لماذا يصعب إثبات نظرية عدم اكتمال جودل: الأمر في الصيغ ، وليس فقط في الجوهر

تحدث نظرية غودل غير المكتملة تقريبًا أن هناك عبارات رياضية حقيقية لا يمكن إثباتها. عندما كنت في الصف الحادي عشر ، قضينا نحن الثلاثة مع مدرس الهندسة السيد أولسن وصديقي أوما روي خمسة أسابيع في قراءة دليل غودل الأصلي. لماذا طويلة؟ جزئيا لأننا ما زلنا أطفال المدارس. جزئيا لأن جودل ، 24 سنة ، لم يكن الكاتب الأكثر موهبة. ولكن السبب الرئيسي هو أن الأدلة صعبة للغاية في الواقع.

قد يبدو هذا مفاجئًا ، لأن كل الأدلة في الواقع يمكن أن تتناسب مع فقرة واحدة. يبدأ جودل ببناء جملة رياضية تعادل في الأساس جملة ،

لا يمكن إثبات هذا البيان.

ثم يعتبر جودل ما سيحدث إذا كان هذا البيان خاطئًا. أي إذا كان يمكن إثبات هذا البيان. لكن أي بيان يمكن إثباته يجب أن يكون صحيحًا - هذا تناقض. من هذا ، يستنتج جودل أن البيان يجب أن يكون صحيحًا. ولكن بما أن البيان صحيح ، فإنه يستنتج من ذلك أنه لا يمكن إثبات البيان. يرجى ملاحظة أن هذا البيان الختامي لا يتعارض. على العكس من ذلك ، هذا دليل على نظرية جودل.

فلماذا الدليل الحقيقي معقد للغاية؟ الحيلة هي أن ما قد يبدو مثل بيان رياضي صالح في اللغة الإنجليزية ليس كذلك في كثير من الأحيان (خاصة عندما تشير الجملة إلى نفسها). تأمل ، على سبيل المثال ، الجملة التالية:

هذه الجملة خاطئة.

الجملة لا معنى لها: لا يمكن أن تكون خاطئة (لأنها ستجعلها صحيحة) ولا يمكن أن تكون صحيحة (لأنها ستجعلها خاطئة). وبالطبع ، لا يمكن كتابتها في شكل بيان رياضي رسمي.

إليك مثال آخر (يُعرف باسم مفارقة بيري):

حدد {x} على أنه أصغر عدد صحيح موجب لا يمكن وصفه بأقل من 100 كلمة.

قد يبدو هذا تعريفًا رياضيًا صالحًا. ولكن مرة أخرى ، لا معنى لذلك. وهو أمر مهم بالنسبة لعقلانية الرياضيات ، لا يمكن كتابة أي بيان مماثل رسميًا ، أي رياضيًا.

حتى العبارات في لغة الرياضيات يمكن أن تكون بلا معنى:

$$

$$S = \ {A \ mid A \ not \ in A \}$$

(أي $$$S$هو الكثير من المجموعات $$$A$التي ليست عناصر من أنفسهم).

هذا مرة أخرى تعريف لا معنى له (يعرف باسم مفارقة راسل). على وجه الخصوص ، بمجرد تحديدنا $$$S$يمكننا أن نسأل ما إذا كان $$$S$نفسك؟ إذا كان الأمر كذلك ، ثم $$$S$لا يمكن أن يكون عضوا $$$S$- تناقض وإذا لم يكن كذلك ، ثم $$$S$سيكون عضوا $$$S$- مرة أخرى تناقض.

معنى هذه الأمثلة الثلاثة هو أنه إذا كنت تريد إثبات النظريات في العبارات الرياضية ، فيجب أن تكون حذرًا جدًا بشأن حقيقة أنك تقوم بالفعل بتشغيل عبارات رياضية. في الواقع ، من 46 تعريفًا في البداية إلى أدلة قوية بشكل مدهش في النهاية ، مقالة غودل الأصلية ليست أكثر من تمرين ضخم في الحذر.