عمليات العدد المركب

مرحبًا٪ username٪!
لقد تلقيت الكثير من المراجعات حول الجزء الأول وحاولت أخذها جميعًا في الاعتبار.
في الجزء الأول كتبت عن الجمع والطرح والضرب وتقسيم الأعداد المركبة.
إذا كنت لا تعرف هذا ، اسرع واقرأ الجزء الأول :-)
المقالة مؤطرة ، هناك عدد قليل جدًا من القصص هنا ، معظمها من الصيغ.
هل لديك قراءة لطيفة!

لذا ، دعنا ننتقل إلى عمليات أكثر إثارة للاهتمام وأكثر تعقيدًا قليلاً.
سأتحدث عن الشكل الأسي للرقم المركب ،
الأسي ، الجذر التربيعي ، الوحدة النمطية ، وكذلك عن الجيب و
جيب التمام لحجة معقدة.
أعتقد أن الأمر يستحق البدء بوحدة أرقام معقدة.
يمكن تمثيل العدد المركب على محور الإحداثيات.
سيتم وضع الأرقام الحقيقية على طول س ، والأرقام الخيالية على طول ص.
وهذا ما يسمى بالطائرة المعقدة. أي رقم مركب ، على سبيل المثال

$$

$$z = 6 + 8i$$

من الواضح أنه يمكن تمثيله كمتجه نصف قطر:

ستبدو صيغة حساب الوحدة النمطية كما يلي:

$$

$$r = | z | = \ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)$$

اتضح أن معامل العدد المركب z سيكون مساوياً لـ 10.
في الجزء الأخير ، تحدثت عن شكلين من كتابة الأعداد المركبة:
جبري وهندسي. هناك شكل إرشادي آخر للدخول:

$$

$$z = r \: e ^ {i \ phi}$$

هنا r هو معامل العدد المركب ،
و φ هي arctg (y / x) إذا كانت x> 0
إذا كانت x <0، y> 0 إذن

$$

$$φ = arctan (y / x) + \ pi$$

إذا كانت x <0، y <0 إذن

$$

$$φ = arctan (y / x) - \ pi$$

هناك صيغة Moiré رائعة تسمح لك ببناء عدد مركب
درجة كاملة. تم اكتشافه من قبل عالم الرياضيات الفرنسي Abrach de Moire في عام 1707.
يبدو هذا:

$$

$$z ^ n = r ^ n {(cos (\ phi) + i * sin (\ phi))} ^ n$$

ونتيجة لذلك ، يمكننا رفع الرقم z إلى القوة a:

$$

$$z.x = | z | ^ a * cos (a * arctg (y / x))$$

$$

$$z.y = | z | ^ a * sin (a * arctg (y / x))$$

إذا كان رقمك المركب مكتوبًا في شكل أسي ، فعندئذٍ
يمكنك استخدام الصيغة:

$$

$$z ^ k = r ^ ke ^ {ik \ phi}$$

الآن ، بمعرفة كيفية العثور على معامل الرقم المركب وصيغة Moire ، يمكننا أن نجد
n جذر العدد المركب:

$$

$$\ sqrt [n] {z} = \ sqrt [n] {r} \؛ cos {\ frac {\ phi + 2 \ pi k} {n}} + i * sin {\ frac {\ phi + 2 \ pi k} {n}}$$

هنا k أرقام من 0 إلى n-1
من هذا يمكننا أن نستنتج أن هناك جذورًا مميزة لـ nth بالضبط
درجات عدد مركب.
دعنا ننتقل إلى الجيب وجيب التمام.
ستساعدنا صيغة أويلر الشهيرة في حسابها:

$$

$$e ^ {ix} = cos ({x}) + i * sin ({x})$$

بالمناسبة ، لا تزال هناك هوية أويلر ، وهو أمر خاص
حالة صيغة أويلر لـ x = π:

$$

$$e ^ {iπ} + 1 = 0$$

نحصل على الصيغ لحساب الجيب وجيب التمام:

$$

$$sin \: z = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {{2i}}$$

$$

$$cos \: z = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {{2}}$$

في نهاية المقال ، لا يسع المرء إلا أن يذكر التطبيق العملي للتكامل
أرقام بحيث لا يوجد سؤال

هل استسلمت هذه الأرقام المعقدة؟
الجواب: في بعض مجالات العلم لا توجد طريقة بدونها.
في الفيزياء ، يوجد في ميكانيكا الكم شيء مثل وظيفة الموجة ، والتي هي في حد ذاتها ذات قيمة معقدة.
في الهندسة الكهربائية ، وجدت الأرقام المعقدة نفسها كبديل مناسب للمتغيرات التي تنشأ حتمًا عند حل المشكلات في دوائر التيار المتردد الخطية.
تستخدم نظرية جوكوفسكي أيضًا (الرفع الجانبي) أعدادًا معقدة.
وكذلك في علم الأحياء والطب والاقتصاد وغيرها الكثير.
آمل أن تتمكن الآن من التعامل مع الأرقام المعقدة ويمكنك ذلك
وضعها موضع التنفيذ.
إذا كان هناك شيء في المقالة غير واضح - اكتب في التعليقات ، سأجيب.