الخلفية

سبب هذا المنشور هو مقال غامض حول مبدأ العمل الأقل (IPA) ، نشر على المورد قبل بضعة أيام. إنه أمر غامض لأن مؤلفه في شكل شعبي يحاول أن ينقل إلى القارئ أحد المبادئ الأساسية للوصف الرياضي للطبيعة ، وينجح جزئيًا. إن لم يكن لواحد ولكن كامنة في نهاية المنشور. تحت المفسد يوجد اقتباس كامل لهذا المقطع

مشكلة في حركة الكرة

ليس بهذه البساطة

في الواقع ، لقد خدعت قليلاً بالقول إن الجثث تتحرك دائمًا بطريقة تقلل من الحركة. على الرغم من أن هذا صحيح في كثير من الحالات ، يمكنك الخروج بمواقف يكون فيها الإجراء ليس بالحد الأدنى.

على سبيل المثال ، خذ كرة وضعها في مساحة فارغة. على مسافة من ذلك ، نضع جدارًا مرنًا. افترض أننا نريد أن تكون الكرة في نفس المكان بعد مرور بعض الوقت. في ظل هذه الظروف ، يمكن أن تتحرك الكرة بطريقتين مختلفتين. أولاً ، يمكن أن يبقى في مكانه. ثانيًا ، يمكن دفعه نحو الجدار. ستطير الكرة إلى الحائط وترتد عنها وتعود. من الواضح أنه يمكنك دفعه بسرعة كبيرة بحيث يعود في الوقت المناسب تمامًا.

كلا النوعين من حركة الكرة ممكنان ، لكن الإجراء في الحالة الثانية سيظهر أكثر ، لأنه طوال هذا الوقت ستتحرك الكرة بطاقة حركية غير صفرية.

كيف تحفظ مبدأ العمل الأقل بحيث يكون عادلاً في مثل هذه المواقف؟ سنتحدث عن هذا في المرة القادمة.

فما هي المشكلة في رأيي؟

المشكلة هي أن المؤلف ، مستشهدا بهذا المثال ، ارتكب عددا من الأخطاء الأساسية. ومما يضاعف من حقيقة أن الجزء الثاني المخطط ، حسب المؤلف ، سوف يستند إلى هذه الأخطاء. مسترشداً بمبدأ ملء المورد بمعلومات موثوقة ، أجد نفسي مضطرًا إلى الخروج بشرح لموقفي بشأن هذه المشكلة بمزيد من التفصيل ، ولا يكفي تنسيق التعليقات لذلك.

ستتحدث هذه المقالة عن كيفية بناء الميكانيكا على أساس PND ، وستحاول أن توضح للقارئ أن المشكلة التي طرحها مؤلف المنشور المذكور مفقودة.

1. تعريف عمل هاميلتون. مبدأ العمل الأقل

يسمى عمل هاميلتون وظيفية

$S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \، L \ left (\ mathbf q (t)، \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) \، dt$

أين

$L \ يسار (\ mathbf q (t) ، \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) = T \ left (\ mathbf q (t) ، \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) - \ Pi (\ mathbf q)$

هي وظيفة Lagrange لبعض النظام الميكانيكي حيث (حذف الحجج أدناه) T هي الطاقة الحركية للنظام ؛ P - طاقته الكامنة ؛ ف (ر) هو ناقل الإحداثيات المعممة لهذا النظام ، وهي دالة للوقت. ويعتقد أنه يتم إصلاح الغرز الزمنية t ₁ و t ₂ .

لماذا الوظيفة لا تعمل؟ لأن الوظيفة ، بحكم تعريفها ، هي قاعدة يتم بموجبها ربط رقم من مجال التعريف (وسيطة دالة) برقم آخر من مجال القيم. الوظيفة تختلف من حيث أن الوسيطة ليست رقمًا ، ولكنها دالة كاملة. في هذه الحالة ، هذا هو قانون حركة النظام الميكانيكي q (t) ، المحدد على الأقل خلال الفترة الزمنية بين t ₁ و t ₂ .

سمحت لنا أعمال طويلة الأمد (وهذا ما يُطرح بشكل معتدل!) أعمال علماء الميكانيكا (بما في ذلك ليونارد أويلر المثير للإعجاب) بصياغة

مبدأ العمل الأقل:

نظام ميكانيكي تم تحديد وظيفة Lagrange له $L \ يسار (\ mathbf q (t) ، \ dot {\ mathbf q} (t) \ right)$ ، يتحرك بطريقة تجعل قانون حركته q (t) يوفر الحد الأدنى للوظيفة
$S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \، L \ left (\ mathbf q (t)، \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) \، dt \ to \ min$

دعا عمل هاميلتون.

بالفعل من تعريف PND ذاته ، فإنه يتبع حقيقة أن هذا المبدأ يؤدي إلى معادلات الحركة فقط لفئة محدودة من الأنظمة الميكانيكية. من اجل ماذا؟ ودعنا نكتشف ذلك.

2. حدود تطبيق مبدأ العمل الأقل. بعض التعاريف للأصغر

على النحو التالي من تعريف وظيفة Lagrange ، يسمح PND للمرء بالحصول على معادلات الحركة للأنظمة الميكانيكية ، والتي يتم تحديد عمل القوة عليها حصريًا بواسطة الطاقة الكامنة. من أجل معرفة الأنظمة التي نتحدث عنها ، سنقدم عدة تعريفات ، والتي من أجل حفظ المقالة ، أضعها تحت المفسد

قوة العمل أثناء التنقل

ضع في اعتبارك نقطة تتحرك على طول المسار AB ، الذي يتم تطبيق القوة عليه

$\ vec F$ . يتم تحديد الإزاحة الصغيرة بشكل لا نهائي لنقطة على طول المسار بواسطة المتجه

$d \ vec s$ المماس الموجه إلى المسار.

العمل الأولي للقوة

$\ vec F$ على التحرك

$d \ vec s$ تسمى القيمة العددية تساوي

$dA = \ vec F \ cdot d \ vec s$

ثم ، فإن العمل الكامل للقوة على تحريك النقطة على طول المسار AB هو تكامل منحني

$A = \ int \ limits_ {AB} \، \ vec F \ cdot d \ vec s$

نقاط الطاقة الحركية

الطاقة الحركية للنقطة T هي العمل الذي يجب أن تكمله القوى المطبقة على نقطة الكتلة m من أجل تحويل النقطة من الحركة إلى الراحة بسرعة $\ vec v$

نحسب الطاقة الحركية وفقًا لهذا التعريف. دع النقطة تبدأ بالانتقال من حالة الراحة تحت تصرف القوى المطبقة عليها. في الجزء من المسار AB ، يكتسب السرعة

$\ vec v$ . نحسب العمل الذي قامت به القوات المطبقة على النقطة ، والتي ، وفقًا لمبدأ استقلالية القوات ، نستبدل الناتج

$\ vec F$

$T = A = \ int \ limits_ {AB} \، \ vec F \ cdot d \ vec s$

وفقًا لقانون نيوتن الثاني

$\ vec F = m \، \ vec a = m \، \ frac {d \ vec v} {dt}$

ثم

$T = \ int \ limits_ {AB} \، \ vec F \ cdot d \ vec s = m \، \ int \ limits_ {AB} \ frac {d \ vec v} {dt} \، \ cdot d \ vec s = m \ int \ limits_ {AB} \، \ vec v \ cdot d \ vec v$

نحن نحسب المنتج الحجمي القائم بصرامة تحت العلامة المتكاملة ، والتي نميز من خلالها المنتج الحجمي لمتجه السرعة في حد ذاته

$\ frac {d} {dt} (\ vec v \ cdot \ vec v) = \ frac {d \ vec v} {dt} \ cdot \ vec v + \ vec v \ cdot \ frac {d \ vec v} {dt} = 2 \، \ vec v \ cdot \ frac {d \ vec v} {dt} \ quad (1)$

من ناحية أخرى

$\ vec v \ cdot \ vec v = v ^ 2$

التفريق بين هذه المساواة فيما يتعلق بالوقت لدينا

$\ frac {d} {dt} (\ vec v \ cdot \ vec v) = \ frac {d} {dt} (v ^ 2) = 2 \، v \، \ frac {dv} {dt} \ quad (2)$

بمقارنة (1) و (2) ، نستنتج ذلك

$\ vec v \ cdot d \ vec v = v \، dv$

ثم نحسب العمل بهدوء ، ونكشف عن التكامل المنحني الخطي من خلال واحد محدد ، مع أخذ معامل السرعة للنقطة في بداية ونهاية المسار كحدود

$T = m \ int \ limits_ {AB} \ vec v \ cdot d \ vec v = m \ int \ limits_0 ^ v v \، dv = \ frac {m \، v ^ 2} {2}$

القوى المحافظة ونقاط الطاقة المحتملة

ضع في اعتبارك القوة التي تعمل على نقطة ، بحيث يعتمد حجم واتجاه هذه القوة فقط على موقع النقطة في الفضاء

$\ vec F = \ vec F (x، y، z) \ quad (3)$

دع النقطة تتحرك في الفضاء على طول المسار التعسفي AB. نحسب العمل الذي ستقوم به القوة (3)

$A = \ int \ limits_ {AB} \ vec F \ cdot d \ vec s = \ int \ limits_ {AB} \ left (F_x \، dx + F_y \، dy + F_z \، dz \ right)$

نظرًا لأن إسقاط القوة على محور الإحداثيات يعتمد فقط على هذه الإحداثيات نفسها ، يمكن للمرء دائمًا العثور عليها

$U = U (x، y، z)$

مثل هذا

$F_x = \ frac {\ جزئي U} {\ جزئي X} ، \ quad F_y = \ frac {\ جزئي U} {\ جزئي y} ، \ quad F_z = \ frac {\ جزئي U} {\ جزئي z}$

بعد ذلك ، يتم تحويل تعبير العمل إلى

$A = \ int \ limits_ {AB} \ left (\ frac {\ جزئي U} {\ جزئي x} \، dx + \ frac {\ جزئي U} {\ جزئي y} \، dy + \ frac {\ جزئي U} {\ جزئي z} \، dz \ right) = \ int \ limits_ {U_A} ^ {U_B} \، dU = U_B - U_A$

أين

$U_A ، \ ، U_B$ هي قيم الدالة U (x، y، z) عند النقطتين A و B ، على التوالي. وبالتالي ، لا يعتمد عمل القوة التي نفكر فيها على مسار النقطة ، ولكن يتم تحديده فقط من خلال قيم الدالة U في بداية ونهاية المسار. تسمى هذه القوة قوة محافظة ، وتسمى الوظيفة المقابلة U (x ، y ، z) دالة القوة. من الواضح ،

$\ vec F = \ nabla \، U$ ، وكذلك المساواة في الصفر لعمل القوة المحافظة عند التحرك على طريق مغلق. يقال أيضًا أن الدالة U (x، y، z) تحدد مجال القوة في الفضاء.

الطاقة الكامنة $\ Pi = \ Pi (x، y، z)$ تسمى النقاط في الفضاء مع مجال قوة معين عمل القوى الخارجية المطبقة عليه ، والتي تؤديها عند تحريك النقطة إلى موقع في الفضاء المحدد بواسطة الإحداثيات (س ، ص ، ض) من بعض الموقع التعسفي المحدد كنقطة مرجعية لمستوى الطاقة المحتملة .

دعونا نختار نقطة اعتباطية O تقع بين النقطتين A و B على مسار النقطة التي تم النظر فيها سابقًا. نفترض أن الطاقة الكامنة تساوي صفر عند النقطة O. ثم حسب التعريف

$\ Pi_A = - (U_A - U_O)$

هي الطاقة الكامنة للنقطة في الموضع A و

$\ Pi_B = - (U_B - U_O)$

- الطاقة الكامنة للنقطة في الموضع ب. وبالنظر إلى كل ما سبق ، فإننا نحسب مرة أخرى عمل القوى المحتملة على الانتقال من النقطة أ إلى النقطة ب

$A_ {AB} = A_ {AO} + A_ {OB} = U_O - U_A + U_B - U_O = (U_O - U_A) - (U_O - U_B) = \ Pi_A - \ Pi_B$

وبالتالي ، فإن عمل القوى المحافظة يساوي التغيير في الطاقة الكامنة لنقطة مأخوذة بعلامة معاكسة

$A_ {AB} = \ Pi_A - \ Pi_B = - (\ Pi_B - \ Pi_A) = - \ Delta \ Pi$

علاوة على ذلك ، فإن اختيار المستوى الذي نعتبر عنده الطاقة الكامنة مساوية للصفر لا يؤثر على النتيجة على الإطلاق. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه يمكن اختيار المستوى المرجعي للطاقة الكامنة بشكل تعسفي تمامًا.

3. مفهوم التغيرات في الإحداثيات المعممة. بيان المشكلة التباينية

لذلك ، نعتبر الآن نظامًا ميكانيكيًا يتحرك تحت تأثير القوى المحتملة ، ويتم تحديد موقعه بشكل فريد بواسطة ناقل الإحداثيات المعممة

$\ mathbf q = \ يسار [q_1، \، q_2، \، \ dots، \، q_s \ right] ^ T \ quad (4)$

حيث s هو عدد درجات الحرية لنظام معين.

الفعلي ، ولكن لا يزال غير معروف بالنسبة لنا ، يتم تحديد قانون الحركة لهذا النظام من خلال اعتماد الإحداثيات المعممة (4) في الوقت المحدد. خذ بعين الاعتبار إحدى الإحداثيات المعممة

$q_i = q_i (t)$ ، مع افتراض منطق مماثل لجميع الإحداثيات الأخرى.

الشكل 1. الحركة الفعلية والدائرية لنظام ميكانيكي

في الشكل ، التبعية

$q_i (t)$ يصور منحنى أحمر. نختار اثنتين من الدعامات الثابتة العشوائية t ₁ و t ₂ ، ونضع t ₂ > t ₁ . موضع النظام

$\ mathbf q_1 = \ mathbf q (t_1)$ نتفق على استدعاء الموقف الأولي للنظام ، و

$\ mathbf q_2 = \ mathbf q (t_2)$ - الموضع النهائي للنظام.

ومع ذلك ، أصر مرة أخرى على قراءة النص التالي بعناية! على الرغم من حقيقة أننا حددنا الموقف الأولي والنهائي للنظام ، فلا يعرفنا المركز الأول ولا الثاني مسبقًا! وكذلك قانون حركة النظام المجهول! تعتبر هذه الأحكام بدقة على أنها الموقف الأولي والنهائي ، بغض النظر عن معاني محددة.

علاوة على ذلك ، نعتقد أنه من الموقف الأولي إلى النظام النهائي يمكن أن يأتي بطرق مختلفة ، أي الاعتماد

$\ mathbf q = \ mathbf q (t)$ يمكن أن يكون أي ممكن حركياً. ستوجد الحركة الفعلية للنظام في متغير واحد (منحنى أحمر) ، وستُسمى المتغيرات المحتملة الكينماتية المتبقية حركات مستديرة

$\ mathbf q ^ {*} = \ mathbf q ^ {*} (t)$ (المنحنى الأزرق في الشكل). الفرق بين الحقيقي والدائري

$\ delta q_i (t) = q ^ {*} _ i (t) - q_i (t) ، \ quad \ forall i = \ overline {1، s} \ quad (5)$

ستسمى الاختلافات المتزامنة في الإحداثيات المعممة

في هذا السياق ، يجب فهم الاختلافات (5) على أنها وظائف متناهية الصغر تعبر عن انحراف الدوار عن الحقيقي. لم يتم اختيار "الدلتا" الصغير للتعيين عن طريق الصدفة ويؤكد على الفرق الأساسي بين التباين والتفاضل الوظيفي. التفاضلي هو الجزء الخطي الرئيسي من زيادة الدالة الناتجة عن زيادة الوسيطة. في حالة الاختلاف ، يحدث تغيير في قيمة دالة ذات قيمة ثابتة للوسيطة بسبب تغيير في شكل الوظيفة نفسها! نحن لا نغير الحجة في دور الوقت ؛ وبالتالي ، فإن الاختلاف يسمى متزامن. نحن نغير القاعدة التي يتم بها مطابقة كل قيمة زمنية مع قيمة معينة من الإحداثيات المعممة!

في الواقع ، نحن نغير قانون الحركة ، والذي بموجبه ينتقل النظام من الحالة الأولية إلى الحالة النهائية. يتم تحديد الحالة الأولية والنهائية من خلال قانون الحركة الفعلي ، لكنني أؤكد مرة أخرى أننا لا نعرف قيمها المحددة ويمكن أن تكون ممكنة بشكل حركي ، نحن نعتقد فقط أنها موجودة وأن النظام مضمون للانتقال من موقع إلى آخر! في الموضع الأولي والنهائي للنظام ، لا نغير قانون الحركة ، وبالتالي ، فإن الاختلافات في الإحداثيات المعممة في الموضع الأولي والنهائي تساوي الصفر

$\ delta q_i (t_1) = \ delta q_i (t_2) = 0 ، \ quad \ forall i = \ overline {1، s} \ quad (6)$

استنادًا إلى مبدأ الإجراء الأقل ، يجب أن تكون الحركة الفعلية للنظام مثل توفير الحد الأدنى من وظيفة الإجراء. يؤدي تغيير الإحداثيات إلى حدوث تغيير في وظيفة الإجراء. الشرط الضروري للوظيفية للوصول إلى قيمة قصوى هو المساواة إلى صفر من تنوعها

$\ delta S = \ delta \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \، L (q_1، \ dots، q_s، \، \ dot q_1، \ dots، \ dot q_s) \، dt = 0 \ quad ( 7)$

4. حل المشكلة التباينية. معادلات لاغرانج من النوع الثاني

دعونا نحل مشكلتنا التباينية ، التي نحسب لها التغيير الكامل للعمل الوظيفي ونعادلها بالصفر

$\ start {align} \ delta S = & \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \، L (q_1 + \ delta q_1، \ dots، q_s + \ delta q_s، \، \ dot q_1 + \ delta \ dot q_1 ، \ dots ، \ dot q_s + \ delta \ dot q_s) \ ، dt - \\ & - \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \ ، L (q_1 ، \ dots ، q_s ، \ ، \ dot q_1 ، \ dots ، \ dot q_s) \ ، dt = 0 \ end {align}$

دعنا ندفع كل شيء تحت تكامل واحد ، وبما أن جميع العمليات على الكميات المتناهية الصغر صالحة للتغيير ، فإننا نحول هذا التمساح إلى الشكل

$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ جزئي L} {\ جزئي q_i} \ delta q_i + \ sum \ limits_ {i = 1 } ^ s \ frac {\ جزئي L} {\ جزئي \ dot q_i} \ delta \ dot q_i \ right] \، dt = 0 \ quad (8)$

بناء على تعريف السرعة المعممة

$\ delta \ dot q_i = \ frac {d (\ delta q_i)} {dt}$

ثم يتم تحويل التعبير (8) إلى الشكل

$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ جزئي L} {\ جزئي q_i} \ delta q_i \، dt + \ sum \ limits_ { i = 1} ^ s \ frac {\ جزئي L} {\ جزئي \ dot q_i} د (\ delta q_i) \ right] = 0$

يتم دمج المصطلح الثاني في أجزاء

$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ جزئي L} {\ جزئي \ dot q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} + \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ جزئي L} {\ جزئي q_i} \ delta q_i - \ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {d} {dt} \ اليسار (\ frac {\ جزئي L} {\ جزئي \ نقطة q_i} \ يمين) \ delta q_i \ right] \، dt = 0 \ quad (10)$

بناء على الشرط (7) لدينا

$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ جزئي L} {\ جزئي \ dot q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} = 0$

ثم نحصل على المعادلة

$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ left (\ frac {\ جزئي L} {\ جزئي q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ جزئي L} {\ جزئي \ نقطة q_i} \ يمين) \ يمين) \، \ delta q_i \ right] \، dt = 0$

بالنسبة لحدود التكامل التعسفي ، يتم ضمان اختفاء جزء لا يتجزأ من خلال اختفاء التكامل

$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ left [\ frac {\ جزئي L} {\ جزئي q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ جزئي L} {\ جزئي \ dot q_i} \ right) \ right] \، \ delta q_i = 0 \ quad (11)$

بالنظر إلى أن اختلافات الإحداثيات المعممة مستقلة ، (11) صالحة فقط إذا كانت جميع معاملات الاختلافات تساوي الصفر ، أي

$\ frac {\ جزئي L} {\ جزئي q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ جزئي L} {\ جزئي \ dot q_i} \ يمين) = 0، \ quad \ forall i = \ overline {1، s}$

لا أحد يزعجنا في ضرب كل من المعادلات في (-1) والحصول على تدوين أكثر دراية

$\ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ جزئي L} {\ جزئي \ نقطة q_i} \ يمين) - \ frac {\ جزئي L} {\ جزئي q_i} = 0، \ quad \ forall i = \ overline {1، s} \ quad (12)$

المعادلات (12) هي حل المشكلة . وعند هذه النقطة ، يتحول الانتباه مرة أخرى - حل المشكلة التباينية من خلال مبدأ العمل الأقل ، هذه ليست وظيفة تقدم الحد الأدنى إلى العمل الهاميلتوني ، ولكنها نظام من المعادلات التفاضلية ، عن طريق حل هذه الوظيفة التي يمكن العثور عليها . في هذه الحالة ، هذه معادلة تفاضلية Lagrange من الدرجة الثانية مكتوبة من حيث دالة Lagrange ، أي في صياغة الأنظمة الميكانيكية المحافظة.

هذا كل شيء ، ينتهي مبدأ العمل الأقل هناك ، وتبدأ نظرية المعادلات التفاضلية العادية ، والتي ، على وجه الخصوص ، تنص على أن حل المعادلة (12) هو دالة متجهة للشكل

$\ mathbf q = \ mathbf q (t، C_1، C_2، \ dots، C_ {2s})$

حيث C ₁ ، ... ، C _2s هي ثوابت تكاملية تعسفية.

بهذه الطريقة

PND هو مبدأ أساسي يسمح للمرء بالحصول على معادلات الحركة لنظام يتم تعريف وظيفة Lagrange من أجله

نقطة! في مشاكل الميكانيكا التحليلية ، لم تعد الحسابات المذكورة أعلاه بحاجة إلى القيام بها ، يكفي استخدام نتائجها (12). الوظيفة التي تحقق المعادلة (12) هي قانون الحركة لنظام يرضي PND.

5. المشكلة مع الكرة والجدار

الآن نعود إلى المهمة التي بدأ بها كل شيء - حول الحركة أحادية البعد للكرة بالقرب من جدار مرن تمامًا. بالطبع ، بالنسبة لهذه المشكلة ، يمكن للمرء الحصول على معادلات تفاضلية للحركة. نظرًا لأن هذه معادلات تفاضلية للحركة ، فإنني أؤكد ذلك ، أي من حلولها توفر الحد الأدنى من الإجراءات الوظيفية ، مما يعني تنفيذ PND! يمكن تمثيل الحل العام لمعادلات الحركة للكرة في شكل ما يسمى صورة طورية للنظام الميكانيكي قيد النظر. صورة طور هذه

الشكل 2. صورة طور النظام في مشكلة الكرة

يتم رسم إحداثيات الكرة على المحور الأفقي ، وإسقاط السرعة على المحور x على المحور الرأسي. قد يبدو الأمر غريبًا ، لكن هذا الرسم يعكس جميع مسارات المرحلة المحتملة للكرة ، تحت أي شروط أولية ، أو إذا كنت تريد ، حدود. في الواقع ، هناك عدد لا نهائي من الخطوط المتوازية على الرسم البياني ، ويظهر الرسم بعضها واتجاه الحركة على طول مسار المرحلة.

هذا هو حل عام لمعادلة حركة الكرة. يوفر كل مسار من هذه المراحل الحد الأدنى من الوظيفة الوظيفية ، والتي تتبع مباشرة من الحسابات التي تم إجراؤها أعلاه.

ماذا يفعل مؤلف المهمة؟ يقول: هنا الكرة في حالة استراحة ، وللفترات الزمنية من t _A إلى t _{B تكون} الحركة صفر. إذا تم دفع الكرة ضد الجدار ، فستكون الحركة في نفس الفترة الزمنية أكبر ، حيث أن الكرة لديها طاقة حركية غير صفرية وغير متغيرة. ولكن لماذا تتحرك الكرة نحو الجدار ، لأن الراحة ستكون أقل؟ لذا فإن PND يواجه مشاكل ولا يعمل! لكننا بالتأكيد سنحل هذا في المقالة التالية.

ما يقوله الكاتب هراء. لماذا؟ نعم ، لأنه يقارن الإجراءات على الفروع المختلفة لنفس مسار المرحلة الحقيقية! في هذه الأثناء ، عند تطبيق PND ، تتم مقارنة الإجراء على المسار الفعلي وعلى العديد من مسارات التقاطع الدائري. , , !

? . . , . . . . . . ? ,

? , , t _A t _B , , . «» . .

. , , , t _B , . , , t _B , . , . ? , , . ? ربما. ? , , , .

هذا كل شيء. . .

— . , , , (12). , , (12) . .

.

مبدأ العمل الأقل في الميكانيكا التحليلية