كتاب "الفوضى الرياضية. من الرياضيات الابتدائية إلى التجريدات الرفيعة "

هل يمكنك أن تتخيل شيئًا أكبر من الكون ، ولكن في نفس الوقت وضعت بهدوء في رأسك؟ ما هذا؟ اللانهاية! ترسلنا "يوجينيا تشنغ" في رحلة رياضية مدهشة لفهم التجريد الرياضي الأكثر غموضاً. لماذا من المستحيل حساب بعض الأرقام؟ لماذا اللانهاية +1 لا تختلف عن اللانهاية 1+؟ سنتعرف على مفارقة فندق جراند ، وسنكون قادرين على إطعام 7 مليار شخص باستخدام رقعة الشطرنج ، وحتى الحصول على عدد لا نهائي من ملفات تعريف الارتباط من قطعة صغيرة (نهائية) من العجين. كل هذا سيسمح لنا بفهم وحب مثل هذه الرياضيات المجردة الغامضة والغامضة. الكتاب المذهل عن الكون الواسع واللامتناهي رائع ومثير للاهتمام ، يوضح كيف أن رمز رياضي صغير يحتوي على فكرة ضخمة.

مقتطفات. صغير بلا حدود

أحد الأشياء القليلة التي يمكنني رؤيتها أمامي الآن لا علاقة لها بالتحليل الرياضي - هذا مكتبي. كان الجدول موجودًا قبل وقت طويل من ظهور التحليل الرياضي ، ولكن تم إنشاء هذا الجدول الخاص في مصنع ايكيا ، والذي يستخدم بدقة التحليل الرياضي في إنتاجه. أريد أن أقول أن دراسة اللانهاية قد تبدو شيئًا تجريديًا وخارجيًا ، حرفياً ومجازياً ("مجازياً" كما يحب أحد أصدقائي المزاح) ، لكنها في النهاية تقودنا أيضًا إلى التحليل الرياضي ، الذي جزء لا يتجزأ من حياتنا.

نقطة البداية لكل هذا هي التفكير في الأشياء التي تكون "قريبة للغاية من بعضها البعض". عندما نرسم دائرة على الكمبيوتر أو نكتب الحرف O ، فإنها تبدو سلسة ومتساوية. ولكن إذا ألقينا نظرة فاحصة على الصور ، فإنها تصبح منقطة. هذا هو الحرف O على نطاق أكبر على شاشة جهاز الكمبيوتر الخاص بي.


نرى عددًا محدودًا من المربعات الصغيرة التي تتنكر في شكل دائرة. قام جهاز الكمبيوتر الخاص بي بتكوين دائرة بعناية ، وأضاف بضع نقاط باللون الرمادي. لا يمكن لجهاز الكمبيوتر أن يفعل خلاف ذلك ، لأنه قادر على إدراك ومعالجة النقاط الفردية فقط بكمية محدودة وحجم ثابت.

ماذا عن دماغنا؟ معنى التحليل الرياضي هو أن دماغنا ، من حيث المبدأ ، قادر على أكثر من ذلك: يمكننا إدراك ومعالجة أعداد كبيرة بشكل لا نهائي من الأشياء ، حتى لو كانت صغيرة بشكل لا نهائي. هذا هو الموضوع الذي سندرسه الآن.

لقد ساعدت ذات مرة في الرياضيات في مدرسة كامبريدج الابتدائية في بارك ستريت. كان علي أن أشرح التناظر مع طفلين في السادسة من العمر. في البداية طلبت منهم رسم خطوط التماثل على عدة مثلثات ، ثم على مربع ، ثم على خماسي ، ثم على سداسي. كان أطرف شيء عندما قال أحد الأطفال: "أعرف أن ثماني السطوح لها ثمانية جوانب ، لأن كلمة" ثماني السطوح "تبدو مثل الأخطبوط". في النهاية ، أعطيتهم دائرة. رسم أحد الرجال مثل هذا الخط على شكل دائرة:


علاوة على ذلك أصبح أكثر متعة. هتف الطفل الأول: "هناك المئات منهم!" ، وقال الثاني: "هناك مليون!" ، وبعد ذلك علق الأول: "يمكنك رسم هذه الخطوط طوال حياتك ولا تنتهي أبدًا!" ، ثم كان هناك توقف ، وبعد ذلك رفع الطفل الثاني بالقلم الرصاص ، رسمت على الدائرة كلها معهم وقال: "انظر! انتهيت! "

كنت في حيرة من أمري ، ولكن اضطررت إلى الاعتراف بأنهما على حق. يمكنك قضاء حياتك كلها في رسم خطوط التماثل على دائرة ولا تنتهي أبدًا ، لأن هناك عددًا لا نهائيًا منها. في الواقع ، لا حصر لها لا حصر لها. يمكننا التحقق من ذلك. تخيل أننا حددنا أين يعمل خط التناظر ، ونحدد الزاوية التي يتشكل بها مع الأفقي.



يمكننا أخذ أي زاوية - من 0 إلى 180 درجة أو بالتقدير الدائري - أي من 0 إلى π. إذا كانت الزاوية أكبر ، فسيقوم الخط بتكرار إحدى الخطوط المرسومة بالفعل:



خذ أي رقم حقيقي من 0 إلى 180 ، ولا يجب أن يكون عددًا صحيحًا أو رقمًا منطقيًا. نحن نعلم بالفعل أن هناك أعدادًا لا حصر لها من 0 إلى 180.

سيكون لدينا عدد لا يحصى من خطوط التماثل على الدائرة ، ولكن إذا قمت بالطلاء على الدائرة بأكملها ، فسوف ترسمها كلها بالفعل. ربما تعتقد الآن أنه كان بمثابة عملية احتيال ، لأن خطوط التماثل الحقيقية يجب أن تتقاطع بشكل لا نهائي عدة مرات في وسط الدائرة ، ولدينا عدد لا نهائي من طبقات القلم الرصاص في المركز. ولكن إذا لم ننتبه إلى المركز ، ولكن حاول ببساطة تحديد النقاط على طول حافة الدائرة التي تلمسها خطوط التناظر ، فسيكون كافياً لرسم قلم رصاص على حافة الدائرة. هل سنرسم عددًا لا نهائيًا من النقاط بهذه الطريقة؟ هل سيكون هناك عدد لا نهائي من النقاط في هذا الخط؟

إذا كان الأمر كذلك ، فما مدى المسافة بينهما؟ وإذا كان هناك عدد محدود منهم ، فكم عددها؟

القسمة على اللانهاية

إذا قسمنا الخط إلى أجزاء أكثر فأكثر ، تصبح الأجزاء أصغر وأصغر. هل يمكننا بالتالي تقسيم الخط إلى عدد لا نهائي من الأجزاء؟ أريد أن أقول إذا كان بإمكاننا صنع شيء صغير بشكل لا نهائي من خلال تقسيمه إلى ما لا نهاية.

تخيل اليانصيب حيث يمكن أن تسقط جميع الأرقام الحقيقية. سيحتوي أسطوانة اليانصيب على عدد لا نهائي من الكرات ، لكن كل منها سيشير إلى عدد محدد معين. في هذه الحالة ، سيكون احتمال الفوز غريبًا نوعًا ما. عادة في اليانصيب في المملكة المتحدة تسقط 6 كرات من أصل 59. هناك ما يقرب من 45 مليون مجموعة ، وجميع هذه التركيبات متساوية على الأرجح. فرصتك للفوز هي 1: 45 مليون. هذا رقم صغير جدًا (حوالي 0.00000002) ، ولكن ليس 0 ؛ على الرغم من أنه يبدو لي أنه قريب جدًا من 0 بحيث يمكن اعتباره بالفعل 0. إذا قمت بضربه مرة أخرى في العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة (45 مليون) ، فستحصل على 1 ، وهذا صحيح تمامًا ، لأنه سيكون احتمال الفوز إذا اشتريت جميع تذاكر اليانصيب.

يحتوي اليانصيب اللامتناهي على عدد لا نهائي من المجموعات ، لذا فإن فرصتك للفوز ستكون "1 إلى ما لا نهاية". كيفية التعبير عنه بكسر؟ لا يمكن أن تكون الإجابة أكثر من 0 ، لأنه إذا كان أكثر من 0 ، فعند ضربها مرة أخرى في العدد الإجمالي للنتائج المحتملة (اللانهاية) ، نحصل على رقم أكبر من 1. هل يعني هذا أن احتمال الفوز هو 0؟ ولكن يمكن لأي شخص أن يفوز حقا في كل مرة. يمكنك أن تلاحظ بحق أن مثل هذا اليانصيب مستحيل عمليًا ، لكن حجة حجتك هذه لا تلغي هذا التناقض. كل شيء هو نفسه تمامًا مثل فندق Hilbert: حقيقة أن مثل هذا الفندق لا يمكن أن يوجد لا تلغي المفارقة.

عدنا مرة أخرى إلى إحدى محاولاتنا الأولى لإيجاد اللانهاية ، بحجة ذلك


نحن نعلم أن مثل هذه المعادلة تؤدي إلى تناقض إذا حاولنا ضرب كلا الطرفين في 0. ولكن الآن نريد أن نقول أن القسمة على اللانهاية تعطي 0 أو


الآن نحن نعرف بالفعل المزيد عن اللانهاية ونرى على الفور أن هناك خطأ ما في هذه المعادلة. المشكلة هنا هي أن الطريقة التي حاولنا بها إيجاد اللانهاية ، أي باستخدام مجموعة لا حصر لها من الأشياء ، لا تعني القسمة على اللانهاية. يجب أن تكون الإجابة الرياضية الصحيحة في هذه الحالة: "حسنًا ، فلنحاول! إذا لم نقم بذلك بعد ، فهذا لا يعني أنه من المستحيل ".

دعونا نحاول أن نفعل نفس الشيء تمامًا كما فعلنا مع الطرح. دعنا نعود إلى فكرة أن كل شيء حوله هو العديد من الأشياء. إنه مثل الاعتماد على عد العصي: لا يمكنك كسر عصا العد إلى النصف (مما يثير فزع العديد من الأطفال). إذا أخذنا الكثير من الأرقام الطبيعية ، فلا يمكننا تقليلها جزئيًا.

تذكر ، عندما حاولنا التعبير عن الطرح من خلال اللانهاية ، تذكرنا منطق الأطفال: 6 - 3 تعني "كم يجب أن أحسب من 3 حتى أعود إلى 6". بعبارة أخرى ، قمنا بحل هذه المعادلة: 3 + x = 6.

الآن لنأخذ 6: 3. يمكننا أن ننظر إلى 6: 3 بطريقتين مختلفتين.

• كم مرة يناسب 3 في 6؟ بمعنى آخر ، كم مرة يجب أن أضيف 3 لنفسي لأحصل على 6؟ إنه مثل حل هذه المعادلة: 3 × س = 6.
• ما الرقم الذي يناسب 6 بالضبط ثلاث مرات؟ بمعنى آخر ، ما هو الرقم الذي يمكنني إضافته إلى نفسي ثلاث مرات للحصول على 6؟ إنه مثل حل هذه المعادلة: × × 3 = 6.

في كلتا الحالتين ، سيكون الجواب 2 ، لأن هذه الصيغ لا يهم إذا كنا نتحدث عن أرقام محدودة. لكننا نعلم بالفعل أنه مع اللانهاية هذا ليس بهذه البساطة. على سبيل المثال ، إضافة 3 عدد لا نهائي من المرات ليست مثل إضافة ثلاث مرات إلى اللانهاية . أي 3 × ω ≠ ω × 3.

دعونا نسأل أنفسنا السؤال: "كم مرة يجب أن أضيف 3 إلى نفسي لكي أحصل على ω؟" الجواب: ω. تخيل أنك تحولت مرة أخرى إلى شخص يقوم بتوزيع تذاكر تمزيق في قائمة انتظار. يأتي الناس في مجموعات من 3 أشخاص. كم مجموعة من 3 أشخاص يجب أن تأتي لإنهاء حزمة التذاكر التي لا نهاية لها؟ الجواب: ω. ستستمر ببساطة إلى ما لا نهاية في إصدار 3 تذاكر لكل مجموعة.

إذا نظرنا من ناحية أخرى: "ما الرقم الذي يمكنني إضافته إلى نفسي 3 مرات للحصول على ω؟" ، في هذه الحالة لا توجد إجابة محتملة. إذا قمت بإضافة 3 أرقام محددة معًا ، فسيكون الجواب دائمًا محدودًا. إذا جمعت معًا 3 أرقام لا نهائية ، فسيكون كل منها مساويًا على الأقل لـ ω (لأن ω هو أصغر ما لا نهاية) ، وسيصبحان معًا أكبر ، مثل "اللانهاية ويوم آخر". يمكننا أن نفكر في ذلك مرة أخرى مع مثال تذاكر القطع. إذا وصلت حافلة واحدة ممتلئة إلى ما لا نهاية ، فسوف تنفق جميع حزمها التي لا نهاية لها من تذاكر التمزق (على الأقل) على ركابها. إذا جاء بعد ذلك حافلة أخرى ممتلئة بلا حدود ، فسوف تضطر إلى أخذ حزمة بتذاكر من لون مختلف.

كان كلا السؤالين محاولة "لتقسيم اللانهاية إلى 3" ، لكنهما أعطونا إجابات مختلفة. هذا يثبت أن القسمة ، تمامًا مثل الضرب ، ليست الحل الأفضل عندما يتعلق الأمر باللامتناهي ، حتى لو كان مجرد قسمة على عدد محدود صغير. إذا حاولنا بدلاً من ذلك تقسيم شيء ما إلى ما لا نهاية ، فسيصبح كل شيء أسوأ. افترض أننا نريد القيام بما يلي: . ثم سيكون لدينا خياران. أولاً: كم مرة يجب أن نضيف ourselves لأنفسنا للحصول على 1؟ من الواضح أن هذا مستحيل ، لأن ω أكثر من اللازم. الخيار الثاني: ما هو الرقم الذي يمكن أن نضيفه لأنفسنا ω عدد المرات للحصول على 1؟ ومرة أخرى ، سيكون ذلك مستحيلًا تمامًا.

على الرغم من كل ما سبق ، يبدو أن 1 ، مقسومًا على اللانهاية ، يجب أن تساوي 0. هل يمكن أن يكون هذا البيان إجابة معقولة على الأسئلة المطروحة أعلاه؟ إذا أضفنا ω لأنفسنا 0 مرة ، فلن نحصل على أي شيء ، لذلك لا فائدة من هذا الإجراء. سيكون الأمر مثل عدد 0 حافلة ممتلئة بلا حدود ، لأنك لا تحتاج إلى تذاكر تمزيق على الإطلاق. أما بالنسبة للسؤال الثاني: "هل يمكننا إضافة 0 لأنفسنا ω مرة للحصول على 1؟" ، فحينئذٍ سيكون كل شيء كما لو كان هناك 0 أشخاص يقفون في الصف لعدد لا نهائي من المرات. لن تحتاج مرة أخرى إلى أي تذاكر تمزيق لها.

هنا يمكننا أن نستسلم ونقول ، "حسنًا ، لذلك "هذا ليس صفرًا." أو حاول أن تتصرف مثل علماء الرياضيات وتقول: "كل هذا يبدو حقاً معقولاً ، ربما يمكننا أن نعطيه بعض المعاني الرياضية الأخرى إذا لم يكن تفكيرنا مبنياً على مجموعات لا نهائية؟" تتمثل إحدى مهام الرياضيات في أخذ ما يبدو أنه بديهيًا ، وإعطائه تفسيرًا منطقيًا دقيقًا. يجب ألا نستسلم بسهولة!

الجانب الآخر من اللانهاية

ربما أنت الآن تسأل نفسك السؤال لماذا لا يمكننا أن نخرج بشيء صغير بشكل لا نهائي ولا يساوي 0 ، لأنه قبل أن أقول أنه يمكننا إنشاء أشياء مجردة بمجرد التفكير فيها. حاول علماء الرياضيات بالفعل استخدام هذه الطريقة ، على الرغم من أنها تبدو عديمة الجدوى (مثل فكرة اللانهاية ، والتي تبدو أيضًا عديمة الجدوى حتى تبدأ في دراستها بشكل مكثف بما فيه الكفاية). إنه مثل الجانب الآخر من اللانهاية. اللانهاية أكبر من أي رقم ، والقيمة المتناهية الصغر أقل من أي رقم. إذا قمت بإضافة ما لا نهاية لنفسك ، فستحصل على ما لا نهاية ، وإذا أضفت قيمة لا متناهية إلى نفسك ، فستتلقى مرة أخرى قيمة لا متناهية. وإذا قمت بمضاعفة اللانهاية بكمية متناهية الصغر ، فستحصل على 1 ، كما في المثال حول احتمالية الفوز في اليانصيب.

مثل هذا النهج يثير نفس المشاكل مثل اللانهاية "المخترعة" السابقة لدينا. هنا من الضروري العمل بدقة خاصة أو بالأحرى بمهارة فنية ، كما فعلنا من قبل ، عندما أردنا صياغة تعريف واضح لمفهوم "اللانهاية" ، ولكن نظرًا لأن المشاكل تنشأ في كثير من الأحيان ، سيكون من الأفضل محاولة الالتفاف عليها. إذا اشتعلت أثناء المشي في طريقك بركًا متسخًا كبيرًا ، فأنت إما أن تخطوه على أمل أن لا تبتل الحذاء أو تحاول الالتفاف عليه. (بالطبع ، بعض الناس ، وخاصة الأطفال ، يعشقون المشي مباشرة في وسط البركة. يحدث هذا أيضًا في الرياضيات.)

إليك كيفية الالتفاف بعناية على مشكلة القسمة إلى ما لا نهاية. تخيل أنك تحتاج إلى تقسيم كعكة الشوكولاتة إلى عدة أشخاص. إذا قسمتها إلى قسمين ، سيحصل الجميع على الكثير. إذا قسمت على ثلاثة ، فلا يزال الجميع يحصلون على الكثير ، ولكن أقل من الحالة الأولى. إذا كان هؤلاء أربعة أشخاص ، فسوف يتلقون أقل. كلما زاد عدد الأشخاص ، كلما قل عدد الكعكات التي يحصل عليها كل منهم. إذا أصبح عدد الأشخاص ضخمًا حقًا ، فسيكون من الحماقة محاولة مشاركة كعكة غير سعيدة للجميع. هل حاولت تقسيم كعكة إلى مائة شخص؟ (تتكون كعكات الزفاف عادة من عدة طبقات ، وهي في الأساس كعك منفصل.) وماذا عن ألف شخص؟ ومليون؟ في مرحلة ما ، عندما يكون هناك الكثير من الناس ، سيحصل الجميع على قطعة صغيرة بحيث تكون عمليًا كمية غير مهمة ، أي لا شيء تقريبًا.

إذا كان لدينا مليون شخص وكعكة واحدة فقط ، فعندئذٍ سيحصل الجميع على قطعة خاصة بهم - على الأرجح ، سيكونون مليارات من جزيئات الكيك. ولكن ظاهريًا ، ستكون كمية الكعكة تساوي تقريبًا 0 ، ومع زيادة عدد الأشخاص ، ستميل أكثر وأكثر إلى 0. لذلك أعطينا معنى رياضيًا لفكرة أن القسمة على اللانهاية تعطي 0. في الواقع ، نحن لا نقسم على اللانهاية (وبالتالي أنه لا يوجد الحس السليم). دعونا نعود إلى المثال الذي ذكرناه في الفصل 11 عندما يميل شيء ما إلى ما لا نهاية. حاولنا القسمة على ما يميل إلى اللانهاية ، ووجدنا أن الإجابة ستميل أيضًا إلى 0. ربما ستحضر بعض الحكايات الآن مجهرًا وتقول إنها ما زالت ترى قدرًا من الكعكة على طبق. ولكن يمكننا دائمًا مشاركتها أكثر قليلاً ، ولن تكون الكعكة مرئية مرة أخرى. هذا لا يعني أن 1 ، مقسومًا على اللانهاية ، هو 0 ، لكن هذه الحجج أعطت تخميناتنا البديهية تفسيرًا رياضيًا ، وكانت هذه بداية التحليل الرياضي الحديث بالكامل.

مفارقات زينو

تعود جذور التحليل الرياضي في العصور القديمة. طرح الفيلسوف اليوناني زينون سؤالاً حول كيف يمكن لشيء ما أن يتكون من عدد لا نهائي من الأجزاء المتناهية الصغر منذ أكثر من 2.5 ألف سنة. تمامًا مثل هيلبرت بعد آلاف السنين ، درس زينو المفارقات التي تثبت أنه يجب التعامل مع عدد لا نهائي من الأشياء بعناية فائقة.

تشبه إحدى مفارقات زينو تفكير الطفل في كعكة الشوكولاتة: إذا أكلت نصف ما تبقى ، ثم نصف ما تبقى ، وما إلى ذلك ، فسوف أتناول نصف ما تبقى فقط ، هل ستصبح الكعكة بلا نهاية؟

يصمم Zeno هذا المفارقة على النحو التالي: إذا كنت تريد الانتقال من النقطة A إلى النقطة B ، فيجب عليك أولاً تجاوز نصف المسافة. ثم يجب أن تذهب نصف المسافة المتبقية. بعد ذلك ، سيكون عليك أن تقطع نصف المسافة الجديدة المتبقية ، وهكذا. تذهب باستمرار نصف المسافة المتبقية فقط.


بعد كل مرحلة ، هناك دائمًا نصف المسافة ، ويمكنك دائمًا أن تذهب نصف ما تبقى. هل هذا يعني أنك لن تصل إلى المكان؟
علماء الرياضيات مغرمون جدًا بإنشاء مفاهيم جديدة من المفاهيم القديمة التي تمت دراستها بالفعل. دعونا نعود أيضًا إلى اللانهاية التي تم تمريرها بالفعل للأرقام الطبيعية. قلنا أننا بحاجة للتغلب على نصف المسافة ، ثم ربع ، ثم ثُمن ، وواحد سادس عشر ، وهكذا "إلى ما لا نهاية". كما نعلم بالفعل ، تستمر الأعداد الطبيعية إلى ما لا نهاية. لنفترض أننا بحاجة للسير لمسافة ميل واحد. ثم يمكننا تمييز المراحل التالية من المسار:


لدينا عدد لا نهائي من n ، مما يعني أنه سيكون لدينا عدد لا نهائي من المراحل في المسار. لا يمكننا تحديد طول كل مرحلة ، ولكن يمكننا كتابتها بشكل عام: لهذا قمنا بتطبيق صيغة مع المتغير n. ولكن إذا لم نتمكن من تسجيل طول كل مرحلة ، فهل يمكننا إنهاء كل منها؟ يجب أن يكون الجواب: نعم ، لأن إنهاء المسار أمر طبيعي تمامًا لكل منا. عادة ننتهي من مساراتنا ، حتى أقصر الطرق ونفعل ذلك كل يوم. (أنا لا أغادر منزلي كل يوم ، لكن في بعض الأحيان أتمكن من الذهاب إلى الثلاجة عدة مرات في الساعة).

في مفارقة مماثلة ، تمت صياغتها أيضًا بواسطة Zeno ، نتحدث عن أخيل والسلحفاة ، الذين يتسابقون من النقطة A إلى النقطة B. يُسمح للسلحفاة بالبدء في التحرك أولاً ، على سبيل المثال ، عند النقطة A1 ، ولكنها تتحرك ببطء شديد ، لأنها سلحفاة! ويجب أن يركض أخيل أولاً إلى مكان بداية السلحفاة. خلال هذا الوقت ، تذهب السلحفاة إلى أبعد من ذلك ، على سبيل المثال ، إلى النقطة A2. الآن يجب أن يصل أخيل إلى هذه النقطة ؛ أثناء قيامه بذلك ، تمر السلحفاة أكثر بقليل ، على سبيل المثال ، إلى النقطة A3. الآن يجب أن يصل أخيل بالفعل إلى A3 ، وخلال هذا الوقت تزحف السلحفاة إلى النقطة A4. في كل مرة يصل أخيل إلى المكان الذي كانت فيه السلحفاة في اللحظة التي قمنا فيها بالتحقق من حالة السباق ، فإن السلحفاة تذهب إلى أبعد من ذلك بقليل. هل هذا يعني أن السلحفاة ستفوز بالسباق؟

كل من هذه المفارقات تستند إلى أدلة منطقية تمامًا تؤدي إلى استنتاج سخيف. عادة نحن قادرون على الوصول إلى وجهتنا. ومن الواضح أنه إذا قام يوسين بولت بإدارة سباق بسلحفاة ، فسوف يفوز بالسباق. إن معنى هذه المفارقات ليس اكتشاف الأخطاء في واقعنا ، ولكن اكتشاف الأخطاء في منطق حججنا.

يختلف هذا التناقض عن مفارقة فندق Hilbert ، والتي ، على الرغم من أنها قد تكون مليئة ، إلا أنها لا تزال قادرة على استيعاب القادمين الجدد. في ذلك ، يبدو الاستنتاج سخيفًا ، لأن أفكارنا البديهية حول الفنادق التي لا نهاية لها ليست صحيحة تمامًا.

المفارقات مثل مفارقة فندق هيلبرت تسمى المفارقات الحقيقية. تؤدي الحجج القوية فيها إلى نتيجة تبدو متناقضة ، لكنها في الواقع ليست كذلك. , , , , , .

في كلتا الحالتين ، فإن جوهر المفارقة هو إظهار الشذوذ الذي ينشأ عندما نبدأ في التفكير في اللانهاية: في مفارقة فندق Hilbert ، نتعامل مع أشياء كبيرة بلا حدود ، وفي مفارقة Zeno ، مع كائنات متناهية الصغر. في تناقض حول فندق هيلبرت ، نواجه مشكلة حدوث أشياء لا حصر لها ، والتي لا تحدث في الحياة الواقعية ، سواء كانت أحذية أو جوارب أو تذاكر تمزيق أو غرف فندقية. وفي مفارقات زينو ، يبدو لنا أن الأشياء تنشأ إلى ما لا نهاية ، إذا اعترفنا بتحفظ يصبح في الوقت نفسه صغيرًا بشكل لا نهائي. لا يمكن أن تكون صغيرة بشكل لا نهائي ، لأننا لا نعرف ما يعنيه هذا حقًا. لكنها يمكن أن تصبح صغيرة بشكل لا نهائي. كل يوم نلتقي بمجموعات لا نهاية لها من الأشياء ،في بعض الأحيان دون حتى معرفة ذلك وعدم الحاجة إلى معرفة ذلك.

عدد لا نهائي من الأشياء المتناهية الصغر

في مفارقة المسار من النقطة A إلى النقطة B ، تمكنا من الوصول إلى الوجهة ، مما يعني أننا تمكنا من التغلب على عدد لا نهائي من مقاطع المسار. ومع ذلك ، هذا ممكن فقط لأن هذه الأجزاء أصبحت أصغر وأصغر والوقت الذي أمضيناه في كل جزء أصبح أصغر وأصغر. علاوة على ذلك ، حدث هذا في العالم الحقيقي ، وليس في عالم هيلبرت الرائع ، حيث لدينا بطريقة أو بأخرى ما يكفي من الوقت لملء عدد لا نهائي من غرف الفنادق أو لإعطاء عدد لا نهائي من تذاكر القطع. في الحياة الواقعية ، يمكننا القيام بعدد لا نهائي من الأشياء كل يوم ، ولكن فقط إذا كان الوقت الذي نقضيه على كل واحد منهم صغيرًا بشكل لا نهائي.

تخيل ، على سبيل المثال ، أنك بحاجة للمشي لمسافة ميل إلى محطة القطار. لنفترض أنك تسير بسرعة ثابتة تبلغ 4 أميال في الساعة. لذلك يجب أن يستغرق ذلك 15 دقيقة. ولكن ما الذي تتحدث عنه مفارقة زينو؟

• أولاً ، يجب أن تمشي في النصف الأول من الميل ، والذي سيستغرق 7.5 دقيقة.
• ثم سيكون عليك أن تقطع ربع ميل قادم ، والذي سيستغرق 3.75 دقيقة.
• بعد ذلك ، سيكون عليك المشي لمسافة ميل واحد ، والذي سيستغرق 1.875 دقيقة.
• بعد ذلك ، سيتعين عليك أن تذهب لمسافة ستة عشر ميلًا ، والتي ستستغرق 0.9375 دقيقة.
• ...

عليك أن تمر عبر كل هذه الامتدادات المتناقصة للمسار ، لكن ذلك يأخذك كمًا متناقصًا من الوقت. كم عدد المقاطع الصغيرة التي ستمر بها أثناء الوصول إلى محطة السكة الحديد؟ الجواب: كثير بلا حدود ؛ إذا توقفت بعد كل نهاية الرحلة ، فسيكون هناك المزيد.

من الواضح أن هذه طريقة سخيفة تمامًا لمعرفة الوقت الذي سيستغرقه الوصول إلى محطة القطار ، خاصة لأنه في مرحلة ما ستصبح المسافة الصغيرة التي لا يزال عليك قطعها أقل من قدم. ومع ذلك ، تعتبر هذه تجربة فكرية مهمة بالنسبة لنا توضح ما يلي: يبدو لنا أنه يمكننا إضافة عدد كبير جدًا من الأشياء والحصول على النتيجة النهائية إذا أصبحت هذه الأشياء باستمرار أصغر وأصغر. في العالم الحقيقي ، لا يمكننا إصدار عدد لا حصر له من تذاكر القطع ، لأن جميع تذاكر القطع هي بنفس الحجم. ولكن حتى لو أصبحت أصغر وأصغر ، ما زلنا بحاجة إلى فترة زمنية معينة ومنفصلة لإصدار كل تذكرة ، لذلك لا يمكننا فعلًا القيام بذلك.لا يمكننا قضم كعكة شوكولاتة واحدة إلى أجل غير مسمى ، حتى لو أصبحت "عضاتنا" بلا حدود لأن المسافة إلى فمنا ستكون دائمًا هي نفسها. (على الرغم من أنه يمكننا تقليل المسافة إلى الفم في نفس الوقت ، ولكن في النهاية سينتهي بالذقن على الطبق بالكعكة.)

هناك نوعان من الألغاز هنا. في أي الحالات يكون من المنطقي تكديس عدد كبير جدًا من الأشياء الصغيرة؟ وكيف يمكننا في مثل هذه الحالات حساب الجواب؟ تم حل هذا السؤال ، الذي عذب علماء الرياضيات لآلاف السنين ، أخيرًا في القرن التاسع عشر مع ظهور التحليل الرياضي. سنعود إليها في الفصل التالي.

»يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول الكتاب على موقع الناشر على الويب
» المحتويات
» مقتطفات

خصم 25٪ على كوبون Khabrozhitel - الرياضيات