التوفيق بين الرياضيات نيوتن والعالم الكم

كأستاذ للرياضيات ، لم يعد خائفًا ووقع في حب الهندسة الجبرية.

في المرحلة السادسة عشرة ، فات الأوان لتصبح أخصائيًا حقيقيًا في الهندسة الجبرية ، لكني تمكنت أخيرًا من الوقوع في حبها. كما يوحي اسمها ، يستخدم هذا الفرع من الرياضيات الجبر لدراسة الهندسة. في حوالي عام 1637 ، وضع رينيه ديكارت الأساس لهذا المجال من المعرفة ، وأخذ طائرة ، ورسم شبكة عقلياً عليها ، وتعيّن إحداثيات x و y . يمكنك كتابة معادلة للنموذج x ² + y ² = 1 ، والحصول على منحنى يتكون من نقاط تفي إحداثياتها بهذه المعادلة. في هذا المثال ، نحصل على دائرة.

في ذلك الوقت ، كانت فكرة ثورية ، لأنها تتيح لنا تحويل أسئلة الهندسة بشكل منهجي إلى أسئلة حول المعادلات التي يمكن حلها بمعرفة كافية بالجبر. وقد شارك بعض علماء الرياضيات في هذا المجال الرائع طوال حياتهم. حتى وقت قريب ، لم يعجبني ذلك ، لكنني تمكنت من ربطه باهتمامي بالفيزياء الكمومية.

في الطفولة ، أحببت الفيزياء أكثر من الرياضيات. كان عمي ألبرت بايز ، والد المغني الشعبي الشهير جوان بايز ، يعمل لدى اليونسكو وساعد البلدان النامية في تدريب الفيزياء. كان والداي يعيشان في واشنطن. عندما جاء عمي إلى المدينة ، فتح حقيبته وسحب المغناطيس أو الصور المجسمة من هناك ، وبمساعدتهم أوضح لي الفيزياء. كان رائعا. عندما كان عمري ثماني سنوات ، قدم لي كتابًا للفيزياء كتبه للكلية. على الرغم من أنني لم أستطع فهمه ، أدركت على الفور أنني أردت هذا. قررت أن أصبح عالمًا فيزيائيًا ، وكان والديّ قلقين لأنني أعلم أن الفيزياء تحتاج إلى الرياضيات ، ولم أكن قوية في ذلك. بدت التقسيم في العمود مملًا بشكل لا يطاق ، ورفضت القيام بالواجب المنزلي في الرياضيات باستخدام روتينه الذي لا نهاية له. لكن في وقت لاحق ، عندما أدركت أن اللعب مع المعادلات ، كان بإمكاني معرفة المزيد عن الكون ، لقد فتنتني. كانت الرموز الغامضة مثل تعاويذ سحرية ، وبطريقة ما كانت. العلم هو السحر الذي يعمل فعلا.

في الكلية ، اخترت الرياضيات كموضوع رئيسي ، وأصبحت مهتمًا بسؤال الفيزيائي النظري يوجين فينر عن "الفعالية التي لا يمكن تفسيرها" للرياضيات: لماذا يخضع عالمنا بسهولة لقوانين الرياضيات؟ صاغها بهذه الطريقة: "معجزة كفاية لغة الرياضيات لصياغة قوانين الفيزياء هي هدية رائعة لا نفهمها ولا نستحقها". بصفتي متفائلاً شابًا ، شعرت أن هذه القوانين ستمنحنا تلميحات لحل لغز أعمق: لماذا يخضع الكون عمومًا لقوانين رياضية. لقد فهمت بالفعل أن الرياضيات ضخمة جدًا لدرجة أنني لم أقم بدراستها برمتها ، لذا قررت في القضاء التركيز على ما هو مهم بالنسبة لي. واحدة من تلك التي لم تكن مهمة بالنسبة لي هي الهندسة الجبرية.

كيف يمكن لعالم الرياضيات ألا يقع في حب الهندسة الجبرية؟ السبب على النحو التالي: في هذا النموذج الكلاسيكي ، يدرس هذا الحقل فقط معادلات متعددة الحدود - معادلات لا تصف فقط المنحنيات ، ولكن أيضًا الأشكال ذات البعد الأعلى ، والتي تسمى "المنوع". وهذا هو ، x ² + y ² = 1 - وهذا أمر طبيعي ، مثل x ⁴³ - 2 xy ² = y ⁷ . لكن معادلة الجيب وجيب التمام أو وظائف أخرى خارج هذا المجال ، إلا إذا وجدنا طريقة لتحويلها إلى معادلة متعددة الحدود. بالنسبة لطالب الدراسات العليا ، بدا هذا وكأنه قيد رهيب. بعد كل شيء ، تستخدم الفيزياء العديد من الوظائف التي ليست متعددة الحدود.


هناك كثير الحدود لهذا: باستخدام متعددو الحدود وحدها ، يمكن وصف العديد من المنحنيات مثيرة للاهتمام. على سبيل المثال ، دعنا نلف دائرة داخل دائرة أخرى أكبر بثلاث مرات. نحصل على منحنى بثلاثة أركان حادة ، والتي تسمى "الدالية". ليس من الواضح ما يمكن وصفه بالمعادلة متعددة الحدود ، لكنه كذلك. عالم الرياضيات الكبير ليونارد يولر اخترعه في عام 1745.

لماذا الهندسة الجبرية تقتصر على كثير الحدود؟ يدرس علماء الرياضيات جميع أنواع الوظائف ، ولكن على الرغم من أهميتها البالغة ، إلا أن تعقيدها يصرف في بعض المستويات فقط عن الألغاز الأساسية للعلاقة بين الهندسة والجبر. من خلال الحد من اتساع نطاق عمليات البحث ، يمكن للهندسة الجبرية استكشاف هذه الألغاز بعمق أكبر. لقد انخرطت في هذا الأمر لعدة قرون ، وأصبحت مهارة كثيرات الحدود الآن مدهشة حقًا: أصبحت الهندسة الجبرية أداة قوية في نظرية الأعداد والتشفير والعديد من المجالات الأخرى. لكن بالنسبة لمعجبيها الحقيقيين ، تكمن قيمة هذه المنطقة في حد ذاتها.

ذات مرة قابلت طالب دراسات عليا بجامعة هارفارد وسألته عما كان يدرسه. بلهجة غزيرة ، قال كلمة واحدة: "هارتشورن". لقد وضع في الاعتبار كتاب روبن هارتسهورن الجرافيكي ، الذي نشر في عام 1977. من المفترض أن تصبح مقدمة للموضوع ، لكنها في الواقع معقدة للغاية. على حد تعبير وصف من ويكيبيديا: "الفصل الأول ، المعنون" المنوع "، يتحدث عن الهندسة الجبرية الكلاسيكية للأنواع عبر الحقول المغلقة جبريًا. يستخدم هذا الفصل العديد من النتائج الكلاسيكية من الجبر التبادلي ، بما في ذلك نظرية هيلبرت الأصفار ، وكثيراً ما توجد إشارات إلى كتب عطية ماكدونالد وماتسومورا وزاريسكي صموئيل. "

إذا لم تفهم شيئًا ... فهذا ما كنت أفكر فيه. لفهم حتى الفصل الأول من Hartshorn ، تحتاج إلى قدر كبير من المعرفة الخلفية. قراءة Hartshorn مثل محاولة اللحاق بعباقرة قرون عديدة الذين كانوا يحاولون الجري بأسرع ما يمكن.


مكعب الشهيرة: هذا هو سطح العقدي مكعب كايلي. يشتهر بحقيقة أنه هو المشعب مع أكبر عدد من العقد (مثل القطع الحادة) التي يمكن وصفها بواسطة المعادلة مكعب. المعادلة لها الصيغة ( xy + yz + zx ) (1 - x - y - z ) xyz = 0 وتسمى "مكعب" لأنه في الوقت نفسه ، لا نضرب أكثر من ثلاثة متغيرات.

كان أحد هؤلاء العباقرة المدير العلمي لهارتشورن - ألكساندر جروتينديك. من عام 1960 إلى عام 1970 ، قام Grothendieck بثورة ثورية في الهندسة الجبرية ، مما جعلها جزءًا من رحلة ملحمية بهدف إثبات فرضيات Weyl التي تربط بين الأصناف والحلول لمشاكل من نظرية الأعداد. اقترح جروثنديك أن فرضيات ويل يمكن تأكيدها من خلال تعزيز وتعميق العلاقة بين الهندسة والجبر. كان لديه فكرة واضحة عن كيفية حدوث ذلك. ولكن لضمان دقة هذه الفكرة ، كان هناك حاجة إلى عمل هائل. لتحقيق ذلك ، نظم حلقة دراسية. قدم Grothendieck العروض كل يوم تقريبًا واستفاد من أفضل علماء الرياضيات في باريس.


لنقم بتشغيل خلفية للرياضيات: ألكساندر جروتينديك في ندوته.

العمل بدون توقف لمدة عشر سنوات ، كتبوا الآلاف من صفحات الرياضيات الجديدة مليئة مفاهيم مذهلة. في النهاية ، باستخدام هذه الأفكار ، أثبت Grothendieck بنجاح جميع فرضيات Weyl ، باستثناء الأخيرة والأكثر تعقيدًا. لمفاجأة جروثينديك ، فقد قررها طالبه.

خلال سنواته الأكثر إنتاجية ، رغم أنه سيطر على المدرسة الفرنسية للهندسة الجبرية ، إلا أن العديد من علماء الرياضيات اعتبروا أن أفكار جروثينديك "مجردة للغاية". هذا يبدو غريبا بعض الشيء ، بالنظر إلى مدى تجريد جميع الرياضيات. لكن مما لا شك فيه أن الوقت والجهد مطلوبان لاستيعاب أفكاره. كطالب دراسات عليا ، حاولت أن أبعد نفسي عنهم ، لأنني كنت أعاني بنشاط من دراسة الفيزياء: لقرون ، كان العباقرة يعملون فيها بأقصى سرعة ، ويستغرق الوصول إلى الحدود وقتًا طويلاً. لكن في وقت لاحق ، عندما بدأت حياتي المهنية ، دفعتني دراستي إلى عمل Grothendieck.

إذا اخترت مسارًا مختلفًا ، فقد أقترب من عمله من خلال دراسة نظرية الأوتار . يفترض الفيزيائيون الذين يدرسون نظرية الأوتار أنه بالإضافة إلى الأبعاد المرئية للفضاء والوقت (ثلاثة أبعاد للفضاء وواحد للوقت) توجد أبعاد إضافية للفضاء ، لذا فهي ملتوية بحيث لا يمكن رؤيتها. في بعض نظرياتهم ، تشكل هذه الأبعاد الإضافية التنوع. لذلك ، يمكن للباحثين في نظرية الأوتار أن يواجهوا أسئلة معقدة من الهندسة الجبرية. وهذا بدوره يجعلهم يواجهون جروثينديك.


أنا مرتبك تمامًا: شريحة من مجموعة واحدة تسمى "ثلاثة أضعاف" ، والتي يمكن استخدامها لوصف الأبعاد الإضافية المعقدة للفضاء في نظرية الأوتار.

وبالفعل أفضل ما في الأمر هو أن نظرية الأوتار يتم الإعلان عنها ليس من خلال التنبؤ الناجح للنتائج التجريبية - لا يمكن أن تتباهى بهذا مطلقًا - ولكن من خلال القدرة على حل المشكلات في إطار الرياضيات البحتة ، بما في ذلك الهندسة الجبرية. على سبيل المثال ، تستطيع نظرية الأوتار حساب عدد منحنيات الأنواع المختلفة التي يمكن استخلاصها في أنواع معينة بشكل مدهش. لذلك ، يمكن للمرء اليوم رؤية منظري الأوتار يتواصلون مع المقاييس الجبرية ، ويمكن لكل جانب أن يفاجئ الآخر باكتشافاته.

لكن مصدر اهتمامي الشخصي بعمل Grothendieck كان مختلفًا. لطالما كانت لدي شكوك جدية حول نظرية الأوتار ، وإن عد منحنيات الأصناف هو آخر شيء أود القيام به: إنه يشبه التسلق - إنه أمر مثير للغاية أن أشاهده ، لكنه أمر مخيف للغاية لأفعله بنفسك. اتضح أن أفكار Grothendieck معممة وقوية لدرجة أنها تتجاوز حدود الهندسة الجبرية لتشمل العديد من المجالات الأخرى. على وجه الخصوص ، أعجبت بمخطوطة غير منشورة بعنوان Pursuing Stacks من 600 صفحة ، والتي كتبت في عام 1983. في ذلك ، يوضح أن الطوبولوجيا (إذا تم شرحها على نطاق واسع ، هي نظرية للأشكال التي يمكن أن يتخذها الفضاء إذا لم نكن قلقين بشأن الثني أو التمدد ، ولكن فقط النظر في أنواع الثقوب) يمكن اختزالها تمامًا إلى علم الجبر!

في البداية ، قد تبدو هذه الفكرة مشابهة للهندسة الجبرية ، والتي نستخدم فيها الجبر لوصف الأشكال الهندسية (على سبيل المثال ، المنحنيات أو المشعبات ذات الأبعاد الأعلى). لكن اتضح أن "الطوبولوجيا الجبرية" لها نكهة مختلفة تمامًا ، لأننا في الطوبولوجيا لسنا ملزمين بأن نحصر أنفسنا في الأرقام التي تصفها المعادلات متعددة الحدود. بدلاً من العمل مع المجوهرات الجميلة ، نتعامل مع جلطات ناعمة ومرنة. لذلك نحن بحاجة إلى جبر مختلف.


إذا كنت بحاجة إلى شرح: في بعض الأحيان ، مازح علماء الرياضيات من أن علماء الطوبولوجيا لا يرون الفرق بين الكعك وفنجان من القهوة.

طوبولوجيا الجبر هي منطقة جميلة كانت موجودة قبل فترة طويلة من Grothendieck ، لكنه كان من أوائل الذين اقترحوا بجدية طريقة لتقليل طوبولوجيا الجبر بأكملها . بفضل عملي في الفيزياء ، بدا اقتراحه سارًا للغاية بالنسبة لي. وإليكم السبب: في تلك اللحظة قمت بالمهمة الصعبة المتمثلة في الجمع بين أفضل نظريتين في الفيزياء: فيزياء الكم ، والتي تصف جميع القوى باستثناء الجاذبية ، ونظرية النسبية العامة ، التي تصف الجاذبية. يبدو أنه إلى أن نفعل ذلك ، فإن فهمنا لقوانين الفيزياء الأساسية محكوم عليه بالنقص. ولكن لتحقيق هذا أمر صعب لعنة. والسبب هو أن فيزياء الكم تقوم على الجبر ، وتستخدم طوبولوجيا بنشاط في النظرية العامة للنسبية. ولكن هذا يخبرنا اتجاه الهجوم: إذا استطعنا معرفة كيفية اختزال الطوبولوجيا إلى الجبر ، فقد يساعدنا ذلك في صياغة نظرية الجاذبية الكمية.

زملاء الفيزياء في هذه اللحظة يعيثون ويبدأون في التذمر من أنني أبسط كل شيء كثيرًا: في الفيزياء الكمومية ، لا يتم استخدام الجبر فحسب ، ولكن النظرية العامة للنسبية ليست طوبولوجيا فقط. ومع ذلك ، فقد كانت المزايا الجسدية المحتملة لتقليل الطوبولوجيا إلى علم الجبر هي ما أسعدني في عمل جروثينديك.

لذلك ، منذ التسعينيات ، أحاول اكتشاف المفاهيم المجردة القوية التي ابتكرها Grothendieck ، وحققت حتى الآن نجاحًا جزئيًا. يعتبر بعض علماء الرياضيات هذه المفاهيم جزءًا معقدًا من الهندسة الجبرية. ولكن الآن يبدو لي جزء بسيط. بالنسبة لي ، لم تكن كل هذه المفاهيم المجردة ، بل تفاصيلها المملّة ، جزءًا صعبًا. أولاً ، هذه هي كل المواد الموجودة في النصوص التي يعتبرها هارتشورن المتطلبات المسبقة الإلزامية: "كتب عطية - ماكدونالد ، ماتسومورا وزاريسكي صموئيل" ، وهذه مجلدات ضخمة من الجبر. ولكن هناك الكثير.

لذلك ، رغم أنني لدي الآن بعض ما هو ضروري لقراءة هارتسهورن ، إلا أن دراسة هذه المواد كانت مخيفة للغاية بالنسبة لي حتى وقت قريب. سأل أحد طلاب الفيزياء ذات مرة اختصاصي مشهور عن مقدار الرياضيات التي يجب على الفيزيائي أن يعرفها. أجاب المتخصص: "أكثر مما يعرف". في الواقع ، لا يمكن أبدًا اعتبار دراسة الرياضيات كاملة ، لذا فقد ركزت على الجوانب التي تبدو أكثر أهمية و / أو مثيرة للاهتمام. حتى العام الماضي ، لم تكن الهندسة الجبرية على رأس هذه القائمة.

ما الذي تغير؟ أدركت أن الهندسة الجبرية مرتبطة بالعلاقة بين الفيزياء الكلاسيكية والكمية . الفيزياء الكلاسيكية هي فيزياء نيوتونية ، حيث نفترض أنه يمكننا قياس كل شيء بدقة كاملة ، حتى من الناحية النظرية. فيزياء الكم هي فيزياء Schrödinger و Heisenberg ، تحكمها مبدأ عدم اليقين: إذا قمنا بقياس بعض جوانب النظام المادي بدقة كاملة ، فيجب أن تظل جوانب أخرى غير مؤكدة.

على سبيل المثال ، أي كائن دوار له "زخم زاوي". في الميكانيكا الكلاسيكية ، نتخيلها بسهم موجه على محور الدوران ، وطول هذا السهم يتناسب مع سرعة دوران الكائن. وفي الميكانيكا الكلاسيكية ، نفترض أنه يمكننا قياس هذا السهم بدقة. في ميكانيكا الكم - وصف أكثر دقة للواقع - اتضح أن هذا خطأ. على سبيل المثال ، إذا علمنا إلى أي مدى يشير السهم في اتجاه x ، فلا يمكننا معرفة ذلك. إلى أي مدى تشير في اتجاه ذ . إن عدم اليقين هذا أصغر من أن يتم ملاحظته في كرة السلة ، لكن بالنسبة للإلكترون ، فإنه مهم للغاية: حتى بدأ الفيزيائيون في أخذ ذلك في الاعتبار ، لم يكن لديهم سوى فهم تقريبي للإلكترونات.

يسعى الفيزيائيون غالبًا إلى "تحديد" مشكلات الفيزياء الكلاسيكية. أي أنها تبدأ بالوصف الكلاسيكي لبعض النظام المادي وتحاول استنباط وصف كمي. للقيام بهذا العمل ، لا يوجد إجراء عام ومنتظم بالكامل. وهذا لا ينبغي أن يفاجئك: فهذه الآراء حول العالم مختلفة تمامًا. ومع ذلك ، هناك وصفات مفيدة لأداء القياس. الأكثر منهجية تنطبق على مجموعة محدودة للغاية من المشاكل الجسدية.

على سبيل المثال ، في الفيزياء الكلاسيكية ، يمكننا أحيانًا وصف النظام كنقطة متعددة الجوانب . يجب ألا تتوقع أن يكون هذا ممكنًا في الحالة العامة ، ولكن في العديد من الحالات المهمة يحدث هذا. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك كائنًا دوارًا: إذا حددنا طول سهم زخمه الزاوي ، عندئذٍ يمكن للسهم أن يشير في أي اتجاه ، أي أن نهايته يجب أن تكون على كرة. وبالتالي ، يمكننا وصف كائن دوار بنقطة على كرة. وهذا المجال هو في الواقع مجموعة متنوعة ، " كرة ريمان " ، التي سميت على اسم واحد من أعظم الجيولوجيا الجبرية في القرن 19 برنارد ريمان.


التنوع: يعد سطح Endrass من المرتبة الثامنة مثالًا جميلًا ومتناسقًا جدًا على "المنوع": شكل موصوف بمعادلات متعددة الحدود. بدأت الهندسة الجبرية كدراسة لهذه الأشكال.

عندما يتم وصف مهمة الفيزياء الكلاسيكية بالتنوع ، يحدث السحر. أصبحت عملية القياس الكمي منهجية وبسيطة بشكل مدهش. حتى أن هناك نوعًا من العملية العكسية ، والتي يمكن تسميتها "تصنيف" - فهي تتيح لك تحويل وصف الكم مرة أخرى إلى وصف كلاسيكي. أصبحت المقاربات الكلاسيكية والكمية للفيزياء مرتبطة ارتباطًا وثيقًا ، ويمكننا أخذ الأفكار من أي نهج ومراقبة ما يمكن أن يخبرنا به عن أشياء أخرى. على سبيل المثال ، لا تصف كل نقطة في المنوع حالة النظام الكلاسيكي فقط - في مثالنا ، هذا هو الاتجاه المحدد للزخم الزاوي - ولكن أيضًا حالة النظام الكمي المناظر ، على الرغم من أن الأخير يسيطر عليه مبدأ عدم اليقين في Heisenberg.الحالة الكمومية هي "أفضل تقريب كمي" للحالة الكلاسيكية. علاوة على ذلك ، في هذه الحالة ، يمكن اعتبار العديد من النظريات الأساسية من الهندسة الجبرية كحقائق حول القياس الكمي. منذ أن انخرطت في التكميم لفترة طويلة ، يجعلني سعيدًا للغاية.

قال ريتشارد فاينمان ذات مرة إنه من أجل التقدم في حل مشكلة جسدية معقدة يحتاج إلى النظر إليها من زاوية خاصة:

"[…] , - . , , , . , - , . , , , . : , , ".

ربما هذا هو بالضبط ما افتقدته حتى الآن في الهندسة الجبرية. بالطبع ، الهندسة الجبرية ليست مشكلة يجب حلها فحسب ، بل هي أيضًا مجموعة معقدة من المعرفة - لكنها مجموعة ضخمة ومخيفة لم أكن أجرؤ على لمسها حتى وجدت هذا الطريق الأقصر. الآن يمكنني قراءة Hartshorn ، وترجمة بعض النتائج إلى حقائق عن الفيزياء ، ولدي فرصة لفهم كل هذا. هذا شعور ممتاز.

نبذة عن الكاتب : جون بايز هو أستاذ الرياضيات في جامعة كاليفورنيا في ريفرسايد وباحث زائر في مركز سنغافورة لتقنيات الكم. يدير مدونة Azimuth حول الرياضيات والعلوم والقضايا البيئية. متابعته على تويتر: johncarlosbaez .