🛠️ 🍟 🖨️ هل الرياضيات منطقية أم لماذا نظريات البديهية متناقضة 🤸🏿 📴 🗼

اليوم سنتحدث عن الأساسيات. تضع الأسس النظرية حدود الممكن وتوضح طرق تحقيق الأهداف ، وبالتالي لن يكون عمق الفهم في مثل هذه الأمور ضروريًا.

لن نكون قادرين على تغطية جميع الأساسيات ، لذلك في الوقت الحالي ، سنوجه شعاعنا التعليمي إلى مهام مسلية تسمى paradoxes. في سياق تغطية الموضوع ، سوف ندرس تدريجياً في أحشاء نهج يسمى المنطق ، ومن ثم ننتبه إلى العلاقة بين المنطق والرياضيات ، وبعدها يمكن لقرائنا أن يفهموا بسهولة ليس فقط أسباب فائدة المنطق في استنباط النظريات البديهية ، ولكن لماذا هناك حاجة للنظريات البديهية على الإطلاق ، وسوف يفهمون أيضًا كيف أنه ليس من الضروري التعامل مع نظريات متسقة.

لنبدأ بقائمة من الألغاز المسلية. تسمى هذه المشكلات بالمفارقات ، لأنه بغض النظر عن الطريقة التي نجيب بها عن السؤال المطروح في المشكلة ، فإن مؤلف المفارقة سوف يثبت بسهولة أننا مخطئون. وهذا يعني ، بمعنى آخر ، أن المشكلات لا تنطوي على حل ، ولكنها تُظهر بشكل ترفيهي عدم تفاهة التفكير المنطقي.

حلاق مفارقة

في قرية معينة ، أعلن حلاق أنه كان يحلق في قريته كل من لم يحلق نفسه. السؤال هو من يحلق الحلاق؟

إذا أجبت أن الحلاقة تحلق الحلاقة نفسها ، فسيشرح لك مؤيدو المفارقة بسرعة أنه وفقًا لظروف المهمة ، تحلق الحلاقة أولئك الذين لا يحلقون ، مما يعني أنه لا يستطيع حلاقة نفسه ، وإلا فإنه سيتضح أنه يحلق نفسه وبالتالي يحلق الشخص الذي يحلق نفسه.

إذا أجبت أن هناك شخصًا آخر يحلق ، فإن أنصار المفارقات يتذكرون مرة أخرى شروط المهمة - يشيرون إلى أنه إذا لم يحلق شخص ما نفسه ، فعليه أن يحلق الحلاق لأنه قال - يحلق كل شخص لا يحلق نفسه. لذلك إذا حلقها شخص آخر ، فلن يحلق نفسه ، ويجب أن يكون ماكينة حلاقة بشرط.

بينما يجب ألا تتعمق في التناقضات المنطقية لهذه المهمة ، إلا أنها تعرّفك فقط على عالم المفارقات وستتبعها العديد من المهام المتضاربة. على الرغم من أنك إذا وجدت حلاً غير متوقع - فلا تتعجل ، فسوف ترى كيف سيتغلب أنصار المفارقة على أي حلول غير متوقعة.

مفارقات مجموعات

على غرار مفارقة الحلاق ، قبل أكثر من مائة عام ، تم اكتشاف مفارقة أثرت بشكل خطير على أسس الرياضيات ، وبجدية شديدة لدرجة أن هذه الفترة كانت تسمى أزمة أسس الرياضيات. الحقيقة هي أن الأمر لا يستحق القلق أكثر من اللازم بالنسبة للرياضيات ، لأن هذه الأزمة لم تكن الأولى ، وأثرت على أقسام الرياضيات الأساسية بشكل ضعيف. ومع ذلك ، أظهرت الأزمة بوضوح ضعف معرفتنا في هذا المجال ، الذي كان يعتبر دائمًا صارمًا وشاملًا تقريبًا.

أولاً ، نعرض أساس أحد المفارقات على مثال مبسط. تخيل المجموعة (أو قائمة ، صفيف) لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة ، ثم تخيل الرقم المقابل لعدد الأرقام في مجموعتنا. قدمت؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما الذي سيحدث للمجموعة بعد إضافة رقم يساوي عدد عناصرها مع الوحدة المضافة؟ إذا كانت هناك بالفعل جميع العناصر الموجودة هناك ، تذكر أنه يمكن فرزها بترتيب تصاعدي وبعد ذلك سيتضح أن العنصر الأكبر يساوي عدد العناصر في مجموعتنا. ولكن إذا أضفنا واحدًا إلى الكمية ، فسنحصل على عنصر غير موجود في المجموعة ، لذا يبدو أنه لا يمكنك تخيل مثل هذه القائمة ، لأنه في كل مرة يظهر سؤال حول عنصر جديد. لكن من ناحية أخرى ، يمكننا صياغة عبارة "مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة". فماذا يمكننا حقا ولا يمكن؟

بينما تفكر في إجابة السؤال السابق ، سوف نطلب منك ما يلي. وإذا كنت تتخيل مجموعة جميع المجموعات ، ولكن بحيث لا تتضمن أي مجموعة نفسها كعنصر؟ هل هذا ممكن؟ على سبيل المثال ، لا تتضمن مجموعة الأرقام {1 ، 2 ، 3} نفسها كعنصر. لذلك ربما يمكن أيضًا تخيل كل المجموعات الأخرى؟

إذا قلت إن هذا ممكن ، فسوف يطرح أنصار المفارقات السؤال - هل تتضمن المجموعة المقدمة نفسها؟

إذا قلت "نعم" ، فسيجيب أنصار المفارقات ، وفقًا لحالة المشكلة ، على المجموعة ألا تتضمن تلك المجموعات التي تتضمن نفسها ، لكن بما أنك قلت "نعم" ، فأنت قد أدرجت المجموعة المقدمة في حد ذاتها ومنعت من إدراجها ، لأن لقد أصبح مجموعة بما في ذلك نفسه ، وهو ما يتعارض مع حالة المشكلة.

إذا قلت "لا" ، فسيجيب مؤيدو المفارقات أنه وفقًا لظروف المشكلة ، يجب أن تتضمن المجموعة المقدمة جميع المجموعات التي لا تشمل نفسها ، وبالتالي يجب أن تكون المجموعة المقدمة نفسها (وهي ليست في حد ذاتها) في مجموعتنا.

تمامًا ، ربما ، أنت الآن ، تأثر علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم بشكل طفيف بسبب الافتقار الواضح للحس السليم في المفارقة المقترحة. في الواقع ، لم يفلت الفطرة السليمة في مكان ما فحسب ، ولكن قبل ذلك بفترة وجيزة ، تمكن علماء الرياضيات من اقتراح استخدام نظرية المجموعات (ونحن نتحدث فقط عن ممثلها - مجموعة جميع المجموعات التي لا تشمل نفسها) لبناء جميع الرياضيات على أساسها. ونتيجة لذلك ، حدثت أزمة - في صميم الرياضيات ، كما اتضح فيما بعد ، لم يكن هناك أي منطق. كيف تحب هذه الرياضيات؟ وضع ويني ذا بوه جيدًا في هذا الموضوع - إنه جيد ، لكنه لسبب ما هو عرجاء.

لكن هذا ليس كل شيء. علاوة على ذلك ، من أجل الاكتمال ، نقدم بضع مفارقات لخطة مختلفة قليلاً.

مفارقة التطبيق الذاتي

هناك كلمات يمكن أن تطبق معناها على هذه الكلمات. على سبيل المثال ، تتكون كلمة "ثلاثة مقطع لفظي" من ثلاثة مقاطع لفظية ويخبرنا معناها أيضًا عن ثلاثة مقاطع لفظية ، لذلك يمكن تسمية هذه الكلمة قابلة للتطبيق ذاتيًا. وبالمثل ، فإن كلمة "الروسية" مكتوبة باللغة الروسية وتعبر عن معنى الانتماء إلى اللغة الروسية ، أي أنها قابلة للتطبيق ذاتيًا مرة أخرى. لكن كلمة "أرجواني" لا تُكتب عادةً على الإطلاق بالألوان أرجوانيًا ولا تنمو على أرجواني ، مما يعني أنها غير قابلة للتطبيق. ولكن لا تزال هناك كلمة (ورأيناها للتو) "غير قابلة للتطبيق". هل هذه الكلمة تنطبق على الذات؟

إذا كان الصراع مع المنطق السليم بداخلك قد انتهى بنجاح وقلت أن الكلمة قابلة للتطبيق ذاتياً ، فإن مؤيدي المفارقات سيقولون - كيف يمكن أن تكون قابلة للتطبيق ذاتيًا ، إذا كانت مكتوبة فيها - غير قابلة للتطبيق الذاتي؟

إذا قلت إن الكلمة غير قابلة للتطبيق ، فسوف يجيب أنصار المفارقات أن معنى الكلمة يتطابق مع التعريف الذي قدمته (غير قابل للتطبيق) ، مما يعني أنك قد أظهرت طريقة التطبيق الذاتي ، مما يعني أنك مخطئ مرة أخرى!

لكن فرحة مؤيدي المفارقات ستكون غير مكتملة إذا لم نظهر مشكلة أخرى.

مفارقة القول الخاطئ

المهمة بسيطة للغاية - عليك الإجابة بـ "نعم" أو "لا" على السؤال - هي العبارة التالية خاطئة - "هذه العبارة خاطئة".

إذا أجبت بـ "لا" ، فإن مؤيدي المفارقات سيقولون أن العبارة تقول - إنها خاطئة ، لذلك تقول إن شيئًا ما غير صحيح.

إذا قلت "نعم" ، فإن مؤيدي المفارقات سيقولون ذلك لأنك تقول إن البيان "خاطئ" (الإجابة "نعم") والبيان نفسه يقول "غير صحيح" ، فأين الكذبة؟ مرة أخرى أجبت بشكل غير صحيح! يفرح المزيد من مؤيدي المفارقات مرة أخرى.

القليل من الغموض

لن نشعر بالإحباط عندما نشاهد المتعة في معسكر مؤيدي المفارقات ، لكننا سنحاول الكشف عن الشر الذي ، إذا جاز التعبير ، يجفف أدمغتنا بكثافة في جميع المفارقات المذكورة. ما بالنسبة لنا - حفنة من علماء الرياضيات لا يزالون غير متأكدين من اتساق أسس علمهم!

أولا عن الحلاق. دعنا نلقي نظرة فاحصة على تكوين المشاركين في المفارقة. سنلاحظ كيانين ، هذه هي الحلاقة وبعضها "الكل" الذي يحلقه الحلاق. سنرى أيضًا علاقة معينة يأتي بها الحلاق مع من يحلقه. دعنا نسمي هذه العلاقة بسيطة - "حلاقة". في لغة الرياضيات ، يمكننا أن نكتب - x shaves y ، أي X معينة في علاقة مع لاعب معين ، والعلاقة تسمى - shaves. علاوة على ذلك ، في المفارقة ، نرى خوارزمية الاختيار كجزء من الكيان "الكل". يكمن جوهر الخوارزمية في التحقق من الحالة "لا يحلق نفسه". نرى أيضًا التزام ماكينة الحلاقة بحلاقة كل أولئك الذين يشكلون جزءًا من جوهر "الكل" المذكور.

الآن ، بعد كتابة الجزء "المعطى" لمشكلتنا ، ننتقل إلى الجزء "الحل".

لنفترض أن لجنة معينة تختار أشخاصًا من القرية ، وأن كل من يجيب "لا أحلق نفسي" مدرج في مجموعة شروط المشكلة (المجموعة هي "الكل"). بعد الانتهاء من عمل اللجنة ، لدينا مجموعة من الأشخاص الذين يحتاج حلاقنا إلى معالجته وفقًا لذلك. علاوة على ذلك ، يمكن للمرء أن يتخيل بسهولة أنه في وقت إجراء المسح ، قال الحلاق إنه يحلق نفسه ، وبالتالي لم يكن مدرجًا في مجموعة الأشخاص المراد معالجتها. نتيجة لذلك ، نحصل على صورة سعيدة تمامًا - أي شخص لا يحلق بنفسه سيتم حلقه بهدوء بواسطة حلاقنا. لكن أليس كذلك؟ على الأقل ، لن نرى أي عقبات من جانب الفطرة السليمة ، وبالتالي يمكننا بسهولة تخيل كل الوجوه الحلاقة المناسبة للحالة والحلاق الراض. لكن مؤيدي المفارقات في هذا الموقف سوف يكونون عاطلين عن العمل ، لأنه اتضح أنه لا توجد مفارقة على الإطلاق!

ولكن في الواقع هناك مفارقة. في الواقع ، ليس عبثًا أن يهتم علماء الرياضيات في العالم بأسره بالأزمة!

لتحديد سبب التناقض ، من الضروري تضمين مؤيديه في المعادلة. سيقولون إن الحلاق ادعى أنه يحلق أولئك الذين لا يحلقون أنفسهم ، وبالتالي ليس من حقه أن يحلق نفسه ، لأنه بعد ذلك سوف يحلق الشخص الذي يحلق نفسه وبالتالي ينتهك شرط المهمة. ثم من حيث المنطق ، يمكننا القول أن عبارة "حلاقة حلاقة حلاقة" غير صحيحة وفقا لظروف المشكلة. ولكن نتيجة لذلك ، ينبغي إدراج الحلاق في مجموعة من الأفراد الذين يتعرضون للحلاقة مع الحلاق. والحلاق هو الذي ينبغي أن يحلقهم جميعًا ، لأنه وإلا فإن مؤيدي المفارقات سيظهرون على الفور ويذكروننا بظروف المشكلة.

لمزيد من الوضوح ، نقوم بتقليل وصف الموقف. دعنا نعيّن ماكينة الحلاقة بالحرف B ، فالموقف "الحلاقة" دعها تبقى كما هي ، فهي قصيرة بالفعل. العديد من "كل شيء" لا يمكن تخفيضه. ثم في سجل قصير نحصل على:

1) خطأ (حلاقة B) يعني B ينتمي إلى "الكل"
2) X يحلق B و X = B

مثل هذا السجل يعني أن (السطر الأول) من حقيقة أن الحلاقة لا تحلق الحلاقة ، يتبع ذلك أن الحلاقة تنتمي إلى مجموعة "كل شيء". يخبرنا السطر الثاني أن علامة X معينة يجب أن تحلق الحلاقة وأن علامة X هذه يجب أن تكون الحلاق نفسه.

نحن الآن ننفذ الحد الأدنى من التحويلات في السطر الثاني - نستبدل علامة X الموجودة فيها ب ، لأن بشرط أن تكون متساوية ، ونشير أيضًا إلى حقيقة البيان الناتج. نحصل على:

صحيح (ب حلاقة ب)

ولكن من السطر (1) لدينا:

زائف (B حلاقة B)

ويجب الوفاء بهذين الشرطين (بناء على طلب مؤيدي المفارقات) في وقت واحد.

إذن ما هو الشر هنا؟ كما رأينا ، قبل تدخل أنصار المفارقات ، ساد السلام والنظام في القرية ، حلق جميع الأشخاص المناسبين وكان الحلاق مسروراً. لكن بعد تدخل مؤيدي المفارقات ، تلقينا طلبًا في الوقت نفسه على الحقيقة والخطأ في التصريح بأن الحلاق يحلق الحلاق. التحدث بشكل مختلف ، تلقينا مطالب متضاربة. وبالطبع ، إذا كانت المتطلبات متناقضة ، فمن المستحيل حل المشكلة مع هذه المتطلبات. بغض النظر عن كيفية تحريفنا ، وبغض النظر عن كيفية ابتكار طرق جديدة وجديدة لتجنب المفارقة ، على سبيل المثال ، بإعلان أن الحلاق لا يحلق ويرتدي لحية ، أو أن المرأة لا تضطر إلى الحلاقة ، فإن مؤيدي المفارقات سيواجهون موضوعيًا - هذا في مواجهة المشكلة لا ، إذن يجب أن يكون كل شيء كما ذكرنا بالضبط. ولكن نتيجة لإطالة دقة بيانات مؤيدي المفارقات ، نحصل على مهمة غير قابلة للحل.

بعد الإشارة إلى عدم تناسق الظروف ، يمكننا محاولة تسليط الضوء على عدد من العوامل التي أدت إلى حالة تتطلب فيها متطلبات غبية بشكل أساسي (وماذا يمكن استدعاء الشرط للحلاقة وعدم الحلاقة في نفس الوقت؟) تم أخذها على محمل الجد من قبل الكثير من الناس.

أولاً ، تجدر الإشارة إلى الطبيعة الضمنية للادعاءات المتضاربة. مهمة مماثلة ، ولكن مع تناقض واضح في الظروف ، كان من الممكن أن يتم رفضها على الفور ولم يكن أحد يعرف أي مفارقات ، لكنها كانت الطبيعة الخفية لعدم تناسق القيود التي أدت إلى محاولات عديدة لحل مشكلة اليأس. على سبيل المثال ، مهمة العثور على رقم أكبر من الصفر وأقل من الصفر في نفس الوقت لن تؤدي إلى ظهور مفهوم التناقض ، لأنه في مثل هذه المشكلة يكون المعنى المتناقض للمتطلبات واضحًا للجميع. ولكن في مشكلة حلاقة الحلاقة ، أدى عدم وضوح عدم تناسق القيود إلى عواقب وخيمة. لذلك ، في أي مفارقة ، أولاً وقبل كل شيء ، ينبغي للمرء أن يبحث عن تناقضات ضمنية في القيود المفروضة على حل المشكلة.

ثانياً ، بالإضافة إلى عدم الوضوح ، يوجد في الواقع مثل هذه القيود قيود متناقضة (والتي من النظرة الأولى غير مرئية). يجدر التأكيد هنا - إنها القيود المفروضة على الحل وليس شيئًا آخر. هذا هو ، وليس مجال الموضوع الذي تنتمي إليه المشكلة ، هو متناقض إلى حد ما ، وليس اللغة التي ذكرت المشكلة ، ولكن التناقضات وضعت خارج هذه المفاهيم وعلى وجه التحديد في شكل قيود على حل ممكن. لذلك ، يجب عليك دائمًا دراسة القيود المفروضة على الحل بعناية ، في محاولة لتحديد التناقضات المحتملة فيها.

ثالثًا ، المهام المتضاربة تتضمن بالضرورة الشكليات المشوهة للواقع. يعد التقيد الصارم بالشروط التي تم التعبير عنها للتو ، باستثناء إيجاد حلول خارج المنطقة المثيرة للجدل ، علامة واضحة يجب البحث عنها بعناية في مهام أخرى لا تبدو متناقضة للوهلة الأولى.

في الباقي ، في مشكلة الحلاق ، نرى خصائص خاصة بها ، والتي قد لا تتكرر في مفارقات أخرى. ومع ذلك ، سيكون من المفيد الإشارة إليهم.

أولاً ، تتميز مهمة الحلاق بالمطلب القطعي "حلق الجميع" ، مع عدم السماح بأي استثناءات للقاعدة "من لا يحلق نفسه". إذا لم تفرض المهمة مثل هذا التقييد الصارم على "حلق الجميع" ، فيمكن استبعاد الحلاق بسهولة من القائمة التي تشكل خطورة على المهمة. إذا لم يكن لهذه المهمة قيود على أولئك الذين لا يحلقون أنفسهم فقط ، فإن الحلاق سيكلفنا مرة أخرى مجرد خوف بسيط بدلاً من خلق أزمة لأسس الرياضيات. لذلك ، في مهام أخرى ، حيث يتم وضع طلب صارم من فئة "كل هذه العناصر وفقط هذه العناصر" ، يجدر الانتباه إلى البحث عن التناقضات الداخلية في هذه الصيغة.

ثانياً ، الحلاق في المهمة هو كيان خاص يختلف عن غيره في مشاركته في حلاقة كل شخص من المفترض أن يحلق بشروطه. بدون حلاق ، فإن نظام الكيانات سوف ينهار ولا يشكل مهمة واحدة وذات مغزى. ولكن على الرغم من هذا الوضع الخاص في نظام الكيانات والقيود ، يصر مؤيدو المفارقات على موقف واحد تجاه جميع المشاركين في العملية ، على الرغم من القيود الإضافية المفروضة على الحلاق. لكن الوضع الخاص للحلاقة بالتحديد هو الذي أدى إلى تناقض في المتطلبات ، لأنه بالإضافة إلى موقف "مثل الجميع" ، الذي يتطلب حلاقة الحلاقة ، فإن ماكينة الحلاقة مطلوبة أيضًا بعدم حلاقة نفسه ، ويتم استبعاد أدوات الحلاقة الأخرى في حالة المهمة. لذلك ، في مهام أخرى ، يجب تحديد وظيفة تكوين النظام للعناصر ، وإذا كانت موجودة ، تحقق بعناية من الارتباط بين المتطلبات "للجميع" ومتطلبات هذا العنصر. خلاف ذلك ، فمن السهل الحصول على تناقض آخر في المتطلبات.

مشاكل في مفارقات أخرى

في الوقت الحالي ، سنتخطى مفارقة المجموعات ، حيث أننا سنحتاج إليها لاحقًا فيما يتعلق بمشاكل نظرية المجموعة.

والآن لنرى أين يكمن الشر في مفارقة التطبيق الذاتي. جنبا إلى جنب مع الميزة المذكورة سابقا في شكل تناقض ضمني في الظروف هنا ، يمكننا أيضا إضافة حرية التفسير لمعنى قابلية التطبيق الذاتي. وهذا يعني أن معنى علاقة التطبيق الذاتي يمكن تفسيره على نطاق واسع ، وبالتالي يمكن أن ينقلب التناقض بسهولة إلى هذه الفجوات الواسعة. لذلك ، في هذه الحالة ، لن تكون شدة التعاريف غير ضرورية. لكن من المستحيل أيضًا تضخيم الشدة إلى المطلق ، وإلا ، كما رأينا في مثال الحلاق ، فإن التناقضات ستكون نتيجة الشدة نفسها.

كما هو الحال في مفارقة الحلاقة ، وفي مفارقة القابلية للتطبيق الذاتي ، لدينا عنصر خاص في النظام يبرز عن الباقي في أنه عندما يتم النظر فيه ، تتغير خوارزمية النظام. لكل الكلمات الأخرى ، يكفي أن نفهم كيف يرتبط مجال تعريف معنى الكلمة بالكلمة نفسها (أي ، حساب عدد المقاطع أو الانتباه إلى اللغة التي كتبت بها الكلمة) ، ولكن بالنسبة للكلمة "غير قابلة للتطبيق" ، فلن يكون لدينا مجال تعريف واضح تمامًا ، ربما يتزامن مع النظام نفسه الذي يتم فيه تقييم قابلية التطبيق الذاتي. وهذا يعني ، بالنسبة لكلمة "غير قابلة للتطبيق" ، تشرح لنا المهمة نفسها بعض الإحساس بالتطبيق ، لكن هذا التفسير ضمني وغير صارم.

علاوة على ذلك ، يمكنك معرفة قيود معينة تتناقض مع بعضها البعض على وجه التحديد لكلمة "غير قابلة للتطبيق". , , , «» , . , . , , , «» . , , . «»?

, , , , , «» «». , , . , , . , , — -, , , .

, , , «» . , , .

«» , , . , «» . , . , , , , .

, . — ? , , . « » «!», . « » « ?».

. . , , , . , , . .

, — ? , . , , , , - . , , . . , , , ( , ?), , . , , , .

? — , , . — . . ?

, , . ( ), , , . . , , . , , . — — , .

— , , ? , , ( ) « » , - . , , . , , , . .

( ) , , , , .

, , , , . ( ) .

, , . , — , , . . , , , , , ( , ), . .

:

$\exists y \forall x (x \in y \equiv P(x))$

$\exists$ و

$\forall$ « » « », ( ) . , , , , .

$\ في$ , , , () ( ). , () , , — () . — , , () , .

. , , , .

. , « » . -, . , ,

$\neg( x \in x)$ .

$\neg$ . :

$( x \in x) \equiv \neg( x \in x)$

. , , , . , , , , .

. (

$\wedge$ ):

$\forall a \exists y \forall x (x \in y \equiv (x \in a \wedge P(x)))$

, . — , () , . ?

, , , . . , , . () , , .

, . , ,

$x \in a$ ,

$x \in y$ . . . , , . , () . , , .

:

1)
2) :
2.1)
2.2) :
2.2.1) :
2.2.1.1)
2.2.1.2)
2.2.2) :
2.2.2.1)
2.2.2.2)

() , .

$\wedge$ — ,

$\vee$ — .

1)

$x \in a \wedge P = (x=x)$
2.1)

$x \in y \wedge \neg (x \in a)$
2.2.1.1)

$x \in y \wedge \neg(x \in a) \vee x \in y \wedge x \in a \wedge \neg(x \in x) \wedge P = (x \in x) \vee x \in y \wedge x \in a \wedge x \in x \wedge P = \neg(x \in x) \vee \neg(x \in y) \wedge x \in a \wedge P = (x = x)$
2.2.1.2)

$x \in y \wedge \neg(x \in a)$
2.2.2.1)

$x \in y \wedge x \in x \wedge P = \neg(x \in x) \vee x \in y \wedge \neg(x \in x) \wedge P = (x \in x)$

$\ vee \ neg (x \ in y) \ wedge x \ in a \ wedge P = (x = x)$
2.2.2.2)

$x \ in y \ wedge x \ in x \ wedge P = \ neg (x \ in x) \ vee x \ in y \ wedge \ neg (x \ in x) \ wedge P = (x \ in x)$

كما نرى ، إذا كان a يحتوي على أي عناصر ، فلا يوجد بديل واحد لاستبدال y بحيث يستحيل الإشارة إلى x و / أو P (x) بحيث تكون البديهية صحيحة دائمًا.

ما النتيجة التي يمكن استخلاصها من هذه النتيجة؟ في رأي شخصي لمؤلف هذا النص ، يمكن أن يكون الاستنتاج كما يلي - عند ترجمة فكرة سليمة حول تطبيق مرشح على اللغة الجافة للصيغ ، تم ارتكاب خطأ في شكل فقدان اتصال مع الواقع ، أو ، بعبارة أخرى ، لم يتم تحديد جميع خصائص النظام الأصلي وإضفاء الطابع الرسمي عليها بطريقة مناسبة . حسنًا ، لقبول النتائج أو رفضها ، بالطبع ، اختر القارئ ، الذي يدرك الآن بدقة كيفية فهم هذه المشكلات بشكل مستقل.