ماذا يمكن أن تخبرنا الرياضيات عن إيجاد النظام في فوضى الحياة
هل كان اللقاء مع أعز شخص لديك عرضيًا ، أو كان هناك سبب خفي لهذا؟ وماذا عن حلم أمس الغريب - هل كان مجرد رمي عشوائي لمشابك الدماغ ، أم أنه كشف عن شيء عميق حول اللاوعي الخاص بك؟ ربما كان الحلم يحاول أن يخبرك بشيء عن مستقبلك. ربما لا. هل حقيقة أن قريبك المريض مريض بنوع خطير من السرطان له معنى عميق ، أم أنه مجرد عواقب طفرات DNA العشوائية؟
في حياتنا ، غالبًا ما نفكر في أنماط الأحداث التي تحدث حولنا. نتساءل عما إذا كانت حياتنا عشوائية ، أو لديهم نوع من المعنى ، صحيح وعميق بشكل فريد. بصفتي عالم رياضيات ، غالبًا ما أتحول إلى أرقام ونظريات لأفكار حول مثل هذه القضايا. وحدثت أني تعلمت شيئًا عن البحث عن المعنى في قوانين الحياة بفضل إحدى النظريات الأكثر عمقًا للمنطق الرياضي. توضح هذه النظرية ، ببساطة ، أنه من حيث المبدأ من المستحيل معرفة ما إذا كان تفسير القانون هو الأعمق أو الأكثر إثارة للاهتمام من بين جميع التفسيرات. تمامًا كما هو الحال في الحياة ، فإن البحث عن المعنى في الرياضيات غير محدود.
مقدمة صغيرة. خذ بعين الاعتبار الأسطر الثلاثة التالية من الأحرف.
1.100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100
2.2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97
3.38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418.
كيف يمكننا وصفها؟ على سبيل المثال ، يمكننا القيام بذلك بسهولة عن طريق تدوينها - كما فعلنا للتو. ومع ذلك ، من الواضح على الفور أنه يمكن وصف أول سطرين باختصار. الأول هو مجرد سلسلة من تكرار "100s". والثاني هو قائمة الأعداد الأولية القليلة. ماذا عن الثالثة؟ يمكن وصفه ببساطة عن طريق عرض الخط بأكمله. ولكن هل هناك وصف أفضل وأقصر لها؟
في أوائل الستينيات ، قام المراهق الأمريكي
جريجوري هايتين ، عالم الرياضيات الروسي [والسوفييتي] الشهير
أندريه نيكولايفيتش كولموغوروف ، ورائد علوم الكمبيوتر
راي سولومونوف بصياغة طريقة لقياس مدى تعقيد تسلسل الشخصيات. بدأت أفكارهم تسمى
نظرية كولموجوروف حول التعقيد أو
نظرية المعلومات الخوارزمية . يفترضون أن تعقيد السلسلة يتم تحديده من خلال طول أقصر برنامج كمبيوتر يمكنه إنتاجه. أي ، خذ خطًا وابحث عن أقصر برنامج كمبيوتر ينتجه. البرنامج هو نوع واحد من وصف السطر. إذا اتضح أن أقصر هذه البرامج قصيرة جدًا ، فهناك نمط بسيط في الخط ، وهو ليس معقدًا للغاية. نقول أنه في مثل هذا الخط هناك القليل من المحتوى الخوارزمي. على العكس ، إذا كان البرنامج الطويل مطلوبًا لإنتاج سلسلة ، فإن السلسلة معقدة ، ويكون محتواها الخوارزمي أكبر. لأي خط ، يجب أن تبحث عن أقصر برنامج ينتج مثل هذا الخط. ويطلق على طول هذا البرنامج تعقيد سلسلة Kolmogorov.
دعونا نعود إلى الأسطر الثلاثة الأولى. يمكن وصف السطرين الأولين باستخدام برامج كمبيوتر قصيرة نسبيًا:
1. اطبع "100" 30 مرة.
2. اطبع أول 25 برايم.
تعقيد Kolmogorov للخط الأول أقل من تعقيد Kolmogorov للخط الثاني ، حيث أن البرنامج الأول أقصر من الثاني. ماذا عن الثالثة؟ لا يحتوي هذا الخط على أنماط واضحة. ومع ذلك ، يمكنك كتابة برنامج غبي يعرض هذا التسلسل:
3. الإخراج "38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418"
يتواءم مثل هذا البرنامج مع المهمة ، ولكن بشكل غير مرض. ربما يكون هناك برنامج أقصر يوضح وجود أنماط في هذا الخط. عندما يكون أقصر برنامج ينتج سلسلة هو برنامج "طباعة سلسلة" ، نقول أن هذه السلسلة معقدة للغاية ولا تحتوي على أي أنماط معروفة. سلسلة بدون أنماط تسمى عشوائية. ولكن على الرغم من أننا لم نر الأنماط ، إلا أنها يمكن أن توجد. في الرياضيات ، كما في الحياة ، نواجه العديد من الأنماط التي تبدو عشوائية.
يمكننا محاولة استخدام الإمكانات المذهلة لأجهزة الكمبيوتر الحديثة للعثور على النمط وأقصر برنامج. ألن يكون رائعًا إذا كان هناك جهاز كمبيوتر قادر على حساب تعقيد Kolmogorov لأي سلسلة؟ سيقبل مثل هذا الكمبيوتر بسلسلة كمدخلات ، ويخرج طول أقصر برنامج قادر على إخراج هذه السلسلة. بالطبع ، مع كل هذه الأشياء الجديدة مثل الذكاء الاصطناعي ، والتعلم العميق ، والبيانات الضخمة ، والحوسبة الكمومية ، وما إلى ذلك ، يجب أن يكون من السهل إنشاء مثل هذا الكمبيوتر.
للأسف ، من المستحيل إنشاء مثل هذا الكمبيوتر! على الرغم من أن أجهزة الكمبيوتر الحديثة قوية جدًا ، إلا أن هذه المهمة مستحيلة. هذا هو محتوى واحدة من أعمق النظريات في المنطق الرياضي. في الواقع ، تقول النظرية أنه لا يمكن حساب تعقيد Kolmogorov لسلسلة. لا يوجد جهاز ميكانيكي يحدد حجم أصغر برنامج ينتج سلسلة معينة. ليس المقصود أن مستوى تكنولوجيا الكمبيوتر الحالي لدينا لا يصل إلى مستوى المهمة ، أو أننا لسنا أذكياء بما يكفي لكتابة مثل هذه الخوارزمية. وقد ثبت أن فكرة الوصف والحساب نفسها توضح أن الكمبيوتر ، من حيث المبدأ ، غير قادر على أداء مثل هذه المهمة لأي سطر. وإذا كان الكمبيوتر قادرًا على البحث عن أنماط معينة في السلسلة ، فلن يتمكن من العثور على أفضل نمط. قد نجد برنامجًا قصيرًا يعرض تسلسلًا معينًا ، ولكن قد يكون هناك دائمًا برنامج أقصر. لن نعرف عنه أبداً.
إن إثبات عدم قابلية تعقيد Kolmogorov للتسلسل هو أمر رسمي تمامًا. لكن هذا دليل على التناقض ، ويمكننا أن نتخيل تقريبًا كيف يعمل من خلال النظر في بعض المفارقات الصغيرة والحلو.
ترتبط مفارقة الأرقام المثيرة للاهتمام ببيان أن جميع الأرقام الطبيعية مثيرة للاهتمام. 1 هو الرقم الأول وهو مثير للاهتمام. 2 هو الرقم الزوجي الأول. 3 هو أول رئيس فردي. 4 رقم مثير للاهتمام لأن 4 = 2 × 2 و 4 = 2 + 2. بهذه الطريقة ، يمكنك المتابعة أكثر ، والعثور على خصائص مثيرة للاهتمام للعديد من الأرقام. في مرحلة ما ، يمكننا مقابلة رقم بدون خصائص مثيرة للاهتمام. ويمكننا أن نسمي هذا الرقم أول رقم غير مثير للاهتمام - ولكن هذا في حد ذاته هو بالفعل خاصية مثيرة للاهتمام. ونتيجة لذلك ، فإن الأرقام غير المثيرة للاهتمام مثيرة للاهتمام أيضًا!
تتشابه الأفكار الواردة في دليل Kolmogorov مع أفكار
تناقض بيري فيما يتعلق بوصف الأعداد الكبيرة. لاحظ أنه كلما زاد عدد الكلمات التي نستخدمها ، زاد العدد الذي يمكننا وصفه. على سبيل المثال ، في ثلاث كلمات يمكنك وصف "تريليون تريليون" ، وخمسة - "تريليون تريليون تريليون تريليون تريليون" ، وهو رقم أكبر بكثير. الآن فكر في الرقم الموضح بالعبارة التالية:
أصغر عدد لا يمكن وصفه بأقل من 15 كلمة]
يستغرق الأمر 15 أو 16 أو حتى المزيد من الكلمات لوصف الرقم. لا يمكن وصفه في 12 أو 13 أو 14 كلمة. ومع ذلك ، هذه هي المشكلة: العبارة أعلاه تصف هذا الرقم مع 10 كلمات [
12 كلمة / تقريبًا. perev. ]. وصفنا للرقم يتعارض مع وصف الرقم - هنا المفارقة.
في مفارقة الأرقام المثيرة للاهتمام وفي مفارقة بيري ، نصل إلى تناقضات ، مما يشير إلى وجود طريقة دقيقة لوصف شيء ما. وبالمثل ، فإن دليل عدم قابلية تعقيد كولموغوروف للحسابات ينبع من حقيقة أنه إذا كانت قابلة للحساب ، فإننا سوف نصل إلى تناقض.
حقيقة أن تعقيد كولموجوروف غير قابل للحساب هو نتيجة الرياضيات البحتة ، ويجب ألا نخلط بين هذا العالم المثالي وواقع أكثر تعقيدًا واضطرابًا. ومع ذلك ، هناك بعض النقاط العامة المتعلقة بتعقيد كولموجوروف التي يمكننا تقديمها إلى العالم الحقيقي.
في كثير من الأحيان صادفنا ما بدا فوضويًا تمامًا بالنسبة لنا. العشوائية تجعلنا متوترين ، ونحن نبحث عن أنماط تقضي على الفوضى جزئيًا. إذا وجدنا نمطًا ، فلا يزال من غير الواضح ما إذا كان هو النمط الأفضل الذي يفسر ملاحظاتنا. قد نتساءل عما إذا كان هناك نمط أعمق يعطي تفسيرًا أفضل. تعلمنا نظرية تعقيد كولموجوروف أنه على المستوى الأساسي لا توجد طريقة مضمونة لتحديد أفضل نمط. لن نعرف أبدًا ما إذا كان النمط الذي وجدناه هو الأفضل.
ولكن هذا هو بالضبط ما يجعل البحث مثيرًا للاهتمام بشكل لا نهائي. بحكم التعريف ، هناك شيء مثير للاهتمام إذا كان يتطلب تفكيرًا إضافيًا. حقيقة واضحة ومفهومة بالكامل لا تتطلب المزيد من التفكير. حقيقة أن ستة سوف تكون سبعة وأربعين هي مفهومة تماما وغير مثيرة للاهتمام. فقط عندما نكون غير متأكدين من الأفكار ، نحتاج إلى تأكيدها والتفكير فيها. البحث عن الأنماط المحسنة سيكون دائمًا مثيرًا للاهتمام.
يضيف العالم الحقيقي التعقيد. إذا لم تكن هناك أخطاء في عالم السلاسل وبرامج الكمبيوتر ، فيمكنك ارتكاب خطأ في العالم الحقيقي. يمكننا بسهولة معرفة ما إذا كان برنامج معين يعرض سلسلة أم لا. وعلى الرغم من أننا ربما لن نتمكن من تحديد البرنامج الأمثل لإخراج خط معين ، يمكننا تحديد ما إذا كان يعرض الخط المطلوب. والعالم الحقيقي ، على النقيض من ذلك ، أكثر تعقيدًا. قد يبدو لنا أننا نرى تسلسلًا عندما لا يكون موجودًا في الواقع.
يبدأ فهمنا لمسعانا عن المعنى في التبلور. نحن نحتقر الصدفة ونعشق الأنماط. نحن مبرمجون بيولوجياً لإيجاد أنماط تشرح ما نراه. ولكن لا يمكننا التأكد من أن النمط الذي وجدناه سيكون صحيحًا. حتى إذا تمكنا بطريقة أو بأخرى من ضمان عدم وجود خطأ وتحقيق الكمال المماثل للكمبيوتر ، في مكان ما لا يزال هناك دائمًا حقيقة أعمق. يغذي هذا التوتر حبنا للأدب والمسرح والسينما. عندما نقرأ رواية أو نشاهد مسرحية ، يقدم لنا المؤلف أو المخرج سلسلة من الأحداث بموضوع أو نمط أو أخلاق مشتركين. يقدم لنا الأدب والمسرحيات والسينما طريقة رائعة للهروب من الفوضى التي عادة ما تكون غير مفهومة وغير منطقية التي نواجهها في العالم من حولنا. الأدب الجيد جدا يذهب أبعد من ذلك ويترك لنا العديد من التفسيرات. نحن نواجه عدم قابلية تعقيد كولموغوروف.
يحدد هذا التوتر أيضًا كيف نعيش حياتنا. من خلال السفر عبر أحداث عشوائية مفترضة ، نبحث عن الأنماط والبنية. الحياة مليئة بالصعود والهبوط. هناك فرحة الوقوع في الحب ، والاستمتاع مع الأطفال ، والشعور بالإنجازات العظيمة في نهاية العمل الصعب. هناك ألم العلاقة المقطوعة ، وعذاب الفشل بعد المحاولات النشطة لإكمال المهمة ، ومأساة وفاة شخص عزيز. نحن نحاول أن ننظر في كل هذا من أجل المعنى. نحن نحتقر الشعور بالفرصة الكاملة وفكرة أننا ببساطة نتبع قوانين الفيزياء غير المعقدة وغير المعقدة. نريد أن نعرف ما إذا كان هناك أي معنى أو غرض أو أهمية في العالم المحيط. نحن بحاجة إلى قصة سحرية للحياة ، ونروي لأنفسنا قصصًا.
في بعض الأحيان تكون هذه القصص خاطئة ببساطة. أحيانا نخدع أنفسنا والآخرين. وأحيانًا نحدد الأنماط بشكل صحيح. ولكن حتى عندما تكون القصة صحيحة ، فلن تكون بالضرورة الأفضل. لن نكون على يقين من أنه في الأعماق لا تكمن قصة أساسية وأدق. الشيخوخة والوقوع في الكرب ، نكتسب بعض الأفكار حول الكون ، والتي لم نتمكن من الوصول إليها من قبل. نجد أنماط محسنة. ربما بدأنا نرى الأمور أكثر وضوحا. أم لا. لن نعرف أبداً. لكننا نعلم أن البحث مضمون حتى لا ينتهي.
Nozon Janowski - دكتوراه علوم في الرياضيات ، يعمل في المركز التعليمي بجامعة مدينة نيويورك ، أستاذ علوم الكمبيوتر في كلية بروكلين في نفس الجامعة.