لماذا لا تُنسب الوحدة إلى الأعداد الأولية ، وعندما يتم اعتبارها عامةً رقمًا

صديقي مهندس فاجأني مؤخرا. قال إنه لم يكن متأكداً مما إذا كان الرقم 1 أوليًا أم لا. لقد فوجئت لأن أيا من علماء الرياضيات يعتبرون الوحدة بسيطة.

يبدأ الارتباك بالتعريف المعطى للرقم الأولي: وهو عدد صحيح موجب قابل للقسمة على 1 فقط وفي حد ذاته . الرقم 1 مقسوم على 1 ، ويقسم على نفسه. ولكن تقسيم نفسك و 1 ليس عاملين مختلفين هنا. هل هو عدد أولي أم لا؟ عندما أكتب تعريف الرقم الأولي ، أحاول القضاء على هذا الغموض: أنا أتحدث مباشرة عن الحاجة إلى شرطين مختلفين تمامًا ، يقسمان على واحد وحدهما ، أو أن الرقم الأول يجب أن يكون عددًا صحيحًا أكبر من 1. ولكن لماذا تتخذ مثل هذه الإجراءات استبعاد 1؟

علمني تعليمي الرياضي أن أحد الأسباب الجوهرية لعدم اعتبار الرقم 1 بسيطًا هو النظرية الأساسية للحساب. إنها تدعي أنه يمكن كتابة كل رقم على أنه نتاج الأعداد الأولية بطريقة واحدة بالضبط. إذا كانت 1 بسيطة ، فسنفقد هذا التفرد. يمكننا كتابة 2 كـ 1 × 2 أو 1 × 1 × 2 أو 1 ⁵⁹⁴⁸²⁷ × 2. استثناء 1 من الأعداد الأولية يلغي هذا.

في البداية ، خططت لشرح النظرية الأساسية للحساب في مقال ووضع حد له. لكن في الواقع ، ليس من الصعب تغيير بيان النظرية لحل المشكلة بالوحدة. في النهاية ، أثار سؤال صديقي فضولي: كيف استقر علماء الرياضيات على هذا التعريف لرئيس الوزراء؟ أظهر بحث سريع على ويكيبيديا أن الوحدة كانت تعتبر من قبل عددًا أوليًا ، ولكن الآن لم يتم ذلك. لكن مقالا لكريس كالدويل ويونغ سونغ يكشف عن قصة أكثر تعقيدا. يمكن فهم ذلك منذ بداية مقالتهم: "أولاً ، ما إذا كان الرقم (لا سيما الوحدة) بسيطًا هو مسألة تصميم ، أي مسألة اختيار وسياق وتقاليد ، وليست مسألة إثبات. ومع ذلك ، لا تحدث التعاريف بشكل عشوائي ؛ يرتبط الاختيار باستخدامنا للرياضيات ، وخاصة في هذه الحالة ، ترميزنا ".

يبدأ كلدويل وشيونغ بعلماء الرياضيات اليونانيين الكلاسيكيين. لم يحسبوا 1 كرقم ، مثل 2 ، 3 ، 4 ، وهكذا. تم اعتبار الرقم 1 ، وكان الرقم يتكون من عدة أرقام. لهذا السبب ، 1 لا يمكن أن يكون بسيطًا - إنه ليس رقمًا. كتب الكندي ، عالم الرياضيات العربي في القرن التاسع ، أن هذا ليس رقمًا ، وبالتالي فهو غير متساوٍ أو غريب. لقرون عديدة ، سادت فكرة أن الوحدة هي لبنة بناء لتجميع جميع الأرقام ، ولكن ليس العدد نفسه.

في عام 1585 ، أشار عالم الرياضيات الفلمنكي سايمون ستيفن إلى أنه في النظام العشري لا يوجد فرق بين 1 وأية أرقام أخرى. في جميع النواحي ، 1 يتصرف مثل أي كمية أخرى. وإن لم يكن على الفور ، ولكن هذه الملاحظة أدت في نهاية المطاف علماء الرياضيات لقبول 1 مثل أي رقم آخر.

حتى نهاية القرن التاسع عشر ، كان بعض علماء الرياضيات البارزين يعتبرون واحدًا بسيطًا والبعض الآخر لا. بقدر ما أستطيع أن أقول ، لم يكن هذا سببًا للخلاف ؛ بالنسبة إلى الأسئلة الرياضية الأكثر شيوعًا ، لم يكن الفرق حرجًا. يستشهد كالدويل وشيونغ بـ ج. هـ. هاردي باعتباره آخر عالم رياضيات يعتبر أن 1 بسيطًا (أشار بوضوح إلى أنه رئيس في الإصدارات الستة الأولى من دورة الرياضيات البحتة ، التي نُشرت في الفترة بين عامي 1908 و 1933 ، وفي عام 1938 قام بتغيير التعريف و دعا 2 الأقل بسيطة).

يذكر المقال ، لكنه لا يفهم بالتفصيل ، التغييرات في الرياضيات ، بسببها تم استبعاد 1 من قائمة الأعداد الأولية. على وجه الخصوص ، كان أحد التغييرات المهمة هو تطوير مجموعات خارج مجموعة الأعداد الصحيحة التي تتصرف كأعداد صحيحة.

في أبسط مثال ، يمكننا أن نسأل إذا كان الرقم -2 أولي. قد يبدو السؤال بلا معنى ، لكنه يدفعنا إلى التعبير بكلمات عن الدور الفريد للوحدة بين الأعداد الصحيحة. الجانب الأكثر غرابة في 1 هو أن معكوسه هو أيضا عدد صحيح (معكوس x هو الرقم الذي ، عند ضرب x ، يعطي 1. بالنسبة 2 ، يتم تضمين معكوس 1/2 في مجموعة الأرقام المنطقية أو الحقيقية ، ولكن ليس عدد صحيح: 1/2 × 2 = 1). تحول الرقم 1 إلى أن يكون رقمه معكوس. لا يوجد عدد صحيح موجب آخر له قيمة عكسية في مجموعة الأعداد الصحيحة. يسمى الرقم ذو القيمة المعكوسة بعنصر مقلوب. الرقم −1 هو أيضًا عنصر قابل للعكس في مجموعة الأعداد الصحيحة: مرة أخرى ، يعد عنصرًا معكوسًا لنفسه. لا نعتبر العناصر القابلة للعكس بسيطة أو مركبة ، لأنه يمكنك ضربها ببعض العناصر الأخرى القابلة للعكس دون تغيير كبير. ثم يمكننا أن نفترض أن الرقم -2 لا يختلف كثيرا عن 2 ؛ من حيث الضرب. إذا كانت 2 أولية ، فيجب أن تكون −2 هي نفسها.

لقد تجنبت بعناية في الفقرة السابقة تعريف تعريف بسيط بسبب حقيقة مؤسفة أن مثل هذا التعريف غير مناسب لهذه المجموعات الكبيرة! وهذا هو ، غير منطقي بعض الشيء ، وأود أن اختيار آخر. بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة ، كل حرف p له خاصيتان:

لا يمكن كتابته على أنه ناتج عن عددين صحيحين ، لا يعد أي منهما عنصرًا قابلاً للعكس.

إذا كان المنتج m × n قابلاً للقسمة على p ، فيجب أن تكون m أو n قابلة للقسمة على p (على سبيل المثال ، m = 10 ، n = 6 ، و p = 3.)

أول هذه الخصائص هو كيف يمكننا تمييز الأعداد الأولية ، ولكن لسوء الحظ ، يتم الحصول على عنصر غير قابل للاختزال هنا. الخاصية الثانية هي عنصر بسيط . في حالة الأعداد الطبيعية ، بالطبع ، نفس الأرقام ترضي كلتا الخواص. ولكن هذا لا ينطبق على كل مجموعة مثيرة للاهتمام من الأرقام.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مجموعة من أرقام النموذج a + b√ - 5 أو + ib√5 ، حيث a و b عددان صحيحان و i هو الجذر التربيعي لـ −1. إذا قمت بضرب الأرقام 1 + √ - 5 و 1-√ - 5 ، فستحصل على 6. بالطبع ، ستحصل أيضًا على 6 ، إذا قمت بضرب 2 و 3 ، وهي أيضًا في هذه المجموعة من الأرقام ب = 0 . لا يمكن تمثيل كل من الأرقام 2 و 3 و 1 + √ - 5 و 1 - √ - 5 كمنتج للأرقام التي لا تمثل عناصر قابلة للعكس (إذا لم تتخذ كلامي الخاص بها ، فليس من الصعب التحقق منها). لكن المنتج (1 + √ - 5) (1 - √ - 5) قابل للقسمة على 2 ، و 2 غير قابل للقسمة إما بواسطة 1 + √ - 5 أو 1 - √ - 5 (مرة أخرى ، يمكنك التحقق مما إذا كنت لا تصدقني ). وبالتالي ، 2 عنصر غير قابل للاختزال ، ولكنه ليس بسيطًا. في هذه المجموعة من الأرقام ، يمكن أن تتحلل 6 إلى عناصر غير قابلة للاختزال بطريقتين مختلفتين.

يحتوي الرقم أعلاه ، والذي يمكن لعلماء الرياضيات الاتصال به Z [√-5] ، على عنصرين قابليين للإلغاء: 1 و −1. ولكن هناك مجموعات مماثلة من الأرقام مع عدد لا حصر له من العناصر القابلة للعكس. نظرًا لأن هذه المجموعات أصبحت أدوات للدراسة ، فمن المنطقي التمييز بوضوح بين تعريفات العناصر القابلة للعكس وغير القابلة للاختزال والبسيطة. على وجه الخصوص ، إذا كان هناك مجموعات من الأرقام مع عدد لا حصر له من العناصر القابلة للعكس ، فسيصبح من الصعب على نحو متزايد فهم ما نعنيه بالعوامل الفريدة للأرقام ، ما لم يتم توضيح أن العناصر المقلوبة لا يمكن أن تكون بسيطة. على الرغم من أنني لست مؤرخًا في الرياضيات ولا أتعامل مع نظرية الأعداد وأرغب في قراءة المزيد حول كيفية حدوث هذه العملية ، أعتقد أن هذا أحد الأسباب التي اعتبرها كالدويل وشيونغ سبب استبعاد واحد من الأعداد الأولية.

كما يحدث في كثير من الأحيان ، فإن إجابتي الأولية الدقيقة والموجزة على السؤال عن سبب ترتيب كل شيء كما هو ، أصبحت في نهاية المطاف مجرد جزء من المشكلة. شكرا لصديقي لطرح سؤال ومساعدتي في معرفة المزيد عن التاريخ المعقد للبساطة.