في عام 1974 ، ابتكر عالم الرياضيات البريطاني روجر بنروز مجموعة ثورية من البلاط يمكن استخدامها لملء طائرة لا نهائية بنمط لا يتكرر أبدًا. في عام 1982 ، اكتشف المصور الإسرائيلي دانيال شيختمان سبيكة معدنية تم ترتيب ذراتها بترتيب لم يسبق له مثيل في علم المواد. لقد حقق Penrose اعترافًا هائلاً من الجمهور ، ونادراً ما يُعطى للرياضيين. حصل شيختمان على جائزة نوبل. تحدى كلا العلماء الحدس البشري وغيروا أساسيات فهم بنية الطبيعة ، ووجدوا أن التباين اللانهائي يمكن أن يحدث حتى في بيئة عالية الترتيب.
يكمن جوهر اكتشافاتهم في "التماثل المحظور" ، والذي يطلق عليه لأنه يناقض العلاقة العميقة الجذور بين التناظر والتكرار. يعتمد التماثل على محاور الانعكاس - يتكرر كل شيء موجود على جانب واحد من الخط من الجانب الآخر. في الرياضيات ، يتم التعبير عن هذا الارتباط بواسطة أنماط من مساحة التجانب. يمكن للأشكال المتناظرة ، مثل المستطيلات والمثلثات ، أن تملأ الطائرة بدون ثغرات وتراكبات ، مما يخلق نمطًا متكررًا باستمرار. تسمى أنماط التكرار "دورية" ويقال إنها "تناظر النقل". إذا قمت بنقل النموذج (النمط) من مكان إلى آخر ، فسيظهر بنفس الشكل.
كعالم جريء وطموح ، كان Penrose أكثر اهتماما ليس في نفس الأنماط والتكرار ، ولكن في تقلب لا حصر له. وبشكل أكثر تحديدًا ، كان مهتمًا بالبلاط "غير الدوري" ، أي مجموعات من الأشكال يمكنها ملء مستوي لانهائي بدون ثغرات وتراكبات ، ولا يتكرر نمط التجانب مطلقًا. كانت هذه مهمة صعبة لأنه لم يستطع استخدام الأشكال (المربعات) ذات محورين أو ثلاثة أو أربعة أو ستة محاور من التماثل - المستطيلات ، المثلثات ، المربعات أو السداسي - لأنهم في الطائرة اللانهائية سيخلقون أنماطًا دورية أو متكررة. أي أنه كان بحاجة إلى استخدام الأشكال التي كان يُعتقد أنها تترك فجوات عند ملء المستوى - وهي الأرقام التي تحظر التماثل.
لإنشاء طائرته الخاصة بأنماط غير متكررة ، تحول بينروز إلى تماثل من خمسة محاور - إلى خماسيات ، على وجه الخصوص لأنه ، حسب قوله ، "من الجميل أن ننظر إلى البنتاغونات". كان الشيء الرائع حول شخصيات بنروز أنه على الرغم من أنه حصل على هذه الأشكال من الخطوط وزوايا المستطيلات ، إلا أنهم لم يتركوا فجوات قبيحة. تتناسب بإحكام ضد بعضها البعض ، والانحناء وتشغيل الطائرة ، ودائما ما تكون قريبة من التكرار ، ولكن لم تصل إليها.
جذبت فسيفساء بينروز انتباه الرأي العام لسببين رئيسيين. أولاً ، وجد طريقة لتوليد أنماط متغيرة بلا حدود من نوعين فقط من الأشكال. ثانياً ، كانت بلاطه عبارة عن شخصيات بسيطة ومتماثلة ، والتي في حد ذاتها لم تظهر أي علامات على خصائص غير عادية.
خلق Penrose عدة أنواع من مجموعاته aperiodic من الشخصيات. واحد من أشهرها يسمى "الأفعى" و "السهام". تبدو "الطائرة الورقية" مثل طائرة ورقية للأطفال ، و "السهام" تشبه الخطوط العريضة المبسطة لمفجر الشبح. كلاهما منقسمان بوضوح على محاور التماثل ولكل منهما أقواس متناظرة بسيطة على السطح. عرَّف Penrose قاعدة واحدة لوضع الأشكال: من أجل الموضع "المناسب" للبلاط ، يجب أن تتطابق هذه الأقواس ، مما يخلق منحنيات لا تنفصم. بدون هذه القاعدة ، يمكن ترتيب "الثعابين" و "السهام" في أنماط متكررة. إذا اتبعت هذه القاعدة ، فلن يحدث التكرار مطلقًا. "ثعبان" و "ثبة" تملأ الطائرة بلا حدود ، والرقص حول محاورها الخمسة ، وخلق النجوم والأشرار ، ومنحنيات التقويس والفراشات والزهور. يتم تكرار الأرقام ، ولكن تظهر اختلافات جديدة فيها.
يقدم الأستاذ السريري للرياضيات إدموند هاريس من جامعة أركنساس ، الذي كتب درجة الدكتوراه عن بلاط Penrose ، مثل هذه المقارنة. تخيل أنك تعيش في عالم المربعات. تبدأ في المشي ، وعندما تصل إلى نهاية المربع ، فإن المربع التالي هو نفسه تمامًا ، وستعرف ما سترى إذا كنت لا تزال تتحرك بلا نهاية. " البلاط Penrose لها بالضبط الطبيعة المعاكسة. "بغض النظر عن المعلومات التي لديك ، بغض النظر عن أي جزء من النموذج الذي تراه ، لا يمكنك أبدًا التنبؤ بما سيحدث بعد ذلك. سيكون هناك دائمًا شيء لم تره من قبل. "
أحد الجوانب الغريبة للانقسام غير المستوي للطائرة هو أن معلومات تحديد الموقع تنتقل بطريقة أو بأخرى عبر مسافات طويلة - بلاط Penrose ، الذي تم وضعه في مكان واحد ، يتداخل مع وضع بلاطات أخرى في مئات (وكذلك آلاف وملايين) البلاط منها. يقول هاريس: "القيد المحلي يخلق بطريقة ما قيدًا عالميًا". "هذا يشير إلى أنه على أي نطاق سوف تخلق هذه البلاط أي شيء دوري." قد يكون لديك خيار لوضع ، على سبيل المثال ، "ثعبان" في منطقة واحدة ، أو "وثبة" في مكان بعيد. أي من البلاط سوف تفعل ، ولكن ليس على حد سواء.
هذه البلاطات ، التي تشكل نمطًا غير متكرر وغير متكرر ، تعبر عن نسبة فيبوناتشي ، والمعروفة أيضًا باسم "النسبة الذهبية". يقال إن الرقمين لهما نسبة ذهبية إذا كانت نسبة العدد الأصغر إلى الرقم الأكبر هي نفس نسبة الرقم الأكبر إلى مجموع الرقمين. في هذه الحالة ، فإن نسبة مساحة "الثعبان" إلى مساحة "الثبة" هي النسبة الذهبية. نسبة الجانب الطويل من "الثعبان" إلى جانبها القصير هي أيضًا النسبة الذهبية.
يمكن أيضًا تقسيم بلاط Penrose إلى إصدارات أصغر من نفسها. يتكون "الثعبان" من "ثعبان" أصغر ونصفين من "وثبة". تتكون "السهام" من "ثعبان" أصغر وسجدين "وثبة". (في أي تبليط صحيح من Penrose ، يتم محاذاة نصفي "السهام" مع بعضهما البعض. من وجهة نظر الرياضيات ، هذا يسمح لهما باعتبارهما "لعبة رمي السهام" بأكملها.) "افترض أن لدينا قطعة من فسيفساء Penrose تتكون من" ثعابين "و
B يقول هاريس. "إذا قمت بتقسيمها ، فسوف أحصل على" ثعابين "
A +
B ، و" سهام "
A +
B.إذا قمت بإجراء هذا الاستبدال بعدد غير محدود من المرات ، فيمكنك حساب إجمالي حصة كل نوع من أنواع البلاط ، كما لو وضعت على طائرة لا نهائية. في مثل هذه الحسابات ، يؤدي نمط
التكرار دائمًا إلى عدد عقلاني. إذا كانت النسبة رقمًا غير منطقي ، فهذا يعني أن النموذج لن يتكرر أبدًا بالكامل. في العمليات الحسابية لبلاط Penrose ، ليس فقط العدد غير المنطقي الذي تم الحصول عليه ، فإن نسبته هي نسبة Fibonacci - نسبة "السهام" إلى "الثعابين" تساوي نسبة "الثعابين" إلى إجمالي عدد القطع.
بالنظر إلى أن نسبة فيبوناتشي هي في كل مكان في الطبيعة - من الأناناس إلى مجموعات الأرانب - فمن الغريب أن هذه النسبة أساسية لنظام التبليط ، والذي ، على ما يبدو ، لا علاقة له بالعالم المادي. لقد ابتكر بنروز شيئًا جديدًا في العلوم ، حيث أنه من المثير للاهتمام أنه لا يجب أن يعمل كما تفعل الطبيعة. كان مثل Penrose كتب قصة خيال علمي عن نوع جديد من الحيوانات ، ثم اكتشف عالم الحيوان هذه الأنواع تعيش على الأرض. في الواقع ، ترتبط البلاط Penrose مع النسبة الذهبية ، مع الرياضيات اخترعنا ، والرياضيات في العالم من حولنا.
عند تناول دراسة التماثل المحظور ، لم يكن بينروز قد خمن أنه أصبح جزءًا من التحول في التفكير الذي أدى إلى اكتشاف مجال جديد للعلوم الرياضية. بعد كل شيء ، التماثل أمر أساسي لكل من الرياضيات البحتة والعالم الطبيعي. وصف عالم الفيزياء الفلكية ماريو ليفيو التماثل بأنه "واحد من أكثر الأدوات اللازمة لفك تشفير بنية الطبيعة". تستخدم الطبيعة المربعات والسداسي لنفس سبب استخدام البشر: فهي بسيطة وفعالة ومرتبة. إذا بدت البنتاغون غير عملية حتى بالنسبة لمهمة بسيطة مثل ملء بلاط الأرضيات في التصميم الداخلي ، فمن الطبيعي بالطبع أنه كان يعتقد أنه لا يمكن استخدامها لإنشاء ذرات في مواد صلبة مثل البلورات.
تتكون البلورات من شبكات ثلاثية الأبعاد للذرات. تنمو البلورات عن طريق إضافة ذرات جديدة وتوسيع المشابك. يحدث هذا بأكبر قدر من الكفاءة عندما تصطف الذرات في أنماط متكررة. لعقود من الزمن ، انتهى التاريخ هناك: كانت البلورات تكرّر الهياكل. النقطة.
ولكن بعد ذلك ، في عام 1982 ، ذهبت شيختمان في إجازة إبداعية من جامعة التخنيون في حيفا وبدأت العمل في المكتب الوطني للمعايير. انه تخبط في مختبر سبائك الألومنيوم المنغنيز. لا يبدو أن أنماط الحيود التي أنشأتها بنياتها البلورية تشبه أي من التماثلات القياسية المعروفة لدى المصورين البلوريين. في الواقع ، تصطف الذرات في الخماسي ، المعينية ، "الثعابين" و "السهام" التي اكتشفها بنروز في عالم الرياضيات.
يقول شيختمان: "بالطبع ، كنت على دراية ببلاط Penrose". لكنه لم يكن لديه سبب للشك في علاقتهم بهذه السبائك. لم أفهم ما هو عليه. خلال الأشهر المقبلة ، كررت تجاربي مرارًا وتكرارًا. بحلول نهاية عطلتي الإبداعية ، كنت أعرف بالضبط ما لم يكن ، ولكن لم يكن لدي أي فكرة عما كان عليه. "
لفهم ما اكتشفه ، كان على شيختمان ، مثل بنروز ، التشكيك في أفكاره البسيطة المعتادة. كان عليه أن يقبل التناظر الممنوع والارتباك الخماسي مع عدم التكرار. أثناء وجوده في إسرائيل ، كان مترددًا في إدراك أنه اكتشف بنية ذرية بلورية غير متكررة. ومع ذلك ، لا يمكن لأحد في عالم علوم المواد أن يعزو هذا الاكتشاف في البداية إلى البلورات. لذلك ، كانوا يطلق عليهم اسم "البلورات البلورية".
يبدو أن الرياضيات الغريبة بينروز قد انفجرت في العالم الطبيعي. "منذ 80 عامًا ، تم تعريف البلورات على أنها هياكل" مرتبة ودورية "، لأن كل البلورات التي درسناها منذ عام 1912 كانت دورية" ، كما أوضح شيختمان. في عام 1992 فقط ، نظم الاتحاد الدولي لعلماء البلورات لجنة لاختيار تعريف جديد لكلمة Crystal. هذا التعريف الجديد هو تحول نموذجي لعلم البلورات. "
لم يكن فقط الجمود البسيط في التفكير هو ما حال دون فهم شيختمان وقبوله للاكتشاف. لم تكن الهياكل البلورية غير المألوفة غير مألوفة فحسب - بل كانت تعتبر غير طبيعية. تذكر أن موقع بلاطة Penrose يمكن أن يؤثر على الأشكال الموجودة بالآلاف من التجانبات منه - تؤدي القيود المحلية إلى إنشاء تشعبات عالمية. ولكن إذا تم تشكيل ذرة بلورة بواسطة ذرة ، فلا ينبغي أن يكون هناك قانون طبيعة يخلق القيود الملازمة لبلاط Penrose.
اتضح أن البلورات لا تشكل دائمًا ذرة ذرة. "في المركبات المعقدة للغاية بين المعادن ، فإن العناصر ضخمة. يقول شيختمان إنه ليس محليًا. عندما تتشكل شظايا الكريستال الكبيرة في نفس الوقت ، بدلاً من النمو التدريجي للذرات ، يمكن للذرات الموجودة بعيدًا عن بعضها البعض أن تؤثر على الموقف المتبادل ، تمامًا كما هو الحال في بلاطات Penrose.
كما هو الحال مع العديد من المحرمات ، تم الاعتراف بالتماثل المحظور كأحد أشكال الوجود المقبول في الطبيعة. لم تصبح البلورات الجوهرية موضوعًا للدراسة في مجال جديد من البحث العلمي: فقد تبين أن لديهم العديد من الخصائص المفيدة التي تنشأ بسبب بنيتها غير العادية. على سبيل المثال ، توفر لها تكوينات غير متماثلة من الذرات طاقة سطحية منخفضة ، أي أنها لا تستطيع التمسك بها. وهكذا ، بدأت الطلاء شبه البلورية لاستخدامها في أدوات المطبخ غير لاصقة. (عندما ابتكر بنروز بلاطه الجديد ، لم يستطع أن يتخيل أنه سيتم استخدامه في البلورات ، ناهيك عن قلي البيض.) بالإضافة إلى ذلك ، عادة ما يكون البلورات شبه الاحتكاكية منخفضة الاحتكاك والتآكل ، لذلك فهي طبقات مثالية للشفرات والجراحية الصكوك ، أو أي أدوات حادة أخرى تتعلق بجسم الإنسان.
نظرًا لأن الهياكل شبه البلورية لا تتكرر أبدًا ، فإنها تنشئ أنماطًا فريدة من الحيود للإشعاع الكهرومغناطيسي. يهتم باحثو الضوئيات بكيفية تأثيرهم على انتقال الضوء ، الانعكاس ، واللمعان الضوئي. إذا تم تبريدها ، فإن مقاومتها الكهربائية تنخفض إلى مستوى الصفر تقريبًا. لكنهم يمتصون أيضًا الأشعة تحت الحمراء ، لذلك يتم تسخينها بسرعة إلى درجات حرارة عالية. وبسبب هذا ، فإنها تتحول إلى إضافة مفيدة للغاية للطابعات ثلاثية الأبعاد ، حيث يتم استخدام مسحوق البلاستيك كمواد البدء. ويوضح شيختمان: إذا تم خلط مسحوق شبه شبه دوري به وتعرّض للأشعة تحت الحمراء ، فإن المسحوق شبه الدوري "يسخن بسرعة كبيرة ويذوب الجزيئات البلاستيكية المحيطة ، مما يجعلها تلتصق ببعضها البعض."
لا أحد يعرف كيف تنتهي قصة التناظر الممنوع. يواصل علماء الرياضيات استكشاف خصائص بلاط Penrose. تبقى البلورات الجوهرية موضوع الدراسة في كل من البحوث الأساسية والتطبيقية. ولكن حتى الآن كانت هذه الرحلة لا تصدق. على مدار الأربعين عامًا الماضية ، تحول التماثل ذو خمسة محاور من غير عملي إلى ذي قيمة ، من غير الطبيعي إلى الطبيعي تمامًا ، من المحظور إلى المهيمن. ومن أجل هذا التحول ، يجب أن نشكر عالمتين تخليا عن أفكارهما المعتادة من أجل اكتشاف شكل جديد رائع من الاختلافات اللانهائية في الطبيعة.
نبذة عن الكاتب: باتن بارز هو صحفي ومؤلف في تورنتو. يعمل حاليًا على إعداد كتاب عن العلاقة بين الرياضيات البحتة والعالم الطبيعي.