آمل أن يكون هناك عشاق الرياضة بين القراء. إذا كنت تلعب تنس الريشة أو تنس الطاولة ، فمن المحتمل أنك تساءلت: ما هو احتمال الفوز في اللعبة باحتمال معروف للفوز بنقطة ما؟ لنفترض أنك خسرت أمام خصمك بنتيجة 11: 7. يبدو أن الفرق 4 نقاط فقط ، ولكن في الوقت نفسه لا ينجح في الفوز باللعبة. ليس محظوظ؟ أقترح حل هذه المشكلة والحصول على إجابة لهذا السؤال.
بوجود علاقة غير مباشرة بالرياضيات المالية ، أعلم أن هذه المهمة بالنسبة للرياضيات المالية ستبدو غير معقدة بشكل خاص. الطرق الممكنة لحلها تشبه إلى حد كبير طرق حساب سعر الخيار. ولكن هناك فروق دقيقة في هذه المهمة غير نموذجية إلى حد ما بالنسبة للتمويل. دعونا نلقي نظرة على خيارات الحل.
بادئ ذي بدء ، عهدت إلى ابني البالغ من العمر 15 عامًا ، الذي يقوم ببرمجة في بيثون ، بالطريقة العددية لحل هذه المشكلة (باستخدام الكلمة الأساسية "قليلاً"). اقترحت أن يجرب طريقة الشجرة الثنائية (في المخاطر المالية ، وعادة ما تسمى التحليلات طريقة ذات الحدين أو شعرية) ومونتي كارلو. تعامل سون بشكل مفاجئ مع مونت كارلو ، وكتب رمزًا مضغوطًا إلى حد ما. إذا لم يكن أحد يعرف ذلك ، فإن فكرة مونت كارلو هي تقديم عدد كبير من الرميات العشوائية عن طريق محاكاة مشكلة وإيجاد إجابة. افترض أنك اللاعب الأول. في هذه الحالة ، لدينا احتمال الفوز بالنقطة (7 / (11 + 7)) ~ = 0.39. نبدأ اللعبة بإنشاء رقم عشوائي X في النطاق [0. ، 1.]. إذا كانت X <0.39 ، فستربح النقطة. نأتي اللعبة إلى النهاية ونلاحظ من فاز. لتحقيق دقة مقبولة ، نقوم بتنفيذ هذا الإجراء عدد كبير من المرات. في مجال التمويل ، عادةً ما يتم استخدام النطاق من 100 ألف إلى 1 مليون ، وهذا يضمن دقة 8 أرقام مهمة. ابني عد إلى 10K ، تم توفيره على الفور وبشكل لا لبس فيه دقة كافية. هذا ، مع ذلك ، لم نلاحقه ، لأننا قررنا ، ببساطة ، تجاهل معركة الماعز. وهذا هو ، وكانت النتيجة 11:10 يعتبر النصر. نصف صفحة الكود سهلة كفاية لحل هذه المشكلة. جربه وسوف ترغب في ذلك.
لم أكن راضيًا عن بساطة الحل بمساعدة مونت كارلو وقررت تحميل ابني بطريقة الشجرة الثنائية. ونفى لفترة طويلة واشتكى من الصعوبة. كان عليه أن يساعد قليلا في العتاد.
الشجرة الثنائية هي التي شيدت على النحو التالي. نبدأ من النتيجة 0-0. إذا فاز اللاعب الأول بالنقطة الأولى ، فقم بالصعود واليمين ؛ وإذا فاز الثاني ، انزل إلى اليمين. الانتقال إلى اليمين هو حركة على نقاط من بداية اللعبة إلى النهاية. لعبة تصل إلى 3 شجرة كاملة ويرد أدناه. يتم تسليط الضوء على رؤوس النتائج الوسيطة باللون الأزرق والأصفر - يفوز اللاعب الأول بالمباراة ، بينما يربح اللاعب الثاني باللون الأخضر.
نبدأ من النتيجة 0: 0 ، احتمالها 100٪. كل انتقال إلى اليمين له احتماله الخاص. تشير إلى احتمال الفوز بنقطة من قبل اللاعب الأول - p1 ، والثاني - p2. وبطبيعة الحال ، فإن المجموع p1 + p2 = 1. نذهب على طول الشجرة من البداية إلى النهاية ونحسب احتمال الدخول إلى هذه الخلية. بالنسبة للخلايا العلوية والسفلية ، يكون الانتقال ممكنًا فقط من خلية واحدة في المستوى السابق. على سبيل المثال ، النتيجة 3: 0 ممكنة فقط بعد 2: 0. يحدث الإدخال في الخلايا المتبقية من خليتين مجاورتين على اليسار. على سبيل المثال ، يمكن الحصول على درجة 1: 1 بعد 1: 0 عندما يفوز اللاعب الثاني بالنقطة ، أو عند 0: 1 عندما يفوز اللاعب الأول.
يتم إبراز القمم باللون الأزرق ، وتأتي في الضربة التي تأتي من أحد القمم السابقة ، الأصفر - من اثنين. تشير الخلايا المميزة إلى نهاية اللعبة ، أي فوز أحد اللاعبين. عند حسابها ، يتم استخدام قمة سابقة واحدة فقط ، لأن الطرف الآخر هو نهاية الطرف الذي لا يتم بعده الانتقال.
مشكلة الابن هي تمثيل مثل هذه الشجرة باستخدام أدوات اللغة. اقترح رسم بياني نفسه ، لكن في بيثون يكون الأمر صعبًا إلى حد ما مع هذا ، أو أنه لا يعلم. أنا شخصياً غير معتاد على هذه اللغة. اضطررت إلى نقل هذا الهيكل إلى صفيف ، مشوهًا قليلاً كما يلي.
علاوة على ذلك يبقى الانتقال في دورة مزدوجة من اليسار إلى اليمين ومن أعلى إلى أسفل ، مع حساب احتمالات الخلية ومراعاة الظروف الحدودية. يتم الإدلاء بها إذا / إذا / آخر. حسنًا ، لا يزال يتعين علينا تلخيص احتمالات فوز الخلايا لأحد اللاعبين (من الممكن للثاني أن يتحقق من أن مجموعهم هو 1).
وأخيرا ، الطريقة الثالثة. أي نتيجة نهائية للعبة (على سبيل المثال 11: 7) تتضمن عددًا معينًا من الخيارات. تشير الإحصاءات إلى أن هذا هو عدد المجموعات من 7 إلى 17. القيمة هي 17! / ((17-7)! 7!). 17 هو إجمالي عدد النقاط التي تم تسجيلها لهذا الحساب مطروحًا منها نقطة واحدة ، نظرًا لأن النقطة الأخيرة تربح دائمًا للفائز ، أي 7 نقاط لا يمكن أن تكون في هذا المكان. الخيارات الممكنة للفوز بالحسابات هي كما يلي (تجاهل معركة الماعز) - 11: 0 ، 11: 1 ، ... ، 11: 10.
وهذا يعني أنه يمكنك فرز جميع نتائج النتيجة الفائزة للاعب عن طريق إضافة عدد من الخيارات في كل منها ، مضروبة في احتمال هذه النتيجة. يحتوي الجدول على نتائج الحساب لاحتمال الفوز بنقطة 39٪. power1 هي الدرجة التي يرفع بها الفائز احتمالية الفوز بنقطة ما ، أما power2 بواسطة الخاسر.
جميع الأساليب المذكورة أعلاه تعمل بشكل موثوق وإعطاء نفس النتائج.
في الختام ، سأقدم رسمًا بيانيًا عن احتمال الفوز بمباراة في تنس الطاولة (حتى 11) وكرة الريشة (حتى 21) وفقًا لمتوسط احتمال الفوز بنقطة ما.
يمثل الخط الأزرق تنس الطاولة ، ويمثل الخط البرتقالي كرة الريشة. كما ترون من الرسم البياني ، من أجل الحصول على بعض الفرص على الأقل (3٪ تقريبًا) للفوز بلعبة تنس الطاولة ، يجب أن تفوز بـ 30٪ على الأقل من النقاط. بالفعل عند 25 ٪ ، فإن الفرص تقل عن 1 ٪.
في كرة الريشة ، تكون المتطلبات أكثر صرامة. هناك ، سوف يستغرق الأمر أكثر من 35 ٪ للأمل في الفوز في لعبة مع احتمال حوالي 3 ٪.
بطبيعة الحال ، فإن احتمال الفوز في مباراة (من عدة ألعاب) ينخفض أكثر إذا سجلت أقل من 50٪ لكل نقطة.
نصيحة قيمة تقترح نفسها - من أجل الفوز بالمباريات ، تحتاج إلى العمل على الفوز في كل نقطة.