🤒 😏 💪 في علاقة الأعداد الأولية وغير المنطقية ⛽️ 👨🏻‍🏭 👩🏿‍🚀

بعد بعض بحثي عن الأعداد الأولية ، وجدت علاقة مثيرة للاهتمام مع الأرقام غير المنطقية. يعطي هذا الاتصال إجابة على السؤال لماذا لماذا الأرقام الأولية "فوضوية" ولماذا معقدة للغاية. تحت القطع هو شرح لهذا الاتصال ومتغير من خوارزمية RSA المحسنة.

مقدمة

ضع في اعتبارك المجموعة

l b r a c e 2 n + 3 m v e r t n ، m i n m a t h b b N r b r a c e

$\ lbrace 2n + 3m \ vert n، m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ . حاول الآن ترتيب ذلك. أي ، ابحث عن طريقة للعثور على الزوج التالي من الأرقام n و m ، مع معرفة الرقم السابق. من الواضح: 2 + 2 + 2 = 3 + 3 و 2 + 2> 3 ، 2 <3. وهكذا ، يتم توزيع أزواج من الأرقام على النحو التالي:

(1،0) و (0،1) و (2،0) و (1،1) و (3،0) و (2،1) و (4،0) و (3،1) و (5) ، 0) ...

لاحظ أن الترتيب ، وبالتالي طريقة الحصول على الزوج التالي من الأرقام يتم تتبعها بوضوح. لا توجد مشاكل والمهمة تافهة.
الآن فكر في المجموعة

l b r a c e 2 n + p i m v e r t n ، m i n m a t h b b N r b r a c e

$\ lbrace 2n + \ pi m \ vert n، m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ . لسوء الحظ أو لحسن الحظ ، ولكن لا يمكن طلب هذه المجموعة بمعنى المجموعة السابقة:

(1،0) و (0،1) و (2،0) و (1،1) و (3،0) و (0،2) و (2،1) و (4،0) و (3) ، 1) ، (0،3) ...

إذا قررت أنك قد وجدت الترتيب المحدد ، فقم بإنهاء هذه الأزواج أكثر وتأكد من أنه معطل. ترتبط "فوضى" هذه الأزواج من الأرقام بشكل مباشر بعدم منطقية الرقم

p i

$\ pi$ أثبت يوهان لامبرت عام 1761. في الواقع ، من أجل ترتيب أزواج متتالية ، نحاول أولاً احتواء جزء من الطول 2 إلى مقطع من الطول

p i

$\ pi$ . نحن نحاول وضع الرصيد الذي تم الحصول عليه في مقطع طوله 2. سوف يصلح مرة واحدة فقط. وهذا يعني أن الباقي "سيلعب" دوره بالفعل على جزء من الطول

2 p i

$2 \ pi$ حيث لا يصلح قطعتين بطول 2 بل ثلاثة. عند تنفيذ مثل هذه العملية بشكل أكبر ، يصبح من الواضح أنه بمجرد حصولنا على الانطباع بأننا وجدنا النظام ، فسوف ينهار في عدد معين من الخطوات. نظرًا لأن الأخير ، الذي لم يتم استخدامه بعد ، فإن الميزان سوف "يلعب" دوره عاجلاً أم آجلاً وسيتغير الترتيب. لذلك ، فإن مسألة إيجاد خوارزمية "جيدة" لهذه المشكلة لا تزال مفتوحة.

بعض التعاريف

دع

(m a t h b b R ، +) s i m e q (m a t h b b R_{> 0} ، o p l u s)

$(\ mathbb {R} ، +) \ simeq (\ mathbb {R} _ {> 0} ، \ oplus)$ أين

f

$f$ - تشابه مثل:

f (x o p l u s y) = f (x) + f (y)

$f (x \ oplus y) = f (x) + f (y)$
وبناء على ذلك ، ل

g

$g$ - عكس

f

$f$ :

g (x + y) = g (x) o p l u s g (y)

$g (x + y) = g (x) \ oplus g (y)$ .
الآن نحدد مجموعة الاهتمام بالنسبة لنا:

W_{o p l u s} = l b r a c e a_{2} f (2) + a_{3} f (3) + d o t s + a_{n} f (n) + d o t s v e r t f o r a l l m i n m a t h b b N ، a_{m} i n m a t h b b N r b r a c e s e t m i n u s l b r a c e 0 r b r a c e

$W _ {\ oplus} = \ lbrace a_ {2} f (2) + a_ {3} f (3) + \ dots + a_ {n} f (n) + \ dots \ vert \ forall m \ in \ mathbb {N} ، a_ {m} \ in \ mathbb {N} \ rbrace \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace$

R i g h t a r r o w W_{o p l u s} s u b s e t m a t h b b R_{> 0}

$\ Rightarrow W _ {\ oplus} \ subset \ mathbb {R} _ {> 0}$
واسمحوا

F (x ، y) = f (x) + f (y)

$F (x، y) = f (x) + f (y)$ . ثم:

g (F (x ، y)) = x o p l u s y

$g (F (x، y)) = x \ oplus y$
و

m a t h b b T

$\ mathbb {T}$ - صورة المجموعة

W_{o p l u s}

$W _ {\ oplus}$ للعرض

g

$g$ .
وأخيرًا

m a t h b b P_{o p l u s} = l b r a c e p i n m a t h b b T v e r t f o r a l l w_{1} ، w_{2} i n W_{o p l u s} ، g (w_{1} + w_{2}) n e q p r b r a c e

$\ mathbb {P} _ {\ oplus} = \ lbrace p \ in \ mathbb {T} \ vert \ forall w_ {1} ، w_ {2} \ in W _ {\ oplus} ، g (w_ {1} + w_ {2}) \ neq p \ rbrace$ - العديد من الأعداد الأولية للعملية

o p l u s

$\ oplus$ .
الآن من السهل توضيح هذه التعريفات بمثال مألوف. لتشغيل الضرب ،

f (x) = l o g_{2} (x)

$f (x) = log_ {2} (x)$ . كثيرًا

W

$W$ هل هذا

l o g_{2} (m a t h b b N)

$log_ {2} (\ mathbb {N})$ . يجدر التوقف وشرح سبب أهمية ذلك.

الاتصال نفسه

في الواقع ، باستخدام التشابه ، وجدنا أن تعقيد جميع المشاكل حول الأعداد الأولية يعادل المشاكل المتعلقة بمبالغ اللوغاريتمات غير المنطقية. أي كما رأينا في المثال مع مجموعة من الأرقام

p i

$\ pi$ و 2 ، إنه غير منطقي هو الذي يجلب الفوضى. إذاً هنا ، فإن عدم منطقية اللوغاريتمات توزع الأعداد الأولية على خط رقم بطريقة شبه فوضوية. هناك صعوبة في طلب أزواج n و m في مجموعة ، على سبيل المثال ،

l b r a c e n + m l o g_{2} 3 r b r a c e

$\ lbrace n + mlog_ {2} 3 \ rbrace$ . بمعنى آخر ، تعتمد بساطة الرقم بشكل مباشر على مكان عشري في الرقم ، على سبيل المثال

l o g_{2} 3

$log_ {2} 3$ . لكننا حددنا الأعداد الأولية ليس فقط للضرب ، ولكن بشكل عام لعملية ثنائية تعسفية. لقد فعلت ذلك لإظهار أن الأعداد الأولية لدينا ليست فريدة بأي شكل من الأشكال.

RSA

للعملية الثنائية x + xy + y:

m a t h b b P = l b r a c e 2 ، 4 ، 6 ، 10 ، 12 ، 16 ، 18 ، 22 ، 28 ، 30 ، 36 ، 40 ، 42 ، 46 . . . r b r a c e

$\ mathbb {P} = \ lbrace 2،4،6،10،12،16،18،22،28،30،36،40،42،46 ... \ rbrace$ .
تتميز عشوائية هذه المجموعة بقيم غير منطقية للتشكل على الأعداد الطبيعية. علاوة على ذلك ، لا يبدو أن التشكل يتم التعبير عنه من حيث الوظائف الأولية. هنا ، من خلال العملية ، قمنا ببناء الأعداد الأولية الأخرى التي لا يعتمد توزيعها بشكل واضح على توزيع الأعداد الأولية. هذا يمكننا من بناء RSA على عملية ثنائية تعسفية بحيث يكون التماثل غير عقلاني. بعد كل شيء ، فإن وظيفة اللوغاريتم "جيدة" للغاية بالنسبة لمحللي التشفير. وهنا تتصرف بطريقة لا يمكن التنبؤ بها على الإطلاق. من الممكن ، والعكس صحيح ، بناء تشابه يتم من خلاله تحديد عملية ثنائية تبادلية.

بأخذ الأعداد التعسفية كأساس ، نغير مشكلة حساب الرقم المركب إلى مشكلة تحليل عدد غير منطقي تقريبًا في مجموع الاثنين الآخرين من مجموعة معينة. شيء ما يخبرني أن هذه المهمة يجب أن تنتمي إلى فئة NP.

في الختام

لم تحل البشرية بعد العديد من المشاكل حول الأعداد الأولية ، حيث تثير الرياضيات عددًا لا حصر له من المشكلات المماثلة. سوف يتساءل بطبيعة الحال ما يجب القيام به حيال ذلك. اقتراحي هو النظر في جميع النظريات من نظرية الأعداد ليس من أجل الجمع والضرب ، ولكن من أجل الجمع والعملية التبادلية التعسفية المغلقة على الأعداد الطبيعية. ثم سيكون كل بيان حول الأعداد الأولية مجرد نتيجة لخصائص معينة للعملية. على سبيل المثال ، سيكون لانهائية الأعداد الأولية نتيجة رتابة العملية ونموها السريع إلى حد ما. لكن هذا موضوع لمقال منفصل. شكرا لكم على اهتمامكم.

في علاقة الأعداد الأولية وغير المنطقية

مقدمة

بعض التعاريف

الاتصال نفسه

RSA

في الختام

More articles: