تعميم مشكلة بروكار

القصة

أشار هيلبرت في عام 1900 في المؤتمر الدولي الثاني لعلماء الرياضيات في باريس إلى الأهمية العملية لنظرية الأعداد. غالبًا ما أدى حل المشكلات المجردة إلى ظهور جهاز رياضي جديد. ومن الأمثلة الواضحة على ذلك نظرية The Great Farm Theorem ، التي تم خلالها التحقيق في نهاية القرن العشرين ، في البحث عن الوظائف المورومورفيكية التي يستخدمها مهندسو التصميم الحديثون في مصانع السيارات والطائرات ، فضلاً عن متخصصي تكنولوجيا المعلومات في إطار المحاكاة. إن مشاكل "الأرقام الجميلة" - التوائم البسيطة والأرقام المثالية ، والتي كانت تعتبر عديمة الجدوى تقريبًا في اليونان القديمة ، توفر الآن تشفيرًا عصريًا مع خوارزميات جيل رئيسية مستقرة.

في عام 1913 ، شاع Ramanujan المعادلة إلى أجل غير مسمى:

$$

$$n! + 1 = m ^ 2 (1)$$

سابقا ، ظهرت في أعمال هنري بروكارد. وفقًا للمؤرخين ، بدأ اثنان من علماء الرياضيات في دراسة هذه المعادلة بشكل مستقل عن بعضهما البعض. من الواضح ، ينمو العامل بشكل أسرع من المربع ، لذلك يمكن الحصول على الحلول الأولى بسرعة عن طريق تعداد قيم n. نحصل على:

$$

$$4! = 5 ^ 2-1$$

$$

$$

$$7! = 71 ^ 2-1$$

في عام 2000 ، تم التحقق من القيم بواسطة تعداد الكمبيوتر $$$ن$إلى $$$10 ^ 9$، ولا يمكن إيجاد حلول جديدة. تقترح المقالة مقاربي لفحص حالات معينة من مشكلة Brokar ، كما تصوغ نسخة معممة للمشكلة الرياضية ، والتي سيسمح حلها ، بصرف النظر عن فرضية ABC ، ​​بحل معادلات النموذج:

$$

$$n! = P (x)$$

المتطلبات الأساسية

الحساب المعياري هو أداة قوية لإجراء تقييم أولي لتعقيد المشكلة وتخصيص الحالات الخاصة. على سبيل المثال ، من السهل إظهار ذلك حتى $$$م دولا$مشكلة Brokar ليس لها حل ، حيث أن الفصائل لأي رقم طبيعي ، باستثناء الوحدة ، متساوية. شرط أساسي لزوج من القيم $$$(ن ، م)$في معادلة Brokard هي قسمة العامل المضروب بالتعبير:

$$

$$م ^ 2-1 دولا$$

العامل ، بحكم التعريف ، هو نتاج أعداد طبيعية متتالية. باستخدام خصائص السلسلة الطبيعية ، يمكن للمرء تحديد درجة رقم أولي أو آخر في التجهيز الكنسي للفصيل. على سبيل المثال $$ يحتوي على 16 عوامل متتالية. كل عامل ثان مقسوم على 2 ، كل 4 مقسوم على 4 ، كل 8 هو 8 ، وكل 16 هو 16. وبالتالي ، فإن التحلل $$ من العوامل التي تحتوي على 2 إلى قوة $$$1 + 2 + 4 + 8 = 15$. من هنا إذا كان هناك زوج $$$(16 ، م) دولا$كحل لمشكلة بروكار ، إذن $$$م ^ 2 دولا$يجب أن تعطي ما تبقى من 1 عند القسمة على أي قوة من اثنين حتى 15 ، شاملة. نحن صياغة الشروط اللازمة ل $$$م دولا$عند حل المعادلة 1:

سمح $$$n!$لا يتجاوز حد ما $$$ك$عدد أولي $$$ع$وهناك عدد $$$م دولا$الذي الزوج $$$(ن ، م)$هو الحل للمعادلة 1. ثم $$$م ^ 2-1 دولا$يجب أن تقسم إلى جميع الدرجات $$$ع$إلى $$$F (k)$حيث $$$F$- وظيفة حساب درجة $$$ع$في التحلل $$$n!$. (2)

P الملكية

افترض أن هناك خوارزمية A تقوم بفحص الشرط الضروري 2 لبعض الأعداد الأولية $$$ع$. نسمي هذه الخوارزمية اختبار P. دع هناك أيضا طبيعي $$$ن$تلبية الشرط: $$$(ن -1)! <m ^ 2 <n!$
ثم نقول هذا العدد $$$م دولا$تمتلك P- الملكية.

النظر في عملية 2-اختبار التعسفي $$$م دولا$بين $$ و $$ . إلى $$$م ^ 2 دولا$ستكون العبارات التالية صحيحة:

1. $$$م ^ 2 دولا$يعطي ما تبقى من 1 عند القسمة على جميع القوى من اثنين إلى $$$2 ^ {1023-10 = 1013}$شامل.
2. $$$م ^ 2-1 دولا$لا مقسوما على $$$2 ^ {1024-10 = 1014}$.

في الممارسة العملية ، فإن معظم الأرقام المربعة بين $$ و $$ فشل اختبار 2 في التكرار 200 الأولى. إذا كان الرقم $$$م ^ 2 دولا$من الفاصل الزمني المحدد و $$$م دولا$تمتلك خاصية 2 ثم في النظام الثنائي $$$م ^ 2 دولا$ينتهي في $$ ، حيث الأصفار هي بالضبط 1012. ثم ، للتحقق من الحالة 2 ، يمكننا حساب $$$م ^ 2 دولا$حتى آخر 8 أرقام وتحقق من آخر 8 أرقام. إذا كان هناك تسلسل آخر غير $$ ثم فشل اختبار 2. حساب بالتتابع كل قيمة تم اختبارها بدقة 8 ، 16 ، 24 ، إلخ. الأحرف ، يمكنك التحقق بسرعة الشرط 2 لمجموعة كبيرة من القيم باستخدام الحد الأدنى من موارد النظام. يتم تبرير أحجام السلاسل التي تكون مضاعفات 8 بواسطة بنية بايت RAM في أجهزة الكمبيوتر الحديثة: سيتم استخدام بايت كامل لتخزين سلاسل أصغر. بالنسبة للسلاسل الكبيرة التي لا تتضاعف 8 ، سيكون هناك أيضًا أجزاء غير مستخدمة من الذاكرة.

فليكن من الضروري التحقق من البيان:
بين $$$ن$من قطعة $$$[k_1، k_2]$لا توجد حلول للمعادلة 1 لأي $$$م دولا$حيث $$$n ، m ، k_1 ، k_2$- طبيعي.

باستخدام صيغة ستيرلينغ ، نحدد الفجوات $$$(a_1، b_1)، (a_2، b_2)، ..، (a_l، b_l)$حيث $$$l = k_2-k_1 + 1$. بالنسبة للفجوة i:

$$

$$a_i = {(s / e)} ^ s e ^ {1 / {12s + 1}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$$

$$

$$b_i = {(s / e)} ^ s e ^ {1 / {12s}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$$

$$

$$s = k_1 + i-1$$

إذن البيان صحيح:
إذا كان من بين الأرقام المربعة من $$$(a_1، b_1)، (a_2، b_2)، ..، (a_l، b_l)$لم ينجح أي من الاختبارين ، ثم المعادلة 1 ليس لها حل على الفاصل الزمني $$$[k_1، k_2]$. العكس ليس صحيحا.

تعميم مشكلة Brokar في ظل الظروف اللازمة

بشكل عام ، يوجد رقم مربع في خاصية p له قاعدة في حساب التفاضل والتكامل $$$ع$عرض: $$ ، مع عدد الأصفار $$$F (k) -1 دولا$. ثم يمكننا تعميم مشكلة الملكية P:
اسمحوا وصف وظيفتين: $$$F$و $$$G$إرجاع القيم الطبيعية لأي حجة طبيعية ، و $$$G$لا يمكن تمثيلها كعدد متعدد الحدود مع معاملات عدد صحيح. ثم من الضروري صياغة معيار لأي من الأرقام $$$م دولا$الكذب بين $$$G (ر)$و $$$G (t + 1)$وله في التدوين في حساب التفاضل والتكامل مع قاعدة ع الشكل:

$$

يمكنك فقط اختيار تلك التي لها جذر طبيعي من الدرجة nth ، حيث يتم إعطاء عدد الأصفار في السجل 3 بواسطة الدالة $$$F$اعتمادا على $$$t$. في القيام بذلك ، $$$k_1$يمكن أن تكون معلمة ، قيمة تعسفية أو ثابتة ، و $$$k_2 دولا$- دائما ثابت. (4)

على سبيل المثال ، يمكنك طرح مشكلة استخراج الجذر التكعيبي من الأرقام $$$ن$وجود في تدوين الست عشري $$ حيث $$$ك$أي رقم سداسي عشري أكبر من 1 ، وعدد الأصفار خاصة $$$ن$يساوي أكبر $$$t$التي يحملها عدم المساواة:

$$

$$2 ^ t + 3t-1 <n$$

كان أساس كتابة المقالة عبارة عن العلاقة المباشرة بين عدد الأصفار في السجل 3 في حساب تعسفي لحساب قيمة الجانب الأيسر من المعادلة 1 عند استبدال الجذور الموجودة بالفعل والرقم $$$ن$. إذا كانت المعادلة 1 لها 3 جذور ، فيمكن إثبات هذه الحقيقة عن طريق حل الحالة الخاصة المقابلة للمشكلة 4. العكس صحيح.

استنتاج

عند الحديث عن الأهمية العملية للمشكلات المجردة من نظرية الأعداد ، كعامل يحفز تطوير الجهاز الرياضي ، تجدر الإشارة إلى معادلة مثيرة للاهتمام في الأعداد الصحيحة ، والتي يكون حلها مستحيلاً في إطار التعميم أعلاه:

$$

$$11 + ({2 ^ {n ^ 2-1} -2 ^ {3n-3}}) / (2 ^ {n-1} -1) \ equiv 0 \ pmod {2 ^ {m + 1} -1 } (5)$$

تتبع هذه المعادلة بشكل منطقي محاولات تقريب أرقام Luke بالطريقة غير المتكررة. سيساعد حل مشكلة 5 في اكتشاف خصائص جديدة لأرقام مرسين وصياغة الشروط اللازمة لتسريع عمل برامج البحث الموزعة عن الأعداد الأولية الكبيرة بناءً على اختبار Luc-Lemer.

قياسًا على مشكلة Goldbach الضعيفة ، يُفترض أن الاختبارات P ستساعد في الحصول على حد أدنى كبير للجذور الكاملة للمعادلة 1 ، بخلاف $$$(4 ، 5) ، (5 ، 11)$و $$ ، ودراسة المشكلة 3 ستؤدي إلى إثبات عدم قابلية حل المعادلة 1 في الأعداد الصحيحة لقيم n كبيرة بما فيه الكفاية.

مصادر

مشاكل هيلبرت
تحدي بروكار