نظرية السعادة. الديناميكا الحرارية لعدم المساواة الطبقية

أستمر في إطلاع قراء حبر على فصول كتابه "نظرية السعادة" مع العنوان الفرعي "الأسس الرياضية لقوانين العقيدة". لم يتم نشر هذا الكتاب العلمي المشهور بعد ، حيث يتحدث بشكل غير رسمي للغاية عن كيف تسمح لك الرياضيات بالنظر إلى العالم وحياة الناس بدرجة جديدة من الوعي. إنه لمن يهتم بالعلوم ولأولئك الذين يهتمون بالحياة. وبما أن حياتنا معقدة ، وعلى العموم ، لا يمكن التنبؤ بها ، فإن التركيز في الكتاب ينصب بشكل أساسي على نظرية الاحتمالات والإحصاءات الرياضية. هنا لم يتم إثبات النظريات ولم يتم إعطاء أساسيات العلم ، وهذا ليس كتابًا بأي شكل من الأشكال ، ولكن ما يسمى العلم الترفيهي. لكن هذا النهج المرح تقريبًا هو الذي يسمح لنا بتطوير الحدس ، وإضاءة المحاضرات للطلاب بأمثلة حية ، وأخيرًا ، شرح لغير الرياضيين وأطفالنا أننا وجدنا مثل هذه الأشياء المثيرة للاهتمام في علمنا الجاف.



في هذا الفصل ، سنناقش المال والأسواق والانتروبيا ، بالإضافة إلى صور متحركة ، والتي ، للأسف ، لا يمكن طباعتها في كتاب.

ملاحظة Hongren:
من بين الاقتصاديين ، غالبًا ما يُعتبر العالم الحقيقي حالة خاصة.

الاقتصاد علم كبير وخطير ولكنه غريب. مما لا شك فيه أنه من الضروري للغاية كنظام يدرس الظاهرة الحقيقية والمهمة لعالمنا: الواقع الاقتصادي. تسعى العلوم الاقتصادية جاهدة إلى الإثبات وإضفاء الطابع الرسمي ، ولديها الكثير من الرياضيات ، وأحيانًا معقدة ومثيرة للاهتمام. ومع ذلك ، عند فتح كتاب اقتصادي جاد ، ستجد على الأرجح بعض الحسابات البسيطة نسبيًا والوصفات الجاهزة ومجموعة من التفكير غير الرسمي بهذه الروح: "ولكن في الواقع ، قد يكون كل شيء خاطئًا ، وبشكل عام ، كما تريد ، إذا حدث ذلك إرادة اللاعبين الرئيسيين أو الحكومة ". في النهاية ، قد يشعر المرء بأن الحدس ومعرفة علم النفس والقدرة على إدراك السياق العام أكثر أهمية في هذا التخصص من الحساب الدقيق والنظر الدقيق في التفاصيل (إنه يتعلق بالاقتصاد ، وليس المحاسبة). وأخيرًا ، تم كتابة ما يقرب من نصف الرسائل المزيفة على وجه التحديد في علم الاقتصاد ؛ وبالتالي ، ليس من الصعب جدالًا معقولًا حول الموضوعات الاقتصادية. سنجرب أيضًا قوتنا في هذا المجال ، حسنًا ، لا يوجد ظلم في هذا العالم أكثر حدة مما هو عليه في مسألة توزيع الثروة. علاوة على ذلك ، بغض النظر عما ينخرط فيه الشخص ، بغض النظر عن المهنة التي يمتلكها ، فهو يشارك في الاقتصاد وألعابه ، من قوانين الاقتصاد ، وكذلك من قوانين الفيزياء ، وليس الاختباء.

من بين مجموع المشاكل التي تم حلها عن طريق الاقتصاد الرياضي ، سننظر في مشكلة واحدة فقط - كيف اتضح أنه حتى في ظل ظروف متساوية لجميع المشاركين في السوق وتبادل عادل للأموال ، يصبح الفقراء أكثر ثراءً من الأغنياء ولماذا يكون المجتمع الرياضي المثالي عرضة للتفاوت المالي. حسنًا ، على طول الطريق نتعلم شيئًا مثيرًا للاهتمام حول الإحصائيات الرياضية وتوزيع المتغيرات العشوائية.

أنا فيزيائي من خلال التعليم والمهنة ، ويتم التعبير عن تشوهي المهني من منظور غريب للعالم ، كما هو الحال في مجموعة متنوعة من الأنظمة والعمليات الفيزيائية المختلفة. من وجهة نظر الفيزيائي ، فإن السوق الحقيقي هو نظام مفتوح غير ثابت إلى حد كبير ، مع العديد من درجات الحرية ، حيث تلعب العمليات العشوائية (العشوائية) دورًا مهمًا. بهذا المعنى ، فإن السوق مشابه لموضوع دراسة فروع الفيزياء مثل الديناميكا الحرارية والفيزياء الإحصائية ، حيث ، بالنظر إلى استحالة النظر في جميع التفاصيل التي لا تعد ولا تحصى وسلوك جميع مكونات النظام ، فإنها تتحول إلى خصائص عامة وقابلة للقياس ، مثل الطاقة أو درجة الحرارة أو الضغط . ليس من المستغرب أن محاولات وصف الديناميكا الحرارية للأنظمة الاقتصادية وخلق الفيزياء الاقتصادية قد تم لأكثر من مائة عام. لكن المشكلة هي: بينما ينظر العلماء في التفاصيل ويلخصون المعرفة المكتسبة ويتجادلون حول القوانين الأساسية ، فإن الهدف الرئيسي للدراسة هو الواقع الاقتصادي ، ولديها وقت لتغييره يتجاوز الاعتراف. يبدو أن سلوكها يسعى للحفاظ على ، أو حتى زيادة عدم اليقين وعدم القدرة على التنبؤ.

مثال جيد هو تاريخ القرنين من استخدام التحليل الفني عند اللعب في البورصة. عندما تظهر أداة قوية جديدة تسمح لك بالتوصل إلى الأنماط المخفية والتنبؤ بسعر الأوراق المالية أو الأسهم ، فإنها تبدأ في تحقيق ربح لأولئك الذين يستخدمونها. ولكن سرعان ما يبدأ السوق في "الشعور" باللاعبين الجدد والتكيف مع استراتيجيتهم ، تبدأ دقة تنبؤات الطريقة الرائعة في الانخفاض ، وبعد مرور بعض الوقت ، تقع في قائمة كبيرة من الأدوات القديمة وغير الموثوق بها. لم تغير خوارزميات الشبكات العصبية المرنة الحديثة التعلم الذاتي ، ولا متداولو الروبوتات فائقة السرعة الذين يقومون بملايين العمليات في الدقيقة ، الخاصية الرئيسية للعبة البورصة على مدى العقدين الماضيين - عدم إمكانية التنبؤ بها. وحتى الآن ، فإن المزايا الرئيسية للمحترف في هذه الصناعة هي الإرادة ، وتحمل الشخصية ، والنفور من العاطفة ... حسناً ، أو ملكية البورصة. كل شيء مثل الكازينو حيث تعتمد الألعاب على فرصة خالصة! من ناحية ، هذا ، بالطبع ، مهين ، ومن ناحية أخرى ، يعطي فرصة لتحسين الأساليب والأساليب باستمرار. ذات مرة ، ولدت كل من نظرية الاحتمالات والإحصاءات الرياضية من محاولات تحليل المقامرة والألعاب الاقتصادية ، وعندها فقط وجدوا التطبيق في جميع العلوم الطبيعية تقريبًا.

في مزيد من المناقشة ، سنتحدث عن المال ، ولكن هذه الفئة المعتادة المستخدمة يوميًا معقدة وغامضة بشكل مدهش. يعتمد معنى وقيمة المال على العديد من العوامل ، وخارج السياق الذي يدعو إلى مبلغ معين من المال ، لا نقول أي شيء عن قيمته الحقيقية. هذا يميز القيم النقدية عن معظم الكميات المادية التي تصف عالمنا ويجعل من الصعب إجراء مناقشات صارمة في الاقتصاد. لكن الغرض من حديثنا: الأسس الرياضية لقوانين اللئيم ، كل يوم ، مفهومة وبسيطة. لذلك ، سنتحدث في المستقبل عن بعض "الروبل" ، في إشارة إلى التذكرة الرسمية أو العملة المعدنية ، مما يعني أنه كلما زاد عدد "الروبل" الذي يمتلكه هذا الشخص ، زادت ثراءه. مناقشات أخرى حول القوة الشرائية ، والقيم غير الملموسة أو غير السائلة ، و "السعادة ليست في المال" ، وأخيرًا ، سنترك المحادثة.

تعال ، توقف!

نبدأ بتحليل العدالة لبعض الاستراتيجيات البسيطة لتوزيع مبلغ معين من المال على مجموعة محدودة من الناس.

الاستراتيجية الأولى والأكثر وضوحا: "خذ كل شيء ، وقم بتقسيمه" ، أي إعطاء كل عضو في المجموعة حصة متساوية من المبلغ الإجمالي. يسمى هذا التوزيع بـ " المنحل" ، وله مؤشر جيني يساوي الصفر ويتوافق مع منحنى المساواة في مخطط لورنتز.


التوزيع المتدهور والمنصف للغاية للأموال: الجميع مقسم بالتساوي.

خيار رائع! سوف نطلق عليها "إستراتيجية شاريكوف" تكريما لبطل القصة لميخائيل بولجاكوف "Dog Heart" ، الذي اقترح بهذه الطريقة حل جميع القضايا الاقتصادية.

الاستراتيجية الثانية والأكثر واقعية هي توزيع الروبل الواحد على الجميع بشكل عشوائي. من هو المحظوظ. يمكننا أن نسمي هذه الاستراتيجية "بواسون" ، لأن هذه هي الطريقة التي يتم بها توزيع الأحداث العشوائية المستقلة في عملية بواسون على النطاق الزمني. لمجموعة $$$n$ الشخص هو احتمال حصول كل مشارك على الروبل $$$1 / n$ . بعد التوزيع بهذه الطريقة $$$M$ روبل ، يجب أن يحصل الجميع على مبلغ يساوي عدد هذه النتائج "الإيجابية". إن دالة الاحتمالية لمثل هذا المبلغ معروفة جيدًا - فهي توزيع ذي حدين ، يشبه الجرس ، منتشر بشكل متناظر حول متوسط ​​القيمة $$$M / n$ . عادة ما يقدمونه له عن طريق حساب احتمال الحصول على المبلغ المشار إليه عن طريق رمي النرد. للقيم الكبيرة $$$M$ يصبح التوزيع ذي الحدين لا يمكن تمييزه تقريبًا عن الطبيعي. دعونا نرى كيف ستتغير ، حيث يتم توزيع الأموال ، وتوزيع الأموال في المجموعة وعدالتها.


نتيجة توزيع الأموال على مبدأ "من سيرسل الله" هي توزيع ذي حدين. كلما قدمنا ​​المزيد من المال ، زادت قيمة المتوسط ​​والانتشار ، ولكن احتمالية عدم الحصول على أي شيء تختفي تقريبًا.


هذا التوزيع ، من وجهة نظر العدالة ، يبدو جيدًا جدًا ، علاوة على ذلك ، يصبح من العدل زيادة المال الذي نقدمه للجمهور! فقط رائع! إنه لأمر مؤسف أن المجتمع ليس منظمًا بنفس الطريقة وأن المطر لا يتدفق من الأموال علينا جميعًا على قدم المساواة.

لإكمال الصورة ، دعونا ننظر إلى توزيع مصطنع بسيط آخر للنقود - الزي الموحد . مع هذا التوزيع سيكون الفقراء مثل الأغنياء.


حتى التوزيع لا يعني أن الأموال توزع بالتساوي على الجميع. مع هذا التوزيع ، فإن عدد الفلاحين الأغنياء والفقراء والمتوسطين هو نفسه ، لكن المال ينتمي بالأساس إلى الأغنياء.


بالنسبة للتوزيع الموحد ، يكون منحنى Lorentz عبارة عن قطع مكافئ تربيعي ، وإذا كان الحد الأيسر للتوزيع صفرًا ، فإن هذا القطع المكافئ مستقل عن موضع الحد الأيمن ، ومؤشر جيني لجميع هذه التوزيعات هو بالضبط $$ . مثل هذه القيمة المؤشرية (ولكن ليس مثل هذا التوزيع!) كانت ، على سبيل المثال ، في الاقتصاد الأسترالي في العقد الأول من القرن الحادي والعشرين - وهذا مؤشر جيد جدًا.

ومع ذلك ، فإن السوق هو السوق! التوزيعات المذكورة أعلاه جيدة ، ولكنها تتطلب شروطًا خاصة لحدوثها. إذا منحت الناس حرية استبدال الأموال ، وتغيير الأموال مقابل الخدمات ، وحفظها وإنفاقها في ليلة واحدة ، فستفقد التوزيعات المثالية الاستقرار وتتحول إلى البعض الآخر.

سياسة اقتصادية جديدة!

النظر في مجموعة من $$$n$ الشخص. نتيجة للثورة ، سنوزع على جميع المشاركين في التجربة مبلغًا متساويًا من المال مقابل $$$م$ روبل للجميع ، بعد أن تلقت توزيع Sharikov العادل للأموال في المجتمع. الآن سنمنحهم الحرية ليصبحوا أغنياء وفقراء بإرادة مصيرهم وبناء نموذج سوق بدائي. نطلب من شخص تم اختياره عشوائيًا إعطاء روبل واحد لأي شخص في المجموعة تم اختياره عشوائيًا. لنفترض أن هذا هو شراء خدمة معينة بسعر ثابت. من المتوقع أن يتغير توزيع الثروة: سيحصل شخص ما على أموال أقل ، وشخص آخر أكثر. دعونا نكرر إجراء التبادل مرارا وتكرارا ونلقي نظرة على كيفية تغير توزيع الثروة في المجموعة.

من الحكمة التفكير فيما نتوقع رؤيته قبل إجراء التجربة. يحدث تبادل الأموال بين المشاركين على قدم المساواة ، كما هو الحال في استراتيجية Poisson لتوزيع الأموال ، ولكن في نفس الوقت ، يخسر اللاعبون المال ، علاوة على ذلك ، وفقًا لمبدأ Poisson نفسه وبنفس الكثافة. وبالتالي ، يمكن الافتراض أن كل من الزيادات الإيجابية والسلبية سيتم توزيعها وتحديد موقعها بشكل متناظر فيما يتعلق بالصفر. سيحصل كل لاعب في النهاية على اختلاف في هذه الزيادات ، والذي سيتم أيضًا توزيعه بشكل طبيعي على متغيرين عشوائيين يتم توزيعهما بشكل طبيعي ، في هذه الحالة ، حوالي الصفر ، حيث تكون الخسائر والمكاسب متناظرة.


بعد العديد من التبادلات ، سيتلقى كل لاعب ويفقد مبلغًا يخضع لتوزيع قريب من المعدل الطبيعي. كما سيتم توزيع إجمالي الإيرادات عادة حول الصفر.

وبالتالي ، نحصل على مسيرة عشوائية كلاسيكية بزيادات موزعة بشكل طبيعي ويمكن أن نتوقع بعض توزيع الأموال حول المتوسط $$$م$ . يجب أن تكون دالة الاحتمال غير واضحة ، مما يزيد التباين عند قيمة متوسط ​​ثابت. يبدو أن كل شيء بسيط.

ولكن هناك فارق بسيط. إذا لم يكن لدى شخص من المجموعة ، لسبب ما ، أموال متبقية ، فلن يتمكن من شراء الخدمات عن طريق إعطاء المال ، ولكن في نفس الوقت ، يمكنه الحصول عليها. تقتصر القيمة المحتملة للثروة على صفر على اليسار ، مما يعني أن انتشار الثروة لا يمكن أن ينتشر إلى أجل غير مسمى ، وستتوقف وظيفة الاحتمال الملحوظة ، عاجلاً أم آجلاً ، عن التناظر.

هناك فارق بسيط آخر. مبلغ المال في نظامنا المغلق محدود وثابت ، مما يعني أن المشي العشوائي ليس مستقلاً. سيتمكن بعض اللاعبين المحظوظين من الحصول على كميات كبيرة جدًا والابتعاد كثيرًا عن المجموعة ، ولكن فقط إذا أصبح إجمالي الكتلة أفقر. يتم تجميع المشاركين في التجربة معًا بواسطة شبكة غير مرئية بموجب قانون توفير المال في النظام. ما الذي يسعى إليه توزيع الأموال في ظل هذه الظروف؟ يبدو أن الإجابة ليست واضحة كما قد تبدو للوهلة الأولى ، فلننتقل إلى المحاكاة ونرى ما سيحدث.


نتيجة محاكاة لتقاسم مبلغ متساوي من المال $$$n = 1000$ و $$$m = 100$ . في البداية ، في الواقع ، لوحظت ظاهرة مشابهة للانتشار ، ولكن عندما تصل دالة الاحتمال إلى الحد الأيسر ، يميل التوزيع إلى شكل غير متماثل مميز وليس عادلة للغاية مع معامل جيني قريب من $$ .


إذا قرأ الفيزيائي هذا الكتاب ، فسيكون قادرًا على الافتراض بثقة أن هذا قد يكون توزيعًا ؛ وسوف يطلق عليه توزيع جيبس. قد يتذكر القارئ اليقظ أننا قد اجتمعنا بالفعل مع صورة مماثلة ومع مؤشر جيني عندما درسنا الإحباط أثناء انتظار الحافلة. ثم درسنا توزيع الفترات الفاصلة بين أحداث بواسون ، والتي تم وصفها بالتوزيع الأسي. سيكون كلا هذين السادة الأذكياء على حق ، ويطلقون على الأسماء المختلفة نفس التوزيع الرائع.

الناس جزيئات

توزيع جيبس من مجال الفيزياء الإحصائية. يصف خصائص الأنظمة التي تسمى الكلمة الجميلة "مجموعة" ، والتي تتكون من العديد من العناصر المتفاعلة ، غالبًا الجسيمات. في المجموعة ، يمكنك تحديد أنظمة فرعية عشوائية (على سبيل المثال ، الجسيمات الفردية أو مجموعاتها) وتعيين وظائف معينة لها (يمكن أن تكون هذه إحداثيات معممة ، وسرعات ، وتركيزات ، وإمكانات كيميائية ، وأكثر من ذلك بكثير). باستخدام طرق الفيزياء الإحصائية ، من الممكن شرح وحساب معلمات مجموعة متنوعة من الظواهر: العمليات الكيميائية والحفزية ، والاضطراب ، والمغناطيسية الحديدية ، وسلوك البلورات السائلة ، والسيولة الفائقة والموصلية الفائقة ، وغيرها الكثير.

يجيب توزيع جيبس ​​على السؤال: ما هو احتمال تلبية حالة معينة من النظام الفرعي إذا أ) أعطيت طاقة الحالة ، ب) الخصائص العينية (نسبيا ، العالمية) للنظام ، مثل درجة الحرارة ، و ج) هل من المعروف أن النظام في توازن حراري ديناميكي؟ يمكن التعبير عنه بشكل تخطيطي على النحو التالي:

$$

$$p _ {\ mathrm {Gibbs} (T)} (x) = C e ^ {- \ frac {E (x)} {kT}} ،$$

أين $$$x$ - حالة معينة من النظام الفرعي ، $$$E (x)$ هي طاقة هذه الدولة ، $$$T$ هي درجة حرارة النظام المطلقة (أو التماثلية) ، و $$$C$ و $$$k$ - القيم اللازمة للتطبيع وتطابق الأبعاد. إن حالة التوازن مهمة جدًا ، فهذا يعني أن الوقت يختفي من الاعتبار وأن النظام بأكمله سيكون في حالته الأكثر احتمالًا لظروف معينة.

نحن لا نحتاج إلى اشتقاق صارم للتعبير لتوزيع جيبس ​​هنا ؛ وبدلاً من ذلك ، أريد أن أظهر منطقًا رياضيًا بحتًا يؤدي إلى شكله الأسي. نظرًا لأننا نعتبر أجزاء النظام التي تضيف إلى النظام بأكمله ، فمن الجدير اختيار كمية مضافة كخاصية ، أي أن قيمته للمجموعة هي المجموع الحسابي لقيم أجزائه. يمكن استخدام الطاقة بهذه الكمية في الميكانيكا. من ناحية أخرى ، نحسب احتمالية مراقبة حالة معينة من النظام ، والاحتمال مضاعف ، أي أنه إذا كان يمكن تقسيم النظام إلى أجزاء ، فإن احتمال مراقبة جميع هذه الأجزاء في نفس الوقت سيكون مساوياً لمنتج الاحتمالات لحالة كل جزء من الأجزاء. وبالتالي ، نحتاج إلى دالة تحول الكمية المضافة إلى واحدة مضاعفة. الدالة الأسية فقط لها هذه الخاصية. $$$a ^ x$ ، يتحول مجموع الحجج إلى نتاج القيم: $$$a ^ {x + y} = a ^ x a ^ y.$ حسنًا ، من بين جميع الدالات الأسية ، الأسهل هو الأس ، لأنه يتصرف بشكل جيد للغاية عند التكامل والتمايز.

في نموذج السوق لدينا ، لدينا كمية مضافة - مقدار المال الذي يملكه كل لاعب ، وهذا نظير للطاقة. في التبادل الموصوف من قبلنا ، يتم الحفاظ على هذه الكمية ، مثل الطاقة في النظام المادي. وما هي درجة الحرارة؟ من السهل معرفة ذلك من خلال النظر إلى التعبير عن كثافة الاحتمال للتوزيع الأسي:

$$

$$p _ {\ mathrm {Exp} (\ lambda)} (x) = \ lambda e ^ {- \ lambda x} ،$$

وتذكر أن المتوسط ​​بالنسبة له $$$1 / \ lambda$ . نظرًا لأن عدد اللاعبين أثناء عملية المزايدة لم يتغير ، فإن متوسط ​​المبلغ الحسابي للمال من اللاعبين يساوي المبلغ الموزع في البداية $$$م$ . يتبع ذلك بشكل طبيعي $$$\ lambda = 1 / م$ ، فإن متوسط ​​مبلغ المال من اللاعبين يعمل كدرجة حرارة في نموذجنا الاقتصادي. في سوق "مُحمَّلة" ذات سيولة كبيرة ، سنتمكن من ملاحظة انتشار أكبر في مستوى الرفاهية مقارنة بالسوق "البارد" ، لأن التشتت في التوزيع الأسي $$$1 / \ lambda ^ 2$ . كما قال أوستاب بندر في "العجل الذهبي" للمخرج إلف و إ. بتروف: "بمجرد أن تتجول بعض الأوراق النقدية في البلاد ، يجب أن يكون هناك أناس لديهم الكثير منهم".

لنكون دقيقين تمامًا ، وتذكر أن المال في تجربتنا هو كمية منفصلة ، ثم نلاحظ توزيعًا هندسيًا - وهو تناظري منفصل من الأسي. يحدث في مشكلة حساب عدد الفشل قبل الفوز الأول عند رمي عملات معدنية بدرجات متفاوتة من الصدق. هذان التوزيعان متشابهان ولا يمكن تمييزهما مع انخفاض في احتمالية الفوز. في تجربتنا ، فرص الحصول على الروبل متساوية $$$1/1000$ ، فهي صغيرة بما يكفي لاستدعاء أسي التوزيع.

يبقى للتعامل مع توازن الحالة النهائية للسوق. يمكن وصف التوازن الديناميكي الحراري بطرق مختلفة. أولاً ، يجب أن تكون الحالة الثابتة في حالة توازن ، حيث يمكن أن يبقى النظام إلى أجل غير مسمى ، دون تغيير معلماته العيانية ، ودون تكوين تدفقات مرتبة للمادة والطاقة داخل نفسه. ثانيًا ، يجب أن يكون مستقرًا ، أي إذا كان النظام غير متوازن ، فسيميل إلى العودة إليه. ثالثًا ، هذه هي الحالة الأكثر احتمالية للنظام ، والتي تتم ملاحظتها في الغالب ، والتي يميل النظام بمرور الوقت إلى الحصول عليها من أي حالة أخرى ، لا حالة توازن. توضح تجربتنا هذه المعايير للتوازن: بعد أن وصلنا إلى التوزيع الأسي ، يبقى النظام فيه ، وإلى جانب ذلك ، من السهل التأكد في التجربة أنه من أي توزيع عشوائي ، بعد مرور بعض الوقت ، نصل مرة أخرى إلى الأسي. لكن هذا ليس دليلاً ، ولكن فقط تلميح بأننا على الأرجح نتعامل مع التوازن. نحن بحاجة إلى نوع من المعيار الرسمي القابل للقياس الذي سيوضح لنا بشكل لا لبس فيه أن النظام متوازن دون الحاجة إلى الانتظار إلى أجل غير مسمى أو فرز جميع التوزيعات الأولية المحتملة. سيكون هذا معيارًا مفيدًا يمكن تطبيقه على السوق الحقيقية ، دون الحاجة إلى إجراء تجارب محفوفة بالمخاطر على الأشخاص الأحياء.

أعرب تاو في الكلمات - ليس صحيح تاو

قاد التأمل في التوازن الفيزيائيين إلى مفهوم الكون ، الذي تجاوز تدريجيا الديناميكا الحرارية وكان محبوبًا جدًا من قبل العلماء من جميع الاتجاهات والفلاسفة والجمهور العام ، وقد تلقى الانتروبي الآن هالة من الغموض وعدم الفهم والله يعرف شيئًا آخر. اكتسب مفهوم بسيط وخاص ، في جوهره ، سمعة في أذهان الجماهير كمفهوم يحكم بشكل لا يمكن تفسيره للعالم. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن الديناميكا الحرارية هي علم عالمي يصف على مستوى عال جدًا من التجريد نظامًا ذا طبيعة متنوعة جدًا: من الفيزيائية والكيميائية والبيولوجية إلى الاجتماعية والاقتصادية وحتى الإنسانية البحتة. ومع ذلك ، بعد الدورة الدراسية ، لا يزال هناك شعور بأن الديناميكا الحرارية تدور حول غاز مثالي ممل ، وبعض المكابس ودورة كارنو المستحيلة. ترتبط مثل هذه النظرة من جانب واحد بالحقيقة الرائعة وهي أن الديناميكا الحرارية ، كونها واحدة من أكثر فروع العلوم الطبيعية مجردة وعالمية ، تحل بأناقة المشاكل التطبيقية التي يمكن فهمها لأطفال المدارس ومفيدة في الصناعة. لا يمكن أن يقال هذا ، على سبيل المثال ، حول نظرية الفئات أو الطوبولوجيا ، والتي هي أيضًا تخصصات مجردة وعالمية ومفيدة بلا شك ، لكنها لا تصادف أبدًا في المهام اليومية.

الانتروبيا جدا. كان مبتكر الديناميكا الحرارية ، كلاوسيوس ، ولاحقًا جيبس ​​وبولتزمان ، بحاجة إلى خاصية كمية للتوازن ، تشير إلى احتمالية مراقبة الحالة المشار إليها للنظام أو أجزائه. علاوة على ذلك ، يجب أن تكون هذه القيمة ، التي تعكس احتمالية مضاعفة في طبيعتها ، دالة حالة مضافة بحيث يمكن حسابها للنظام عن طريق إضافة القيم المحسوبة لأجزائه. عندما بحثنا عن وظيفة مناسبة لتوزيع جيبس ​​، انطلقنا من حقيقة أنه يجب أن يحول حجة مضافة إلى قيمة مضاعفة. عند البحث عن تعبير عن الإنتروبيا ، نحتاج إلى دالة مضاعفة في الجدل والقيمة المضافة - هذه هي دالة لوغاريتمية ، معكوس الأس. يمكن التعبير عن انتروبيا حالة نظام معقد على أنه القيمة المتوقعة لوغاريتم احتمالية مراقبة حالة جميع أجزائه ، أو ، وفقًا لبولتزمان ، باعتباره لوغاريتم عدد الطرق التي يمكن بها تحقيق هذه الحالة من النظام. في هذه الحالة ، تتوافق الحالة الأكثر احتمالية مع قيمة أكبر للانتروبيا ، وحالة التوازن ، الحد الأقصى الممكن.

يعتمد عدد طرق تحقيق هذه الحالة أو تلك على عدد القيود أو الظروف التي يمكن بموجبها تحقيق هذه الحالة. وكلما قل عدد هذه القيود ، زادت احتمالية الدولة وزادت قيمة إنتروبياها. هذه القيود والشروط منطقية لمعلومات الحالة. ومن هنا جاءت فكرة أن الانتروبيا تعكس درجة جهلنا بالنظام: فكلما قل معرفتنا عن الدولة ، كلما زادت انتروبيا. قام شانون في وقت لاحق بتعميم هذا المفهوم لأي أنظمة تحتوي على معلومات ، بما في ذلك لتوزيع المتغيرات العشوائية. إليك ما فعله: لمتغير عشوائي $$$X$ معرفة بدالة الاحتمال $$$p (x)$ تعرف الكون على النحو التالي:

$$

$$H (X) \ equiv - \ mathrm {M} (\ ln (p (x))) = - \ sum {p (x) \ ln (p (x))} ،$$

حيث يتم تنفيذ الجمع على جميع القيم $$$x$ فيه $$$p (x)> 0$ . وبالتالي ، نحن قادرون على حساب إنتروبيا أي نظام معقد ، مع وصف إحصائي.

هذه هي الطريقة التي يتغير بها الإنتروبيا عندما يأتي نموذج السوق إلى التوازن.


نمو الكون مع اقتراب السوق من حالة التوازن. يوضح الخط الأفقي على الرسم البياني الأيمن القيمة النظرية للانتروبي للتوزيع الأسي ، يساوي $$$1- \ ln (\ lambda)$ . يتوافق "الرف" المتوسط ​​مع الفترة التي مر فيها التوزيع بمرحلة الانتشار وبدا وكأنه طبيعي.

وبالتالي ، فإن كل توزيع: محدد تحليليًا أو تم الحصول عليه تجريبيًا في شكل رسم بياني ، يمكن أن يرتبط برقم موجب - إنتروبيا. هذا يعني أنه يمكن مقارنة التوزيعات مع بعضها البعض ، وتحديد توازن أكثر أو أقل واحتمالية لظروف معينة. علاوة على ذلك ، بالنسبة لفئة معينة من التوزيعات ، من الممكن تمييز التوزيع بأقصى حد من الإنتروبيا ، علاوة على ذلك ، واحد فقط. يتم تعريف الفصول بالقيود ، أو قياس معرفتنا بالخصائص الإحصائية للنظام. إليك بعض الأمثلة:

ماذا نعرف عن المتغير العشوائي $$$X$	توزيعات مع أقصى انتروبيا
$$$X \ في [a، b]$	موحد فوق القطع $$$[a، b]$
$$$X \ في \ {0،1 \}$	توزيع برنولي
$$$X \ في [0 ، \ infty)$ + متوسط	أسي ، لكمية منفصلة - هندسية
$$$X \ في [x_m، \ infty)$ + الوسط الهندسي	توزيع باريتو (السلطة)
$$$X \ في [0 ، \ infty)$ + المتوسط ​​+ المتوسط ​​الهندسي	توزيع جاما
$$$X \ في [0 ، \ infty)$ + المتوسط ​​الهندسي + التباين للوسط الهندسي	تسجيل عادي
$$$X \ in (- \ infty، \ infty)$ + متوسط ​​+ التباين	عادي

مألوفة جميع الوجوه! غالبًا ما تستخدم هذه التوزيعات التي يطبقها الإحصائيون على أوسع فئة من المهام. وعالميتها ترجع على وجه التحديد إلى حقيقة أنها ، مع وجود أقصى قدر من الإنتروبيا ، تكون أكثر احتمالية ويمكن ملاحظتها. بالنسبة لهم ، كتوازن ، تميل العديد من توزيعات المتغيرات العشوائية الحقيقية. أكثر التوزيع الحر من بين جميع القيود الأخرى هو التوزيع الطبيعي: فهو يتطلب الحد الأدنى من المعلومات حول متغير عشوائي. سوف يفشل القليل: إذا أشرنا إلى متوسط ​​القيمة فقط ، فعند محاولة لزيادة الإنتروبيا ، فإن "التوزيع" سوف "يلطخ" على طول المحور العددي بأكمله.ولكن ، إذا كنا نعرف متوسط ​​القيمة فقط ، ولكن في نفس الوقت قصر المتغير العشوائي على القيم الموجبة ، فسيكون توزيع التوازن غير غامض - أسي. هذه هي الحالة التي لاحظناها في تجربتنا مع السوق. لم نكن نعرف مقدمًا سوى مقدار الأموال التي قدمناها لكل لاعب وحقيقة أن مبلغ المال في النظام كان ثابتًا ، فقد حدد هذا متوسط ​​القيمة. وبما أن أموالنا إيجابية ، على الأرجح ، في حالة التوازن ، نحصل على التوزيع الأسي للثروة مع مؤشر جيني يساوي$$$1/2$ .

هناك العديد من التعديلات على النموذج الموصوف من قبلنا: يمكن أن يتم التبادل ليس في روبل واحد ، ولكن في قيمة عشوائية مقيدة بحالة المانح ، في حين أنه من الممكن إعطاء المال ليس لأي لاعب واحد ، ولكن لتوزيعه بشكل عشوائي. حتى ندخل معلمات جديدة في اللعبة ، فإن كل هذه التعديلات لا تغير شكل توزيع التوازن للثروة - فهي تظل أسية. يمكنك التحقق من ذلك بمساعدة المحاكاة ، ولكن ليس من المثير للاهتمام إعطاء صور لطرق تبادل مختلفة - فكلها متشابهة. لاحظ العديد من الباحثين هذه الميزة لنماذج السوق. نموذج مثير للاهتمام هو النموذج الذي بناه Dragulescu و Yakovenko من جامعة ماريلاند ، حيث يتم دمج اللاعبين في شركات معينة ومن ثم محاكاة تفاعل الشركات مع اللاعبين - العمال واللاعبين - المشترين.ولكن حتى في هذه الحالة المعقدة ، فإن التوازن هو التوزيع الأسي ، والذي لا يبالي بالمعايير المختارة للنموذج.

لإثبات عالمية مبدأ الحد الأقصى من الإنتروبيا ، دعونا نقيد بشكل مصطنع مستوى ثروة اللاعب الفردي من الأعلى ، ونمنعه من تلقي المال إذا كان لديه بالفعل مبلغ ثابت. بالطبع ، سيتغير توزيع التوازن. وفي حال كانت الحدود اليمنى تساوي ضعف متوسط ​​القيمة ، فإننا نصل إلى الحالة الموضحة في الصف الأول من الجدول. في الواقع ، قصر المتغير العشوائي على شريحة محدودة ولا يشير إلى أي شيء آخر ، لا يمكننا افتراض أي قيمة أخرى متوقعة للمتوسط ​​، باستثناء منتصف هذا الجزء. لذلك ، يجب أن يكون توزيع التوازن مع هذا الخيار موحدًا. دعونا نتحقق مما إذا كان الأمر كذلك؟


هذا ما يحدث عندما يكون المستوى الأعلى لثروة اللاعبين محدودًا ، وبالتالي ، فإن الحد الأعلى هو ضعف المتوسط ​​بالضبط. وفقًا لمبدأ الإنتروبيا القصوى ، يجب أن يكون توزيع التوازن متجانسًا. يوضح الخط الأفقي على الرسم البياني الأيمن القيمة النظرية للإنتروبيا لتوزيع موحد.


وماذا سيحدث إذا انكسر التماثل ، أي إذا حركنا الحد الأيمن إلى اليمين أو اليسار؟

<\ br>

المتغيرات من توزيعات محدودة غير متكافئة بالمقارنة مع توزيعات برنولي المقابلة لتحول متوسط ​​القيمة. تشير الخطوط الأفقية على الرسوم البيانية للإنتروبيا إلى القيم النظرية لإنتروبيا لتوزيعات برنولي.

توقف توزيع الثروة ليكون موحدًا ، على شكل أسي محدود. مع تحول الحد الأيمن إلى اليسار في ميزان اللاعبين الأغنياء أصبح أكثر من فقير. إذا قمنا "بتقريب" الرسم البياني مع ترك عمودين فقط ، نحصل على توزيع برنولي الذي يوضح مدى احتمالية أن يكون "فقيرًا" أو "غنيًا" بشكل مشروط. عندما تقتصر قيم المتغير العشوائي على قيمتين فقط ، فإن توزيع برنولي هو الخيار الوحيد ؛ بالطبع ، يقدم أقصى قدر من الإنتروبيا. ولكن انتبه إلى حقيقة أن إنتروبيا توزيعات نموذجنا تميل بدقة إلى القيم التي تنبأ بها توزيع برنولي. معاملات جيني لهاتين الحالتين متساوية$$$0.43$ و $$0.2 على التوالي.$0.2$

الكون الغامض والقوي ، بالطبع ، رائع ، وربما مقنع. ولكن لماذا ، من خلال التبادل المتماثل ، يصبح الفقراء أكثر ثراء من الأغنياء؟ لماذا يساوي وضع توزيع التوازن الصفر؟ من الضروري ، كما يقول الفيزيائيون ، فهم حركيات العملية ، أي مصير الجسيمات الفردية. لم نكن مخطئين في افتراض أن نموذج المشي العشوائي يصف تغييرًا في حالة مقدم العطاء الفردي: من المحتمل أيضًا أن يتخذ خطوات لأعلى ولأسفل. وبالنسبة للمشي العشوائي ، يتم الوفاء بقانون لئيم مشهور واحد: لعنة اللاعب. دعني أذكرك أنها تتكون من حقيقة أنه مع المراقبة الطويلة بما فيه الكفاية ، فإن الجسيم المتجول عشوائيًا سيكون بالضرورة في أي مكان محدد مسبقًا.علاوة على ذلك ، فإن المسافة التي يتحرك فيها الجسيم بعيدًا عن أي نقطة بداية تتناسب مع الجذر التربيعي لعدد الخطوات. كل هذا يؤدي إلى حقيقة أنه إذا بدأ الجسيم مساره بالقرب من الصفر ، فمن المرجح أن يصل إليه ، وبما أن الصفر في مشكلتنا هو حدود لا يمكن اختراقها ، فسيضطر إلى بدء مساره مرارًا وتكرارًا بالقرب من نقطة الصفر ، لعنة سيئة السمعة. عندما يتحرك الجسيم بعيدًا عن الصفر ، ينخفض ​​احتمال العودة إليه ويصبح الأغنياء أكثر عرضة لإنقاذ حالتهم. ولكن ما الذي يمنع الجسيم من التحرك بعيدًا بشكل تعسفي ، وإلى ثراء لاعب معين بشكل تعسفي؟ في الواقع ، لا شيء سوى قلة المال في النظام - يختلف التوزيع الأسي عن الصفر على المحور الإيجابي بأكمله.ولكن من أجل تحقيق ثروة لا تصدق وفقًا لقواعد لعبتنا ، من الضروري أن يختار جميع اللاعبين نفس اللاعب بشكل عشوائي مرارًا وتكرارًا. وللمرة الأولى ، احتمال مثل هذا الاختيار$$( 1 / ن ) ن - 1 هو واحد في المليار لمجموعة من عشرة أشخاص ، ولا يمكن تكرارها عدة مرات عن طريق الصدفة. إن اختيار من يعطي المال في نموذجنا يقع على قدم المساواة على الجميع ، مما يعني أنه لن يصبح ثريًا فحسب ، بل سيغني أيضًا. هناك عدالة في هذا العالم! على الرغم من المظفرة ليس لفترة طويلة ، إذا لم تكن غنيا.$(1/n)^{n-1}$

يجب أن يكون الاقتصاد اقتصاديا

طالما أن نموذج التبادل الخاص بنا لا يأخذ في الاعتبار ازدهار اللاعبين ، فإنه يظل غير واقعي. في الواقع ، ينفق الأغنياء أكثر ، والفقراء ينفقون أقل ، علاوة على ذلك ، يحاول المعقولون الحفاظ على جزء من ثروتهم. بصفتها التعقيد التالي للنموذج ، دعنا نطلب من اللاعبين إعطاء حصة معروفة معينة عند التبادل$$α من حالته. يتم إدخال معلمة جديدة وتقييد جديد في النظام ، وبالتالي ، يمكن أن تنحرف حالة التوازن عن الأسي. باستخدام أجزاء من مستوى الرفاهية ، ننتقل إلى الخصائص المضاعفة ، مثل ، على سبيل المثال ، عائد الاستثمار ، عائد الاستثمار ، إلخ. تشير جميع كتب الاقتصاد إلى أنه إذا كنت ترغب في حساب متوسط ​​العائد على الاستثمار ، على سبيل المثال ، على مدار سنوات عديدة ، فينبغي عليك حساب المتوسط ​​الهندسي لعوائد كل عام. في حالتنا ، يتم تحديد المتوسط ​​الهندسي بشكل فريد ، وإن كان غير تافه ، بالقيمة$\alpha$$$$\alpha$ .وبالتالي ، بإضافة معلمة جديدة ، نقوم بإصلاح متوسط ​​التوزيع الهندسي لدخل اللاعبين ، أو متوسط ​​العائد لنموذج السوق. لذلك ، يمكننا أن نتوقع أن توزيع توازن الثروة يجب أن يوصف جيدًا بتوزيع جاما. يمكننا أن نقتنع بذلك ، بعد أن نفذنا نمذجة المحاكاة.


إذا كانت تكاليف التبادل متناسبة مع الوفرة ، فإن توزيع التوازن يميل إلى توزيع غاما غير متماثل على شكل جرس. في هذا النموذج $$$\alpha = 1/3$ . متوسط ​​عائد الصرف كان $$$75\%$ .


ويرجع الانخفاض في حصة الفقراء إلى حقيقة أنهم ينفقون في المتوسط ​​أقل مما يتلقونه من الأغنياء ، لأن كلاهما يتبادلان حصصهما من رأس المال. لكن هذا المصعد الاجتماعي يعمل فقط عندما$$$\alpha< 1/2$ .إذا أنفقت أكثر من نصف ما لديك ، فإن احتمال أن تكون في فقر يصبح ملموسًا للغاية. لقيم مختلفة$$يمكن الحصول على α بشكل مختلف للغاية في شكل توزيع مع مجموعة واسعة من الظلم:$\alpha$


خيارات مختلفة لتوزيعات التوازن بتكاليف تتناسب مع الثروة. يتم تمييز الرسوم البيانية بالقيم $$$\alpha$ ، وعلى الرسم البياني الأيمن بين قوسين ، توجد أيضًا قيم مؤشر جيني.



يمكن ملاحظة أنه كلما اضطر جزء أكبر من اللاعبين الرأسماليين إلى الإنفاق (على سبيل المثال ، للاحتياجات اليومية أو الطعام) ، كلما زادت نسبة الفقراء وأصبح المجتمع أكثر عدالة. الغريب مع ذلك$$α = 1 / 2 يصبح توازن التوزيع الأسي، سواء في النموذج مع تبادل متساو. التوزيع الأسي هو حالة خاصة لتوزيع غاما ، لذا فإن هذا التحول في حد ذاته ليس مفاجئًا. ولكن هناك دقّة غريبة واحدة: إن إنتروبيا هذه الحالة بالذات أكثر من إنتروبيا التوزيعات مع أي قيم أخرى$\alpha=1/2$$$$\alpha$ . شاهد كيف تتغير الإنتروبيا مع تطور الوضع $$$\alpha=0.75$ :

في عملية الانتقال إلى التوازن ، "يتخطى" النظام الحالة بأقصى درجة من الإنتروبيا.

في البداية ، تزداد قيمة الإنتروبيا رتيبة ، ثم ، دون الوصول إلى الحد الأقصى النظري المطابق للتوزيع الأسي ، تتوقف وتبدأ في الانخفاض. هل هناك تناقض مع تعريف حالة التوازن كدولة ذات حد أقصى من الكون؟ لا يوجد تناقض ، حيث يجب أن تكون حالة التوازن ثابتة ، أي أنها لا تخلق تدفقات طاقة موجهة ومستقرة ، أو ، من خلال التحدث بلغة نظرية النظم الديناميكية ، تجذب النظام إلى نفسها. ومن جميع التوازن الثابت ستكون الدولة ذات أقصى انتروبيا. وفي حالتنا$$α = 0.75 ، يتوافق التوزيع الأسي مع حالة غير مستقرة.لقد قام باحثون من جامعة بوسطن إسبولاتوف وكرابفسكي بتعقيد نموذج التبادل النسبي بطريقة تجعل التبادل لا يأخذ في الاعتبار فقط رفاهية الإنفاق ، ولكن أيضًا المتلقي. نادرًا ما يشتري المليونير شيئًا من بائع خضار ، ونادراً ما يحصل بائع الخضار على الكثير من الدخل ، من ناحية أخرى ، سوف يتفاعل مصنع سيارات من الدرجة الإضافية فقط مع العملاء الأثرياء ، لكنه لن يكون في حالة رخوة. وهكذا ، في النماذج التي يبدأ فيها الأغنياء بالدفع بشكل رئيسي للأغنياء والفقراء - للفقراء ، ينهار المجتمع تمامًا.$\alpha = 0.75$




, . $$$\alpha = 0.3, \beta = 0.1$ (. ).

في هذا النظام ، هناك حالة ثابتة واحدة فقط: عندما يكون لدى جميع اللاعبين (وبالتالي لا يتلقون) أي شيء على الإطلاق ، وتذهب كل الثروة لشخص واحد فقط. معامل جيني في هذه الحالة يكاد يكون مساويًا للوحدة ، وهو بعيد جدًا عن التوازن الطبيعي - إنتروبيا يساوي صفر تقريبًا. يمكن حفظ الموقف من خلال تقييد من الأسفل ، والذي يحظر على اللاعبين فقدان جميع مدخراتهم على الإطلاق ، وفي هذه الحالة يصبح توزيع التوازن أسيًا أو على شكل غاما. يمكننا أيضًا إدخال قيود من الأعلى - ثم نحصل على توزيع غير متماثل معين يتوافق مع توزيع برنولي. نموذج مثل هذا السوق البري قابل للتطبيق تمامًا على سوق الأوراق المالية دون أي قيود ، لكنهم يكافحون مع هذا في البورصات الحقيقية ، ويفرضون قيودًا على حجم المعاملات ،ارتكبت يوميا وبأقصى مستويات النمو أو الهبوط في سعر الأصل.

كل هذه استنتاجات حزينة ، تتحدث ليس لصالح السوق الحرة ، أم أنها كذلك ، النموذج الذي اقترحه شاريكوف! ولكن ما هو الانتروبيا للتوزيع المتدهور؟ وفقًا للصيغة القياسية ، فهي صفر تمامًا. هذا هو التوزيع الأكثر عدم ترجيحًا ، والأكثر ترجيحًا للتوزيع ، وهو غير مستقر في أي نموذج تبادل ، لذلك لا يمكن الحصول على مثل هذا المجتمع إلا بشكل مصطنع. إن السوق البرية ، بالطبع ، ليست هدية - فهي غير مستقرة وتميل إلى عدم المساواة الصارخة. يتطلب الأمر الكثير من القيود المتفق عليها بشكل متبادل والعلاقات المضبوطة بدقة لبناء سوق مستدام ومجتمع أكثر أو أقل عادلة. لقد دأبت البشرية على استكشاف هذه القضية لفترة قصيرة جدًا وباللمس بشكل أساسي عن طريق التجربة والخطأ ، ولكن هناك شيء واحد واضح: الظلم في المجال الاقتصادي ليس نتيجة للطبيعة البشرية القذرة ، بل خاصية موضوعية للنظامالذي نحن جميعا جزء منه. علاوة على ذلك ، كانت محاولات إنشاء العدالة المطلقة بأسلوب شاريكوف دائمًا مع المعركة والدم ، والنتائج ، بسبب اختلالها ، لم تكن موجودة لفترة طويلة.

من غير المحتمل أن تتحدث الجزيئات والذرات عن الظلم في عالمهم ، وقد توصل الفيزيائيون والمهندسون لمائتي عام إلى توافق مع حقيقة أنه بغض النظر عن المحرك الحراري المثالي الذي بنوه ، فلن تسمح الفوضى بتحويل الحرارة للعمل أكثر من الحصة المطلوبة. عندما يكون الأمر واضحًا ، فهذا ليس مسيئًا. آمل أن يساعد هذا الفصل القارئ الفضولي على فهم وقبول عالمنا المعقد والظالم.