أجمل نظرية في الرياضيات: هوية أويلر

بعد مشاهدة محاضرة للأستاذ روبن ويلسون حول هوية أويلر ، تمكنت أخيرًا من فهم سبب كون هوية أويلر هي أجمل المعادلات. لمشاركة الإعجاب بهذا الموضوع ولتقوية معرفتي ، سأوجز الملاحظات التي تم تقديمها أثناء المحاضرة. وهنا يمكنك شراء كتابه الرائع.

ماذا يمكن أن يكون أكثر غموضًا من تفاعل الأرقام المتخيلة مع الأرقام الحقيقية ، مما لا ينتج عنه شيء؟ مثل هذا السؤال طرحه قارئ مجلة فيزياء وورلد في عام 2004 للتأكيد على جمال معادلة أويلر "e in degree i times pi is minus one . "


الشكل 1.0 : هوية أويلر - e في الدرجة i أضعاف pi ، بالإضافة إلى واحد هو صفر.

في وقت سابق ، في عام 1988 ، قام عالم الرياضيات ديفيد ويلز ، الذي كتب مقالات لمجلة الرياضيات الأمريكية The Mathematical Intelligencer ، بتجميع قائمة من 24 نظرية رياضية وأجرى دراسة استقصائية يطلب من قراء مقالته اختيار أجمل النظريات. وبعد فوز معادلة أويلر بهامش واسع ، حصلت على لقب "أجمل معادلة في الرياضيات".


الشكل 2.0 : غلاف مجلة الرياضي الرياضي


الشكل 3.0 : استطلاع ديفيد ويلز من مجلة

يسمى ليونارد يولر عالم الرياضيات الأكثر إنتاجية في التاريخ. واستلهم علماء الرياضيات المعلقة الأخرى من عمله. أطلق ريتشارد فاينمان ، أحد أفضل علماء الفيزياء في العالم ، في محاضراته الشهيرة عن الفيزياء ، على معادلة أويلر "الصيغة الأكثر بروزًا في الرياضيات" . ودعا عالم رياضيات رائع ، مايكل عطية ، هذه الصيغة "... النظير الرياضي لعبارة هاملت" لتكون أو لا تكون "- قصيرة للغاية ، موجزة للغاية ، وفي نفس الوقت عميقة للغاية . "

هناك العديد من الحقائق المثيرة للاهتمام حول معادلة أويلر. على سبيل المثال ، تم العثور عليه في بعض حلقات The Simpsons.


الشكل 4.0 : في هذا المشهد ، يمكن رؤية معادلة أويلر على الكتاب الثاني في أقصى اليمين.


شكل 5.0 : في هذا المشهد ، تُكتب معادلة أويلر على قميص ذو طابع ثانوي.

أيضا ، أصبحت معادلة أويلر نقطة أساسية في القضية الجنائية . في عام 2003 ، رسم طالب الدراسات العليا في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا بيلي كوتريل معادلة أويلر على السيارات الرياضية لأشخاص آخرين. في المحاكمة ، قال: " لقد عرفت نظرية أويلر منذ أن كنت في الخامسة من عمري ، ويجب أن يعرف الجميع ذلك ".


الشكل 6.0 : ختم تم إصداره عام 1983 في ألمانيا للاحتفال بالذكرى المئوية الثانية لوفاة يولر.


الشكل 7.0 : طابع صادر عن سويسرا في عام 1957 تكريما للذكرى ال 250 لإيلر.

لماذا تعتبر معادلة أويلر مهمة جدًا؟

لديك كل الحق في أن تتساءل: لماذا اعتقد بيلي كوتريل أنه يجب على الجميع معرفة معادلة أويلر؟ وكان متأكدا من هذا أنه بدأ في كتابته على أجهزة الآخرين؟ الجواب بسيط: استخدم أويلر الثوابت الأساسية الثلاثة للرياضيات وطبق العمليات الحسابية المتمثلة في الضرب والتواضع لكتابة صيغة جميلة ، مما أسفر عن صفر أو ناقص واحد.

• يرتبط الثابت e بوظائف الطاقة.
• الثابت i ليس حقيقيًا ، ولكن رقم وهمي يساوي الجذر التربيعي ناقص واحد.
• يرتبط الثابت الثابت p (pi) مع الدوائر.

ظهرت هوية أويلر لأول مرة عام 1748 في كتابه Introductio in analysin infinitorum . فيما بعد ، رأى أشخاص آخرون أن هذه الصيغة مرتبطة بالوظائف المثلثية للجيب وجيب التمام ، وهذا الاتصال مذهل ، لأن وظيفة الطاقة تميل إلى ما لا نهاية ، وتتراوح الدوال المثلثية من -1 إلى -1.

e لقوة i ϕ (فاي) = cos ϕ + i * sin ϕ

الشكل 8.0 : الدالة الأسية y = e ^x .


الشكل 8.1 : الرسم البياني هوية أويلر.


الشكل 8.2 : الترددات المنبعثة من دائرة LC.

قد تبدو المعادلات والرسومات الموضحة أعلاه مجردة ، لكنها مهمة بالنسبة لحسابات فيزياء الكم ومعالجة الصور ، وتعتمد في الوقت نفسه على هوية أويلر.

1: رقم الحساب

الرقم 1 (الوحدة) هو أساس نظام حساب التفاضل والتكامل لدينا. معها نبدأ في العد. لكن ما رأيك؟ لحساب ، نستخدم الأرقام من 0 إلى 9 ونظامًا من الأرقام يحدد قيمة الرقم.

على سبيل المثال ، الرقم 323 يعني 3 مئات وعشرات وعشرين وحدة. هنا ، يلعب الرقم 3 دورين مختلفين ، يعتمدان على موقعه.

323 = (3 * 100) + (2 * 10) + (3 * 1)

هناك نظام آخر لحساب التفاضل والتكامل يسمى ثنائي. في هذا النظام ، يتم استخدام الأساس 2 بدلاً من 10. ويستخدم على نطاق واسع في أجهزة الكمبيوتر والبرمجة. على سبيل المثال ، في النظام الثنائي:

1001 = (2 ³ ) + (0 ² ) + (0 ¹ ) + (2 ⁰ ) = [9 في نظام ذو قاعدة 10]

الذي خلق نظام حساب التفاضل والتكامل؟ كيف أول الناس عد الأشياء أو الحيوانات؟

كيف أتت أنظمة حساب التفاضل والتكامل الخاصة بنا؟ ماذا فكرت الحضارات الأولى؟ نحن نعرف بالتأكيد أنهم لم يستخدموا نظام البت لدينا. على سبيل المثال ، قبل 4000 عام ، استخدم المصريون القدماء نظام أرقام برموز مختلفة. ومع ذلك ، قاموا بدمج الأحرف لإنشاء حرف جديد للأرقام.


الشكل 11 : الهيروغليفية المبينة هنا تشكل الرقم 4622 ؛ هذا هو أحد الأرقام المحفورة على الحائط في المعبد في الكرنك (مصر).


شكل 12 : الهيروغليفية عبارة عن صور تمثل كلمات ، وفي هذه الحالة ، أرقام.

في الوقت نفسه ، ولكن في مكان آخر ، اكتشف مجتمع آخر طريقة للعد ، لكن الرموز استخدمت أيضًا في ذلك. بالإضافة إلى ذلك ، كان أساس حساب التفاضل والتكامل 60 ، وليس 10. نستخدم طريقة العد لتحديد الوقت. لذلك ، 60 دقيقة في دقيقة ، و 60 دقيقة في ساعة.


الشكل 13 : الأرقام البابلية من نظام الأرقام السداسي عشري (مع قاعدة 60).

بعد ألف سنة ، اخترع الرومان القدماء الأرقام الرومانية. استخدموا الحروف للإشارة إلى الأرقام. لا يعتبر التدوين الروماني نظامًا بسيطًا ، لأنه تم استخدام أحرف مختلفة في العديد من قيم نظام الأعداد لدينا. هذا هو السبب في أنهم استخدموا المعداد لحساب.


الشكل 14 : المعداد الروماني في نظام الأرقام السداسي عشري (مع قاعدة 16)


الشكل 15 : جدول التحويل من العربية إلى الرومانية

الإغريق القدماء أيضا لم يستخدموا نظام الأرقام. عالم الرياضيات اليوناني يدل على الأرقام بالحروف. كان لديهم رسائل خاصة للأرقام من 100 إلى 900. كثير من الناس في ذلك الوقت اعتبروا الأرقام اليونانية مربكة.


الشكل 15 : جدول الحروف اليونانية القديمة.

في الوقت نفسه ، بدأ علماء الرياضيات الصينيون في استخدام عصي الخيزران الصغيرة لإجراء العمليات الحسابية. تسمى طريقة العد الصينية هذه بنظام أول مكان عشري.


الشكل 16 : الطريقة الصينية لحساب مع أرقام العصا. تستخدم على الأقل من 400 قبل الميلاد. تم استخدام لوحة العد المربع حتى عام 1500 تقريبًا ، عندما تم استبدالها بمعداد.

ومع ذلك ، تم استخدام نظام الحساب الأكثر تفردا من قبل الهنود مايا. كان لدى نظام الأعداد قاعدة 20. للإشارة إلى الأرقام من 1 إلى 19 ، استخدموا النقاط والخطوط. ما هو الفرق بين نظام الأعداد الخاصة بهم؟ لكل رقم استخدموا صور الرأس ورمز صفر منفصل 0.


الشكل 17: نظام أرقام المايا ذو القاعدة 20 ، حيث تشير الأرقام إلى الرؤوس


الشكل 18 : طريقة أخرى لكتابة أرقام المايا.

0: الرقم للإشارة إلى لا شيء

استخدمت بعض الحضارات مسافات ، على سبيل المثال ، لتمييز الرقم 101 عن 11. بعد مرور بعض الوقت ، بدأ رقم خاص في الظهور - صفر. على سبيل المثال ، في كهف في مدينة جواليور الهندية ، وجد علماء الآثار على الحائط الرقم 270 ، حيث كان هناك صفر. يمكن رؤية الاستخدام المسجل الأول للصفر في مكتبة بودليان.


الشكل 19 : تشير الدائرة المنقوشة على جدار المعبد في جواليور إلى الصفر. عمره حوالي 1500 سنة.


شكل 20 : النقاط السوداء في مخطوطة بخشلي تشير إلى الأصفار ؛ هذا هو أقدم مثال مكتوب لاستخدام الأرقام ، فهو يقع في حوالي 1800 سنة.

منذ حوالي 1400 عام ، تمت كتابة قواعد الحساب باستخدام صفر. على سبيل المثال ، إضافة رقم سالب والصفر ينتج نفس العدد السالب. غير مسموح بالقسمة على صفر ، لأنه إذا تم تقسيمها على صفر ، فسوف نحصل على رقم يمكن أن يكون مساويًا لأي عدد نحتاجه ، والذي يجب حظره.

بعد فترة وجيزة ، نشر العديد من الناس كتبًا حول الحساب نشرت استخدام الرموز الهندية العربية للأرقام. فيما يلي تطور الأرقام الهندية العربية. تستخدم معظم الدول نظام الأرقام الهندية العربية ، لكن الدول العربية لا تزال تستخدم الأرقام العربية.


الشكل 21 : يوضح هذا الرسم البياني تطور الأرقام ، الذي يبدأ من أرقام Brahmi وينتهي بالأرقام التي نستخدمها اليوم.


الشكل 22 : نقش كلاسيكي "Arithmetic" من مارجريتا فيلسوفيكا من جريجور ريش ، والذي يصور منافسة بين Boethius ، مبتسماً بعد اكتشاف الأرقام الهندية العربية والحسابات المكتوبة ، وفيثاغورس العابس ، لا يزال يحاول استخدام لوحة الأرقام.

Pi (π): الرقم الأكثر عقلانية الأكثر شهرة

Pi هو الرقم غير المنطقي الأكثر شهرة المعروف لنا. يمكن العثور على Pi بطريقتين: من خلال حساب نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ، أو نسبة مساحة الدائرة إلى مربع نصف قطرها. أثبتت إقليدس أن هذه العلاقات ثابتة لجميع الدوائر ، حتى بالنسبة للقمر ، بيني ، الإطارات ، إلخ.

π = الدائرة / القطر أو π = مساحة الدائرة / نصف القطر ²

الشكل 22 : العلاقة المتحركة بين الدائرة والقطر بالنسبة لـ pi.

بما أن الأرقام غير المنطقية مثل pi لا حصر لها وليس لها تكرار ، فلن ننتهي من كتابة pi. إنه يستمر إلى الأبد. هناك أشخاص يتذكرون العديد من المنازل العشرية pi (السجل الحالي هو 70،000 رقم! المصدر: موسوعة غينيس للأرقام القياسية ).


الشكل 23 : بيانات المسح لـ 941 مستجيبًا لتحديد النسبة المئوية للأشخاص الذين يمكنهم تذكر أحرف pi بعد العلامة العشرية.


الشكل 24 : يتم تسجيل مئات عمليات تصريف pi على جدار محطة مترو Karlsplatz في فيينا.

في الوقت الحالي ، تمكنت أجهزة الكمبيوتر من حساب إجمالي 2.7 تريليون بت. قد يبدو مثل الكثير ، ولكن في الواقع هذا الطريق لا نهاية لها.

كما قلت أعلاه ، فإن عدد بي وجد إقليدس. لكن ماذا فعل الناس قبل إقليدس عندما احتاجوا للعثور على منطقة دائرة؟ اكتشف المؤرخون لوحًا من الطين البابلي ، حيث سجلت نسبة محيط المسدس إلى قطر الدائرة الموصوفة حوله. بعد العمليات الحسابية ، تحول الرقم الناتج إلى 3.125. انها قريبة جدا من بي.


الشكل 24 : قرص الطين البابلي مع نسبة محيط السداسي إلى طول الدائرة المقيدة.


الرقم 25 : Numberwarrior

اقترب المصريون القدماء أيضًا من معنى pi. اكتشف المؤرخون وثيقة توضح كيف وجد المصريون القدماء الرقم بي. عندما ترجم المؤرخون المستند ، وجدوا المهمة التالية:

على سبيل المثال ، للعثور على مساحة حقل يبلغ قطره 9 قبعة (قبعة واحدة = 52.35 مترًا) ، يلزم إجراء الحساب التالي:

اطرح 1/9 من القطر ، أي 1. الباقي هو 8. اضربه في 8 ، مما يعطينا 64. لذلك ، ستكون المنطقة 64 setjat (وحدة المساحة).

بمعنى آخر ، القطر هو 2r ، و 1/9 من نصف القطر هو (1/9 • 2r). ثم إذا طرحنا هذا من القطر الأولي ، فسنحصل على 2r - (1/9 • 2r) = 8/9 (2r). ثم تبلغ مساحة الدائرة 256/81 متر مربع. وهذا هو ، بي ما يقرب من 3.16. اكتشفوا قيمة pi هذه منذ حوالي 4000 عام.

الشكل 26 : ورق البردي الرياضي الخاص بـ Achmes .

ومع ذلك ، وجد علماء الرياضيات اليونانيون طريقة أفضل لحساب pi. على سبيل المثال ، يفضل أرخميدس العمل مع محيط. بدأ في رسم دوائر تصف المضلعات بأحجام مختلفة. عندما رسم السداسي ، قام برسم دائرة يبلغ قطرها 1. ثم رأى أن كل جانب من جوانب السداسي هو 1/2 ومحيط السداسي هو 1/2 × 6 = 3. ثم زاد عدد جوانب المضلع حتى بدا وكأنه دائرة . من خلال العمل مع مضلع 96 جانب وتطبيق نفس الطريقة ، حصل على رقمين عشريين بعد النقطة العشرية: 3 و 10/71 = 3.14084. بعد عدة سنوات ، استخدم عالم الرياضيات الصيني ليو هو مضلعًا من جانب 3072 وحصل على الرقم 3.14159 (5 أرقام عشرية صالحة للبا بعد النقطة العشرية). بعد ذلك ، قام عالم رياضيات صيني آخر Zu Chunzhi بعمل أكثر إثارة للإعجاب. لقد عمل مع مضلع ذو جانب 24000 وحصل على 3.1415926 - سبعة أرقام عشرية صالحة pi بعد العلامة العشرية.

بعد ألف عام ، عمل عالم الرياضيات الألماني لودولف زيلين مع مضلعين على جانب ⁶² وتلقى 35 رقمًا عشريًا. تم نحت هذا الرقم ، ويدعى ليودولفوف ، على قبره.




في عام 1706 ، استخدم الإنجليزي جون ماشين ، الذي كان منذ فترة طويلة أستاذاً لعلم الفلك ، صيغة الجمع لإثبات أن pi تساوي


لا تقلق بشأن مصدر هذه الصيغة ، بدأ Macin في استخدامها باستمرار ، ثم قام بتدوين السلسلة الموضحة أدناه. كانت هذه أكبر خطوة في ذلك الوقت في عدد الأرقام pi.


الشكل 29 : صيغة ماشين لبي

ومع ذلك ، ظهر أول ذكر ل pi في عام 1706. كتب مدرس الرياضيات وليام جونز كتابًا وأولًا بي المقترح لقياس الدوائر. حتى بي ظهرت لأول مرة في الكتب!




الشكل 30 : Juliabloggers

في عام 1873 ، استخدم وليام شانكس صيغة جون ماشين وتلقى 707 رقمًا عشريًا. هذه الأرقام مكتوبة في غرفة قصر الاكتشافات في باريس. ومع ذلك ، وجد علماء الرياضيات لاحقًا أن 527 رقمًا فقط كانت صحيحة.


الشكل 31 : غرفة بي

من ناحية أخرى ، اكتشف بوفون طريقة أكثر إثارة للاهتمام للعثور على pi. استندت تجربته إلى إبر مبعثرة عشوائيًا لتقييم pi. لقد رسم عدة خطوط متوازية على السبورة على مسافة D وأخذ إبرًا الطول L. ثم بدأ عشوائيًا في إلقاء الإبر على السبورة وكتب نسبة الإبر التي تعبر الخط.


الشكل 32.0 : العلوم الجمعة

وبعد ذلك ، ألقى عالم رياضيات آخر يدعى لازاريني الإبرة 3408 مرة ، وحصل على ستة أرقام عشرية pi بنسبة 355/113. ومع ذلك ، إذا لم تعبر إبرة واحدة عن الخط ، فسيحصل على رقمين فقط.


الشكل 32.1 : رمي 1000 إبر لتقدير pi التقريبي

ه: تاريخ النمو الأسي

ه هو عدد آخر غير منطقي مشهور. الجزء الكسري e غير محدود ، مثل pi. نستخدم الرقم e لحساب نمو الطاقة (الأسي). بمعنى آخر ، نستخدم e عندما نرى نموًا سريعًا أو انخفاضًا سريعًا.

واحد من أعظم ، وربما أفضل عالم الرياضيات ، اكتشف ليونارد يولر الرقم ه في عام 1736 وذكر لأول مرة هذا الرقم الخاص في كتابه ميكانيكا .



الشكل 33 : المصدر

لفهم النمو الهائل ، يمكننا استخدام قصة مخترع لعبة الشطرنج. عندما أتى بهذه اللعبة ، أظهرها لحاكم الشمال. لقد أحب الملك اللعبة ووعد بأنه سوف يمنح المؤلف أي مكافأة. ثم طلب المخترع شيئًا بسيطًا جدًا: 2 ⁰ حبة لكل خلية أولى من رقعة الشطرنج و 2 ¹ حبة لكل خلية ثانية من اللوحة و 2 ² حبة في الثالثة وما إلى ذلك. في كل مرة ، تضاعفت كمية الحبوب. اعتقد ملك الشمال أن الطلب سيكون سهلاً ، لكنه كان مخطئًا ، لأنه سيكون من الضروري وضع 2 ⁶³ حبة في الخلية الأخيرة ، وهي 9 223 372 036 854 775 808 . هذا هو النمو الهائل. لقد بدأت في 1 ، تضاعفت باستمرار ، وبعد 64 خطوة نمت لتصبح عددًا كبيرًا!

إذا اختار مخترع لعبة الشطرنج معادلة خطية ، على سبيل المثال ، 2n ، فسيحصل على 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، ... 128 ... لذلك ، على المدى الطويل ، غالباً ما يتجاوز النمو الأسي كثير الحدود.

بالمناسبة ، 9،223،372،036،854،775،808-1 هي القيمة القصوى لعدد صحيح موقّع 64 بت .

الشكل 34 : المصدر: ويكيبيديا

تم اكتشاف الرقم e من قبل أويلر. ومع ذلك ، عمل Jacob Bernoulli أيضًا مع الرقم e عندما قام بحساب الفائدة المركبة من أجل كسب المزيد من المال. إذا استثمرت 100 دولار بنسبة 10٪ من الدخل ، كيف سينمو هذا المبلغ؟ أولاً ، يعتمد ذلك على عدد المرات التي يحسب فيها البنك الفائدة. على سبيل المثال ، إذا قام بحسابه مرة واحدة ، فسنحصل على 110 دولارات في نهاية العام. إذا غيرنا عقولنا واهتمنا كل 6 أشهر ، فسنحصل في هذه الحالة على أكثر من 110 دولارات. الحقيقة هي أن النسبة المئوية المستلمة خلال الستة أشهر الأولى ستحصل أيضًا على النسبة المئوية. المبلغ الإجمالي يساوي 110.25 دولار. يمكنك تخمين أنه يمكننا الحصول على المزيد من المال إذا أخذنا المال كل ربع سنة. وإذا جعلنا الفترة الزمنية أقصر ، فستستمر المبالغ النهائية في النمو. مثل هذه الفائدة المركبة غير المحدودة ستجعلنا أغنياء! ومع ذلك ، يميل إجمالي إيراداتنا إلى القيمة المحدودة المرتبطة بـ e .

لم يتصل برنولي بالرقم 2.71828 بالاسم هـ . عندما عمل Euler مع 2.71828 ، رفع الوظيفة الأسية e إلى قوة x . أوجز اكتشافاته في كتاب تحليل اللانهائي .

في عام 1798 ، استخدم توماس مالتوس وظيفة أسية في مقاله عن نقص التغذية في المستقبل. قام بإنشاء رسم بياني خطي يوضح إنتاج الغذاء ورسم بياني أسي يوضح سكان العالم. وخلص مالتوس إلى أن النمو الأسي سينتصر على المدى الطويل ، وأن العالم يواجه نقصًا حادًا في الغذاء. كانت هذه الظاهرة تسمى "الكارثة المالتوسية". كما استخدم نيوتن هذا النموذج لإظهار كيف يبرد كوب من الشاي.


الشكل 35 : قانون نيوتن ريشمان


الشكل 36 : الكارثة المالتوسية

رقم خيالي: i ، الجذر التربيعي -1

لفترة طويلة ، كان لدى علماء الرياضيات أعداد عادية كافية لحل مشاكلهم. ومع ذلك ، في مرحلة ما لمزيد من التطوير ، كانوا بحاجة لاكتشاف شيء جديد وغامض.على سبيل المثال ، حاول عالم الرياضيات الإيطالي كاردانو تقسيم الرقم 10 إلى جزأين ، وكان ناتجها يساوي 40. لحل هذه المشكلة ، كتب المعادلة: x (10-x) = 40. عندما حل هذه المعادلة التربيعية ، حصل على حلين: 5 زائد √-15 و 5 ناقص √-15 ، والتي في ذلك الوقت لم يكن لها أي معنى. كانت هذه النتيجة بلا معنى ، لأنه من خلال تعريف الجذر التربيعي كان بحاجة إلى إيجاد عدد يكون مربعه سالباً. ومع ذلك ، فإن كل من الأرقام الموجبة والسالبة المربعة لها قيمة موجبة. ومهما كان ، فقد وجد رقمه الفريد. ومع ذلك ، كان أويلر أول عالم رياضيات يطلق على √-1 (الجذر التربيعي لطرح واحد) الرقم التخيلي i .

أعطى ليبنيز مثل هذا التعليق حول الرقم التخيلي √-1:

الأعداد المركبة هي ملجأ جميل ورائع للروح الإلهية ، وهي برمائية تقريبًا من كونها بلا شيء.

يمكننا إضافة وطرح وضرب وتقسيم الأرقام وهمية. الجمع والطرح والضرب هي بسيطة ، والانقسام هو أكثر تعقيدا قليلا. يتم طي الأجزاء الحقيقية والخيالية بشكل منفصل. في حالة الضرب ، i ² تساوي -1.

بعد Euler ، قدم عالم الرياضيات Caspar Wessel أرقامًا وهمية وهندسيًا وصمم طائرة معقدة. اليوم نحن نمثل كل رقم مركب a + bi كنقطة مع الإحداثيات (أ ، ب).



الشكلان 37 و 38 : الأعداد المركبة

في العصر الفيكتوري ، كان الكثيرون متشككين في أعداد وهمية. ومع ذلك ، فقد أنهى عالم الرياضيات والفلك الأيرلندي وليام روان هاميلتون هذه الشكوك من خلال تحديد الأعداد المركبة كما هي مطبقة على الأرباع .

أجمل المعادلة: هوية أويلر

تربط هوية أويلر بين الدوال الأسية ووظائف الجيب وجيب التمام التي تتراوح قيمها من واحد إلى واحد. للعثور على اتصال مع الدوال المثلثية ، يمكننا تمثيلها في شكل سلسلة لانهائية ، صحيح لجميع القيم



الشكل 39 : اكتشاف هوية أويلر


الشكل 40 : هوية

أويلر لم تسجل أويلر هذه الهوية أبدًا بشكل صريح ، ولا نعرف من قام بتسجيلها أولاً. ومع ذلك ، فإننا نربطها مع اسم أويلر في الاحترام لهذا الرائد الكبير في الرياضيات.