أسرار العقل والرياضيات

في مصر القديمة ، لم يستخدم علماء الرياضيات الأدلة. جميع تصريحاتهم كانت مدعومة تجريبيا فقط. ومع ذلك ، وقفت الأهرامات ، وحلقت الطائرات . وربما ، لن يطلب أحد دليلاً صارمًا إذا لم تكن هناك رغبة في دحض شيء ما. إلى جانب الإغريق ، وجدت الرياضيات حياة جديدة ظهرت فيها مشاكل مثل تربيع الدائرة ، وعدم عقلانية جذر اثنين ، ومشكلة تثليث الزاوية. من تلك اللحظة فصاعدًا ، كانت البديهيات وقوانين المنطق والنظريات مطلوبة. لكن الرياضيات الحديثة مهتمة أيضًا بما يمكن إثباته وما هو غير الممكن إثباته. أصبحت نظرية غودل غير المكتملة ، وإضفاء الطابع الرسمي على المنطق ، ونظرية الأدلة تقدمًا. أقترح نظرية وبديهية واحدة من شأنها أن تساعد في الإجابة على بعض الأسئلة المتبقية وتحديد حدود وعينا. على وجه الخصوص ، هذه هي مسائل الاكتمال ، ومشكلة المساواة وبديهية خيالنا.



نظرية الأجسام
المنطق الرياضي يدرس الروابط بين العبارات ، ولكن ليس هيكلها الداخلي. ولكن دعونا نحاول إضفاء الطابع الرسمي على البيانات نفسها. لنفترض أن لدينا بعض الأشياء. لن نطلب منهم أن يكونوا مجموعات أو أي شيء آخر. اسمح الآن بإعطاء كائن ثالث لأي زوج مطلوب من الكائنات - "التوصيل البيني". سنكتبها مثل هذا:

$$

$$a * b = ab = c؛ *: (a، b) \ mapsto c$$

يمكن تعريف البنية الناتجة على أنها الصهارة (مجموعة لها عملية ثنائية) ، ولكن ليس في مجموعة معينة ، ولكن تعسفية تمامًا. والآن نعرّف العبارة بأنها مساواة جبرية (أو عدم مساواة) في الصهارة المعطاة.
الآن سأشرح كيف يعكس هذا التعريف بالضبط البنية الداخلية للكلمات. على سبيل المثال ، دعنا نعطى البيان التالي:
يمكن أن ترسم اللوحة باللون الأزرق.
نكتب هذا على قدم المساواة:
$$$M * D = SD$ - تطبيق علامة ( $$$M$ ) على السبورة ( $$$D$ ) ، نحصل على لوحة زرقاء ( $$$Cd$ )
الآن مثال أكثر تعقيدًا:
رجل يركض تحت المطر في الشارع.

$$

$$\ start {cases} Man * Run = Do؛ \\ رجل * المطر = يقع \ "تحت" ؛ \\ Street * Man = Have \ on \ نفسك. \ end {cases}$$

هنا تجدر الإشارة إلى أن "المهام" ، "أن تكون على نفسك" هي أيضًا كائنات. مثل هذا النظام يحدد بالضبط بياننا. بالطبع ، قد يبدو هذا التصميم غير مريح وغير مريح ، ولكن فقط إمكانية مثل هذا العرض التقديمي مهمة بالنسبة لنا. كذلك سيكون هناك المزيد من الأمثلة الجوهرية.

كما لاحظت بالفعل ، لا نطلب أي شيء من الكائنات ، باستثناء بعض الاتصالات مع الآخرين. وهذا صحيح. على سبيل المثال ، يتم تقديم جميع التعاريف من القاموس كروابط لكلمات أخرى. النقطة والخط المستقيم مفهومان لا يمكن تعريفهما ، ولكن يتم تعريف جميع الترابط بينهما. هذا يقودنا إلى فكرة واحدة مهمة.
يتم تعريف أي نظام بديهي من خلال العلاقات بين الأشياء. على سبيل المثال ، إذا كان هناك أزواج من هذه الكائنات التي تتصرف بالنسبة لبعضها البعض بالطريقة نفسها تمامًا مثل خط مستقيم مع نقطة ، فستكون كذلك. المثال الأكثر تافها هو مجموعة من المجموعات ، حيث العناصر هي النقاط. تقاطع أي مجموعتين هو إما عنصر واحد أو مجموعة فارغة. ودع أي ثلاثة عناصر تحدد المجموعة بأكملها بشكل فريد وما إلى ذلك. هذا هو ، إذا قمت فقط بإعادة تسمية الكائنات ، فلن يتغير شيء.
Axiomatics هو الصهارة.

لا نطلب إعطاء الصهارة على المجموعة ، حيث لا توجد مجموعة من جميع المجموعات:

$$

$$\ # 2 ^ {X}> \ # X$$

نقول أن البديهيات متناقضة إذا لم يكن بها أشياء ومتسقة في حالة وجود كائن واحد على الأقل.
للراحة ، تسمى التعاريف التي حصلنا عليها نظرية الأشياء أو نظرية الأشياء الكلاسيكية .

الخيال
نظرًا لأن نظرية الكائنات هي أيضًا بديلة ، فيمكن وصفها بلغتها الخاصة بالأشياء. وهذا هو ، نود أن تصف جميع أنواع الكائنات في جميع أنواع البديهيات. ليس بالمعنى الدقيق للكلمة ، نحن بحاجة إلى وصف رياضي للخيال البشري. أقترح البديهية التالية لهذا:

$$

$$\ forall (x) _i، (y) _i، (x ') _ j، (y') _ j، z \ \ موجود x \ \ forall i \ in I، j \ in J \ start {cases} xx_i = y_i \\ x'_jx = y'_j \\ xx = z \ end {cases}$$

يمكن وصفه بأنه "يوجد كل ما يمكنك تخيله". لاحظ أننا لا نطلب وجود كائن واحد على الأقل. يتم ذلك بحيث يكون التناسق البديهي مكافئًا لوجود كائن واحد على الأقل. الآن نثبت العديد من النظريات:
النظرية 1. نظرية الكائنات هي إما مجموعة فارغة أو ليست مجموعة.

Theorem 2. هناك كائن ليس من المؤكد ما إذا كان مجموعة أم لا.

نتيجة النظرية الثانية هي فرضية الاستمرارية. يمكن إعادة صياغته على النحو التالي: هو مجموعة كائن لها قوة أكبر من قوة مجموعة قابلة للعد ، ولكن أقل من التواصل؟
نسمي البديهيات الصغيرة إذا كان هناك الكثير من الأشياء والكبيرة إن لم يكن.
نظرية 3. أي البديهيات الكبيرة غير مكتملة.

هذا يقودنا إلى حدود الوعي الإنساني. ستكون هناك دائمًا تصريحات لا يمكننا إثباتها أو دحضها. وهذا ، كما اتضح ، هو نتيجة لمفارقة كانتور. حالة خاصة من هذه هي نظرية غودل. وبالتالي عدم اكتمال نظرية الأجسام. لا يمكننا أن نقول على وجه اليقين ما هو الشيء وما هو غير ذلك. على سبيل المثال ، الدرع الذي لا يمكن كسره هو كائن أم لا؟ والسيف الذي يكسر كل شيء؟ ومع ذلك ، فإنها لا يمكن أن توجد معا. وبعد أن اتخذت واحدة من هذا القبيل ، عليك أن تجعله مرارا وتكرارا.
اسم كائنين $$$x$ و $$$ذ$ يساوي إذا:
$$$\ forall z \ xz = yz \ wedge zx = zy$
وعلى قدم المساواة بالنسبة للكثيرين $$$X$ إذا:
$$$\ forall z \ in X \ xz = yz \ wedge zx = zy$
اسمحوا تعطى كائنين. تقسيم كائنين $$$x$ و $$$ذ$ استدعاء مثل هذا الكائن $$$z$ هذا:

$$

$$zx \ neq zy \ vee xz \ neq yz$$

لأن أي كائنين يشكلان مجموعة ، يوجد تقسيم لأي كائنين. لذلك:
نظرية 4. كائنات متساوية غير موجودة.
ليس من السهل أن نقول أنه في الرياضيات لا توجد مساواة ، لا يوجد سوى أشكال تماثلية.
على سبيل المثال ، تخيل أن هناك توأمان يبدوان متماثلين تمامًا. بالنسبة لكثير من الأشخاص الذين يتم نقلهم من الشارع ، هذا هو نفس الشخص ، فقط نسخة منه. لكن بالنسبة للأم ، فهذان شخصان مختلفان. لذلك ، فيما يتعلق بالناس ، هم متساوون ، لكن فيما يتعلق بالأم ليسوا كذلك. لا يمكننا إلا أن نقول أن التوائم متشابهتان للبشر ، ولكنهما ليسا متساوين. فيما يتعلق بالنظرية 4 ، يمكن الحصول على نتيجة متناقضة للغاية. دعنا نعطى بعض الأشياء $$$دولا$ . ونود على الأقل $$$A = A$ . ولكن دعونا نعطي الكائن $$$دولا$ للراحة ، أيضا اسم $$$A '$ ، مجرد تعيين. ثم يجب أن يكون $$$A = A '$ . لكن الآن أستطيع أن أفكر في هذه الأشياء ككيانين مختلفين وأجد انشقاقاتهما. من المفارقات ، لكن A لا تساوي نفسها. أي أنه لا يوجد بيان حقيقي واحد عن كائن في نظرية الكائنات.
في الواقع ، فإن النقطة الأساسية هي أننا لا نستطيع أن نقول بشكل لا لبس فيه الشيء الذي لدينا في الاعتبار. يمكننا تعيين كائن فقط لمجموعة معينة ، ولكن هناك العديد من هذه الكائنات بلا حدود. علاوة على ذلك ، هناك أكثر من أي عدد منهم. لذلك ، عند الحديث عن الكائن "أ" ، فإننا نعني أنه لا يهمنا أيًا من الكائنات التي لها خواص نحتاجها نضع في اعتبارنا. ولكن لأي كائن ، يمكننا الخروج بمثل هذه الخاصية التي تميزها. على سبيل المثال: الاسم وطول الوصف والشكل والموقع وما إلى ذلك. ومع ذلك ، هذا بشكل عام ، لا يعني أننا لا نستطيع اختيار كائن تعسفي أو عاملها.

المعنى التطبيقي
سوف ندعو البديهيات لا تعد ولا تحصى إذا كانت مجموعة من البيانات (المساواة وعدم المساواة) قابلة للتعداد . على النحو التالي من التعريف ، بالنسبة للبديهيات التي تم تعدادها ، توجد خوارزمية يمكنها إثبات النظريات تلقائيًا وصياغة نظريات جديدة. علاوة على ذلك ، بناءً على تعريفنا للبيانات ، ستكون مثل هذه الخوارزمية مماثلة لخوارزمية تعمل مع بعض البنية الجبرية. يحتمل أن يؤدي هذا التفسير إلى تحقيق حلم طويل الأمد لإنقاذ علماء الرياضيات من اختراع الأدلة.

تفكير أجنبي

نظرية الفئة لها فئة $$$\ mathfrak {SET}$ . الكائنات من هذه الفئة هي مجموعات. وهذا يعني أن نظرية الفئة مع $$$\ mathfrak {SET}$ لا يمكن صياغتها بلغة النظرية الكلاسيكية للكائنات ، حيث إنها تعمل مع مجموعة من الكائنات أكبر من العديد ( $$$\ mathfrak {SET}$ - فئة كبيرة). ولكن لإصلاح ذلك ، يكفي بناء نظرية المجموعات المتطرفة. دع مجموعة فائقة تتكون من عناصر أو مجموعات. ثم هناك مجموعة فائقة تحتوي على جميع المجموعات. الآن استبدال مفهوم مجموعة في بديهية الخيال مع مفهوم مجموعة فائقة ، نحصل على النتيجة المرجوة. في نظرية الكائنات التي تم الحصول عليها ، سنكون قادرين بالفعل على تحديد مفهوم مجموعة بشكل فريد. يمكن إجراء مثل هذه العملية أكثر من مرة ، وفي كلا الاتجاهين ، نظرًا لعدم وجود مجموعة فائقة تحتوي على جميع المجموعات المتطرفة. هذا يؤدي إلى ظهور نظريات بديلة للكائنات. لكن هذه ليست نهاية الأمر.
منطقة واحدة من نظرية الفئة هي نظرية توبوس. إنها تصف كل هذه المساحات التي يوجد فيها مفهوم العنصر و "الاستلقاء". حالة معينة هي نظرية المجموعة الكلاسيكية. كما هو معروف ، أي نظرية مجموعة تحدد بشكل فريد بعض المنطق. لذلك ، يصف toposs أيضًا جميع أنواع المنطق. الآن ، إذا نظرنا مرة أخرى إلى بديهيات خيالنا ، فسوف نلاحظ فيها تتبعًا لتعبيراتنا "الأصلية". مفهوم "الكذب في": " $$$\ forall i \ in I ، j \ in J$ "، والمنطق الثنائي يكمن في مفهوم المساواة. بعد كل شيء ، أو $$$A = B$ او $$$A \ neq B$ .
من الناحية النظرية ، يمكننا إعادة صياغة نظرية الأشياء إلى أي توصيلة أخرى ، وبالتالي الحصول على عالم غير عادي بالنسبة لنا بقوانينها الخاصة. واحدة من الحقائق من نظرية توبوس هي استقلال فرضية التواصل. أي أن هذه المشكلة موجودة في أخطار أخرى. على ما يبدو ، كل شيء تقريبا سيكون له مظهر مماثل هناك. ومع ذلك ، فمن الممكن أن تفي الاختلافات الهامة التي تدفعنا إلى الأفكار الجديدة.

الخاتمة
نتائج بحثنا هي: إضفاء الطابع الرسمي على الهيكل الداخلي للبيانات المنطقية ، وبديهية الخيال ، نظرية الكائن وأربعة نظريات. يؤكد الأخير على عدم وجود مساواة عالمية في الرياضيات ، وعدم اكتمال البديهيات الكبيرة ، واشتقاق بعض النتائج المعروفة سابقًا وتعميمها بطريقة بسيطة (فرضية الاستمرارية ونظرية غودل). لقد طبق وصف هيكل البيانات المنطقية أيضًا المعنى ، مما يجعله أكثر ملاءمة لفهم معنى الجمل ، وتقسيمها إلى أنظمة المساواة الجبرية. مزيد من التطوير ينطوي على البحث عن منطق (topos) الذي سيتم فيه اكتمال البديهيات الكبيرة. سيوفر هذا فرصة لبديهية موحدة لجميع الرياضيات (نظرية كل شيء).

مزيد من القراءة
نظرية الفئة للمبرمجين.
دليل تلقائي على النظريات. عرض تقديمي
نظرية توبوس