مبدأ العمل الأقل. الجزء 2

في المرة الماضية قمنا بفحص موجز لأحد أهم المبادئ الفيزيائية - مبدأ العمل الأقل ، واستقرنا على مثال يبدو أنه يتعارض معه. في هذه المقالة ، سنتعامل مع هذا المبدأ بمزيد من التفصيل ونرى ما سيحدث في هذا المثال.

هذه المرة نحن بحاجة إلى المزيد من الرياضيات. ومع ذلك ، سأحاول توضيح الجزء الرئيسي من المقالة مرة أخرى على مستوى ابتدائي. سوف أسلط الضوء على نقاط أكثر صرامة وتعقيدًا ، يمكن تخطيها دون المساس بالفهم الأساسي للمقالة.

شروط الحدود

سنبدأ بأبسط شيء - كرة تتحرك بحرية في الفضاء ، ولا تتحرك عليها أي قوى. مثل هذه الكرة ، كما هو معروف ، تتحرك بشكل موحد ومستقيم. من أجل البساطة ، افترض أنها تتحرك على طول المحور $$$x$ :

لوصف حركتها بدقة ، كقاعدة ، يتم تحديد الشروط الأولية. على سبيل المثال ، تم تحديد أنه في اللحظة الأولى من الوقت $$$t_A$ كانت الكرة عند نقطة $$$A$ مع الإحداثيات $$$x_A$ وكانت السرعة $$$v_A$ . بعد وضع الشروط الأولية في هذا الشكل ، نحدد بشكل فريد الحركة الإضافية للكرة - ستتحرك بسرعة ثابتة ، وموقعها في ذلك الوقت $$$t$ ستكون مساوية للموضع الأولي بالإضافة إلى السرعة مضروبة في الوقت المنقضي: $$$x (t) = x_A + v_A \ cdot (t-t_A)$ . هذه الطريقة لتحديد الظروف الأولية طبيعية جدًا ومألوفة بشكل حدسي. طلبنا جميع المعلومات اللازمة حول حركة الكرة في المرة الأولى ، ثم يتم تحديد حركتها من خلال قوانين نيوتن.

ومع ذلك ، هذه ليست الطريقة الوحيدة لتحديد حركة الكرة. طريقة بديلة أخرى هي تعيين موضع الكرة في نقطتين مختلفتين في الوقت المناسب. $$$t_A$ و $$$t_B$ . على سبيل المثال اطلب ما يلي:

1) في الوقت المناسب $$$t_A$ كانت الكرة عند نقطة $$$A$ (مع الإحداثيات $$$x_A$ ) ؛
2) في الوقت المناسب $$$t_B$ كانت الكرة عند نقطة $$$B$ (مع الإحداثيات $$$x_B$ )

كان التعبير "عند نقطة $$$A$ "لا يعني أن الكرة استقرت في نقطة $$$A$ . في الوقت المناسب $$$t_A$ يمكنه التحليق فوق نقطة $$$A$ . هذا يعني أن منصبه في الوقت المناسب $$$t_A$ تزامنت مع نقطة $$$A$ . الشيء نفسه ينطبق على النقطة $$$B$ .

يحدد هذان الشرطان أيضًا بشكل فريد حركة الكرة. حركتها سهلة الحساب. لإرضاء الشرطين ، من الواضح أن سرعة الكرة $$$(x_B-x_A) / (t_B-t_A)$ . موقف الكرة في الوقت المناسب $$$t$ ستكون مساوية مرة أخرى للموضع الأولي بالإضافة إلى السرعة مضروبة في الوقت المنقضي:

$$

$$x (t) = x_A + ((x_B-x_A) / (t_B-t_A)) \ cdot (t-t_A)$$

لاحظ أنه في ظروف المشكلة لم نكن بحاجة إلى ضبط السرعة الأولية. يتم تحديده بشكل فريد من الشروط 1) و 2).

إن تهيئة الظروف في الطريقة الثانية تبدو غير عادية. ربما ليس من الواضح لماذا قد يكون من الضروري بشكل عام أن نسألهم في هذا النموذج. ومع ذلك ، في مبدأ العمل الأقل ، يتم استخدام الشروط في النموذج 1) و 2) بالتحديد ، وليس في شكل تحديد الوضع الأولي والسرعة الأولية.

مسار العمل الأقل

الآن دعونا نتطرق قليلاً من الحركة الحرة الحقيقية للكرة وننظر في المشكلة الرياضية البحتة التالية. لنفترض أن لدينا كرة يمكننا تحريكها يدويًا بأي طريقة نريدها. في هذه الحالة ، نحتاج إلى استيفاء الشرطين 1) و 2). على سبيل المثال بينهما $$$t_A$ و $$$t_B$ علينا أن ننقلها من النقطة $$$A$ إلى هذه النقطة $$$B$ . يمكن القيام بذلك بطرق مختلفة تمامًا. سيتم استدعاء كل طريقة من هذه الطرق مسار الكرة ويمكن وصفها من خلال وظيفة موضع الكرة في الوقت المحدد $$$x (t)$ . دعونا نؤجل العديد من هذه المسارات على الرسم البياني لاعتماد موقع الكرة في الوقت المحدد:

على سبيل المثال ، يمكننا تحريك الكرة بنفس السرعة $$$(x_B-x_A) / (t_B-t_A)$ (المسار الأخضر). أو يمكننا إبقائه عند نصف نقطة $$$A$ ثم مضاعفة السرعة للانتقال إلى النقطة $$$B$ (المسار الأزرق). يمكنك تحريكه أولاً في الاتجاه المعاكس. $$$B$ الجانب ثم انتقل بالفعل إلى $$$B$ (مسار بني). يمكنك تحريكه ذهابًا وإيابًا (المسار الأحمر). بشكل عام ، يمكنك تحريكه كما تريد ، إذا تم ملاحظة الشرطين 1) و 2) فقط.

لكل مسار من هذا القبيل يمكننا مطابقة رقم. في مثالنا ، أي في حالة عدم وجود أي قوى تعمل على الكرة ، فإن هذا الرقم يساوي إجمالي الطاقة الحركية المتراكمة طوال فترة حركته في الفترة الفاصلة بين $$$t_A$ و $$$t_B$ ويسمى عمل.

في هذه الحالة ، لا تنقل كلمة الطاقة الحركية "المتراكمة" المعنى بدقة. في الواقع ، لا تتراكم الطاقة الحركية في أي مكان ؛ يتم استخدام التراكم فقط لحساب العمل للمسار. في الرياضيات ، لمثل هذا التراكم ، هناك مفهوم جيد جدًا - لا يتجزأ:

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_A} ^ {t_B} Tdt$$

عادة ما يشار إلى الإجراء بالحرف $$$S$ . الرمز $$$T$ يعني الطاقة الحركية. هذا التكامل يعني أن العمل يساوي الطاقة الحركية المتراكمة للكرة خلال فترة زمنية من $$$t_A$ من قبل $$$t_B$ .

كمثال ، لنأخذ كرة تزن 1 كجم. ، اضبط بعض شروط الحدود وحساب الإجراء لمسارين مختلفين. دع النقطة $$$B$ على بعد متر واحد من النقطة $$$A$ والوقت $$$t_B$ بعيد عن الزمان $$$t_A$ لمدة ثانية واحدة. على سبيل المثال يجب علينا تحريك الكرة التي كانت في اللحظة الأولى من الوقت $$$A$ ، في ثانية واحدة على مسافة 1 متر على طول المحور $$$x$ .

في المثال الأول (المسار الأخضر) قمنا بتحريك الكرة بالتساوي ، أي بنفس السرعة ، والتي ، من الواضح ، يجب أن تكون مساوية لـ: $$$v = 1$ م / ث الطاقة الحركية للكرة في كل لحظة من الزمن تساوي: $$$T = mv ^ 2/2$ = 1/2 ج. في ثانية واحدة ، سيتراكم 1/2 ج $$$\ cdot$ مع الطاقة الحركية. على سبيل المثال صالح لمثل هذا المسار هو: $$$S = 1/2$ ي $$$\ cdot$ ق

الآن دعونا لا ننقل الكرة على الفور من النقطة $$$A$ إلى هذه النقطة $$$إلى$ ، واحتفظ به عند نقطة لمدة نصف ثانية $$$A$ ، ثم ، للوقت المتبقي ، نقوم بنقلها بالتساوي إلى النقطة $$$B$ . في النصف الأول الثاني ، تكون الكرة في حالة راحة وطاقتها الحركية صفر. لذلك ، فإن المساهمة في عمل هذا الجزء من المسار تساوي أيضًا الصفر. في الشوط الثاني ننقل الكرة بسرعة مزدوجة: $$$v = 2$ م / ث ستكون الطاقة الحركية مساوية لـ $$$T = mv ^ 2/2$ = 2 J. مساهمة هذه الفترة الزمنية في العمل ستكون 2 J مضروبة في نصف ثانية ، أي 1 ياء $$$\ cdot$ ق لذلك ، فإن الإجراء العام لمثل هذا المسار يساوي $$$S = 1$ ي $$$\ cdot$ ق

وبالمثل ، فإن أي مسار آخر بشروط الحدود المحددة 1) و 2) يتوافق مع رقم معين يساوي الإجراء الخاص بمسار معين. من بين جميع هذه المسارات ، هناك مسار يكون فيه العمل هو الأقل. يمكن إثبات أن هذا المسار هو مسار أخضر ، أي حركة موحدة للكرة. بالنسبة لأي مسار آخر ، بغض النظر عن مدى صعبه ، سيكون الإجراء أكثر من 1/2.

في الرياضيات ، تسمى هذه المقارنة لكل وظيفة لرقم معين وظيفية. في كثير من الأحيان في الفيزياء والرياضيات ، تنشأ مهام مثل مهامنا ، أي لإيجاد وظيفة تكون فيها قيمة وظيفة معينة ضئيلة. على سبيل المثال ، تتمثل إحدى المهام ذات الأهمية التاريخية الكبيرة لتطوير الرياضيات في مشكلة bachistochrone . على سبيل المثال إيجاد منحنى تتدحرج فيه الكرة أسرع. مرة أخرى ، يمكن تمثيل كل منحنى بالوظيفة h (x) ، ويمكن تعيين رقم لكل وظيفة ، في هذه الحالة ، وقت دوران الكرة. مرة أخرى ، تتلخص المشكلة في إيجاد وظيفة تكون قيمة الوظيفة فيها ضئيلة. مجال الرياضيات الذي يتعامل مع مثل هذه المشاكل يسمى حساب الاختلافات.

مبدأ العمل الأقل

في الأمثلة التي نوقشت أعلاه ، لدينا مساران خاصان تم الحصول عليهما بطريقتين مختلفتين.

يتم الحصول على المسار الأول من قوانين الفيزياء ويتوافق مع المسار الحقيقي للكرة الحرة ، والتي لا تتأثر بأي قوى والتي يتم إعطاء شروط الحدود في الشكل 1) و 2).

يتم الحصول على المسار الثاني من المشكلة الرياضية في العثور على مسار بشروط حدية معينة 1) و 2) ، والتي يكون فيها الإجراء ضئيلًا.

ينص مبدأ الأقل حركة على أن هذين المسارين يجب أن يتزامنا. بمعنى آخر ، إذا كان من المعروف أن الكرة تحركت بطريقة ترضي شرطي الحدود 1) و 2) ، فإنها تتحرك بالضرورة على طول مسار يكون فيه الإجراء ضئيلًا مقارنة بأي مسار آخر بنفس شروط الحدود.

يمكن للمرء أن يعتبر هذا مجرد صدفة. هناك العديد من المشاكل التي تظهر فيها مسارات موحدة وخطوط مستقيمة. ومع ذلك ، فإن مبدأ العمل الأقل هو مبدأ عام جدًا ، صالح في حالات أخرى ، على سبيل المثال ، لحركة الكرة في مجال الجاذبية الموحد. للقيام بذلك ، تحتاج فقط إلى استبدال الطاقة الحركية بالفرق في الطاقة الحركية والطاقة الكامنة. يسمى هذا الاختلاف وظيفة Lagrangian أو Lagrange وتصبح العملية الآن مساوية لإجمالي Lagrangian المتراكم. في الواقع ، تحتوي وظيفة Lagrange على جميع المعلومات الضرورية حول الخصائص الديناميكية للنظام.

إذا أطلقنا كرة في حقل جاذبية موحد بحيث يمر نقطة $$$A$ في الوقت المناسب $$$t_A$ وطار إلى النقطة $$$B$ في الوقت المناسب $$$t_B$ ثم ، وفقًا لقوانين نيوتن ، سيطير قطع مكافئ. هذا القطع المكافئ هو الذي يتزامن مع المسارات التي سيكون العمل فيها ضئيلًا.

وبالتالي ، بالنسبة للجسم المتحرك في مجال محتمل ، على سبيل المثال ، في مجال الجاذبية للأرض ، فإن وظيفة Lagrange تساوي: $$$L = T (v) -V (x، y، z)$ . الطاقة الحركية $$$T$ يعتمد على سرعة الجسم وإمكاناته - على موقعه ، أي إحداثيات $$$x، y، z$ . في الميكانيكا التحليلية ، عادة ما يتم الإشارة إلى مجموعة الإحداثيات بأكملها التي تحدد موضع النظام بحرف واحد $$$q$ . من أجل كرة تتحرك بحرية في مجال الجاذبية ، $$$q$ يعني إحداثيات $$$x$ ، $$$y$ و $$$z$ .

للإشارة إلى معدل تغير الكمية ، في الفيزياء في كثير من الأحيان يضعون ببساطة نهاية لهذه الكمية. على سبيل المثال $$$\ نقطة ×$ يشير إلى معدل تغيير الإحداثيات $$$x$ أو بمعنى آخر سرعة الجسم في الاتجاه $$$x$ . باستخدام هذه الاصطلاحات ، يشار إلى سرعة الكرة في الميكانيكا التحليلية على أنها $$$\ dot q$ . على سبيل المثال $$$\ dot q$ يعني مكونات السرعة $$$v_x ، v_y ، v_z$ .

نظرًا لأن وظيفة Lagrange تعتمد على السرعة والإحداثيات ، يمكن أن تعتمد أيضًا بشكل صريح على الوقت (يعتمد بشكل صريح على الوقت يعني أن القيمة $$$L$ في نقاط زمنية مختلفة ، ومختلفة ، وبنفس سرعات ومواضع الكرة) ثم يتم كتابة الإجراء بشكل عام على النحو التالي

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_A} ^ {t_B} L (\ dot q، q، t) dt$$

ليس دائما بالحد الأدنى

ومع ذلك ، في نهاية الجزء السابق ، نظرنا إلى مثال حيث لا يعمل مبدأ الأقل عمل بشكل واضح. للقيام بذلك ، أخذنا مرة أخرى كرة حرة ، لا تتأثر بأي قوى ، ووضعت جدار نابض بجوارها.
نضع شروط الحدود بحيث النقاط $$$A$ و $$$B$ تتطابق. على سبيل المثال وفي الوقت المناسب $$$t_A$ وفي الوقت المناسب $$$t_B$ يجب أن تكون الكرة في نفس النقطة $$$A$ . أحد المسارات المحتملة سيكون مكانة الكرة في مكانها. على سبيل المثال في كل وقت بين $$$t_A$ و $$$t_B$ سيقف عند نقطة $$$A$ . ستكون الطاقة الحركية والمحتملة في هذه الحالة مساوية للصفر ، وبالتالي فإن الإجراء لمثل هذا المسار سيكون مساوياً للصفر.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، يمكن أن تؤخذ الطاقة الكامنة لا تساوي الصفر ، ولكن إلى أي رقم ، لأن الفرق في الطاقة الكامنة في نقاط مختلفة في الفضاء مهم. ومع ذلك ، لا يؤثر التغيير في قيمة الطاقة الكامنة على البحث عن مسار بأقل إجراء. إنه فقط بالنسبة لجميع المسارات ، ستتغير قيمة الإجراء بنفس الرقم ، وسيظل المسار ذو الحد الأدنى من الإجراء هو المسار ذو الحد الأدنى من الإجراء. من أجل الراحة ، سنختار الكرة الكامنة الطاقة الكامنة مساوية للصفر.

قد يكون المسار المادي الآخر المحتمل بنفس شروط الحدود هو المسار الذي تطير فيه الكرة أولاً إلى اليمين ، لتمرير نقطة $$$A$ في الوقت المناسب $$$t_A$ . ثم يتصادم مع النابض ، ويضغطه ، ويقلب النابض ، ويدفع الكرة للخلف ، ومرة ​​أخرى يطير بعد النقطة $$$A$ . يمكنك اختيار سرعة الكرة بحيث تنتقل من على الحائط وتطير نقطة $$$A$ في الوقت الحالي $$$t_B$ . سيكون الإجراء مع هذا المسار مساويًا بشكل أساسي للطاقة الحركية المتراكمة أثناء الرحلة بين النقطة $$$A$ والجدار والعودة. ستكون هناك فترة زمنية معينة عندما تضغط الكرة على الزنبرك وتزداد طاقته الكامنة ، وخلال هذه الفترة من الوقت ستساهم الطاقة الكامنة بشكل سلبي في الحركة. لكن هذه الفترة الزمنية لن تكون كبيرة جدًا ولن يتقلص الإجراء بشكل كبير.



يوضح الشكل كلاً من المسارات الممكنة جسديًا للكرة. يتطابق المسار الأخضر مع الكرة عند الراحة ، بينما يتوافق اللون الأزرق مع كرة ترتد عن جدار الربيع.

ومع ذلك ، واحد منهم فقط له تأثير ضئيل ، وهو الأول! المسار الثاني لديه المزيد من الإجراءات. اتضح أنه في هذه المشكلة هناك مساران ممكنان جسديًا وواحد فقط بأقل قدر من الحركة. على سبيل المثال في هذه الحالة ، لا يعمل مبدأ العمل الأقل.

نقاط ثابتة

لفهم ما هو الأمر هنا ، دعنا نتطرق إلى مبدأ العمل الأقل في الوقت الحالي ونتولى المهام المعتادة. لنأخذ بعض الوظائف $$$y (x)$ ورسم جدولها الزمني:

على الرسم البياني ، قمت بتمييز أربع نقاط خاصة باللون الأخضر. ما هو المشترك في هذه النقاط؟ تخيل أن الرسم البياني للدالة هو شريحة حقيقية يمكن للكرة أن تتدحرج عليها. النقاط الأربع المميزة خاصة في أنه إذا قمت بتثبيت الكرة بالضبط في هذه المرحلة ، فلن تتدحرج في أي مكان. في جميع النقاط الأخرى ، على سبيل المثال ، النقطة E ، لن يتمكن من البقاء في مكانه وسيبدأ في الانزلاق. تسمى هذه النقاط ثابتة. يعد العثور على هذه النقاط مهمة مفيدة ، نظرًا لأن أي حد أقصى أو أدنى للوظيفة ، إذا لم يكن يحتوي على مكامن حادة ، يجب أن يكون نقطة ثابتة.

إذا قمنا بتصنيف هذه النقاط بشكل أكثر دقة ، فإن النقطة A هي الحد الأدنى المطلق للدالة ، أي قيمته أقل من أي قيمة دالة أخرى. النقطة B - ليست الحد الأقصى ولا الحد الأدنى وتسمى نقطة السرج. تُسمى النقطة C بالحد الأقصى المحلي ، أي القيمة فيه أكبر من النقاط المجاورة للدالة. والنقطة D هي الحد الأدنى المحلي ، أي القيمة فيه أقل من النقاط المجاورة للدالة.

يتم البحث عن هذه النقاط من قبل فرع الرياضيات يسمى التحليل الرياضي. بطريقة أخرى ، يطلق عليه أحيانًا تحليل اللامحدود ، لأنه يعرف كيفية العمل مع الكميات اللامحدودة. من وجهة نظر التحليل الرياضي ، للنقاط الثابتة خاصية خاصة واحدة ، وبفضلها تم العثور عليها. لفهم ماهية هذه الخاصية ، نحتاج إلى فهم شكل الوظيفة على مسافات صغيرة جدًا من هذه النقاط. للقيام بذلك ، نأخذ المجهر وننظر إليه في نقاطنا. يوضح الشكل كيف تبدو الوظيفة بالقرب من نقاط مختلفة بتضخيمات مختلفة.

يمكن ملاحظة أنه عند التكبير الكبير جدًا (أي عند الانحرافات الصغيرة جدًا x) ، تبدو النقاط الثابتة هي نفسها تمامًا وتختلف اختلافًا كبيرًا عن النقطة غير الثابتة. من السهل فهم ما هو هذا الاختلاف: يصبح الرسم البياني للدالة عند نقطة ثابتة مع زيادة خطًا أفقيًا صارمًا ، وفي نقطة غير ثابتة يصبح خطًا مائلًا. هذا هو السبب في أن الكرة المثبتة في نقطة ثابتة لن تتدحرج.

يمكن التعبير عن أفقية الوظيفة عند النقطة الثابتة بشكل مختلف: الوظيفة عند النقطة الثابتة لا تتغير عمليًا مع تغيير صغير جدًا في حجتها $$$x$ ، حتى بالمقارنة مع الحجة نفسها. تكون الوظيفة عند نقطة غير ثابتة مع تغيير طفيف $$$x$ يختلف بالتناسب مع $$$x$ . وكلما كانت زاوية الوظيفة أكبر ، كلما تغيرت الوظيفة عند التغيير $$$x$ . في الواقع ، تصبح الوظيفة ذات الحجم المتزايد أكثر تشابهًا أكثر من المماس للرسم البياني عند النقطة المعنية.

في اللغة الرياضية الصارمة ، لا تتغير عبارة "عمليا عمليا عند نقطة ما $$$x_0$ مع القليل من التغيير $$$x$ "يعني أن نسبة تغير الوظيفة وتغيير حجتها $$$Δy / Δx$ يميل إلى 0 في $$$∆x$ تميل إلى 0:

$$$$ display $$ \ lim_ {Δx \ to 0} \ frac {Δy (x_0)} {Δx} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {y (x_0 + Δx) -y (x_0) } {∆x} = 0 $$ display $$

بالنسبة للنقطة غير الثابتة ، تميل هذه النسبة إلى عدد غير صفري ، وهو ما يساوي ميل الوظيفة عند هذه النقطة. يسمى نفس الرقم مشتق التابع في نقطة معينة. يوضح مشتق التابع مدى سرعة الدالة بالقرب من نقطة معينة مع تغيير بسيط في وسيطتها $$$x$ . وبالتالي ، فإن النقاط الثابتة هي النقاط التي يكون فيها مشتق الدالة 0.

مسارات ثابتة

قياسا على النقاط الثابتة ، يمكن إدخال مفهوم المسارات الثابتة. تذكر أن كل مسار يتوافق مع قيمة إجراء معينة ، أي بعض الأرقام. ثم يمكن أن يكون هناك مثل هذا المسار لدرجة أنه بالقرب من المسارات بنفس شروط الحدود ، فإن قيم الإجراء المقابلة لن تختلف عمليا عن الإجراء الخاص بالمسار الثابت نفسه. يسمى هذا المسار ثابتًا. وبعبارة أخرى ، فإن أي مسار قريب من الثابت سيكون له قيمة إجراء تختلف قليلاً عن الإجراء الخاص بهذا المسار الثابت.

مرة أخرى ، في اللغة الرياضية ، "مختلف قليلاً" له المعنى الدقيق التالي. دعنا نقول أن لدينا وظيفة $$$S (x (t))$ للوظائف ذات شروط الحدود المطلوبة 1) و 2) ، أي $$$x (t_A) = A$ و $$$x (t_B) = B$ . افترض أن المسار $$$x (t)$ - قرطاسية.

يمكننا أن نتولى أي وظيفة أخرى. $$$g (t)$ بحيث يأخذ في النهاية قيمًا صفرية ، أي $$$g (t_A)$ = $$$g (t_B)$ = 0. خذ المتغير أيضًا $$$ε$ الذي سنفعله أقل وأقل. من هاتين الوظيفتين ومتغير $$$ε$ يمكننا أن نجعل وظيفة ثالثة $$$x '(t) = x (t) + εg (t)$ , $$$f'(t_A)=A$ و $$$f'(t_B)=B$ . $$$ε$ , $$$x'(t)$ , $$$x(t)$ .

$$$ε$ $$$x'(t)$ $$$x(t)$ $$$ε$ . على سبيل المثال

$$

$$\lim_{ε \to 0} \frac {S(x'(t))-S(x(t))}ε=\lim_{ε \to 0} \frac {S(x(t)+εg(t))-S(x(t))}ε = 0$$

$$$g(t)$ , $$$g(t_A)$ = $$$g(t_B)$ = 0.

(, , ) $$$δS$ . «» « ».

$$$δS=0$ .

تم العثور على طريقة العثور على وظائف ثابتة (ليس فقط لمبدأ العمل الأقل ، ولكن أيضًا للعديد من المشاكل الأخرى) من قبل اثنين من علماء الرياضيات - أويلر ولاغرانج. اتضح أن الدالة الثابتة ، التي يتم التعبير عن وظيفتها بواسطة تكامل مشابه لا يتجزأ للعمل ، يجب أن تلبي معادلة معينة ، والتي تسمى الآن معادلة أويلر-لاغرانج.

مبدأ ثابت

يشبه الموقف مع الحد الأدنى من العمل لمسارات الموقف مع الحد الأدنى للوظائف. لكي يكون المسار أقل تأثير ، يجب أن يكون مسارًا ثابتًا. ومع ذلك ، ليست جميع المسارات الثابتة هي مسارات بأقل قدر من الحركة. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون للمسار الثابت الحد الأدنى من الإجراءات محليًا. على سبيل المثالسيكون عملها أقل من أي مسار مجاور آخر. ومع ذلك ، في مكان ما بعيد قد تكون هناك مسارات أخرى سيكون الإجراء أقل من ذلك.

اتضح أن الهيئات الحقيقية قد لا تتحرك بالضرورة على طول المسارات بأقل حركة. يمكنهم التحرك على طول مجموعة أوسع من المسارات الخاصة ، أي المسارات الثابتة. على سبيل المثالسيكون المسار الحقيقي للجسم ثابتًا دائمًا. لذلك ، يسمى مبدأ العمل الأقل بشكل صحيح مبدأ العمل الثابت. ومع ذلك ، وفقًا للتقاليد المعمول بها ، غالبًا ما يطلق عليه مبدأ العمل الأقل ، مما يعني ضمنيًا أنه ليس فقط الحد الأدنى ، ولكن أيضًا استقرارية المسارات.

الآن يمكننا كتابة مبدأ العمل الثابت بلغة رياضية ، كما هو مكتوب عادة في الكتب المدرسية:

$$

$$δS=δ\int\limits_{t_A}^{t_B} L(\dot q,q,t)dt = 0$$

.

هنا $$$q$هي إحداثيات معممة ، أي مجموعة من المتغيرات التي تحدد بشكل فريد موضع النظام.
$$$\dot q$ - معدل تغير الإحداثيات المعممة.
$$$L(\dot q,q,t)$ - دالة لاغرانج ، التي تعتمد على الإحداثيات المعممة وسرعاتها ، وربما الوقت.
$$$S$ - إجراء يعتمد على المسار المحدد للنظام (أي $$$q(t)$)

المسارات الحقيقية للنظام ثابتة ، أي بالنسبة لهم اختلاف في العمل$$$δS=0$ .

إذا عدنا إلى المثال باستخدام كرة وجدار مرن ، يصبح تفسير هذا الموقف الآن بسيطًا جدًا. بالنظر إلى شروط الحدود التي يجب أن تكون الكرة خلالها أيضًا$$$t_A$ وأثناء $$$t_B$ نصل إلى هذه النقطة $$$A$هناك مساران ثابتان. ويمكن للكرة أن تتحرك حقًا على طول أي من هذه المسارات. لاختيار أحد المسارات بشكل صريح ، يمكننا فرض شرط إضافي على حركة الكرة. على سبيل المثال ، لنفترض أن الكرة يجب أن ترتد عن الحائط. ثم يتم تحديد المسار بشكل فريد.

من مبدأ العمل الأقل دقة (الثابت) يتبع بعض النتائج الرائعة التي سنناقشها في الجزء التالي.