ما هي اهمية 196 884 = 196883 + 1؟ كيف نفسر ذلك على الأصابع؟

استجابة Quora لمايكل جريفين ، الرياضيات بعد الدكتوراه

قدمت Senia Scheidwasser إجابة جيدة وبسيطة للغاية على هذا السؤال ، أوصي بقراءة هذه النسخة القصيرة. ولكن هناك قصة مدهشة أكثر بكثير من فرضية مونشاوس مونشاين الممزوجة بمعادلة ماكاي: من ويسكي جاك دانيال إلى الثقوب السوداء والجاذبية الكمية.

في هذه القصة ، غالبًا ما يتم ذكر التماثلات و "المجموعات" الرياضية ، لذلك دعونا نبدأ بما تعنيه مجموعة في الرياضيات. يمكن تمثيل المجموعة كوسيلة لإعادة ترتيب مجموعة من الكائنات مع الحفاظ على بنية معينة. يجب أن تتبع العمليات في المجموعة قواعد معينة ، على سبيل المثال ، يجب أن تكون هناك دائمًا إمكانية لإلغاء العملية ، وإذا قمت بإجراء عملية ثم أخرى ، فستحصل على العملية الثالثة في المجموعة .


أربعة خيارات للتناوب وأربعة محاور للتماثل للمربع. مصدر الصورة

إذا كنت ترغب في تمثيل الأشكال ، فإن المثال البسيط للمجموعة هو تناظر المربع. يمكن تدويره بثلاث طرق: 90 درجة إلى اليمين (باتجاه عقارب الساعة) ، 180 درجة و 90 درجة إلى اليسار (عكس اتجاه عقارب الساعة) ؛ هناك أربعة تماثلات: عمودي ، أفقي ، ومحوران قطريان) ؛ وهناك تناظر واحد في الهوية عندما لا يتغير شيء. إذا قمت بتدوير المربع 90 درجة إلى اليمين ، ثم اقلبه على طول المحور الرأسي ، فستحصل على تناظر مختلف. على وجه الخصوص ، ستكون النتيجة هي نفسها كما لو انعكست على الفور على المحور القطري من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين. هذا هو نوع من جدول الضرب لعناصر المجموعة. في الواقع ، يمكننا كتابة جدول الضرب لفهم بنية المجموعة بشكل أفضل. لقد فعلتها هنا. الرمز "i" في الجدول هو تناظر الهوية عندما لا يتغير شيء. "R" و "L" - دوران بمقدار 90 درجة إلى اليمين واليسار ، على التوالي. "F" هو دوران 180 درجة ، ولكل خط انعكاس على طول المحور في اتجاه هذا الخط.



يمكن تقسيم بعض المجموعات إلى أجزاء أصغر. على سبيل المثال ، إذا كان لديك مربعان ، فقد يكون هناك نسختان من نفس عمليات التماثل ، يعمل كل منهما على مربع واحد بشكل مستقل عن الآخر. لا يمكن تقسيم المجموعات البسيطة إلى مجموعات مستقلة أصغر ، لذا فهي نوع من الذروة في نظرية المجموعة. لكن تصنيف المجموعات الأولية المحدودة أصعب قليلاً من تصنيف الأعداد الأولية. خلال النصف الثاني من القرن الماضي ، تم إحراز تقدم كبير في محاولات تصنيف جميع المجموعات البسيطة المحدودة بالكامل. تتناسب معظم المجموعات البسيطة مع العائلات المنظمة بدقة. على سبيل المثال ، تحتوي عائلة واحدة على جميع التماثلات في N-gons العادية (مثل مثلث متساوي الأضلاع ، مربع ، خماسي منتظم ، إلخ). ولكن لا تتناسب جميع المجموعات مع نوع ما من الأسرة العادية. هناك بالضبط 26 مجموعة "متفرقة" من الأيتام. عادة ما يكون تحديدها أصعب قليلاً ، ولكن يمكن بناء العديد منها من التماثلات الشبكية في عدة أبعاد. الوحش هو أكبر المجموعات المتفرقة البسيطة.

في عام 1973 ، وجد فيشر وجريس لأول مرة (بشكل مستقل) دليلاً على أن مجموعة بسيطة كبيرة جدًا يمكن أن توجد إذا استوفت خصائص معينة. ولكن بعد عقد واحد فقط ، كان من الممكن إثبات أن هذه الخصائص مستقرة ، وأن المجموعة موجودة بالفعل. أطلق جريس على هذه المجموعة الافتراضية المراوغة اسم العملاق الودود (الأحرف الودية العملاقة ، الأحرف الأولى من F. G.Fischer-Griss). لكن كونواي ، عالم الرياضيات الأكثر شهرة ، أطلق عليها اسم الوحش - وتم إصلاح هذا الاسم. بالمناسبة ، يلعب Conway هذا دورًا مهمًا في تاريخنا ، ولكن على الأرجح سمعت عنه من قبل. هذا هو كونواي نفسه الذي اخترع لعبة "الحياة" وأثبت نظرية الإرادة الحرة. إذا كنت لا تتذكر ، فاقرأه!

في عام 1975 ، التقى اثنان من علماء الرياضيات ، Augg و Tits ، في مؤتمر في باريس. يحسب تيتس أنه إذا كان الوحش موجودًا ، فسيكون حجمه كما يلي:

2 ^ 46 · 3 ^ 20 · 5 ^ 9 · 7 ^ 6 · 11 ^ 2 · 13 ^ 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
× 8 × 10 ^ 53

هذا رقم كبير جدا. كبير جدا جدا جدا. هذا هو العدد التقريبي للذرات في زحل والمشتري مجتمعين. لكن اهتمام أوج لم ينجذب إلى الحجم ، ولكن من خلال العوامل البسيطة.

كان أوغ في ذلك الوقت يدرس قطعًا تسمى المنحنيات المعيارية. إذا كان N عددًا صحيحًا موجبًا ، فهناك سطح ، فلنطلق عليه X (N) ، والذي يلتقط بعض المعلومات الحسابية المهمة حول الرقم N (إذا كنت تتذكر أرقامًا معقدة من المدرسة ، فيمكن الحصول على مثل هذا السطح عن طريق "تدوير" أو "طي" المجمع طائرة باستخدام سلسلة من التماثلات ، اعتمادًا على العدد N). سأل أوج سؤالًا مثل هذا: إذا كان N رأسًا ، ففي هذه الحالة سيبدو هذا السطح (أو المنحنى المعياري) مثل كرة ، وليس دونات بمقبض واحد أو أكثر (أي "ثقوب" في الكعكة)؟ وجد أنه فقط إذا كان N ينتمي إلى المجموعة

{2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 41 ، 47 ، 59 ، 71}

هذه هي نفس الأعداد الأولية التي تستخدم في حساب الثدي لحجم الوحش! ولكن لا يوجد أي ارتباط واضح بين هذين الحسابين. لقد غرق أوغ بهذه الصدفة الواضحة لدرجة أنه قدم لجاك دانيال زجاجة ويسكي لأي شخص يمكنه تفسيرها.

لأسباب واضحة ، فإن تجميع جدول الضرب لن يساعد في دراسة الوحش. إذا كتبنا جدول الضرب بواسطة ذرات الهيدروجين ، فلن يتناسب مع مجرتنا. بدلاً من ذلك ، تمكن علماء الرياضيات من تجميع جدول أحرف Monster . نعم ، يبدو أنه دليل لعبة Dungeons & Dragons ، وربما هذه ليست طريقة سيئة لتقديم طاولة. هذا نوع من Necronomicon للوحش. جدول رقم 194 × 194 يعطي علماء الرياضيات بعض التبصر في الوحش الضخم الفلكي. يسرد العمود الأول "أحجام التمثيلات غير القابلة للاختزال" للوحش. هذه كلمات غريبة ، لكن جوهر قصتنا هو أن المعنيين الأولين في العمود الأول هما الرقمان 1 و 196،883 . هذا هو المكان الذي تظهر فيه معادلة ماكاي.

وأشار ماكاي بشكل مشهور إلى كونواي ذلك

196884 = 1 + 196883

وجد كونواي فرضية مكاي سخيفة لدرجة أنه أطلق عليها الخيال أو الهراء (قمر). في هذه المعادلة ، 196884 هو المعامل الأول لوظيفة مهمة تسمى دالة J ، التي درسها علماء الرياضيات لفترة طويلة جدًا. هنا نبدأ مرة أخرى في العودة إلى Augg وسؤاله على زجاجة "Jack Daniels".

الوظيفة J هي دالة معيارية ، أي أنها تأخذ نقطة مع منحنى معياري ، مثل تلك التي درسها Ogg - وتعطي رقمًا (مرة أخرى ، إذا كنت على دراية بالأرقام المركبة ، يمكنك تمثيل الدالة المعيارية كدالة على الأرقام المعقدة العادية ، ولكن مع كمية فاحشة من التناظر). من الصعب شرح ما هي الوظيفة المعيارية بشكل أكثر وضوحًا ، ولكن لا تفكر في ذلك.


مصدر الصورة

بالإضافة إلى ذلك ، فإن الوظيفة J هي الوظيفة النموذجية الأساسية لأبسط منحنى معياري X (1). هذه هي الوظيفة "الأساسية" بمعنى أن أي وظيفة معيارية أخرى لـ X (1) يمكن كتابتها على أنها كثيرات الحدود أو نسبة كثيرات الحدود في دالة J. بعض المنحنيات المعيارية الأخرى ، مثل X (2) ، لها وظيفة معيارية أساسية مختلفة. دعونا نسميها J_2. في الواقع ، X (N) لها وظيفة معيارية أساسية J_N من هذا النوع على وجه التحديد عندما يكون النموذج X (N) عبارة عن كرة (بدون "مقابض" أو "ثقوب") ، تمامًا مثل وظيفة Ogg.

أدرك عالم رياضيات آخر طومسون أنه يمكن تطوير ملاحظة ماكاي. وأشار إلى أنه يمكن أيضًا كتابة المعامِلات القليلة التالية للدالة J الأصلية على أنها مجموع القيم من العمود الأول من جدول أحرف Monster. علاوة على ذلك ، يمكنك كتابة عدة معاملات لوظائف J_N الأخرى كمجموع قيم أخرى من الجدول. في ذلك الوقت ، كان طومسون لا يزال يعمل مع جدول أحرف غير مكتمل. لم يكن حتى عام 1979 أن أكمل فيشر ، ليفينغستون ، وتورن حساب جدول الرموز ، وفي وقت لاحق من ذلك العام ، حول كونواي ونورتون ملاحظات طومسون إلى فرضية دقيقة. جادلوا بأن هناك طريقة لكتابة أي معامل للدالة J كمجموع لأبعاد تمثيلات مونستر غير القابلة للاختزال (أي السجلات من العمود الأول من جدول رموز مونستر). علاوة على ذلك ، يمكن القيام بذلك بطريقة إذا قمنا بتبديل الإدخالات من العمود الأول بإدخالات من عمود آخر من جدول الرموز ، نحصل على معاملات إحدى الوظائف الأخرى J_N! على سبيل المثال ، فيما يلي المعاملات الثلاثة الأولى للدالة J الأصلية (على الجانب الأيسر من المعادلات):

196884 = 1 + 196883 ،

21493760 = 1 + 196883 + 21296876 ، و

864299970 = 2 × 1 + 2 × 196883 + 21296876 + 842609326 ،

حيث 1 و 196883 و 21296876 و 842609326 هي القيم الأربعة الأولى في العمود الأول من جدول أحرف Monster. وفيما يلي المعاملات الثلاثة الأولى للدالة J_2 (مرة أخرى ، على الجانب الأيسر من المعادلات):

4372 = 1 + 4371

96256 = 1 + 4371 + 91884 و

1240002 = 2 × 1 + 2 × 4371 + 91884 + 1139374 ،

حيث 1 ، 4371 ، 91884 و 1139374 هي القيم الأربعة الأولى في العمود الثاني من جدول أحرف Monster. وهكذا: يعطي كل عمود في جدول الرموز معاملات الدالة المعيارية الأساسية لبعض المنحنيات المعيارية. دعا كونواي ونورتون فرضيتهم هراء وحشي (مونسينوس مونشين).

قبل نحو عام ، أتيحت لي الفرصة للتحدث مع كونواي حول كيفية ظهور هذه الفرضية. قال إنه نظر إلى القيم الجديدة في جدول رموز مونستر ، الذي استغرق الكثير من الجهد في الحساب ، ثم نزل إلى مكتبة الرياضيات وفتح كتابًا كتب قبل عقود مع جداول معاملات الدوال المعيارية. ووصف هذا الشعور بالرعب العميق عندما نظرت إليه نفس الأرقام أو مجموعاتها الواضحة من صفحات كتاب قديم.

في عام 1982 ، أظهر جريس أخيراً كيفية بناء وحش. وللمرة الأولى ، تمكن علماء الرياضيات من التخلص من عبارة "إذا كان الوحش موجودًا". بعد عشر سنوات ، أثبت بورشيرز ، وهو طالب سابق في كونواي ، الفرضية باستخدام نظرية "الجبر لمشغل قمة الرأس" ، التي ابتكرها خصيصًا لهذا الغرض. تم إنشاء هذه النظرية على أساس النظرية الفيزيائية القديمة للستينات. حصل بورشردس على ميدالية الحقول عام 1998 من عدة نواحٍ للحصول على هذا الدليل. هذا هو نوع من جائزة نوبل في الرياضيات ، باستثناء أنه لسبب لا يمكن تفسيره ، يجب أن يكون عمرك أقل من 40 لتلقيها. كما سمعت ، أوج يرضي إجابة بورشردس على سؤاله ، لكن بورشيردس لا يشرب ، لذلك لا تزال زجاجة جاك دانييلز دون مطالبة. من ناحية أخرى ، على الرغم من أن كونواي مسرور للغاية بعمل بورشيرز ، إلا أنه لا يزال يرى فيها فقط شيكًا ، ولكن ليس تفسيرًا. نعم ، نحن نعلم الآن أن معاملات الدوال المعيارية هي مجموع قيم شخصيات Monster ، ولكن ، يعتقد كونواي أنه لا يزال لدينا صورة واضحة ، كيف يمكنك توقع ذلك؟

القصة لا تنتهي عند هذا الحد. في عام 2007 ، عمل ويتن على حل النزاعات في الجاذبية الكمية. ميكانيكا الكم والنسبية العامة ليست متوافقة للغاية. عمل ويتن على سؤال مبسط ، أسقط كل شيء باستثناء الجاذبية من نظرية النسبية. وجد سببًا للاعتقاد بأن صوت أمريكا الصوتي من الفرضية هو المفتاح لنظرية الجاذبية في هذا البناء المبسط. في هذه النظرية ، تتحول الدالة J إلى دالة تقسيم تحسب حالات الطاقة المختلفة. تظهر هنا العديد من رموز الوحوش التي تتوافق مع حالات الثقب الأسود. تساءل ويتن عما إذا كانت بعض حالات الثقب الأسود هذه أكثر شيوعًا من غيرها. بالعودة إلى Monster ، يتعلق الأمر في الأساس بالسؤال ، كم عدد الوحدات التي نتوقع رؤيتها عندما نقوم بتفكيك معامل معين للدالة J؟ أو كم مرة 196،883؟ هل الوحدات نادرة؟ أم أن هناك وحدات ذات معان قليلة مثيرة للاهتمام منتشرة هنا وهناك؟ أعتقد أن الكثير من الناس لديهم هذا السؤال عندما يواجهون فرضية الهراء الوحشي لأول مرة. إذا نزل كل شيء بشكل أساسي إلى الوحدات ، فإن هذا سيجعل النظرية أقل إثارة للاهتمام. ولكن لا تقلق بشأن ذلك. على الرغم من حقيقة أننا نرى وحدات من البداية ، إلا أنها تصبح نادرة جدًا عندما ننتقل إلى معاملات أكبر ، وتبدأ الرموز الأكبر في تولي المسؤولية. بعد معامل 200 ، تظهر الرموز بشكل رئيسي بما يتناسب مع حجم قياسها. تبلغ نسبة 1 إلى جميع الأحرف الأخرى حوالي 1 في 5.8 × 10 ^ 27. هذا هو تقريبًا نسبة كتلة مشبك الورق وكتلة الأرض. يحدث ثاني أكبر رمز 196883 مرة أكثر ، والثالث - 21296876 مرة أكثر ، إلخ. بالعودة إلى تكوين Witten ، يعني هذا أن حالات الطاقة الأكبر للثقب الأسود أكثر شيوعًا ، في حين أن حالة الفراغ التافهة ( 1 ) غير موجودة عمليًا.

هناك العديد من الدراسات حول هذا الموضوع. لاحظنا (علماء الرياضيات) (وأثبتنا في بعض الحالات) ظاهرة لمجموعات أخرى خارج الوحش. يواصل خبراء نظرية الأوتار النظر إلى عملنا ، على أمل تحويل هذه الاختلافات الجديدة إلى نظريات جاذبية جديدة.

لمزيد من القراء المهرة في مجال التكنولوجيا المهتمين بالتفاصيل ، أوصي بكتاب تيري غانون "Nonsense Beyond the Monster" أو هذا المقال العلمي (متاح للجمهور).