:

$$

$$P_n (k) = \ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k} \ frac {1} {n!}،$$

هنا $$$P_n (k)$ - احتمال طول السلسلة $$$k$ في $$$n$ فترات زمنية ، والتصميم $$$\ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k}$ يشير إلى ما يسمى بأرقام ستيرلنغ من النوع الأول ، وهي تنشأ في التوافقية عند حساب التباديل الدوري. على يمين المكتشف ، سأطلق على هذا التوزيع اسم Stirling. كان من الممكن حتى الحصول على تعبيرات دقيقة للتوقع الرياضي لطول السلاسل وتشتتها:

$$

$$M [k] = H_ {n} ، \ quad D [k] = H_ {n} -H_n ^ {(2)}.$$

هنا $$$H_ {n}$ هو الرقم التوافقي: مجموع جزئي للسلسلة التوافقية المتباينة $$$\ {1، \ frac12، \ frac13، ...، \ frac1n \}$ و $$$H_ {n} ^ {(2)}$ - كمية جزئية من السلسلة $$$\ {1، \ frac14، \ frac19، ...، \ frac1 {n ^ 2} \}$ . في الواقع ، من أجل حساب هذه القيم ، قمت بالتحقيق في التوزيع الناتج. متوسط ​​طول السلاسل مع النمو $$$n$ ينمو ببطء شديد ، وإن كان بشكل غير محدود. بدون الكثير من الأخطاء ، يمكننا القول أنها تنمو بشكل لوغاريتمي. في المقابل ، لا يختلف التباين كثيرًا عن المتوسط ​​، والمعامل الإضافي $$$H_ {n} ^ {(2)}$ يميل إلى الثابت $$$\ pi ^ 2/6$ . بعد ذلك بقليل ، ستكون هذه الملاحظة مفيدة.

دعونا نلقي نظرة أخرى على توزيع أطوال السلسلة. من الواضح أنه لا توجد فرصة على الإطلاق لعدم وجود وقت للقيام بشيء واحد على الإطلاق - سيكون هناك وقت له. تشكل السلاسل القصيرة لحالتين عشر العدد الإجمالي - هذه السلاسل الفاشلة التي بدأت في اليوم الأخير (من أصل عشرة) ولم تترك وقتًا للمتابعة. من المتوقع أن تكون حصة السلاسل الطويلة جدًا صغيرة وتنخفض مع زيادة الطول ، وتختفي تقريبًا. حسنًا ، يكاد يكون من المستحيل إكمال سلسلة من عشر حالات عن طريق الخطأ - احتمال مثل هذه النتيجة هو $$$\ frac {1} {10!}$ .

لسؤالنا: ما هو احتمال عدم تلبية $$$n$ أيام أمامك $$$k$ المراحل المتعاقبة من المهمة ، ستساعد وظيفة التوزيع على الإجابة - المنحنى التراكمي لتوزيع ستيرلنغ. نحن نبني مثل هذه المنحنيات $$$n = 7 ، \ 30 ، \ 365$ و $$ الموافق للأسبوع والشهر والسنة و (بالطبع ، بشكل مشروط) طوال الحياة.


احتمالية عدم امتلاك الوقت لإكمال سلاسل بأطوال مختلفة في وقت أو آخر.

تظهر هذه الرسوم البيانية أن احتمال عدم لقاء شهر بمهمة لها $$$5$ تجاوز الخطوات $$ . وأنه من الأفضل عدم التخطيط لأكثر من ثلاث حالات لثدي غير منظم في الأسبوع ، ولن يقوم بإجراء اثنتي عشرة حالة ، مع احتمال يتجاوز $$$50 \٪$ ولحياة! نحن مقتنعون أنه مع زيادة المواعيد النهائية بعدة أوامر من حيث الحجم ، فإن عدد حالات الأخطاء التي يمكن تحقيقها يزيد بشكل غير ملحوظ. الحياة قصيرة جدا!

أسرع ، أسرع!

دعونا الآن نفحص ظاهرة ضغط الوقت ، وخصائصه المرهقة. للقيام بذلك ، سوف نبني عدة آلاف من سلاسل الاستوكاستك ونحسب متوسطها للحصول على الوتيرة المتوقعة للعمل .


الكثير من سلاسل المواعيد العشوائية وسرعة العمل المتوقعة.

انتبه إلى حقيقة أن محور الرسم البياني يتم تقليله إلى العدد الإجمالي للحالات وكل الوقت المخصص. هذا ، من ناحية ، يسمح لنا بمقارنة المصطلحات المختلفة وسلاسل الطول المختلفة ، ومن ناحية أخرى ، حصلنا مرة أخرى على شيء مشابه لمنحنى Lorentz: نوع من الانعكاس الرسمي للظلم.

الوتيرة الملحوظة ، للأسف ، غير متساوية للغاية: في النصف الأول من الفصل ، بالكاد $$$10 \٪$ العمل ، وسيتعين عمل نصف جيد من الأشياء ، تحت تصرفي $$$10 \٪$ الوقت ، ولكن الميزة الرئيسية: الوتيرة ، أو بالأحرى منحدرها ، يتزايد بسرعة عند اقتراب الموعد النهائي! حصلنا على نموذج لغضب العام الجديد أو الذعر عشية التقرير السنوي ، ووجدنا أيضًا قانون اللغط ، مألوفًا لأي شخص كان عليه تنظيم حفل موسيقي أو أمسية زي أو حدث آخر:

بغض النظر عن الوقت المخصص للتحضير للحدث ، ستبقى معظم الأمور في الليلة الماضية!

يتم وصف الأمثلة الحية الممتازة لمثل هذه العمليات ، على سبيل المثال ، في قصص Karel apek "كيفية صنع صحيفة" و "كيف يتم عرض مسرحية" . هل سبب هذه لعنة فقط في الفوضى واللامبالاة؟ هذه ، بالطبع ، هي الأسباب الرئيسية ، لكننا لسنا مذنبين بها لدرجة أنه سيكون من المستحيل محاولة تبرير أنفسنا بأي قانون رياضيات. بالطبع ، تبدو استراتيجية الغطس سخيفة ، لكن الزيادة المتسارعة في الوتيرة ليست مزحة! هل هناك طريقة للتعامل معها؟

يمكن حساب سرعة العمل المتوقعة بدقة. الصيغة ليست أنيقة للغاية ، ولكن من الجدير بالذكر أنها تشمل عدد الأيام $$$n$ ولا يشمل عدد الحالات المجدولة:

$$

$$T_n (x) = - \ frac {\ log_2 \ left [1-x \ left (1-2 ^ {- H_n-1} \ right) \ right]} {H_n + 1}.$$

اللوغاريتم هو وظيفة بطيئة ، ما لم يتم الضغط عليه على الحائط. في الأيام الأخيرة قبل الموعد النهائي ، كانت الوتيرة تنمو بشكل كارثي ، بنفس معدل سقوط اللوغاريتم في الهاوية عند الاقتراب من الصفر. ومع ذلك ، فإنه لا يزال يعتمد على عدد الأيام المخصصة. يمكنك إلقاء نظرة على السرعة المتوقعة للأسبوع والشهر والسنة:


المعدل الأكثر اكتمالاً في فترة زمنية محدودة. ومن المثير للاهتمام أن الحد الزمني الضيق له تأثير مفيد. الاسم محتجز أسبوعًا واحدًا فقط ، وعلى الأرجح سنبدأ في القيام بالعمل بشكل متساوٍ (بحلول نصف الموعد النهائي سيكون ثلث العمل جاهزًا) ، وإذا كان هناك عام كامل قادم ، فيمكنك الاسترخاء ، جيدًا ، ثم الندم عليه.

بالنسبة للفنان المثالي المثالي الذي يؤدي المهمة بالتساوي تمامًا ، يجب أن تميل سرعة التنفيذ نحو الخط القطري (الخط المتقطع الأزرق في الشكل). هذا مشابه لمنحنى المساواة في مخطط لورنتز ، مما يدل على العدالة. تمامًا كما حسبنا معامل جيني لمخطط لورينتز ، يمكننا ، بناءً على المساحة الواقعة بين منحنى وتيرة العمل والمنحنى المثالي ، حساب معامل متوسط ​​، مما سيوضح مدى بعدنا عن المثالية. يعتمد على طول المصطلح المخصص ويزداد ببطء مع النمو $$$n$ . في الأمثلة التي قدمناها للأسبوع والشهر والسنة ، فإن معامل المتوسط ​​هو ، على التوالي $$ ، $$ و $$ .

كيف تتعامل مع الموجة المتزايدة من المخاوف وضغوط الوقت؟ يمكنك ، على سبيل المثال ، تجميع نفسك. قد يسعى الشخص المصاب بمتلازمة الطالب الممتازة إلى القيام بالشيء التالي في أقرب وقت ممكن ، بالطبع ، بالطبع. سيكون النموذج المعقول هو اختيار اللحظة للمهمة التالية ، بعد توزيع أسي بكثافة تتناسب عكسياً مع الوقت المتبقي. هذا لن يستبعد بعض عدم اليقين المتأصل في حياتنا ، لكنه سيعبر عن النوايا الحسنة للقيام بكل الأشياء في أقرب وقت ممكن. نحن نسمي هذه الاستراتيجية استراتيجية النوايا الحسنة . فيما يلي التوزيعات الاحتمالية لإكمال المهام في الوقت المحدد للمُلتزم بهذه الاستراتيجية ، الذين سيقومون في نصف الحالات بالشيء التالي في الربع الأول من الوقت المتبقي:


التوزيع الاحتمالي ليس في الوقت المحدد لاستراتيجية حسنة النية.

أفضل بكثير! في غضون أسبوع ، من المحتمل أن يكون لديك الوقت للقيام بخمسة أشياء وترك نفسك يومين راحة. ولكن مع ذلك ، لفترات كبيرة ، فإن الزيادة في الفرص ليست ثورية. تكمن المشكلة في حقيقة أن العدد المتوقع للحالات المكتملة بنجاح لا يزال متناسبًا مع لوغاريتم الوقت المخصص ، وينمو اللوغاريتم ببطء شديد! لذلك ، عند التخطيط كثيرًا ، عليك أن تضع في اعتبارك أن كثافة العملية ستزيد حتمًا ، وعلى الأرجح ، لن يكون هناك وقت كافٍ تحسبًا للموعد النهائي. على أي حال ، من الضروري أن نتذكر أن الحياة قصيرة ومن أجل الحصول على الوقت لتحقيق الخطة ، عليك أن تتصرف الآن!

دعونا نعجب بوتيرة الطالب الممتاز حسن النية.


السرعة المتوقعة لعمل شخص منهجي يحاول الانتقال إلى المرحلة التالية من العمل في أقرب وقت ممكن. توضح الرسوم البيانية نتائج متوسط ​​عشرات الآلاف من التجارب العددية التي تمثل مهمة مع عدد ثابت من المراحل. يشير الخط الأحمر إلى حد السرعة لعدد كبير من المهام.

تمكن أخصائينا الأنيق من توزيع العمل بشكل متساوٍ ، وعمل المزيد ، لكنه لا يزال ينتظر ضغط الوقت. سيقوم مثل هذا الشخص بسلاسل قصيرة مع ملء كبير للخطة ، وستكون سلسلة من سبع حالات مثالية تقريبًا. ومع ذلك ، كلما زاد عدد الحالات ، تميل السرعة المتوقعة بسرعة إلى الوتيرة النظرية التي تم الحصول عليها باستخدام استراتيجية المعتوه! لقد زاد الأداء العام ، لكن موقف السيارات قبل الموعد النهائي لم يختف. لذلك من الممكن الانتهاء منه وتحمله!

ومع ذلك ، هناك طريقة أخرى معروفة على نطاق واسع لضبط تنفيذ العمل بشكل جوهري: بدلاً من موعد نهائي واحد ، تحتاج إلى القيام بالكثير منها. دعونا نقسم الموعد النهائي إلى جزأين متساويين ونلتزم بهذا الموعد النهائي الجديد ، مع اعتباره ، على سبيل المثال ، تقريرًا مؤقتًا. بالنسبة لكل من هذه الأجزاء ، يمكننا بناء منحنى للوتيرة المتوقعة للعمل ، كما هو موضح في الشكل.

يسمح لك تقسيم الوقت الذي يستغرقه إكمال العمل في عدة فترات إعداد تقارير مؤقتة بالقيام بالعمل بشكل متساوٍ ، ولكنه يضيف ضغطًا مع اقتراب كل تقرير جديد.

على الرغم من المتاعب مع تقرير مؤقت ، فقد حققنا هدفنا: انخفضت المنطقة تحت منحنى معدل التنفيذ الكلي وانخفضت نسبة المتوسط ​​من $$ من قبل $$ . بالإضافة إلى ذلك ، فإن تقليل المصطلح (جنبًا إلى جنب مع انخفاض عدد الحالات ، بالطبع) يجعل الوتيرة المتوقعة للعمل أقرب إلى المثالية ، لذلك انخفضت نسبة المتوسط ​​إلى النصف. ستؤدي إضافة تقريرين آخرين ، على سبيل المثال ، تقارير ربع سنوية ، إلى تقليلها إلى $$ ولكن من خلال القيام بذلك ، سنقود فنانينا إلى أربع فترات مرهقة في وقت واحد وسيظلون يعانون بصوت عالٍ ، ويشكون من المصير والرؤساء! حسنًا ، يمكننا أن نظهر لموظفينا حساباتنا ونثبت أنه من خلال تقديم تقارير ربع سنوية ، قاموا بتخفيض معدل متوسط ​​حياتهم خمس مرات ، إذا كان هذا بالطبع عزاء لهم.

علاوة على ذلك ، نظرًا لأن عدد المواعيد النهائية المتوسطة يميل إلى عدد الأيام المسموح بها للعمل ، فإن سرعة العمل ستقترب من سرعة مثالية ، ولكنها مملة للغاية.

جيد هنا! أيضا ، الطابعة معطلة!

أضف بضع كلمات حول استراتيجية الدمية وتوزيع ستيرلنغ. يظهر التوزيع الذي حصلنا عليه احتمال الحصول على عدد معين من الأحداث في فترة زمنية معينة. عد الأحداث في تيار Poisson الحقيقي مع كثافة $$$\ lambda$ نأتي إلى توزيع Poisson الشهير:

$$

$$P (k) = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda ^ k} {k!} ،$$

يصف الثقة لتحصل عليها بالضبط $$$k$ الأحداث في فترة زمنية واحدة. يحتوي التعبير عن أرقام Stirling على توسع مقارب ، وهو كبير $$$n$ يقلل من توزيع أطوال السلاسل مع تحديد موعد نهائي لتوزيع Poisson المحول بكثافة $$$\ lambda = H_n-1$ . وهكذا ، من وجهة نظر الإحصائيات ، يمكن اعتبار عملية الموعد النهائي العشوائية إما كعملية بواسون على شبكة زمنية مكثفة ، أو كعملية بواسون غير متجانسة ، تتزايد شدتها بشكل رتيب وسريع. وعلى الرغم من أن عمليتنا ليست بالمعنى الدقيق للكلمة ، فهي ليست بواسون ، لأن الأحداث فيها ليست مستقلة ، إلا أن الخصائص الإحصائية التي نحتاجها متشابهة. ويشار إلى تشابهها أيضًا بقرب متوسط ​​القيمة والتباين في توزيع ستيرلنغ ، وهو ما يميز توزيع بواسون.

يتيح لنا هذا الاستنتاج طرح سؤال: ماذا لو أضفنا إلى عملية تنفيذ سلسلة الشؤون التي قمنا ببناء أي مشاكل نادرة مستقلة عنا: العاصفة الثلجية أو ازدحام المرور الرهيب أو سيلان الأنف أو انهيار الطابعة أو عطلة وطنية؟

بالنسبة لعملية بواسون ، يتم تحديد عملية تدمير عشوائي ، والتي تتكون في حقيقة أنه مع بعض الاحتمال ، سنبدأ في إزالة الأحداث من الدفق. ترقق فرصة مع احتمال $$$(1-p)$ يترك عملية بواسون ، لكن شدتها تنخفض ، مضروبة في $$$p$ . الأحداث المقابلة لمصادفة المتاعب وأي مرحلة من مراحل العمل نفسها تشكل عملية بواسون ، بكثافة أقل بشكل ملحوظ ، ولكن في حالتنا ، تنمو بشكل رتيب وسريع. بسرعة كبيرة ، بغض النظر عن مدى احتمالية حدوث مشكلة ، لعدد كبير من الحالات (أو الوقت المخصص للعمل) ، أقرب إلى الموعد النهائي ، ستزداد إلى حالة يمكن ملاحظتها تمامًا. وسوف تحصل الطابعة على حق عشية الدورة!

لا تفاجأ إذا كانت الحافلة تتعطل عندما تكون متأخرًا بالفعل. الحافلة لا تتمنى منك الأذى. ببساطة ، إذا كنت فتاة ، فإن تسلسل الأشياء: اختر فستانًا ، تناول الحلوى ، اغسل ، ارتدي الفستان المختار ، وضع الماكياج ، وضع سلسلة ، حول الأشياء من حقيبتك إلى حقيبة القابض ، نظف الأحذية والأشياء وكل شيء آخر يذهب إلى الموعد النهائي الأكثر أهمية وإثارة - موعد ! والوتيرة التي تطير بها نحو القدر مجنونة بالفعل لدرجة أن المعجزات غير المتوقعة تبدأ في الحدوث.

في النهاية ، ما هي معجزة ، إن لم يكن تحقيق لا يصدق!