كيف يمكن أن تساعدك رياضيات الشبكة على تكوين صداقات

يمكن أن يساعدك فحص بنية الصداقات الموجودة في بيئتك على إنشاء علاقات جديدة بشكل أفضل أثناء إنشاء دائرة جديدة من الأصدقاء.

الانتقال إلى مدرسة جديدة ، ووظيفة جديدة ، والانتقال إلى مدينة جديدة - كيف يمكنك تكوين صداقات جديدة؟ يمكنك التعامل مع المشكلة بنشاط ، وتكوين علاقات مفيدة استراتيجيًا مع الأشخاص المشهورين. أو يمكنك ترك كل شيء للصدفة ، بالاعتماد على مجموعات واتصالات عشوائية. في أي نهج ، يمكن أن يساعدك فهم بنية الصداقات الحالية في بيئة جديدة على تكوين أفضل العلاقات الجديدة ، والتي ستحدد في نهاية المطاف دائرة معارفك.

تخيل الانتقال إلى مدينة جديدة غير عادية ، Regularsk ، حيث توجد قاعدة غريبة: لا يمكن لأي شخص أن يكون لديه أكثر من أربعة أصدقاء ، ولكن الجميع يرغبون في زيادة عدد اتصالاتهم. كيف سيبدو هيكل سندات Regularsk؟ لدراسة هذا السؤال ، نستخدم كائنًا رياضيًا يسمى شبكة.

ببساطة ، الشبكة عبارة عن مجموعة من الكائنات تسمى "العقد" والصلات بينها. الشبكات مفهوم مرن رياضيًا. يمكن أن يشيروا إلى أجهزة الكمبيوتر والكابلات التي تربطهم ، والمؤلفين ومساعديهم ، وحالات مكعب روبيك والتحولات ، مما يسمح بالمرور بينهم - في الواقع ، أي نوع من الاتصالات ، الحقيقية أو المجردة. لدراسة الصداقات في ريغولارسك ، سننشئ شبكة يكون فيها الأشخاص عُقدًا وصداقات بينهم.

عند الإشارة إلى الشبكة ، سيكون من المفيد تمثيل العقد في شكل نقاط ، والاتصالات في شكل خطوط ، والتي يمكننا أيضًا استدعاء الحواف. يمكن لمخطط الشبكة هذا أن يساعدنا على فهم هيكله. إذن كيف ستبدو شبكة صداقة Regularsk؟ في وقت ما ، قد يبدو مثل هذا:



سيحاول كل شخص العثور على أربعة أصدقاء ، وسيبحث الأشخاص الجدد الذين يأتون إلى المدينة عن أولئك الذين لا يزال لديهم أقل من أربعة أصدقاء. ستنمو هذه الشبكة بمرور الوقت ، وستتوسع باستمرار مع إضافة عقد جديدة. (من الممكن تشكيل مجموعات مستقلة ، لكننا في هذا المثال نهملهم).

يمكن أن تساعد المخططات الشبكية على فهمها ، مما يظهر بنية واضحة. ولكن عندما تنمو الشبكات ، أو لا تظهر بنية منتظمة مثل الشبكة العادية ، فقد تصبح الرسوم البيانية أقل فائدة. في هذه الحالة ، من المفيد تطوير طرق مختلفة لتحليل بنية الشبكة. أحدها تقييم توزيع درجات القمم.

في الشبكة ، يسمى عدد روابط عقدة معينة درجتها. ترتبط العقدة ارتباطًا وثيقًا بالعديد من الآخرين ؛ ترتبط العقدة بدرجة منخفضة بعدد أقل من العقد الأخرى.


على اليسار - عقدة بدرجة 8 ، على اليمين - بدرجة 3

تعتبر درجة العقد خاصية مهمة للشبكة ، ولكنها محلية: فهي تصف بنية الشبكة فقط داخل عقدة واحدة. ولكن إذا قمت بتغطية درجات جميع العقد دفعة واحدة ، فيمكنك إنشاء أداة مفيدة لدراسة بنية الشبكة العالمية.

في شبكة أصدقائنا ، درجة كل عقدة هي عدد أصدقاء شخص واحد. في Regularsk ، يكون لدى معظم الأشخاص أربعة أصدقاء ، لذا فإن معظم العقد لديها درجة 4. ولن يكون لدى أحد المزيد من الأصدقاء ، ولكن سيكون لدى شخص ما عدد أقل ، لذلك سيكون هناك عقد بدرجة 3 أو 2 أو 1. يمكنك تلخيص توزيع الدرجات كما يلي:



هذا الرسم البياني ينقل معلومات مهمة حول هيكل شبكتنا. في هذا المثال البسيط ، قد لا ينقل لنا مثل مخطط الشبكة الكامل ، لكننا سنرى كيف يمكن أن يكون توزيع الدرجة مفيدًا جدًا لدراسة الشبكات المختلفة.

دعنا ننتقل إلى مدينة أخرى. في فوضى ، يبدأ المواعدة بشكل عشوائي. نظرًا لأن الصدفة أمر صعب ، فلنقم بتحديد النطاق بوضوح: يتم تعيين كل مقيم في المدينة بواسطة عقدة شبكة ، وكل حافة ممكنة هي اتصال ودي. لإنشاء اتصال عشوائي ، سنختار إحدى هذه الحواف الممكنة بطريقة عشوائية ، ونرسمها ، وبالتالي ننشئ اتصالًا بين عقدتين ، وبالتالي ، الصداقة بين شخصين.

كيف ستبدو شبكة الفوضى؟ إذا افترضنا أننا بدأنا بعقد عديدة وأضفنا عشوائيًا عدة حواف ، يمكن أن تكون الصورة على النحو التالي:



في مثل هذا الرسم البياني ، من الصعب رؤية الهيكل. ومع ذلك ، سيخبرنا الكثير عن توزيع الدرجات في هذه الشبكة. من الصعب الحساب مباشرةً ، ولكن يمكن تمثيله باستخدام العديد من الخصائص المهمة ومثال بسيط.

افترض أنك أحد سكان الفوضى العشرة. كم عدد الصداقات المحتملة التي يمكن أن توجد فيه؟ يمكن ربط كل من السكان العشرة مع تسعة آخرين ، لذلك ، من حيث المبدأ ، من الممكن رسم 10 × 9 = 90 حواف. لكن مثل هذا الحساب يأخذ في الاعتبار كل اتصال مرتين - مرة واحدة لكل من الصديقين. لذلك ، في الواقع ، يجب أن يكون العدد الإجمالي للسندات 90/2 = 45.

الآن ، لنفترض أننا نختار علاقة ودية بشكل عشوائي - أي أنها إحدى الحواف الـ 45 الممكنة. ما مدى احتمالية ارتباط الضلع بك؟ تسعة حواف يمكن أن تتركك ، إلى إحدى العقد التسع المتبقية. نظرًا لأن تسعة من بين 45 حوافًا محتملة تؤدي إليك ، فإن احتمالية اتصال حافة تم تحديدها عشوائيًا بك هي 9/45 = 1/5 ، أو 20٪.

لكن نفس الحجة تنطبق على Disorder ، لذلك سيكون لكل عقدة فرصة 20 ٪ للاتصال بحافة مختارة بشكل عشوائي. مع زيادة عدد الحواف والعقد ، ستتغير هذه الاحتمالات قليلاً ، ولكن على المدى الطويل ستبقى عند نفس المستوى تقريبًا. أي أن الصداقات ستوزع بالتساوي تقريبًا عبر الفوضى. في بعض الأماكن سيتم ملاحظة انحرافات صغيرة ، ولكن احتمال أن يكون لدى الشخص صداقات كثيرة جدًا أو قليلة سيكون صغيرًا. في الفوضى ، من المرجح أن يكون لدى معظم السكان أصدقاء مقربين مع أصدقاء عاديين.

تتعلق هذه الميزات بـ " التوزيع ذي الحدين " لدرجات شبكة عشوائية نموذجية.



من خلال الوصول فقط إلى توزيع الدرجات في الشبكة ، يمكننا بالفعل العثور على تجانس معين فيها: معظم العقد من حيث الاتصال متوسطة ، وعدد صغير جدًا من العقد في مواقف متطرفة. هذه المعلومات مفيدة لفهم هيكل الشبكة. مع إضافة العقد ، أي مع وصول أشخاص جدد إلى المدينة ، سيتغير التوزيع قليلاً ، مع الاحتفاظ بالميزات الرئيسية.

ولكن ليس أيًا من هذه الأمثلة - لا يزيد عن أربعة أصدقاء في ريغولارسك أو صداقة تظهر بشكل عشوائي في الاضطراب - هو نموذج واقعي لعلاقات الصداقة. يمكن أن يكون للناس أكثر من أربعة أصدقاء ، ولا يعد وجود عدد كبير من المعارف نادرًا كما هو الحال في التوزيع ذي الحدين. ماذا سيكون نموذج الصداقة الأكثر واقعية؟

عند بناء اتصالات مع الأصدقاء وأصدقاء الأصدقاء ، فإن هيكل صداقاتك سيشبه على الأرجح شبكات العالم الحقيقي الأخرى - شبكات الطعام ، تفاعلات البروتين والبروتين ، أو الإنترنت. تميز خصائصها ما يسمى بالشبكات غير المتدرجة - مثل نموذج الاتصال هذا هيمن على علم الشبكات لأكثر من 20 عامًا. لاحظ باحثون من الرياضيات والفيزياء والاقتصاد والبيولوجيا والعلوم الاجتماعية علامات مميزة لوجود شبكات لا تحجيم في مجالات بحثهم.


شبكة شبكات اجتماعية متطورة خالية من المقاييس

تعتمد بنية الشبكة غير المتدرجة على المبدأ البسيط "الاتصالات المفضلة". الاتصال المفضل هو قاعدة "الثراء الأغنياء" ، والتي تشير إلى نمو الشبكة. من المرجح أن تحصل العقدة التي تحتوي على عدد كبير من الاتصالات الحالية على اتصالات جديدة أكثر من العقدة ذات العدد الصغير. تُظهر الوصلات الجديدة نزعة نحو العقد ذات عدد كبير من الوصلات.

هل هذا منطقي في سياق تكوين الصداقات؟ من حيث المبدأ ، من المنطقي أن نفترض أن الشخص الذي لديه المزيد من الأصدقاء من المرجح أن يصنع أصدقاء جدد. نظرًا لأنه مرتبط بالفعل بعدد كبير من الأشخاص ، فإن احتمال لقاء أشخاص جدد بسبب الاتصالات الحالية مرتفع. لمزيد من الأصدقاء ، والمزيد من الفرص لتكوين صداقات جديدة. وحقيقة أن لديهم بالفعل العديد من الأصدقاء ، تقول أن لديهم نوعًا من الفرص أو شغف بالصداقة. من المرجح أن يجذب ذلك الآخرين ، تمامًا مثلما تجذب المواقع الشهيرة روابط من مواقع ومدونات أخرى ، وتقوم المدن المتطورة بإنشاء خطوط سكك حديدية وطرق جوية جديدة.

على الرغم من أن العديد من العوامل تؤثر على نمو الشبكات غير المتدرجة ، إلا أن الكثير منها يعتبر أن الاتصالات المفضلة هي الأكثر أهمية. له أيضًا تأثير مذهل على توزيع الدرجات في الشبكة.



يتنبأ بمظهر توزيع "ذيل سميك". سيكون لمعظم العقد في الشبكة درجة صغيرة ، ولكن سيكون هناك أيضًا عقد ذات درجات متزايدة. هذا يختلف تمامًا عن شبكات Regularsk والصديقة للاضطراب ، حيث يوجد عدد قليل جدًا من العقد أو لا توجد بها درجات كبيرة.

تعمل هذه العقد ، بدرجات كبيرة ، كمحاور للشبكات وهي خاصية حاسمة للشبكات غير القابلة للتوسيع. هم الفراشات الاجتماعية في شبكات الأصدقاء ، والبنوك في وسط الاقتصادات ، وأجهزة التوجيه المركزية التي تمر عبر اتصالات الإنترنت الإقليمية من خلال أنفسهم ، كيفينوف بيكونوف من عالم التمثيل . يمكن أن توفر المحاور إحساسًا بالعالم الضيق في شبكة ضخمة - على سبيل المثال ، أي شخصين يتم اختيارهم عشوائيًا من بين 2 مليار مستخدم على Facebook ليسوا في المتوسط بعيدًا عن بعضهم البعض إلا في أربع علاقات ودية . يمنح عدد وتنوع المحاور شبكات واسعة النطاق مقاومة لنوع معين من الانقطاع. على سبيل المثال ، حتى مع فشل العديد من اتصالات الإنترنت ، ستظل الرسائل قادرة على الوصول ، خاصة لأنه لا يزال هناك العديد من الطرق للوصول إلى العديد من المحاور إلى العديد من المحاور الأخرى.

وعلى الرغم من أن الكثيرين يتفقون على أن الشبكات الخالية من المقاييس وخصائصها مفيدة ، إلا أن هناك تناقضات في هذا المجال من البحث. من الصعب أحيانًا تفسير الخصائص الرياضية الدقيقة لمثل هذه الدرجة. في Linked: The New Science of Networks ، رائد أبحاث الشبكات والفيزيائي Albert Lazlo Barabasi يكتب أنه في الشبكات التي تظهر الاتصالات المفضلة ، سيتبع توزيع الدرجات قانون القوة. غالبًا ما توجد توزيعات الطاقة في العديد من المواقف الفيزيائية - على سبيل المثال ، في قانون المربعات العكسية للجاذبية أو المجالات الكهربائية. يمكن تمثيلها كوظائف لها الشكل

$$

$$f (x) = {{a} \ over {x ^ k}}$$

عادة ما تبدو الرسوم البيانية الخاصة بهم مثل هذا:



توزيع الطاقة لديها "ذيول سميكة". لكن كيف سميك؟ كم عدد محاور درجة معينة يجب العثور عليها في هذه الشبكة؟ في دراسة نشرت هذا العام ، تمت دراسة أكثر من 1000 شبكة حقيقية ، ووجد أن ثلثها فقط يمكن أن يكون له توزيع على درجة وصفها قانون السلطة. بالنسبة للعديد من الشبكات ، يمكن وصف توزيع الدرجات بشكل أدق على أنه أسي أو عادي . قد يكون لديهم خصائص عالية المستوى للشبكات غير قابلة للتوسع ، ولكن هل يمكن اعتبارها كذلك إذا لم يتم توزيع الدرجات فيها كما هو متوقع؟ وهل يهم حتى؟

يهم إذا أردنا ربط نظرياتنا ببياناتنا. هل يعد التواصل المفضل عاملاً رئيسيًا في بناء شبكات خالية من المقاييس؟ هل هناك عوامل أخرى تلعب دورًا مهمًا ويمكن أن تقود توزيع الدرجة إلى الجانب الآخر؟ من خلال الإجابة على هذه الأسئلة وفهم الأسئلة التي يجب طرحها بعد ذلك ، سوف نفهم بشكل أفضل طبيعة وهيكل الشبكات ، وكيف تتطور وتتطور.

تذكرنا هذه التناقضات أيضًا أن الرياضيات ، مثل الشبكات ، هي أيضًا مجموعة من الروابط المتطورة. يتحدى البحث الحالي الفرضيات التي يبلغ عمرها 20 عامًا في مجال جديد نسبيًا لأبحاث الشبكة. الأفكار الجديدة ، الانضمام إلى الشبكة ، تربطنا جميعًا برياضيات الماضي والمستقبل. لذلك في الأمور الرياضية ، كما هو الحال في مجال الصداقة ، سيكون من المفيد العثور على المحاور وزيادة شهادتك.

تمارين

• كيف ستبدو شبكة الأصدقاء إذا كان لكل شخص صديقان بالضبط؟
• في Regularsk ، يمكن لكل شخص تكوين ما يصل إلى أربعة أصدقاء. قد تكون هناك مجموعات منفصلة يكون لكل شخص فيها أربعة أصدقاء بالضبط. كم عدد الأشخاص الذين يمكن تضمينهم في هذه المجموعة؟ (تلميح: الجواب مرتبط بالعديد من الأشكال المتعددة ).
• تقوم شبكاتنا على حقيقة أن الصداقة هي مفهوم متناظر. إذا كان A أصدقاء مع B ، فإن B أصدقاء مع A. كيف يمكننا تصحيح نموذج شبكتنا بحيث يمكن أن يتضمن اتصالات غير متكافئة حيث يمكن أن يكون A أصدقاء مع B ، ولا يمكن أن يكون B أصدقاء مع A؟
• في الأصدقاء ، كل مقيم صديق مع أي شخص آخر. إذا كان هناك أناس يعيشون في الأصدقاء ، فكم عدد علاقات الصداقة التي تم تكوينها هناك؟