دعنا نزيل الأرباع من جميع المحركات ثلاثية الأبعاد

يستخدم مبرمجو الرسومات quaternions لتسجيل المنعطفات ثلاثية الأبعاد. ومع ذلك ، يصعب فهم الكواترون لأنها تدرس بشكل سطحي . نأخذ فقط جداول الضرب الغريبة والتعريفات المشفرة الأخرى عن الإيمان ، ونستخدمها كـ "مربعات سوداء" تقوم بتدوير المتجهات حسب حاجتنا. لماذا $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ و $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ ؟؟؟ لماذا نأخذ ناقلات ونحولها إلى ناقل "خيالي" لتحويله ، على سبيل المثال $$$\ mathbf {q} (x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}) \ mathbf {q} ^ {*}$ ؟؟؟ ولكن من يهتم إذا كان كل شيء يعمل ، أليس كذلك؟

هناك طريقة لوصف الدوران يسمى الدوار ، والذي يشير إلى مجال الأعداد المركبة (في 2D) و quaternions (في 3D) ، وحتى يعمم على أي عدد من الأبعاد.

يمكننا إنشاء دوارات بالكامل تقريبًا من نقطة الصفر ، بدلاً من تحديد quaternions من لا شيء ومحاولة شرح كيفية عملها بأثر رجعي . يستغرق الأمر المزيد من الوقت ، ولكن يبدو لي أنه يستحق ذلك ، لأن فهمه أسهل بكثير!

بالإضافة إلى ذلك ، من أجل تصور وفهم الدوارات ثلاثية الأبعاد ، ليس من الضروري استخدام البعد المكاني الرابع.

سيكون من الرائع إذا بدؤوا في استبدال استخدام ودراسة الرباعيات ، واستبدالهم بالدوار. استبدالها بسيط للغاية ، لكن الرمز سيظل كما هو تقريبًا . كل شيء يمكن القيام به مع quaternions ، على سبيل المثال ، إقحام وإزالة أقفال المحور (قفل Gimbal) ، يمكن القيام به مع الدوارات. لكننا نبدأ في فهم المزيد.

(في المقال الأصلي ، جميع الرسوم البيانية تفاعلية ، ويتبع المقالة مقطع فيديو. بالنقر على أزرار التشغيل ، يمكنك بدء القسم المقابل من الفيديو. يمكنك أيضًا النقر فوق زر الانتقال أسفل الفيديو للانتقال إلى القسم المقابل من المقالة. يمكنك توسيع النافذة بحيث يكون هناك مساحة أكبر للفيديو ، أو قم بتعيين حجم ثابت لها.)

1. تحويل الطائرات

1.1. يتم تنفيذ المنعطفات على طائرات ثنائية الأبعاد.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، عادة ما ندرك أن المنعطفات تحدث حول المحاور ، مثل عجلة تدور على محور ، ولكن بدلاً من ذلك سيكون من الأصح تمثيل الطائرة التي تقع عليها العجلة. هذا المستوى عمودي على المحور.


هذه المرأة العجوز تدور عجلة في الطائرة $$$\ mathbf {xz}$ عمودي على المحور $$$\ mathbf {y}$ .

يحدث هذا لأنه إذا قسمنا المتجه إلى قسمين ، يقع أحدهما على متن الطائرة ( $$$\ mathbf {v} _ \ $ المواز$ ) ، والآخر خارج ( $$$\ mathbf {v} _ \ circ$ ) ، ثم يدور الجزء الداخلي ، ويبقى الجزء الخارجي دون تغيير.


الدوران في الطائرة $$$yx$ [ في المقال الأصلي يمكن تحريك هذه الرسوم المتحركة والكاميرا ]

في الفضاء ثنائي الأبعاد ، هناك مستوى واحد فقط يمكن فيه الدوران ( لا يوجد جزء خارجي ). لذلك ، بافتراض أن التدوير يحدث حول المحور الثالث (عمودي على المستوى الثنائي الأبعاد) ، فهذا غير صحيح تمامًا ، لأنه لإكمال التدوير لا ينبغي لنا إضافة بُعد آخر.

إذا أخبرنا "مالك الأرض المسطح" ثنائي الأبعاد (الذي يعيش داخل المستوى الثنائي الأبعاد ولم يخرج أبدًا من الفضاء ثنائي الأبعاد) عن المحور المتعامد للدوران ، فسوف يسأل: "في أي اتجاه يشير هذا المحور؟ لا يمكنني تخيلها! "

1.2. الاتجاه الدقيق للمنعطفات

بالإضافة إلى ذلك ، عندما نفكر في الدوران حول محور ، لا يتم تحديد اتجاه الدوران ، وبالتالي يجب تحديده بواسطة قاعدة (ما يسمى "القاعدة اليمنى").

ومع ذلك ، إذا افترضنا أن المنعطفات تحدث داخل الطائرات ، فإن الاتجاه يصبح واضحًا: الدوران في الطائرة $$$\ mathbf {xy}$ يعني دوران يقوم بتحريك متجه (وحدة) $$$\ mathbf {x}$ إلى متجه (الوحدة) $$$\ mathbf {y}$ داخل الطائرة يشكلون معا. الدوران في الطائرة $$$\ mathbf {yx}$ هو دوران في الاتجاه المعاكس: إنه يحرك المتجه $$$\ mathbf {y}$ إلى المتجه $$$\ mathbf {x}$ .

2. المفاعلات

2.1. العمل الخارجي

لحساب محور الدوران عند تدوير متجه واحد $$$\ mathbf {a}$ إلى ناقل آخر $$$\ mathbf {b}$ نأخذ المنتج المتجه من متجهين للحصول على متجه متعامد مع كلاهما. ولكن لماذا نحتاج إلى "مغادرة" الطائرة إذا كان الدوران في الأساس عملية ثنائية الأبعاد؟

بدلاً من ذلك ، نأخذ ما يسمى منتجًا خارجيًا (يُعرف أيضًا باسم منتج متجه ثنائي الأبعاد) ، متجهين ، لإنشاء عنصر جديد يسمى "bivector" (أو متجه 2) $$$\ mathbf {B}$ تمثل المستوى الذي يشكله متجهان معًا. إذا قام منتج متجه بإنشاء متجه عادي للمستوى ، فإن المنتج الخارجي ينشئ المستوى نفسه . حساب العادي للطائرة غير ذي صلة.

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

$$$\ mathbf {B}$ يمكن تمثيله كمتوازي الأضلاع مبني من المتجهات $$$\ mathbf {a}$ و $$$\ mathbf {b}$ في المستوى الذي يشكلونه معًا.

في البداية ، قد تبدو فكرة المنشط غريبة ، لكن سرعان ما سنرى أنها تقريبًا أساسية مثل المتجهات نفسها . إذا كان من الممكن مقارنة المتجه بخط مستقيم ، فإن المركب المشابه يشبه المستوى ... خصائص المنتج الخارجي تلتقط الخصائص المهمة للطائرات.

2.2. أساس المفاعلات

تحتوي المحركات النشطة ، مثل المتجهات ، على مكونات. ولكن يتم تحديدها على أساس الطائرات ، وليس الخطوط المستقيمة ، مثل المتجهات.

ثلاث طائرات قاعدية متعامدة هي $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ ، $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ و $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ كما نرى من الشكل.

لكن أولاً ، دعنا ننظر إلى حالة أبسط ثنائية الأبعاد ...

2.3. مفاعلات ثنائية الأبعاد

في 2D ، هناك طائرة واحدة فقط ، وهي $$$\ mathbf {xy}$ . بمعنى أن المفاعل الثنائي الأبعاد له مكون واحد فقط. لمفاعل يتكون من ناقلات $$$\ mathbf {a}$ و $$$\ mathbf {b}$ هو الرقم $$$B_ {xy}$ يساوي مساحة (مع علامة) من متوازي الأضلاع الذي شكله متجهان.

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = B_ {xy} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y})$$

في المقالة الأصلية مع bivector ثنائي الأبعاد ، يمكنك تجربة الرسم البياني التفاعلي من خلال تغيير المتجهات (المفردة) التي يتكون منها:


يمكنك أن ترى أنه عندما تتغير الزاوية بين المتجهات ، تتغير منطقة متوازي الأضلاع (وفقًا لجيب الزاوية).

إذا كانت المتجهات متشابهة أو متوازية ، فلن تشكل مستوى عاديًا وستكون النتيجة صفرًا. تحدد هذه الخاصية البسيطة ماهية bivector:

$$

$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {a} = 0$$

بالنظر إلى مجموع متجهين ، يمكنك أن ترى أن الخاصية تتبع:

$$

$$\ start {eqnarray} (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) \ wedge (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) & = & 0 \\ \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf { a} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \\ \ mathbf { b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \ end {eqnarray}$$

لذلك:

$$

$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a}$$

تمامًا مثل اتجاه الدوران ، فإن ترتيب الحجج في العمل الخارجي مهم. تؤدي إعادة ترتيب الحجج إلى تغيير علامة النتيجة (وهذا ما يسمى "عدم التناظر").

على الرسم البياني ، يشار إلى العلامة بلون يتغير من الأزرق إلى الأخضر. تتغير العلامة عندما يحين دور $$$\ mathbf {a}$ في $$$\ mathbf {b}$ يتحرك من اتجاه عقارب الساعة إلى عكس اتجاه عقارب الساعة (أي إذا تطابق مع الاتجاه (من $$$\ mathbf {x}$ ل $$$\ mathbf {y}$ ) أو الاتجاه (من $$$\ mathbf {y}$ ل $$$\ mathbf {x}$ )).

يمكنك أن ترى أن خصائص المنتج الخارجي مرتبة بحيث تنقل خصائص الطائرات والمنعطفات.

2.4. نواقل ثنائية الأبعاد من نواقل غير الوحدة

من الواضح أن المتجهات لا يجب أن تكون بطول الوحدة ، وقد تمت إزالة هذا القيد على هذا الرسم البياني:


تتناسب مساحة متوازي الأضلاع مع علامة مع أطوال المتجهين: $$$B_ {xy} = sin (\ alpha) \ | a \ | \ | b \ |$ أين $$$\ alpha$ هي الزاوية بين $$$\ mathbf {a}$ و $$$\ mathbf {b}$ . هذا ، على سبيل المثال ، عند مضاعفة طول متجه واحد ، تتضاعف المساحة.

يمكننا الحصول على القيمة الحقيقية عن طريق استبدال المتجهات كمكونات:

$$

$$\ start {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & (a_x \ mathbf {x} + a_y \ mathbf {y}) \ wedge (b_x \ mathbf {x} + b_y \ mathbf { y}) \\ & = & a_x b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x}) + a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) + a_y b_y (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x ( \ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) - a_y b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} ) \\ & = & (a_x b_y - a_y b_x) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \ end {eqnarray}$$

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

2.5. bivectors 3D

نفس إحداثيات النواقل $$$\ mathbf {v}$ يمكن اعتبار إسقاطات المتجه على ثلاثة محاور أساس متعامدة ( $$$\ mathbf {x}$ ، $$$\ mathbf {y}$ ، $$$\ mathbf {z}$ ) ، إحداثيات المفاعل $$$\ mathbf {B}$ يمكن اعتباره إسقاطات أصغر من طائرة على ثلاث طائرات قاعدية متعامدة.

إسقاطات المتجه هي أطوال هذا المتجه على طول كل متجه أساسي ، وإسقاطات المفاعل هي مناطق الطائرة على كل مستوى أساس.

للمتجه:

$$

$$\ mathbf {v} = \ bbox [5 بكسل ، الحد السفلي: 2 بكسل أحمر صلب] {v_x} \ mathbf {x} + \ bbox [5 بكسل ، الحد السفلي: 2 بكسل أخضر صلب] {v_y} \ mathbf {y} + \ bbox [5 بكسل ، الحد السفلي: 2 بكسل أزرق صلب] {v_z} \ mathbf {z}$$

بالنسبة للمفاعل العضوي:

$$

$$\ mathbf {B} = \ bbox [5px ، الحد السفلي: 2 بكسل صلب مرجاني] {B_ {xy}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + \ bbox [5px ، الحد السفلي: 2 بكسل ذهب مصمت] {B_ {xz}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) + \ bbox [5 بكسل ، حد سفلي: 2 بكسل صلب DarkViolet] {B_ {yz}} (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z})$$

أين $$$B_ {xy}$ ، $$$B_ {xz}$ ، $$$B_ {yz}$ هي مجرد أرقام مثل $$$v_x$ ، $$$v_y$ ، $$$v_z$ (يتم تسطيرها بواسطة الألوان المقابلة للألوان على الرسم البياني).

مكونات bivector ثلاثي الأبعاد ليست سوى ثلاثة إسقاطات ثنائية الأبعاد ل bivector على مستوى ثنائي الأبعاد الأساسي.

باستخدام نفس الطريقة كما كان من قبل ، نجد أن القيم الحقيقية للمكونات تشبه إلى حد كبير مكون XY من الحالة ثنائية الأبعاد ، ولكنها تنطبق على جميع المستويات الثلاثة:

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

$$

$$B_ {xz} = a_x b_z - b_x a_z$$

$$

$$B_ {yz} = a_y b_z - b_y a_z$$

يمكنك تجربة Bivector ثلاثي الأبعاد على مخطط تفاعلي في المقالة الأصلية:



إذا قسمنا العامل المفاعل حسب قاعدته ، فإننا نقوم بتقليل أطوال المتجهات والقيمة (المطلقة) لزاوية الزاوية ، أي أننا سنحصل على المفاعل $$$\ hat {\ mathbf {B}}$ ، والتي سيتم بناؤها كما لو كان المتجهان متعامدين في البداية وكان طولهما وحدة. هذا تمثيل نظيف للغاية لمستوى يحتوي على كلا المتجهين. لذا:

$$

$$\ mathbf {B} = | \ mathbf {a} \ | \ | | mathbf {b} \ | \ mid sin (\ alpha) \ mid \ hat {\ mathbf {B}}$$

هل هناك شيء يذكرك بعمل خارجي؟ في الأبعاد الثلاثية ، يكون تعريف العمل الخارجي مشابهًا جدًا لتعريف العمل المتجه. في الواقع ، فإن المتجه في 3D الذي يتم الحصول عليه من منتج متجه (على سبيل المثال ، ناقل عادي) سيكون له ثلاثة مكونات تساوي مكونات المفاعل (ستكون الأرقام هي نفسها ، ولكن الأساس مختلف).

$$$$ display $$ \ start {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & & + & (a_x b_z - b_x a_z) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) \\ & & + & (a_y b_z - b_y a_z) (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z} ) \\ \\ \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) \ \ mathbf {z} \\ & & - & (a_x b_z - b_x a_z) \ \ mathbf {y} \\ & & + & (a_y b_z - b_y a_z) \ \ mathbf {x} \ end {eqnarray} $$ display $$

تعريف bivector له معنى هندسي ، ولا يظهر من العدم. أتذكر أنه عندما درست منتجات المتجهات ، فكرت: "ما الذي يعيد الجحيم متجهًا طوله يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي شكله هذان المتجهان؟ يبدو عشوائيًا جدًا. ولماذا يمكننا تحويل منطقة متوازي الأضلاع إلى طول المتجه؟ "

2.6. دلالات المتجهات و المحركات

في 3D ، يحتوي bivector على ثلاثة إحداثيات ، واحدة لكل مستوى: $$$\ mathbf {xy}$ ، $$$\ mathbf {xz}$ و $$$\ mathbf {yz}$ ) تحتوي الموجهات أيضًا على ثلاثة إحداثيات ، واحدة لكل محور ( $$$\ mathbf {x}$ ، $$$\ mathbf {y}$ و $$$\ mathbf {z}$ ) كل مستوى عمودي على محور واحد. تنشأ هذه المصادفة فقط في ثلاثة أبعاد (*) ولهذا السبب نخلط باستمرار بين biveators و ناقلات .


في البرمجة ، كلاهما لهما نفس تخطيط الذاكرة ، ولكن عمليات مختلفة. يشبه استخدام متجه ثلاثي الأبعاد بدلاً من مفاعل ثلاثي الأبعاد "تحويل نوع" مفاعل.

إليك مثال: يمكنك أن ترى أن المتجهات العادية يتم تحويلها بشكل مختلف عن المتجهات العادية باستخدام مصفوفة "النقل العكسي" $$$(\ mathbf {M} ^ {T}) ^ {- 1}$ ، بدلاً من المصفوفة نفسها. هذا لأنهم في الواقع ليسوا نواقل ، بل نواقل يتم تحويلها إلى نواقل عن طريق "تحويل النوع". في الفيزياء ، هناك اختراق يدعى "الناقل المحوري" ، والذي تم إدخاله من أجل التمييز بين المتجهات التي تم الحصول عليها بواسطة المنتج المتجه من المتجهات العادية. المفاعل هو "نوع" حقيقي من شيء ما ويجب إدراكه ومعالجته وفقًا لذلك.

3. المنتج الهندسي

3.1. تكاثر المتجهات على بعضها البعض

منتج هندسي $$$\ mathbf {a b}$ (يشار إليها بدون رمز) هي عملية أخرى يمكن إجراؤها باستخدام المتجهات. يتم تعريف المنتج الهندسي بحيث تكون المتجهات كميات معكوسة (على سبيل المثال $$$\ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {- 1} = 1$ ، حيث 1 هو الرقم 1 فقط!) وله خصائص ملائمة ، على سبيل المثال ، الجمعية ( $$$\ mathbf {a} (\ mathbf {b} \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ mathbf {b}) \ mathbf {c}$ ) الغرض من هذا هو أن تكون قادرًا على مضاعفة المتجهات بحيث يتوافق الضرب (كما هو الحال مع المصفوفات) مع العمليات الهندسية.


لتعريف المنتج ، نلاحظ أولاً أنه من الممكن تقسيم المنتج (أو أي وظيفة تأخذ وسيطتين) إلى مجموع الجزء الذي لا يتغير إذا قمنا بتبديل الحجج والجزء الذي يتغير على النحو التالي:

$$

$$\ start {eqnarray} \ mathbf {a} \ mathbf {b} & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \\ & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf { b} \ mathbf {a}) + \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \ end {eqnarray}$$

لم يعد المصطلح الأول يعتمد على ترتيب الحجج $$$\ mathbf {a}$ و $$$\ mathbf {b}$ (يطلق عليه الجزء "المتماثل") ، والتغييرات في المصطلح الثاني تشير عند تغيير أماكن الحجج (تسمى الجزء "غير المتماثل").

الناتج العددي لمتجهين (يسمى أيضًا المنتج الداخلي) متماثل وهو مقياس المسافة ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2$ ) ، لذلك ، من وجهة نظر هندسية ، يبدو من المفيد أن نجعلها مساوية للجزء المتماثل:

$$

$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$$

وبالمثل ، فإن المنتج الخارجي لمتجهين هو مضاد غير متماثل ، لذلك سيكون من المفيد معادلته بالجزء غير المتماثل:

$$

$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

بالإضافة إلى ذلك ، يحتوي المنتج القياسي على جيب تمام الزاوية بين متجهين ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | cos (\ alpha)$ ) ، بينما يحتوي المنتج الخارجي على جيب الزاوية. معًا ، يصفان تمامًا الزاوية بين المتجهات ، وكذلك المستوى الذي تشكلهما.


أي أن المنتج الهندسي يساوي:

$$

$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

هذا أمر غريب لأن ضرب متجهين يعطي مجموع شيئين مختلفين: العددية والنشاط. ومع ذلك ، هذا يشبه كيف أن العدد المركب هو مجموع العددية والرقم "التخيلي" ، لذا يمكنك التعود عليه بالفعل. هنا ، جزء bivector يتوافق مع الجزء "الخيالي" من العدد المركب. فقط هذه ليست قيمة "خيالية" ، إنها مجرد مفاعل نشط يمكننا عرضه بيانياً!

في الواقع ، بضرب متجهين ، نحسب خصائصهما المفيدة ("طول إسقاطاتهما على بعضهما البعض" / "جيب الزاوية") $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$ ) و "المستوى الذي يشكلانهما معًا" / "جيب الزاوية" ( $$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ )) ، والتي نربطها معًا بعلامة الجمع. يعطي المنتج الهندسي أيضًا عمليات "مجموعات الخصائص" التي يمكن تطبيقها عليها ، وهذه العمليات لها تفسيرات هندسية (على سبيل المثال: الدوران وانعكاس المتجهات). هذا سنرى قريبا.

يمكنك التعبير عن المنتج الهندسي من حيث الجيب وجيب التمام: $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | (cos (\ alpha) + sin (\ alpha) \ mathbf {B})$ أين $$$\ mathbf {B}$ هو عبارة عن عامل نشط لكلا المتجهين على المستوى ، ويتألف من وحدتين متعامدين.

3.2. جدول الضرب

يسمح لنا جدول الضرب بجعل المنتج أكثر تحديدًا: دعنا نرى ما يحدث إذا حصلنا على منتجات ناقلات الأساس ( $$$\ mathbf {x}$ ، $$$\ mathbf {y}$ ، $$$\ mathbf {z}$ )

لأي ناقل أساس ، على سبيل المثال المحور $$$\ mathbf {x}$ ستكون النتيجة متساوية $$$1$ :

$$

$$\ mathbf {x} \ mathbf {x} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x} = 1$$

لأي زوج من ناقلات الأساس ، على سبيل المثال ، المحاور $$$\ mathbf {x}$ و $$$\ mathbf {y}$ ، ستكون النتيجة bivector ، والتي تشكل معا:

$$

$$\ mathbf {x} \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$$

(أي يمكننا تسمية $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ فقط $$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$ ، لأن هذا هو نفس الشيء!)

هذا يعطينا الجدول التالي:

$$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$		$$$\ mathbf {b}$
		$$$\ mathbf {x}$	$$$\ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {z}$
$$$\ mathbf {a}$	$$$\ mathbf {x}$	$$$1$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {y}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$1$	$$$\ mathbf {y} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {y} \ mathbf {z}$	$$$1$

في الواقع ، هذا الجدول تافه ، مقارنة ، على سبيل المثال ، مع جدول quaternions.

3.3. صيغة انعكاس (المظهر التقليدي)

التفكير في المتجه [في المقالة الأصلية ، يمكن نقل كل متجه]

إذا كان لدينا ناقل وحدة $$$\ mathbf {a}$ والمتجه $$$\ mathbf {v}$ يمكننا التفكير $$$\ mathbf {v}$ من خلال مستوى عمودي $$$\ mathbf {a}$ .

يتم ذلك بالطريقة المعتادة: نحن نشارك $$$\ mathbf {v}$ من ناحية عمودي على المستوى: $$$\ mathbf {v} _ \ amb = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ ، والجزء الموازي للمستوى: $$$\ mathbf {v} _ \allel = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ \ circ = \ mathbf {v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ .

ثم ، من أجل عكس المتجه ، نقلب الجزء المتعامد ، ونترك الجزء الموازي دون تغيير:

$$

$$\ start {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} _ \allel - \ mathbf {v} _ \ circ \\ & = & (\ mathbf { v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) - ((\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) \\ & = & \ mathbf {v} - 2 (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

3.4. صيغة انعكاس (عرض للمنتج الهندسي)

في هذه المرحلة ، يمكننا استبدال المنتج العددي $$$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}$ على نسخته في شكل منتج هندسي $$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ mathbf {v})$ ، واحصل على ما يلي:

$$

$$\ start {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} - 2 (\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a } + \ mathbf {a} \ mathbf {v})) \ mathbf {a} \\ & = & \ mathbf {v} - \ mathbf {v} \ mathbf {a} ^ 2 - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \\ & = & - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

( $$$\ mathbf {a} ^ 2 = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = 1$ منذ ذلك الحين $$$\ mathbf {a}$ هو متجه الوحدة)

هذا يعطينا نفس الشيء بالضبط ، ولكن في إدخال مختلف. إن استخدام سجل على شكل منتج بسيط بدلاً من صيغة لتشفير مثل هذه العملية الأساسية مثل التفكير سيكون مفيدًا جدًا!

3.5. انعكاسان منعطفان: الوضع في 2D

اتضح أنه إذا تقدمنا ​​بطلب $$$\ mathbf {v}$ انعكاسين متتاليين (أولاً مع ناقل $$$\ mathbf {a}$ ثم مع المتجه $$$\ mathbf {b}$ ) ، ثم نحصل على دوران بزاوية ضعف بين المتجهات $$$\ mathbf {a}$ و $$$\ mathbf {b}$ .

يمكننا إظهار كل مرحلة لاحقة من التفكير في الرسم البياني أدناه:


يمكنك أيضًا تغيير المتجهات في المقالة الأصلية. $$$\ mathbf {a}$ ، $$$\ mathbf {b}$ و $$$\ mathbf {v}$ ، لكن التكوين الأولي للمتجهات على الرسم البياني (انقر على زر "إعادة تعيين مواقع المتجه") يوضح بشكل خاص سبب حدوث التدوير نتيجة لذلك بزاوية مزدوجة . تكوين جيد آخر هو تعيين $$$\ mathbf {a}$ و $$$\ mathbf {b}$ محاور $$$\ mathbf {x}$ و $$$\ mathbf {y}$ .

3.6. انعكاسان منعطفان: الوضع ثلاثي الأبعاد

في حالة ناقلات 3D $$$\ mathbf {v}$ يمكن تقسيمها إلى قسمين ، أحدهما يقع على المستوى المعطى $$$\ mathbf {a}$ و $$$\ mathbf {b}$ ، والآخر يقع خارج الطائرة (عموديًا عليه). كما هو موضح في الرسم البياني أدناه ، عندما تنعكس المتجه بواسطة كل طائرة ، يظل الجزء الخارجي كما هو. أما بالنسبة للداخل ، فقد عدنا إلى ثنائي الأبعاد ، وهو يدور ضعف الزاوية!

3.7. الدوارات

من وجهة نظر المنتج الهندسي ، يتطابق انعكاسان ببساطة مع ما يلي:

$$

$$R _ {\ mathbf {b}} (R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v})) = - \ mathbf {b} (- \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} ) \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ mathbf {a} \: \ mathbf {v} \: \ mathbf {a} \ mathbf {b}$$

نتصل $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ الدوار بسبب الضرب في $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ على جانبي المتجه ، نقوم بإجراء دوران ( $$$\ mathbf {b} \ mathbf {a}$ هو نفسه $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ ، فقط في مفاعل الجزء المقلوب).

تطبيق الدوار $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ على جانبي المتجه يدور هذا المتجه في مستوى المتجهات $$$\ mathbf {a}$ و $$$\ mathbf {b}$ ضعف الزاوية بين $$$\ mathbf {a}$ و $$$\ mathbf {b}$ .

هذا كل ما في الأمر!

مقارنة بين الدوارات ثلاثية الأبعاد والرباعيات

يمكنك أن ترى أن الدوارات ثلاثية الأبعاد تشبه إلى حد كبير quaternions:

$$

$$a + B_ {xy} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} + B_ {xz} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z} + B_ {yz} \ \ mathbf {y} \ إسفين \ mathbf {z}$$

$$

$$a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}$$

في الواقع ، الكود / الرياضيات هو نفسه إلى حد كبير! الفرق الرئيسي هو ذلك $$$\ mathbf {i}$ ، $$$\ mathbf {j}$ و $$$\ mathbf {k}$ تم استبداله بـ $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ ، $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ و $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ لكنهم يعملون في الأساس نفس الشيء. يمكن العثور على مقارنة الكود هنا . لم أقم بتنفيذ كل شيء ، على سبيل المثال log / exp للاستيفاء ، ولكن إنشاءها بسيط للغاية.


ومع ذلك ، كما رأينا ، فإن الدوارات ثلاثية الأبعاد هي مفهوم ثلاثي الأبعاد لا يتطلب استخدام "دورات مزدوجة رباعية الأبعاد" أو "إسقاط مجسم" للتصور. إن محاولة تصور quaternions التي تعمل في 4D لشرح التدوير ثلاثي الأبعاد يشبه إلى حد ما محاولة فهم حركة الكواكب من وجهة نظر مركزية الأرض. أي هذا النهج معقد للغاية لأننا ننظر إليه من وجهة نظر خاطئة.

كما رأينا ، فإن نمذجة الدوران كما يحدث داخل الطائرات ، وليس حول المتجهات ، يساعدنا كثيرًا. على سبيل المثال ، تعطي مربعات bive bives $$$-1$ ، تمامًا مثل الأرباع الأساسية ( $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ ):

$$

$$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) ^ 2 = (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - (\ mathbf {y} \ mathbf {x}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - \ mathbf {y} (\ mathbf {x} \ mathbf {x}) \ mathbf {y} = - \ mathbf {y} \ mathbf { ص} = -1$$

إن ضرب اثنين من المفاعلات ببعضهما يعطي مفاعلًا ثالثًا ، ولكنه في الواقع تافه ، ولا نحتاج إلى تذكر ذلك $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ :

$$

$$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {y} \ mathbf {z}) = \ mathbf {x} (\ mathbf {y} \ mathbf {y}) \ mathbf {z} = \ mathbf {x} \ mathbf {z}$$

(لاحظ أننا استخدمنا $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ mathbf {y}$ )

هذه الخصائص هي نتاج منتج هندسي ، ولا تنشأ من العدم!

قراءة إضافية

(بالمناسبة ، في الجبر الهندسي لا توجد دوارات فقط ، ولكن أيضًا أشياء رائعة أخرى!)

• الجبر الخطي والهندسي بواسطة ماكدونالد [ رابط إلى أمازون ]
  
  مصدر ممتاز ، واضح جدًا ومفهوم ، لأنه يشير ضمنيًا إلى أنه سيحل محل كتاب الجبر الخطي للطلاب.
• الجبر الهندسي لعلوم الكمبيوتر من دورست وآخرون. [ رابط إلى أمازون ]
  
  مصدر رائع ، لأن البرمجة تتيح لك أحيانًا فهم الموضوع بشكل أفضل.

  ملاحظة: في هذا الكتاب ، أوضح المؤلفون أن الجبر الهندسي أبطأ من الأرباع (وما شابه ...). في الواقع ، يجب أن يحتوي على نفس الرمز تقريبًا (على سبيل المثال ، لا يجب أن تكتب رمزًا للجبر الهندسي ، وإنشاء بنية عامة يمكن أن تحتوي على جميع الأنواع المحتملة من المتجهات k ، فقط اكتب ، إذا لزم الأمر ، بنية واحدة لكل نوع من المتجهات k بمعنى ، لاستبدال الرباعيات ، يمكنك كتابة بنية Bivector واحدة وهيكل دوار واحد ، وهو Scalar + Bivector).