شرح بأسعار معقولة لفرضية ريمان

مكرسة لذكرى جون فوربس ناش الابن

هل تتذكر ما هي "الأعداد الأولية"؟ هذه الأرقام ليست قابلة للقسمة من قبل أي شخص آخر غيرهم. 1. والآن سأطرح سؤالًا عمره 3000 عامًا:

• 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، ص . ما هو ع يساوي؟ 31. ماذا سيكون ع المقبل؟ 37. والقادم ع ؟ 41. والقادم؟ 43. نعم ، لكن ... كيف نعرف المعنى التالي؟

توصل إلى حكم أو صيغة تتنبأ (على الأقل في الخطيئة) بما سيكون عليه الرقم الأول التالي (في أي سلسلة من الأرقام) ، وسيتم ربط اسمك إلى الأبد بأحد أعظم إنجازات الدماغ البشري. ستكون على قدم المساواة مع نيوتن وأينشتاين وجودل. فهم سلوك الأعداد الأولية ، وبعد ذلك يمكنك أن ترتاح لأمجادك طوال حياتك.

مقدمة

تمت دراسة خصائص الأعداد الأولية من قبل العديد من الأشخاص العظماء في تاريخ الرياضيات. من البرهان الأول على ما لا نهاية من الأعداد الأولية لإقليدية إلى صيغة منتج Euler ، والتي تتعلق الأعداد الأولية بوظيفة زيتا. من صياغة نظرية غاوس و Legendre الرئيسية إلى برهانها الذي ابتكره Hadamard و Valle-Poussin. ومع ذلك ، لا يزال برنارد ريمان يعتبر عالم الرياضيات الذي حقق أكبر اكتشاف منفرد في نظرية الأعداد الأولية. في مقاله ، الذي نشر في عام 1859 ، ويتألف من ثماني صفحات فقط ، تم اكتشافات جديدة لم تكن معروفة من قبل حول توزيع الأعداد الأولية. لا تزال هذه المقالة واحدة من أهمها في نظرية الأعداد.

بعد النشر ، ظل مقال ريمان العمل الرئيسي في نظرية الأعداد الأولية وأصبح في الواقع السبب الرئيسي لإثبات نظرية توزيع الأعداد الأولية في عام 1896. ومنذ ذلك الحين ، تم العثور على أدلة جديدة عديدة ، بما في ذلك الأدلة الأولية من قبل سيلبرج وإردوس. ومع ذلك ، فإن فرضية ريمان حول جذور وظيفة زيتا لا تزال لغزا.

كم عدد الأعداد الأولية هناك؟

لنبدأ مع واحد بسيط. نعلم جميعًا أن الرقم إما أولي أو مركب . جميع الأرقام المركبة بسيطة ويمكن أن تتحلل إلى منتجاتها (axb). في هذا المعنى ، الأعداد الأولية هي "اللبنات الأساسية" أو "العناصر الأساسية" للأرقام. في عام 300 قبل الميلاد ، أثبت إقليدس أن عددهم لا نهائي. برهانه الأنيق على النحو التالي:

نظرية الإقليدية

لنفترض أن مجموعة الأعداد الأولية ليست لانهائية. إنشاء قائمة بجميع الأعداد الأولية. ثم اجعل P هو نتاج جميع الأعداد الأولية في القائمة (نقوم بضرب جميع الأعداد الأولية من القائمة). إضافة إلى النتيجة 1: Q = P +1. مثل كل الأرقام ، يجب أن يكون الرقم الطبيعي Q بسيطًا أو مركبًا:

• إذا كانت Q أولية ، فقد وجدنا برايم غير موجود في "قائمة بجميع الأعداد الأولية".
• إذا كانت Q ليست بسيطة ، فهي مركبة ، أي يتكون من أعداد أولية ، أحدها ، p ، سيكون مقسومًا على Q (لأن كل الأرقام المركبة عبارة عن منتجات أولية). من الواضح أن كل حرف p يتكون من P هو مقسوم لـ P. إذا كان p مقسومًا لكل من P و Q ، فيجب أن يكون مقسومًا على اختلافهما ، أي الوحدة. لا يوجد رقم أولي مقسوم على 1 ، وبالتالي لا يمكن أن يكون الرقم p في القائمة - وهو تناقض آخر مع حقيقة أن القائمة تحتوي على جميع الأعداد الأولية. سيكون هناك دائمًا رئيسًا آخر غير موجود في القائمة وهو مقسوم على Q. لذلك ، يوجد عدد كبير من الأعداد الأولية.

لماذا الأعداد الأولية صعبة الفهم؟

حقيقة أن أي وافد جديد يفهم المشكلة أعلاه يتحدث ببلاغة عن تعقيدها. حتى الخصائص الحسابية للأعداد الأولية ، على الرغم من الدراسة النشطة ، ليست مفهومة جيدًا من قبلنا. المجتمع العلمي واثق تمامًا في عدم قدرتنا على فهم سلوك الأعداد الأولية ، بحيث يظل تقسيم الأعداد الكبيرة (تحديد اثنين من الأعداد الأولية ، والتي يكون ناتجها رقمًا) أحد الأسس الأساسية لنظرية التشفير. يمكنك النظر إليها على النحو التالي:

نحن نفهم الأرقام المركبة جيدا. هذه كلها أرقام ليست أولية. إنها تتكون من الأعداد الأولية ، لكن يمكننا بسهولة كتابة صيغة تتوقع و / أو تولد أرقامًا مركبة. ويطلق على هذا "مرشح الرقم المركب" غربال . المثال الأكثر شهرة هو ما يسمى ب "غربال إراتوستينس" ​​، الذي تم اختراعه حوالي عام 200 قبل الميلاد. وظيفته هي أنه ببساطة يصادف القيم التي هي مضاعفات كل عدد أولي يصل إلى حد معين. لنفترض أننا نأخذ الرقم الأول ونضع علامة على 4،6،8،10 ، وهكذا. ثم تأخذ 3 وعلامة 6،9،12،15 ، وهلم جرا. نتيجة لذلك ، سيكون لدينا فقط أعداد أولية. على الرغم من أنه من السهل جدًا فهمه ، إلا أن غربال إراتوستينس ، كما تتخيل ، ليس فعالًا بشكل خاص.

إحدى الوظائف التي تسهل عملنا إلى حد كبير ستكون 6n ± 1. تقوم هذه الوظيفة البسيطة بإرجاع جميع الأعداد الأولية ، باستثناء 2 و 3 ، وتزيل جميع الأرقام التي هي مضاعفات 3 ، وكذلك جميع الأرقام الزوجية. البديل ن = 1،2،3،4،5،6،7 والحصول على النتائج التالية: 5،7،11،13،17،19،23،25،29،31،35،37،41،43. الأرقام غير الأولية الوحيدة التي تم إنشاؤها بواسطة الدالة هي 25 و 35 ، والتي يمكن تحديدها 5 × 5 و 5 × 7. الأرقام التالية غير الأولية ، كما قد تتخيل ، ستكون 49 = 7 × 7 ، 55 = 5 × 11 ، و هكذا. كل شيء سهل ، أليس كذلك؟

لعرض ذلك بشكل مرئي ، استخدمت ما أسميه "درج الأرقام المركبة" - طريقة ملائمة لإظهار كيفية ترتيب الأرقام المركبة الناتجة عن الوظيفة ودمجها. في الأعمدة الثلاثة الأولى من الصورة أدناه ، نرى كيف تصعد الأعداد الأولية 5 و 7 و 11 بشكل جميل كل درج من الأرقام المركبة ، يصل إلى 91. إن الفوضى التي تحدث في العمود الرابع ، تظهر كيف أن المنخل يزيل كل شيء ما عدا الأعداد الأولية ، رائع مثال على سبب صعوبة فهم الأعداد الأولية.

---

الموارد الأساسية

كيف يرتبط كل هذا بالمفهوم الذي يمكن أن تسمعه - بفرضية ريمان؟ حسناً ، بعبارة بسيطة ، لفهم المزيد عن الأعداد الأولية ، توقف علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر عن محاولة التنبؤ بموقع الأعداد الأولية بدقة مطلقة ، وبدلاً من ذلك بدأوا في دراسة ظاهرة الأعداد الأولية ككل. أصبح ريمان سيد هذا النهج التحليلي ، وفي إطار هذا النهج تم إنشاء فرضيته الشهيرة. ومع ذلك ، قبل أن أبدأ في شرح ذلك ، من الضروري التعرف على بعض الموارد الأساسية.

الصفوف التوافقي

سلسلة التوافقي هي سلسلة لا حصر لها من الأرقام التي تم استكشافها لأول مرة في القرن الرابع عشر بواسطة نيكولاي أوريم. يرتبط اسمه مع مفهوم التوافقيات الموسيقية - نغمات أعلى من وتيرة النغمة الأساسية. الصفوف كالتالي:


أول أعضاء سلسلة متناغمة لانهائية

لقد أثبت Orem أن هذا المبلغ متباين (أي بدون حد محدد ؛ إنه لا يقترب ولا يميل إلى أي رقم معين ، ولكنه موجه إلى ما لا نهاية).

وظائف زيتا

سلسلة التوافقي هي حالة خاصة من نوع أكثر عمومية من وظيفة تسمى z (ق) وظيفة . يتم تعريف وظيفة زيتا الحقيقية لرقمين حقيقيين r و n :


وظيفة زيتا

إذا استبدلنا n = 1 ، فسنحصل على سلسلة متناغمة تتباعد. ومع ذلك ، بالنسبة لجميع قيم n> 1 ، تتقارب السلسلة ، أي أن المجموع مع زيادة r يميل إلى عدد معين ولا يذهب إلى ما لا نهاية.

صيغة أويلر

تم تأسيس أول اتصال بين وظائف زيتا والأعداد الأولية من قبل أويلر عندما أظهر أنه بالنسبة لعددين طبيعيين (عدد صحيح وأكبر من الصفر) n و p ، حيث p أولية ، يكون التالي صحيحاً:


منتج Euler لرقمين n و p ، حيث يكون كلاهما أكبر من الصفر و p أولي.

ظهر هذا التعبير لأول مرة في مقال نشر عام 1737 بعنوان Variae Observes circa series infinitas . يستنتج من التعبير أن مجموع دالة زيتا يساوي ناتج الكميات المعكوسة على الوحدة ، ناقصًا معكوس الأعداد الأولية للدرجات . وضع هذا الاتصال المذهل الأساس لنظرية الأعداد الأولية الحديثة ، والتي بدأت منذ ذلك الحين استخدام دالة (زيتا) كوسيلة لدراسة الأعداد الأولية.

إن إثبات الصيغة هو أحد البراهين المفضلة لدي ، لذا سأقدمها ، رغم أن هذا ليس ضروريًا لأغراضنا (لكنه رائع بنفس القدر!):

دليل على صيغة منتج أويلر

يبدأ Euler بوظيفة zeta شائعة


وظيفة زيتا

أولاً ، يضاعف الجزأين في الفصل الثاني:


وظيفة زيتا مضروبة في 1/2 ^ثانية

ثم يطرح التعبير الناتج من دالة زيتا:


وظيفة زيتا ناقص 1/2 ^ثانية مرات وظيفة زيتا

وهو يكرر هذه العملية ، مما يضاعف كلا الجانبين في الفترة الثالثة


وظيفة زيتا ناقص 1/2 مرة مرات وظيفة زيتا 1/3 ^ثانية

ثم اطرح التعبير الناتج من دالة زيتا


وظيفة Zeta ناقص 1/2 مرة أضعاف وظيفة zeta ناقص 1/3 ^ثانية أضعاف وظيفة zeta

إذا كررت هذه العملية إلى أجل غير مسمى ، فسنحصل في النهاية على التعبير التالي:


1 ناقص جميع القيم المقلوبة إلى الأعداد الأولية أضعاف وظيفة zeta

إذا كانت هذه العملية مألوفة بالنسبة لك ، فذلك لأن أويلر أنشأ غربالًا يشبه إلى حد كبير غربال إراتوستينس. يقوم بتصفية الأرقام غير الأولية من وظيفة زيتا.

ثم نقسم التعبير إلى جميع مصطلحاته ، التي هي عكس الأعداد الأولية ، ونحصل على:


العلاقة الوظيفية لوظيفة زيتا مع الأعداد الأولية للأعداد الأولية 2،3،5،7 و 11

لتبسيط التعبير ، أظهرنا ما يلي:


صيغة عمل أويلر هي مساواة توضح العلاقة بين الأعداد الأولية ووظيفة زيتا

لم يكن هذا جميلا؟ نحن بديل s = 1 ، ونجد سلسلة متناسقة لانهائية ، تثبت مرارا وتكرارا اللانهاية من الأعداد الأولية.

وظيفة موبيوس

أعاد أغسطس فرديناند موبيوس عمل أويلر ، وخلق مبلغًا جديدًا. بالإضافة إلى الكميات العكسية للأعداد الأولية ، تحتوي وظيفة Mobius أيضًا على كل رقم طبيعي ، وهو ناتج عن عدد متساوٍ ونيف من العوامل الأولية. الأرقام المستبعدة من سلسلته هي أرقام قابلة للقسمة على بعض الأعداد الأولية المربعة. مجموعها ، المشار إليه بـ μ (n) ، له الشكل التالي:


وظيفة Mobius هي نسخة معدلة من منتج Euler المعطى لجميع الأرقام الطبيعية

يحتوي المجموع على القيم العكسية:

1. لكل رقم أولي ؛
2. لكل رقم طبيعي ، وهو نتاج عدد فردي من الأعداد الأولية المختلفة ، مأخوذ بعلامة ناقص ؛ و
3. لكل رقم طبيعي ، وهو نتاج عدد زوجي من الأعداد الأولية المختلفة ، مأخوذ بعلامة زائد ؛

الأعضاء الأوائل موضحون أدناه:


سلسلة / مجموع الوحدات مقسوما على دالة زيتا ζ (s)

لا يحتوي المجموع على تلك القيم المتبادلة التي يتم تقسيمها على مربع واحد من الأعداد الأولية ، على سبيل المثال ، 4.8.9 ، وهلم جرا.

يمكن أن تأخذ الدالة Mobius μ (n) ثلاث قيم ممكنة فقط: البادئة (1 أو -1) أو إزالة (0) الأعضاء من المجموع:


ثلاث قيم محتملة لوظيفة Mobius μ (n)

على الرغم من أن موبيوس حددت هذا المبلغ الصعب رسمياً لأول مرة ، إلا أنه من الجدير بالذكر أنه قبل 30 عامًا ، كتب غاوس حول هذا المبلغ في ملاحظات هامشية:

"مجموع جميع الجذور البدائية (أولية p) أو ≡ 0 (عندما تكون p-1 قابلة للقسمة على مربع) ، أو ≡ ± 1 (mod p) (عندما تكون p-1 ناتجة عن أعداد غير متساوية) ؛ إذا كان عددهم متساويًا ، تكون الإشارة إيجابية ، ولكن إذا كان الرقم غريبًا ، فتكون العلامة سالبة. "

وظيفة توزيع عدد أولي

دعنا نعود إلى الأعداد الأولية. لفهم كيفية توزيع الأعداد الأولية عند تحريك خط الأرقام ، وعدم معرفة مكان تواجدهم بالضبط ، سيكون من المفيد حساب عددهم الذي يحدث حتى رقم معين.

هذه المهمة هي بالتحديد وظيفة توزيع الأعداد الأولية x (x) التي اقترحها Gauss: تحقق لنا عدد الأعداد الأولية أقل من أو تساوي عددًا حقيقيًا معينًا. نظرًا لأننا لا نعرف الصيغ الخاصة بإيجاد الأعداد الأولية ، فإن صيغة توزيع الأعداد الأولية معروفة لنا فقط على هيئة رسم بياني ، أو دالة خطوة تزيد بمقدار 1 عندما تكون x أولية. يوضح الرسم البياني أدناه الوظيفة حتى x = 200.


وظيفة توزيع الأعداد الأولية x (x) حتى x = 200.

نظرية توزيع العدد الأولي

تنص نظرية توزيع الأعداد الأولية ، التي صاغها Gauss (وبشكل مستقل Legendre) ، على ما يلي:


نظرية توزيع العدد الأولي

في اللغة العادية ، يمكن ذكر ذلك على النحو التالي: "عندما تنتقل x إلى ما لا نهاية ، فإن وظيفة توزيع الأعداد الأولية π (x) ستقترب من الدالة x / ln (x)." بمعنى آخر ، إذا صعدت بدرجة كافية ورسم الرسم البياني للتوزيع الأولي إلى x مرتفع جدًا ، ثم قسمة x على اللوغاريتم الطبيعي x ، فإن نسبة هاتين الوظيفتين تميل إلى 1. أدناه يوضح الرسم البياني دالتين لـ x = 1000:


دالة توزيع الأعداد الأولية x (x) وتقدير تقريبي من خلال نظرية توزيع الأعداد الأولية حتى x = 1000

من وجهة نظر الاحتمالات ، تقول نظرية توزيع الرقم الأولي أننا إذا اخترنا عددًا صحيحًا موجبًا x ، فإن الاحتمال P (x) بأن هذا الرقم سيكون أوليًا يساوي تقريبًا 1 / ln (x). هذا يعني أن متوسط ​​الفجوة بين الأعداد الأولية المتتالية بين الأعداد الصحيحة الأولى x هو تقريبا ln (x).

اللوغاريتم المتكامل

يتم تعريف الدالة Li (x) لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة ، باستثناء x = 1. يتم تعريفها بالتكامل من 2 إلى x :


التمثيل المتكامل لوظيفة اللوغاريتم المتكامل

بعد رسم هذه الوظيفة بجانب وظيفة التوزيع الأولية والصيغة من نظرية التوزيع الأولية ، نرى أن Li (x) تقريبًا أفضل من x / ln (x):


اللوغاريتم المتكامل لـ Li (x) ، دالة التوزيع للأعداد الأولية π (x) و x / ln (x) على نفس الرسم البياني

لمعرفة مدى أفضل هذا التقريب ، يمكننا بناء جدول يحتوي على قيم كبيرة من x ، وعدد الأعداد الأولية حتى x والخطأ بين (نظرية حول توزيع الأعداد الأولية) والوظائف الجديدة (اللوغاريتم المتكامل):


عدد الأعداد الأولية يصل إلى قوة معينة من عشرات والأخطاء المقابلة لتقريبين

كما ترون بسهولة ، فإن اللوغاريتم المتكامل أفضل بكثير في التقريب من الدالة من نظرية على توزيع الأعداد الأولية ، "لقد ارتكب خطأ" من قبل 314،890 الأعداد الأولية فقط لـ x = 10 إلى قوة 14. ومع ذلك ، تتقارب كلتا الدالتين مع وظائف توزيع الأعداد الأولية x (x). يتقارب Li (x) بشكل أسرع بكثير ، لكن عندما تميل x إلى ما لا نهاية ، فإن النسبة بين دالة توزيع الأعداد الأولية والوظائف Li (x) و x / ln (x) 1. نوضح هذا بوضوح:


تقارب نسب قيمتين تقريبية ووظيفة توزيع الأعداد الأولية إلى 1 عند x = 10،000

وظيفة غاما

أصبحت وظيفة am (z) موضوعًا مهمًا للدراسة ، حيث أنه في العشرينيات من القرن العشرين ، بحث دانيال بيرنولي وكريستيان جولدباخ مشكلة تعميم الوظيفة الموصوفة على الحجج غير الصحيحة. هذا هو تعميم وظيفة الفصيل ن ! (1 × 2 × 3 × 4 × 5 × .... N ) انخفض بنسبة 1:


وظيفة جاما المحددة ل z

جدولها الزمني غريب للغاية:


رسم بياني لوظيفة غاما Γ (z) في الفاصل الزمني -6 ≤ z ≤ 6

يتم تعريف g (z) دالة gam لجميع القيم المعقدة لـ z أكبر من الصفر. كما تعلم ، فإن الأرقام المعقدة هي فئة من الأرقام ذات جزء وهمي ، مكتوب كـ Re ( z ) + Im ( z ) ، حيث Re ( z ) هو الجزء الحقيقي (العدد الحقيقي العادي) و Im ( z ) هو الجزء التخيلي يشار إليها بالحرف الأول . عادةً ما يتم كتابة الرقم المركب بالصيغة z = it + it ، حيث يمثل sigma part الجزء الحقيقي وهمي. تعد الأعداد المركبة مفيدة لأنها تسمح لعلماء الرياضيات والمهندسين بالتعامل مع المشكلات التي يتعذر الوصول إليها على الأرقام الحقيقية العادية. في شكل معقد ، تقوم الأعداد المركبة بتمديد خط الأرقام أحادي البعد التقليدي إلى مستوى رقم ثنائي الأبعاد ، يسمى المستوى المركب ، حيث يتم وضع الجزء الحقيقي من الرقم المركب على طول المحور x ، والخيال - على المحور y.

بحيث يمكن استخدام دالة am (z)، ، تتم إعادة كتابتها عادةً في النموذج


العلاقة الوظيفية لوظيفة amاما (z)

باستخدام هذه المساواة ، يمكننا الحصول على قيم z تحت الصفر. ومع ذلك ، فإنه لا يعطي قيمًا للأعداد الصحيحة السالبة ، لأنها غير محددة (رسميًا فهي انحطاط أو أعمدة بسيطة).

زيتا وغاما

العلاقة بين وظيفة zeta ووظيفة gamma مقدمة بواسطة التكامل التالي:

---

ريمان زيتا وظيفة

بعد أن تعرفنا على جميع الموارد الأساسية اللازمة ، يمكننا أخيرًا البدء في إقامة صلة بين الأعداد الأولية وفرضية ريمان.

وُلد عالم الرياضيات الألماني برنهارد ريمان في عام 1826 في مدينة Brezlenets. كطالب في جامعة غاوس ، نشر ريمان بحثًا في مجال التحليل الرياضي والهندسة. يُعتقد أنه قدم أكبر مساهمة في مجال الهندسة التفاضلية ، حيث وضع الأساس للغة الهندسة ، والتي استخدمها آينشتاين لاحقًا في النظرية العامة للنسبية.


يعتبر عمله الوحيد في نظرية الأعداد ، وهو مقال نشر عام 1859 من تأليف أوبر أنزهل دير بريمجاهلين أونتر إينر جيبينين جروس ("في الأعداد الأولية أقل من كمية معينة") أهم مقالة في هذا المجال من الرياضيات. في أربع صفحات فقط أوجز:

• تعريف R (s) Riemann zeta - وظيفة zeta بقيم معقدة ؛
• الاستمرارية التحليلية لوظيفة zeta لجميع الأعداد المركبة s ≠ 1 ؛
• تعريف Riemann xi-function ξ (s) - الوظيفة بأكملها المرتبطة بوظيفة Riemann zeta من خلال دالة gamma-function ؛
• - ;
• J(x) ;
• , - .

, , , . .

-

-, . , , .

- ζ(s) s , s = σ + i t.


- n, s = σ + it — , σ t .

, - ζ(s), ( ) 1 (Re(s) > 1). .

( s 1), . , Re(s) > 0.


- , {x} = x — |x|

- Re(s) > 0, s = 1, / . , ( ), s = 1. , L- .

. - ζ(s) , - Γ(z). , , , .

Γ(z) - ϑ(x), , -. , :


s = 0 s = 1

, ψ(s) x, , s.

, , (-1 / s(1 — s) ) ( ), s 1 — s. , s=0 s=1, - ξ(s) :


- ξ(s)

-

/ -, ζ(s)=0, , «» «» - .

Re(s) < 0

— , . -:


-

, . kπ. s = -2n - . s = 2n - Γ(z). ; s = 2n, .


, - s = -2n. , :


- ζ(s) s= -2, -4, -6

Re(s) > 1

ζ(s) s 1, . .

0 ≤ Re(s) ≤ 1

وجدنا الأصفار التافهة من زيتا في نصف سلبي عندما Re (s) <0 ، وأظهر أنه في المنطقة Re (s)> 1 لا يمكن أن يكون هناك أصفار.

ومع ذلك ، فإن المنطقة الواقعة بين هذين المجالين ، والتي تسمى الشريط الحرج ، كانت محور الاهتمام الرئيسي في نظرية الأعداد التحليلية على مدار مئات السنين الماضية.


- ζ(s) -5 < Re < 2, 0 < Im < 60

ζ(s) , — . , s -2 -4. 0 1 ζ(s). - . , , s .


- ζ(s) -5 < Re < 2, 0 < Im < 120

-

لقد حددنا Riemann xi-function) (s) (شكل معادلة وظيفية يتم فيها التخلص من كل الانحطاط ، أي أنه يتم تعريفه لجميع قيم s) كما يلي:


وظيفة Riemann Xi دون انحطاط ،

وهذه الوظيفة ترضي العلاقة


-

, Re( s ) = 1/2, ξ(1) = ξ(0), ξ(2) = ξ(-1), . ( s 1- s ) , - 0 ≤ Re( s ) ≤ 1. , - - . , R(s) = 1/2 - ζ( s ) (Im( s ) = 0) - ξ( s ).

, , - ζ( s ) ( - ) Re(s) 1/2. , .

- ζ(s) Re(s) = 1/2.

, . , , (ζ(s) = 0) 0 ≤ Re(s) ≤ 1, Re(s) = 1/2. , ζ(1/2 + i t).

( ) , - ξ(s) .

Re(s) = 1/2 . Re( s ) ζ( s ) , Im( s ) — . — .


- Re(s) = 1/2.

, .

-. , , . , . , , , , , . , , . (2004) — , , Li( x ) , . , , — , , 34. , , . , « » .

-

استنادًا إلى حقيقة فرضية ريمان ، بدأ ريمان نفسه في دراسة نتائجها. وكتب في مقالته: "... هناك احتمال كبير بأن تكون كل الجذور مادية. بالطبع ، هناك حاجة إلى إثبات صارم هنا ؛ بعد إجراء عدة محاولات غير ناجحة ، سأؤجل بحثه ، لأنه يبدو أنه اختياري للغرض التالي من بحثي . " كان هدفه التالي هو ربط الأصفار في وظيفة زيتا بالأعداد الأولية.

استرجع وظيفة توزيع الأعداد الأولية x ( x ) ، والتي تحسب عدد الأعداد الأولية حتى العدد الحقيقي x . استخدم Riemann π ( x ) لتحديد eigenfunction لتوزيع الأعداد الأولية ، وهي دالة التوزيع الأولية Riemann J ( x ). يتم تعريفها على النحو التالي:


وظيفة التوزيع من ريمان الأولية

أول شيء يمكن أن تلاحظه في هذه الوظيفة هو أنها ليست بلا حدود. بالنسبة لبعض المصطلحات ، ستكون وظيفة التوزيع صفراً ، لأنه لا توجد أعداد أولية ل x <2. أي إذا أخذنا J (100) كمثال ، نحصل على أن الوظيفة تتكون من سبعة أعضاء ، لأن الفصل الثامن سيحتوي على الجذر الثامن 100 ، التي تساوي تقريبًا 1.778279 .. ، أي أن هذا العضو في توزيع الأعداد الأولية يصبح مساويًا للصفر ، ويصبح المجموع يساوي J (100) = 28.5333 ...

مثل وظيفة توزيع الأعداد الأولية ، فإن وظيفة Riemann J ( x ) هي وظيفة خطوة ، تزداد قيمتها على النحو التالي:


القيم المحتملة لوظيفة التوزيع لريمان الأولية

لربط قيمة J ( x ) بعدد الأعداد الأولية حتى x ، بما في ذلك ، سنعود إلى وظيفة توزيع الأعداد الأولية π ( x ) باستخدام عملية تسمى انعكاس Mobius (لن أعرضها هنا). التعبير الناتج سيبدو


دالة التوزيع للأعداد الأولية x (x) وعلاقتها بوظيفة التوزيع للأعداد الأولية لريمان ووظيفة Mobius μ (n)

تذكر أن القيم المحتملة لوظيفة Mobius هي من النموذج


ثلاث قيم محتملة لوظيفة Mobius μ (n)

هذا يعني أنه يمكننا الآن كتابة أي وظيفة توزيع للأعداد الأولية كوظيفة توزيع لأعداد ريمان الأولية ، والتي ستمنحنا


دالة توزيع الأعداد الأولية ، مكتوبة كدالة توزيع الأعداد الأولية لريمان للقيم السبع الأولى من n

لا يزال هذا التعبير الجديد هو المجموع النهائي ، لأن J ( x ) تساوي الصفر لـ x <2 ، حيث لا توجد أعداد أولية أقل من 2.

إذا نظرنا الآن مرة أخرى في المثال مع J (100) ، فسنحصل على المبلغ


دالة توزيع الرقم الأولي لـ x = 100

وهو ، كما نعلم ، عدد الأعداد الأولية أقل من 100.

تحويل صيغة منتج أويلر

ثم استخدم Riemann منتج Euler كنقطة انطلاق وحصل على طريقة للتقدير التحليلي للأعداد الأولية بلغة غير قابلة للحساب من التحليل الزوجي. بدءا من أويلر:


منتج أويلر للأعداد الأولية الخمسة الأولى

أولاً ، أخذ اللوغاريتم على كلا الجانبين ثم إعادة كتابة القواسم بين قوسين ، استمد العلاقة


لوغاريتم صيغة معاد كتابتها لمنتج Euler

ثم ، باستخدام سلسلة تايلور ماكلورين المعروفة ، قام بتوسيع كل مصطلح لوغاريتمي على الجانب الأيمن ، وخلق مبلغ لا حصر له من المبالغ لانهائية ، واحدة لكل مصطلح في سلسلة من الأعداد الأولية.


توسيع تايلور للشروط الأربعة الأولى لوغاريتم منتج Euler

فكر في أحد هؤلاء الأعضاء ، على سبيل المثال:


المصطلح الثاني هو تحلل ماكلورين لمدة 1/3 ^ s

يمثل هذا العضو ، مثله مثل أي عضو آخر في الحساب ، جزءًا من المنطقة أسفل الدالة J ( x ). في شكل متكامل:


النموذج المتكامل للمصطلح الثاني لتوسيع Maclaurin لمدة 1/3 ^ s

بمعنى آخر ، باستخدام منتج Euler ، أظهر Riemann أنه من الممكن تمثيل دالة توزيع تدريجية منفصلة للأعداد الأولية في شكل مبلغ مستمر من التكاملات. في الرسم البياني أدناه ، يظهر مثال المصطلح الذي اتخذناه كجزء من المنطقة أسفل الرسم البياني لوظيفة التوزيع في أعداد Riemann الأولية.


وظيفة توزيع Riemann تستعد J (x) حتى x = 50 ، حيث يتم التمييز بين تكاملين

لذلك ، يمكن التعبير عن كل تعبير بمجموع محدود ، مكونًا سلسلة من الكميات المعكوسة للأعداد الأولية من منتج Euler ، على أنها تكاملات تشكل مجموعًا لا حصر له من التكاملات المقابلة للمنطقة الواقعة تحت وظيفة التوزيع في أعداد Riemann الأولية. بالنسبة للرقم 3 الأساسي ، يكون لهذا المنتج غير المحدود من التكاملات الشكل:


منتج لا حصر له من التكاملات التي تشكل المنطقة الواقعة تحت وظيفة التوزيع للأعداد الأولية التي يمثلها عدد صحيح 3

إذا جمعنا كل هذه المبالغ اللانهائية معًا في جزء واحد متكامل ، فيمكن كتابة الجزء الأساسي تحت وظيفة التوزيع في أعداد Riemann الأولية J ( x ) بشكل بسيط:


لوغاريتم زيتا ، يعبر عنه كسلسلة لانهائية من التكاملات

أو معروف أكثر


المكافئ الحديث لمنتج Euler ، الذي يربط وظيفة زيتا مع وظيفة التوزيع لريمان الأولية

بفضل هذا ، نجح ريمان في الاتصال بلغة التحليل الوظيفي بوظيفة تحليل زيتا بوظيفة التوزيع لـ Riemann primes J ( x ) على قدم المساواة معادلة لمنتج Euler.

هامش الخطأ

بعد الحصول على هذا النموذج التحليلي لمنتج Euler ، بدأ ريمان في صياغة نظريته الخاصة حول توزيع الأعداد الأولية. قدمها بالشكل الصريح التالي:


"نظرية توزيع التمهيدي ريمان" ، التي تتنبأ عدد الأعداد الأولية أقل من كمية معينة س

هذه صيغة ريمان الصريحة. أصبح تحسين النظرية على توزيع الأعداد الأولية ، تقدير أكثر دقة لعدد الأعداد الأولية حتى الرقم x . تتكون الصيغة من أربعة أعضاء:

1. المصطلح الأول أو "الرئيسي" هو اللوغاريتم المتكامل لـ Li ( x ) ، وهو تقريب محسّن لوظيفة توزيع الأعداد الأولية x ( x ) من نظرية التوزيع الأولية. هذا هو المصطلح الأكبر ، وكما رأينا ، فإنه يضخم عدد الأعداد الأولية إلى قيمة معينة من x .
2. المصطلح الثاني ، أو "الدوري" ، هو مجموع اللوغاريتم المتكامل لـ x إلى القدرة ρ ، الملخصة على ρ ، والتي تعتبر أصفارًا غير بديهية لوظيفة Riemann zeta. يتحكم هذا العضو في المبالغة للعضو الأساسي.
3. العضو الثالث هو ثابت -log (2) = -0.6993147 ...
4. المصطلح الرابع والأخير هو المصطلح "متكامل" ، يساوي الصفر لـ x <2 ، لأنه لا توجد أعداد أولية أقل من 2. وقيمة الحد الأقصى هي 2 ، عندما يكون مجموعها حوالي 0.1400101 ....

إن تأثير المصطلحين الأخيرين على قيمة الوظيفة مع زيادة x يصبح ضئيل للغاية. تتم "المساهمة" الرئيسية للأعداد الكبيرة من خلال وظيفة اللوغاريتم المتكامل والمبلغ الدوري. انظر تأثيرها على الرسم البياني:


دالة الخطوة لتوزيع الأعداد الأولية x (x) ، تقريبًا بواسطة الصيغة الواضحة لوظيفة التوزيع لأعداد Riemann الأولية J (x) باستخدام أول 35 أصفار غير بديلة من ρ Riemann zeta-function.

في الرسم البياني أعلاه ، قمت بتقريب دالة التوزيع الأولية x ( x ) باستخدام الصيغة الواضحة لدالة التوزيع الأولية لـ Riemann J ( x ) ولخصت الأصفار الثلاثة والثلاثين الأولى غير الوظيفية من دالة Riemann zeta ζ (s). نرى أن المصطلح الدوري يجعل الوظيفة "يتردد صداها" وتبدأ في الاقتراب من شكل وظيفة توزيع الأعداد الأولية x ( x ).

يوجد أدناه نفس المخطط باستخدام أصفار غير تافهة.


تقارن دالة الخطوة لتوزيع الأعداد الأولية x (x) بالمعادلة الصريحة لتوزيع Riemann primes J (x) باستخدام أول 100 أصفار غير بديلة من ρ Riemann zeta-function.

باستخدام وظيفة Riemann الصريحة ، يمكننا تقريب عدد الأعداد الأولية بدقة تصل إلى عدد معين x . في الواقع ، في عام 1901 ، أثبت نيلز كوتش أن استخدام الأصفار غير التافهة لدالة ريمان زيتا لتصحيح خطأ دالة اللوغاريتم المتكامل يعادل الحد "الأفضل" للخطأ في نظرية توزيع الرقم الأولي.

"... هذه الأصفار تتصرف مثل أعمدة التلغراف ، والطبيعة الخاصة لوظيفة Riemann zeta تأمر تمامًا كيف يجب أن يتعطل السلك (الرسم البياني الخاص به) بينهما ..." ، - Dan Rockmore

خاتمة

بعد وفاة ريمان في عام 1866 ، فقط في سن ال 39 ، لا يزال مقاله الرائد دليلًا في مجال نظرية الأعداد التحليلية ونظرية الأعداد الأولية. حتى يومنا هذا ، تظل فرضية ريمان للأصفار غير التافهة لدالة ريمان زيتا دون حل ، على الرغم من الأبحاث النشطة التي أجراها العديد من علماء الرياضيات العظماء. كل عام ، يتم نشر العديد من النتائج والتخمينات الجديدة ذات الصلة بهذه الفرضية على أمل أن يصبح الدليل حقيقيًا في يوم من الأيام.