مقدمة

تتناول هذه المقالة إمكانية تمثيل متعدد الحدود التعسفي لدرجة عدد صحيح تعسفي n في شكل اختلافات محدودة. يختلف النهج في هذه المقالة عن تلك الموجودة في أن جميع الصيغ مستمدة من كثير الحدود التعسفي مع المعاملات التعسفية ، وكذلك في أن الفاصل التعسفي بدلاً من الوحدة يستخدم كفاصل زمني بين النقاط. الصيغ التي تم الحصول عليها عالمية ، ويمكن استخدامها دون تعديل على حد سواء لحساب القيم "المستقبل" و "الماضي" من متعدد الحدود. هذا ، على سبيل المثال ، بالنسبة لأي منحنى يعبر عنه بمعادلة تربيعية مع معاملات تعسفية ، من الممكن حساب جميع القيم التي تحتوي على 3 فقط من قيم y المعروفة سابقًا والموجودة على فاصل تعسفي مساوي φ. نتيجة لذلك ، يتم تقديم العبارة أنه من خلال (n + 1) نقاط متساوية متساوية ، يمكن رسم منحنى واحد فقط ، معبراً عن كثير الحدود من الدرجة n.

تنصل

أنا لست عالم رياضيات ، أنا مجرد مبرمج مع 20 عامًا من الخبرة. لقد أجريت بحثًا مستقلًا ، لكنني لم أجد نفس الاستنتاجات التي توصلت إليها في هذه المقالة. سأكون ممتناً لأية تعليقات و "نصائح" حول التطورات الحالية ، والتي تتشابه استنتاجاتها (أو قريبة) منها.

معلومات عامة

أولاً ، أعطي صيغة عامة لحساب الدالة S (t) المعطاة من كثير الحدود من الدرجة n والمعبّر عنها بالقيمة (n + 1) القيم السابقة المأخوذة على فاصل مساوي φ:

$$

$$S (t) = \ sum_ {k = 1} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k-1} C_ {n + 1} ^ kS (t-k \ varphi)$$

أي ، على سبيل المثال ، بالنسبة لكثير الحدود من الدرجة n = 1 (الخط العادي) ، ستبدو هذه الصيغة كما يلي:

$$

$$S (t) = 2S (t- \ varphi) -S (t-2 \ varphi)$$

بالنسبة لكثير الحدود من الدرجة n = 2 ، سيكون لهذه الصيغة النموذج:

$$

$$S (t) = 3S (t- \ varphi) -3S (t-2 \ varphi) + S (t-3 \ varphi)$$

و هكذا. ويرد دليل رياضي مفصل في هذا المستند . قمت أيضًا بإعداد رمز التحقق ، الذي تم تنفيذه في شكل شفرة JavaScript. يمكنك الحصول عليه في هذا الرابط . في نفس المقالة سأعرض بعض الاستنتاجات والخيارات العملية لاستخدام المعادلات التي تم الحصول عليها.

بناء كثير الحدود من الدرجة 2

لفهم عام ، يتم التعبير عن "كثير الحدود من الدرجة 2" باستخدام الصيغة التالية:

$$

$$S (t) = Q_2 t ^ 2 + Q_1 t + Q_0$$

ومع ذلك ، كما اتضح فيما بعد ، يمكنك حساب جميع قيم هذا كثير الحدود (في الواقع ، يمكنك فقط حساب قيم كثير الحدود في العقد مع بعض الخطوة التعسفية φ) باستخدام المعادلة "في الاختلافات المحددة":

$$

$$S (t) = 3S (t- \ varphi) -3S (t-2 \ varphi) + S (t-3 \ varphi)$$

بمعنى ، بناءً على أي من القيم الثلاث للدالة S (t) التي تم الاستيلاء عليها خلال فترة تعسفية متساوية φ ، يمكن الحصول على جميع القيم متعددة الحدود. نظهر هذا على البيانات الحقيقية. دع التعبير عن كثير الحدود الحقيقي بالوظيفة التالية:

$$

$$R (t) = 1t ^ 2 + 2t + 3$$

الآن نحسب قيم الدالة R (t) عند النقاط t = 111 و t = 115 و t = 119. بمعنى أن الخطوة φ في هذه الحالة هي 4. ستكون القيم التي تم الحصول عليها R (111) = 12546 ، R (115) = 13458 و R (119) = 14402. الآن نحسب القيمتين التاليتين للعدد متعدد الحدود باستخدام المعادلة مع الفروق المنتهية:

$$

$$R (123) = 3R (119) -3R (115) + R (111) = 15378$$

$$

من السهل حساب أن القيم المحسوبة باستخدام الصيغة في الاختلافات المحددة تتوافق تمامًا مع القيم المحسوبة باستخدام الصيغة "المعيارية" لكثير الحدود من الدرجة الثانية.

أيضا ، فإن الصيغة في الاختلافات المحددة تسمح للمرء بحساب القيم "للخلف" دون تغيير الصيغة نفسها. على سبيل المثال ، لحساب R (107) و R (103) نحصل على ما يلي:

$$

$$

مرة أخرى ، من السهل حساب أن القيم التي تم الحصول عليها باستخدام صيغ الاختلافات المحددة تتوافق تمامًا مع القيم المحسوبة باستخدام الصيغة "المعيارية" لكثير الحدود من الدرجة الثانية.

بالنسبة لجميع الدرجات اللاحقة ، ستكون النتائج متشابهة. لقد اختبرت كثيرات الحدود حتى الدرجة 99: النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام الصيغ "القياسية" تتوافق تمامًا مع النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام اختلافات محدودة.

إضافة

أود أيضًا أن أشير إلى أنه من أجل بناء كثير الحدود من الدرجة n ، ليس من الضروري أن يكون لديك بالضبط (n + 1) نقاط متباعدة على قدم المساواة - يمكنك تعسفيًا أكثر (تدل على أنه (m + 1)). ولكن في هذه الحالة ، ستحتاج إلى استخدام الصيغة لكثير الحدود من الدرجة م. يمكن توضيح ذلك بواسطة المثال التالي:

$$

$$Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0 = 0x ^ 4 + 0x ^ 3 + Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0$$

وهذا يعني ، بالنسبة إلى كثير الحدود من الدرجة الثانية ، يمكنك استخدام الصيغ من متعدد الحدود من الدرجة الرابعة والثالثة - وستظل النتيجة صحيحة.

النتائج

تسمح الصيغ في الاختلافات المحدودة لأحد حساب (والتعبير عن كصيغة) أي متعدد الحدود دالة من أي درجة عدد صحيح. بالنسبة للمعادلة في الفروق المحدودة ، لا يهم المعاملات التي استخدمت لدرجات كثير الحدود. بالنسبة للمعادلة في الفروق المحدودة ، لا يهم عند الفاصل الزمني الذي تم فيه أخذ النقاط الأولية - يمكن أن تكون الفاصل الزمني صغيرة بشكل تعسفي ، أو كبيرة بشكل تعسفي. الحسابات في الفروق المحددة لها دقة أعلى محتملة مقارنة بالحسابات باستخدام الصيغ "القياسية" (بسبب نقص وظائف الطاقة). يتم التعبير عن وظيفة كثير الحدود في الفروق المحدودة بدون وظائف القدرة ، ونتيجة لذلك ، يمكن أن يكون لها قيمة واحدة فقط للمتغيرات المحددة. وبالتالي ، من خلال (n + 1) نقاط متباعدة بالتساوي ، يمكن رسم منحنى واحد فقط يعبر عنه متعدد الحدود من الدرجة n.