اشتبك جبابرة الرياضيات حول إثبات ملحمي لفرضية ABC

يدعي اثنان من علماء الرياضيات أنهما عثرا على ثقب في قلب الدليل هز المجتمع الرياضي لمدة ست سنوات حتى الآن.

في تقرير نُشر في سبتمبر 2018 على الإنترنت ، وصف بيتر شولز من جامعة بون وجاكوب ستيكس من جامعة جوته في فرانكفورت ما يسميه ستيكس "فجوة خطيرة لا يمكن تعويضها" في سلسلة ضخمة من الأعمال الضخمة لشينيتشي موتيزوكي ، عالم الرياضيات العبقري الشهير من جامعة كيوتو . يُزعم أن أعمال موتيزوكي المنشورة على الإنترنت في عام 2012 تثبت فرضية ABC ، وهي واحدة من أكثر المشاكل بعيدة المدى في نظرية الأعداد .

على الرغم من المؤتمرات العديدة التي حاولت شرح دليل موتيزوكي ، كافح خبراء نظرية الأعداد للتعامل مع الأفكار التي تقف وراءه. سلسلة أعماله التي يبلغ حجمها الإجمالي أكثر من 500 صفحة مكتوبة بأسلوب غامض ، وتشير إلى عمله السابق المكون من حوالي 500 صفحة ، مما يؤدي إلى ظهور "شعور بالانحدار اللانهائي" ، كما قال عالم الرياضيات بريان كونراد من جامعة ستانفورد.

من بين علماء الرياضيات الذين درسوا الدليل ، يؤمن 12 إلى 18 شخصًا بصحته ، كما كتب لي إيفان فيسينكو من جامعة نوتنغهام بالبريد الإلكتروني. ولكن ، كما علق كونراد على الوضع في مناقشة الأدلة على مدونة في ديسمبر الماضي ، فإن علماء الرياضيات فقط من "الدائرة الداخلية لموتيزوكي" أكدوا على الدليل. "لم يعد هناك من يريد أن يعلن ، وإن كان بشكل غير رسمي ، أنه واثق من اكتمال الأدلة."

ومع ذلك ، كما كتب فرانك كاليجاري من جامعة شيكاغو في مدونته في ديسمبر ، "علماء الرياضيات مترددون في الإبلاغ عن مشاكل مع دليل موتيزوكي ، لأنهم لا يستطيعون الإشارة إلى خطأ معين".

الآن تغير كل شيء. يجادل شولزي وستيكس في تقريرهما بأن خط التفكير الأقرب إلى نهاية دليل "Corollary 3.12" في ثالث أعمال موتيزوكي الأربعة هو خطأ جوهري. وهذه النتيجة الطبيعية ضرورية لإثباته لفرضية ABC.

قال شولز: "يبدو لي أن المشكلة مع فرضية ABC لا تزال مفتوحة". "وأي شخص لديه فرصة لإثباته."


بيتر شولز

لا تستند استنتاجات Scholze و Styx فقط على دراستهم للعمل ، ولكن أيضًا على الزيارة الأسبوعية التي قام بها Motizuki وزميله ، Yuchiro Hoshi ، في مارس في جامعة كيوتو ، التي عقدت لمناقشة هذه الأدلة. يقول Scholze أن هذه الزيارة ساعدته بشكل كبير و Styx على الوصول إلى الجزء السفلي من اعتراضاتهم. ونتيجة لذلك ، توصل العلماء إلى "استنتاج أنه لا يوجد دليل" ، يكتبون في التقرير.

ومع ذلك ، انتهى هذا الاجتماع إلى استياء الطرفين. لم يستطع موتيزوكي إقناع Scholze و Styx بأن برهانه صحيح ، ولم يتمكنوا من إقناعه بأن ذلك كان خطأ. نشر موتيزوكي بالفعل تقرير Scholze و Styx على موقعه على الإنترنت ، وأضاف بعض اعتراضاته عليهم.

فيها ، يعزو موتيزوكي نقد Scholze و Styx إلى "بعض التفسيرات الأساسية الخاطئة" لعمله. يكتب "موقفهم السلبي" ، "لا يعني أن هناك أي عيوب" في نظريته.

تمامًا كما جعلت سمعة موتيزوكي الجادة علماء الرياضيات ينظرون إلى عمله على أنه محاولة جادة لإثبات فرضية ، فإن سمعة شولز وستيكس تضمن اهتمام علماء الرياضيات بما يريدون قوله. صعد شولز ، على الرغم من أنه يبلغ من العمر 30 عامًا فقط ، بسرعة إلى القمة في مجاله. في أغسطس ، حصل على جائزة الحقول ، أعلى جائزة في الرياضيات. Styx هو خبير في دراسة Mochizuki ، الهندسة الابتنائية.

قال كونراد: "بيتر و يعقوب هما رياضيان دقيقان ومدروسان للغاية". "إذا كانت لديهم أية مخاوف ، فيجب توضيحها حقًا".

حجر عثرة

تبدأ فرضية ABC ، ​​والتي أطلق عليها كونراد "إحدى أبرز الفرضيات في نظرية الأعداد" ، بواحدة من أبسط المعادلات التي يمكن تمثيلها بشكل عام: a + b = c. الأرقام الثلاثة a و b و c هي أعداد صحيحة موجبة لا تحتوي على قواسم رئيسية مشتركة. أي أنه يمكن اعتبار المعادلة 8 + 9 = 17 أو 5 + 16 = 21 ، ولكن ليس 6 + 9 = 15 ، لأن الأرقام 6 و 9 و 15 مقسومة على 3.

باستخدام هذه المعادلة ، يمكننا أن نأخذ في الاعتبار جميع الأعداد الأولية التي ينقسم إليها أي من الأرقام الثلاثة المشاركة في المعادلة - على سبيل المثال ، في حالة المعادلة 5 + 16 = 21 ستكون الأعداد الأولية 2 و 3 و 5 و 7. ، وهي أكبر بكثير من أي من الأرقام المشاركة في المعادلة. والعكس بالعكس ، في المعادلة 5 + 27 = 32 تشارك الأعداد الأولية 2 و 3 و 5 ، ويكون ناتجها 30 - وهذا أقل من الرقم 32 المتضمن في المعادلة. المنتج صغير جدًا ، لأن الرقمين 27 و 32 لهما قواسم بسيطة صغيرة جدًا (3 و 2) ، والتي تتكرر ببساطة عدة مرات للحصول على هذه الأرقام.

إذا بدأت في اللعب مع ثلاث حروف اي بي سي أخرى ، فقد تجد أن هذا الخيار الثاني نادر للغاية. على سبيل المثال ، من بين 3044 ثلاث مرات مختلفة حيث المصطلحين a و b أقل من 100 ، هناك سبعة فقط حيث يكون منتج المقسومات الأولية أقل من c. فرضية ABC ، ​​التي صيغت في الثمانينيات ، تضفي الطابع الرسمي على فكرة بديهية لندرة مثل هذه الثلاثيات.

بالعودة إلى المثال 5 + 27 = 32. 32 أكثر من 30 ، لكن ليس بالكثير. هذا أقل من 30 ² ، أو 30 ^1.5 ، أو حتى 30 ^1.02 ، يساوي 32.11. تقول فرضية abc أنه إذا اخترت أي درجة أكبر من 1 ، فلن يكون هناك سوى عدد محدود من الثلاثيات abc ، والتي ستكون فيها c أكثر من ناتج المقسّمات الأولية المرفوعة إلى الدرجة المختارة.

قال Minyun Kim من جامعة أكسفورد: "إن فرضية ABC هي عبارة بسيطة للغاية بشأن الضرب والقسمة". وقال إنه بهذا البيان ، "هناك شعور بأنك تكشف عن بنية أساسية للغاية للأنظمة العددية لم ترها من قبل."

بساطة المعادلة a + b = c تعني أن مجموعة واسعة من المشاكل الأخرى تقع تحت تأثيرها. على سبيل المثال ، ترتبط نظرية فيرمات العظيمة بمعادلات الشكل x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ ، والفرضية الكاتالونية ، التي تنص على أن 8 و 9 هما الدرجتان المثاليتان المتتاليتان فقط [الأرقام المعبر عنها كعدد صحيح إلى درجة صحيحة / تقريبًا. ترجم.] (منذ 8 = 2 ³ و 9 = 3 ² ) ، يتحدث عن معادلة الصيغة x ^m + 1 = y ⁿ . ستعطي فرضية ABC (في شكل معين) أدلة جديدة على هاتين النظريتين وتحل مجموعة كاملة من المشاكل المفتوحة المرتبطة بها.


يعقوب ستيكس

كتب دوريان غولدفيلد من جامعة كولومبيا: "تبدو هذه الفرضية دائمًا على الحدود بين المعلوم والمجهول".

أقنع حجم نتائج إثبات الفرضية خبراء نظرية الأعداد أنه سيكون من الصعب للغاية إثبات ذلك. لذلك ، عندما تم نشر المعلومات في عام 2012 التي قدم موتيزوكي الدليل ، كان العديد من علماء الرياضيات سعداء بالتغطيس في عمله - ولكن فقط في حالة توقف تام بسبب لغة غير مألوفة وعرض غير عادي للمعلومات. امتدت التعريفات إلى عدة صفحات ، تبعتها نظريات بنفس العبارات الطويلة ، وتم وصف البراهين في عبارات مثل "يتبع مباشرة من التعريف".

كتب كاليغاري في مدونته في ديسمبر / كانون الأول: "في كل مرة أسمع فيها عن تحليل عمل موتشيزوكي من قبل خبير (غير رسمي) ، فإن مراجعته مألوفة للغاية: مجالات واسعة من الأشياء التافهة ، تليها جبال ضخمة من الاستنتاجات غير المبررة " .

كان شولز من أوائل قراء العمل. وهو معروف بقدرته على استيعاب الرياضيات بسرعة ، والتعمق في ذلك ، لذلك تقدم إلى ما وراء العديد من المنظرين وأنهى ما أسماه "القراءة التقريبية" للأعمال الأربعة الرئيسية بعد وقت قصير من ظهورها. تم الخلط بين Scholze من قبل النظريات الطويلة مع البراهين القصيرة ، والتي بدت له حقيقة ، ولكن لا أساس لها. وكتب في وقت لاحق أنه في عملين متوسطين ، "القليل يحدث".

ثم وصل Scholze إلى Corollary 3.12 في عمله الثالث. عادة ما يستخدم علماء الرياضيات كلمة "نتيجة" للدلالة على نظرية ثانوية عن السابقة ، أكثر أهمية. ولكن في حالة Corollary 3.12 من Motizuki ، يتفق علماء الرياضيات على أن هذه هي النظرية الرئيسية لإثبات فرضية ABC. كتب كاليجاري بدونه ، "لا يوجد دليل " . "هذه خطوة حاسمة."

هذه النتيجة الطبيعية هي النظرية الوحيدة في عملين متوسطين ، ويستغرق إثباتها أكثر من بضعة أسطر - فهي تمتد تسع صفحات. مروراً بهم ، وصل شولز إلى النقطة التي لم يعد بإمكانه اتباع المنطق فيها.

في ذلك الوقت كان عمره 24 عامًا فقط ، واعتبر أن الدليل غير صحيح. لكنه لم يدخل عمليا في مناقشة الأعمال ، إلا إذا سئل مباشرة عنها. بعد كل شيء ، في النهاية ، كان يعتقد أن علماء رياضيين آخرين من المرجح أن يجدوا في هذه الأعمال أفكارًا مهمة فقدها. أو ربما سيصلون في النهاية إلى نفس النتيجة التي توصل إليها. كان يعتقد ، بطريقة أو بأخرى ، أن المجتمع الرياضي سيكون قادرًا على معرفة ذلك.

سلم Escher

في هذه الأثناء ، كافح علماء الرياضيات الآخرون للتعامل مع عمل غير سالٍ. كان لدى الكثير آمال كبيرة في اجتماع مخصص لعمل موتيزوكي ، المقرر عقده في أواخر عام 2015 في جامعة أكسفورد. ولكن عندما حاول العديد من زملاء موتيزوكي شرح الأفكار الرئيسية للدليل ، سقطت "سحابة من الضباب" على الجمهور ، كما كتب كونراد في التقرير بعد وقت قصير من الاجتماع. وكتب: " يحتاج الأشخاص الذين فهموا هذا العمل إلى شرح أكثر نجاحًا للمتخصصين في الهندسة الحسابية ما كان في صميمه " .

في غضون أيام قليلة بعد منصبه ، تلقى كونراد رسائل غير متوقعة من ثلاثة علماء رياضيات (كان أحدهم شولزي) ، يصف نفس الشيء: يمكنهم قراءة العمل وفهمه حتى يصلوا إلى نقطة معينة. وكتب كونراد لاحقًا: "تم إيقاف كل واحد من الثلاثة بالأدلة 3.12".

سمع كيم تعليقات مماثلة حول Corollary 3.12 من عالم رياضيات آخر ، Teruhisa Koshikawa ، الذي يعمل في جامعة كيوتو. تعثرت Styx أيضا في هذا المكان. تدريجيًا ، علم العديد من الخبراء في نظرية الأعداد أن هذه النتيجة أصبحت حجر عثرة ، ولكن لم يكن من الواضح ما إذا كان هناك فجوة في برهانه ، أو كان Motizuki بحاجة فقط لتفسير منطقه بشكل أفضل.

ثم في عام 2017 ، إلى رعب العديد من المنظرين ، سرت شائعات بأن أعمال Mochizuki تم قبولها للنشر. كان Mochizuki نفسه رئيس تحرير هذه المجلة ، منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية . وصف كاليغاري هذا الوضع بأنه " سيء المظهر " (على الرغم من أن المحررين في مثل هذه المواقف عادة ما يتم استبعادهم من اتخاذ القرار). لكن معظم علماء الرياضيات كانوا قلقين من أن العمل لا يزال غير قابل للقراءة.


شينيتشي موتيزوكي في مكالمة فيديو في مؤتمر 2015 حول برهانه

كتب ماثيو إيمرتون من جامعة شيكاغو: "لم يتمكن أي خبير يدعي فهم الأدلة من تفسيرها لأي من الخبراء العديدين الذين ما زالوا مرتبكين".

كتب كاليغاري مقالًا يصف هذا الوضع بأنه " فشل كامل " ، وقد اختار منظرون بارزون وجهة نظره. وكتب كاليغاري يقول: "لدينا وضع مثير للسخرية حيث تعتبر ABC نظرية في كيوتو وفرضية في جميع الأماكن الأخرى".

سرعان ما استجابت مجلة PRIMS لطلبات الصحافة ببيان أوضحت فيه أنه لم يتم قبول العمل للنشر. ومع ذلك ، حتى قبل ذلك ، قرر شولز أن يذكر علنًا ما قاله منذ فترة طويلة في محادثات خاصة مع العديد من المنظرين. قرر أن كل هذا النقاش حول الأدلة أصبح "اجتماعيًا جدًا". "قال الجميع أن هذا الدليل لا يبدو كذلك ، ولكن لم يقل أحد:" هناك مكان حيث لا أحد يفهم الدليل. "

في التعليقات على المحضر ، كتب كاليغاري شولز أنه "لم يستطع على الإطلاق اتباع المنطق بعد التين. 3.8 في إثبات النتيجة الطبيعية 3.12 ". وأضاف أن علماء الرياضيات ، "بدعوى فهم الدليل ، لا يريدون الاعتراف بضرورة إضافة شيء ما إلى هناك".

كتب شيجيفومي موري ، زميل Motizuki من جامعة كيوتو ، الحائز على جائزة Fields ، إلى Scholze مع اقتراح لترتيب لقاء مع Motizuki. اتصل شولز بدوره ستيكس ، وفي مارس سافر الزوجان إلى كيوتو لمناقشة حجر العثرة في الأدلة مع Mochizuki و Hoshi.

نهج Mochizuki لفرضية ABC يأخذ المشكلة في مجال المنحنيات الإهليلجية ، وهو نوع خاص من المعادلة التكعيبية مع متغيرين ، x و y. هذا الانتقال ، المعروف حتى قبل Mochizuki ، بسيط - تحتاج إلى ربط كل معادلة abc بمنحنى بيضاوي يتقاطع رسمه البياني مع المحور x عند النقاط a و b وفي الأصل - ومع ذلك ، فإنه يسمح لعلماء الرياضيات باستخدام البنية الغنية للمنحنيات الإهليلجية التي تجمع بين نظرية الأعداد مع الهندسة والتدوين المتكامل ومجالات أخرى. (نفس المقطع هو في مركز البرهان على نظرية فيرما الكبرى لعام 1994 من قبل أندرو ويلز ).

ونتيجة لذلك ، تقلل فرضية ABC لإثبات عدم المساواة بين الكميتين المرتبطين بمنحنيات بيضاوية الشكل. يترجم عمل موتيزوكي هذا التفاوت إلى شكل آخر ، كما قال ستيكس ، يمكن تمثيله كمقارنة بين أحجام مجموعتين. في Corollary 3.12 ، يقدم دليلاً على هذا التفاوت ، والذي ، إذا كان صحيحًا ، سيثبت فرضية ABC.

في الدليل ، كما يصف Scholze و Styx ، تُعتبر مجلدات مجموعتين كما لو كانت داخل نسختين مختلفتين من الأرقام الحقيقية ، مقدمة كجزء من دائرة من ست نسخ مختلفة من الأرقام الحقيقية ، ويتم إعطاء ترميز لشرح كيفية ارتباط كل نسخة جاره في دائرة. لتتبع العلاقة بين أحجام المجموعات مع بعضها البعض ، تحتاج إلى فهم كيفية ارتباط قياسات الحجم في نسخة واحدة بالقياسات في النسخ الأخرى ، كما قال Styx.

قال ستيكس: "إذا كان لديك عدم مساواة بين شيئين ، ولكن في الوقت نفسه يتم ضغط مسطرة القياس عدة مرات ، وهو أمر خارج عن إرادتك ، فإنك تفقد السيطرة على ما يعنيه عدم المساواة على الإطلاق".

يعتقد Scholze و Styx أنه في هذه اللحظة الحرجة من الدليل ينهار كل شيء. في علامات Mochizuki ، تكون خطوط القياس متوافقة منطقيًا مع بعضها البعض. ولكن عندما تتجول في الدائرة ، قال Styx ، سيكون لديك مسطرة ليست مثل تلك التي ستكون إذا ذهبت في الاتجاه الآخر. قال إن هذا الموقف يشبه الدرج المغلق الشهير لـ Escher ، حيث يمكنك التسلق ومن ثم تجد نفسك في نفس المكان [بشكل صحيح ، هذا هو درج Penrose ، الذي قام Escher برسم / تعليق مشهور بناءً عليه. ترجم.].

استنتج Scholze و Styx أن هذا التعارض في قياسات الحجم يعني أنه يتم مقارنة القيم غير الصحيحة في التفاوت الناتج. وإذا قمت بتعديل كل شيء بحيث تصبح الأحجام قابلة للمقارنة ، فإن عدم المساواة يصبح بلا معنى ، كما يقولون.

قال Kieran Kedlaya ، عالم الرياضيات في جامعة كاليفورنيا في سان دييغو ، الذي درس بالتفصيل عمل Motizuki: Scholze و Styx "وجدوا سببًا محددًا لعدم عمل الدليل". "لذا ، إذا كان الدليل صحيحًا ، فيجب أن يعمل مع شيء آخر ، مع شيء أقل وضوحًا" مما يصفه شولزي وستيكس.

يدعي Mochizuki أن هذا هو بالضبط وجود شيء أقل وضوحا. يكتب أن Scholze و Styx مخطئون في معادلة الأشياء الرياضية بشكل تعسفي يجب اعتبارها مختلفة. عندما أخبر زملائه عن جوهر اعتراضات Scholze و Styx ، كتب ، وصفه "تم الترحيب به بمفاجأة عالمية ملحوظة وحتى عدم الثقة (وبعد ذلك تم السخرية منه) أن مثل هذا سوء التفاهم المذهل يمكن أن ينشأ على الإطلاق".

الآن ، سوف يحتاج علماء الرياضيات إلى استيعاب حجج Scholze و Styx وإجابة Mochizuki. يأمل Scholze ، على عكس الوضع مع أعمال Motizuki الأولية ، أن هذه العملية لن تستمر طويلًا ، لأن طبيعتها مع Styx من الاعتراضات ليست معقدة من الناحية الفنية. وقال إن منظرين آخرين "يجب أن يكونوا قادرين على اتباع خط مناقشتنا مع موتيزوكي دون أي مشاكل".

يبدو أن Mochizuki كلها خاطئة تمامًا. من وجهة نظره ، يأتي انتقاد Scholze و Styx من "ضيق الوقت لفهم الرياضيات التي تمت مناقشتها بشكل صحيح" ، والذي ربما يرجع إلى "شعور بعدم الراحة العميق ، أو عدم الإلمام بطريقة جديدة للتفكير في الأشياء الرياضية المألوفة".

قال كيم أن علماء الرياضيات ، حتى المتشككين في دليل موتيزوكي ، قد يقرروا أن تقرير شولز وستيكس يضع حدا لهذه القصة. سيرغب الآخرون في دراسة التقارير بأنفسهم ، وهذا ما يعتقد كيم أنه قد بدأ بالفعل. كتب عبر البريد "لا أعتقد أنني سأتمكن من تجنب الحاجة إلى التحقق من كل شيء لوحدي قبل أن أقرر شيئًا لنفسي".

على مدى السنوات القليلة الماضية ، توقف العديد من خبراء نظرية الأعداد عن محاولة فهم عمل موتيزوكي. ولكن إذا استطاع Mochizuki أو أتباعه تقديم تفسير مفصل ومتماسك لسبب كون صورة Scholze و Styx مبسطة للغاية (إذا كان الأمر كذلك) ، "يمكن أن تفعل الكثير لإزالة التعب المرتبط بهذه المشكلة وإلهام الناس للقيام بمحاولات جديدة ،" - قال كيدلايا.

في غضون ذلك ، يقول Scholze: "أعتقد أن هذا لا يمكن أن يؤخذ كدليل حتى يقوم Mochizuki بتعديل خطير ويشرح الخطوة الرئيسية بشكل أفضل." هو نفسه ، في كلماته ، "لا يرى فكرة رئيسية يمكن أن تقربنا أكثر من إثبات فرضية ABC".

, , . «, , , — . – , , ».