🤲 🐚 👷 عالم ثلاثي الأبعاد ثلاثي الأبعاد. تتبع الأشعة الجيوديسية في عالم مغلق بهندسة كروية 🤦🏾 ♑️ 🙆🏻

هل ترغب في رؤية العالم من خلال عيون مخلوق يعيش في عالم مضغوط مغلق مع هندسة كروية؟ رؤية العالم دون ليلة؟ عالم حيث القطب الآخر من الكوكب مرئيا في السماء؟ عالم لا يوجد فيه اختلاف بين كسوف الشمس والقمر؟ مرحبا بكم في القط!

مقدمة. عالم مغلق ثنائي الأبعاد

من أجل فهم أفضل لما سيحدث بعد ذلك ، تخيل أنك كائن ثنائي الأبعاد وتعيش في عالم ثنائي الأبعاد يمثل كرة. كيف ستتصور عالمك؟ لنبدأ بتحديد موقف الهيئات. يمكنك إعلان النقطة التي تكون عندها "مركز الكون" ، واختيار متجهين متعامدين للوحدة واستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية الناتج في محيط "مركز الكون".

ومع ذلك ، كلما ابتعدت عن "مركز الكون" ستبدأ الأشياء الغريبة في الحدوث. ما تتصور أنه خطوط عمودية ، بمسافة معينة من "مركز الكون" يتحول إلى ما تراه كخطوط متوازية ...

... وخطوط متوازية تتقاطع.

السبب بسيط - ما تراه كخط مستقيم هو في الواقع دائرة كبيرة - الخط الجيوديسي للكرة. لذلك ، فإن نظام الإحداثيات الديكارتية غير مناسب لتحديد وضع الأجسام في عالمك - عندما تبتعد عن "مركز الكون" ، فإنها تفقد معناها.

سيكون عليك اختيار نظام آخر أكثر ملاءمة للاستخدام في عالمك ، نظام تنسيق - قطبي . نظام الإحداثيات هذا طبيعي ومتسق. في الواقع - تظل الزاوية بين المحور القطبي والاتجاه نحو الجسم ثابتة بغض النظر عن المسافة إلى الجسم.

لتكون قادرًا على تحديد موقع الأجسام ، يمكننا استكشاف عالمك عقليا ووصف بعض التأثيرات التي تظهر أثناء الابتعاد عن "مركز الكون" وبسبب حقيقة أن عالمك هو مجال.

المنظور العكسي . عادة ، عندما يتحرك الجسم بعيدًا عن "مركز الكون" ، يتناقص حجمه الزاوي . ومع ذلك ، على مسافة تزيد عن ربع طول الخط الجيوديسي من "مركز الكون" مع إزالة الجسم ، سيزداد حجمه الزاوي. يرجع هذا التأثير إلى زيادة المسافة بين الخطوط الجيوديسية للكرة إلى خط الاستواء ، وبعد انخفاض خط الاستواء. سيكون للجسم البعيد في نفس المسافة من خط الاستواء نفس الحجم الزاوي ، بغض النظر عن الجانب الذي يقع عليه من خط الاستواء. وسيكون هذا الحجم الزاوي أكبر من الحجم الزاوي للجسم عند خط الاستواء.

تمتد الجسم في جميع أنحاء السماء. هنا يتم استخدام المصطلح "سماء كاملة" بالمعنى - مجال الرؤية الكامل لكائن ثنائي الأبعاد (العلوي والسفلي أو الأمامي والخلفي). إذا كان الجسم بالقرب من النقطة المقابلة لـ "مركز الكون" ، فأينما تنظر ، فستواجه نظراتك بهذا الجسم. لن يكون للجسم نقطة لا يمكن رؤيتها - كل نقطة لها مكان في السماء. هذه هي الحالة القصوى لتأثير المنظور العكسي.

تحويل متماثل الهاتف. إذا كان الجسم على مسافة تزيد عن نصف طول الخط الجيوديسي من "مركز الكون" ، فسترى هذا الجسم متحولًا بشكل متناظر - سيغير الجانبان الأيمن والأيسر من الجسم أماكنهما. عادةً ما تقع الأشعة اليمنى واليسرى المنبعثة من "مركز الكون" على الجانبين الأيسر والأيمن من الجسم. ومع ذلك ، على مسافة نصف طول الخط الجيوديسي من "مركز الكون" ، تتقاطع الأشعة وبعد سقوط العبور في الجانبين المقابلين للجسم.

الثانية إلى الأمام وعكس وجهات النظر. ويلاحظ هذا التأثير أيضًا إذا كان الجسم على مسافة أكبر من نصف طول الخط الجيوديسي من "مركز الكون". على مسافات تتراوح من نصف إلى ثلاثة أرباع طول الخط الجيوديسي من "مركز الكون" ، مع إزالة الجسم ، سينخفض حجمه الزاوي مرة أخرى (المنظور المباشر). على مسافات من ثلاثة أرباع إلى طول الخط الجيوديسي بالكامل من "مركز الكون" ، حيث يتحرك الجسم بعيدًا ، سيزداد حجمه الزاوي مرة أخرى (منظور عكسي). يرتبط هذا التأثير ، وكذلك تأثير المنظور العكسي ، بتغيير في المسافة بين الخطوط الجيوديسية للكرة - في طريق العودة إلى "مركز الكون" ، والمسافة بين الخطوط الجيوديسية للكرة إلى خط الاستواء تزداد ، وتنخفض بعد خط الاستواء.

نظرائهم. سيكون لكل جسم في العالم الخاص بك مزدوج - إذا رأيت جسمًا أمامك ، فعندها يمكنك الدوران حول الجانب الآخر (مزدوج). شعاع ينبعث على طول مسار طويل يدور حول عالمك ويدخل الجزء الخلفي من الجسم. تجدر الإشارة إلى أن سطح المضاعفة سيكون ذلك الجزء من السطح الذي لا تراه أمامك ، وسيتم تحويله بشكل متماثل. هنا ، يستخدم مصطلح السطح في المعنى - حدود جسم ثنائي الأبعاد ينظر إليه من خلال كائن ثنائي الأبعاد - كما هو مطبق على دائرة ، إنه في الواقع قوس دائري ينظر إليه على أنه كائن ثنائي الأبعاد ، ومع ذلك ، من أجل الوضوح ، سوف نسلط الضوء ليس فقط على القوس ، ولكن أيضًا جزء من الدائرة الكامنة وراءه.

مرور الجسم من خلال نقطة مقابل "مركز الكون". نظرًا لأن تأثير مد الجسم إلى السماء بالكامل أمر غير معتاد للغاية ، فسننظر فيه بمزيد من التفصيل. في الأشكال: جوار نقطة مقابل "مركز الكون".

وينظر إلى أن:

أولاً ، يزداد سطح الجسم أمامك (باللون الأزرق) ، ويقل السطح الذي خلفك (باللون الأزرق) ؛ في نفس الوقت ، يكون لكل من السطحين نفس الأبعاد الزاوية - أي أن سطح الجسم الموجود أمامك قد تقلص (الجزء الأكبر من السطح يقع داخل كل درجة) ، ويتم تمديد الجزء الموجود خلفك (كل الجزء الأصغر من السطح يقع داخل كل درجة)
عندما يلمس الجسم نقطة مقابل "مركز الكون" ، يكون الحجم الزاوي لكلا السطحين 180 درجة - يحتل نصف السماء (أمامك) كامل سطح الجسم ، ويشغل النصف الثاني من السماء (خلفك) نقطة تقع على ظهر الجسم
بينما يتم محاذاة وسط الجسم مع النقطة المقابلة لـ "مركز الكون" ، فإن عملية السحب العكسي والشد
عندما يقع الجسم عند نقطة مقابل "مركز الكون" ، فإن سطحه غير مشوه ويمتد فوق السماء بأكملها.
جسم منزلق من نقطة مقابل "مركز الكون" يبدو مشابهاً

الأفق المزدوج. تخيل أنك تعيش على كوكب ثنائي الأبعاد. نظرًا لأسفل ، ترى سطح جانبك من الكوكب ، وتنظر إلى أعلى ، ترى ... سطح الجزء الخلفي من الكوكب. علاوة على ذلك ، سيتم تشديده للغاية - يمكنك رؤية كل من سطح الجزء الخلفي من الكوكب وجزء سطح جانبك من الكوكب خلف ظهرك خلف الأفق - يمكنك رؤية كل هذا فوق رأسك. سيتم تقديم السماء على شكل شريط ضيق كخيط ، محصور من أعلى وأسفل من خلال آفاق جانبك والجانب الخلفي من الكوكب. هذا هو مزيج من تأثير تمديد الجسم على السماء بأكملها وتأثير مزدوج. بشكل عام ، في العالم الذي تعيشون فيه ، إذا كان هناك شيء يزعج نظرك ، فبإمكانك أن ترى أمامك مؤخرًا ... مثل هذا مؤخرًا صحيًا ، في جميع تفاصيله ... ممتدًا إلى السماء بأكملها)

عالم بلا ليلة. تخيل أن الكوكب ثنائي الأبعاد الذي تعيش عليه يدور حول نجم ثنائي الأبعاد. يقع الضوء المنبعث من نجم على طريق قصير على الجانب النهاري من الكوكب. في الوقت نفسه ، فإن الضوء المنبعث من نجم على طول طريق طويل يدور حول عالمك ويسقط على الجانب الليلي من الكوكب. الليل لم يعد موجودا. كل ما تبقى هو غروب الشمس وشروق الشمس ، والذي سيحدث في وقت واحد - عندما يبدأ جانب النجم الذي يواجهك في تجاوز الأفق ، يبدأ الجانب الخلفي للنجم في الارتفاع خلفك من وراء الأفق. بالطبع ، يمكنك تسليط الضوء على غروب الشمس الحقيقي والفجر على طول المسار الذي مر به الضوء ، ولكن سيكون من المستحيل تقريبًا تمييزه عن الزوجي.

هناك أيضا حالة متطرفة. إذا كان الكوكب سيئ الحظ وكان عند نقطة النجم المعاكس ، فسيتم تمديد النجم إلى السماء بأكملها ، ولكن سيكون من الصعب أن نتعجب به ، لأن كل الضوء المنبعث من النجم سوف يسقط على هذا الكوكب (في حالة عدم وجود امتصاص للضوء وانتثاره بواسطة الكواكب المتوسطة).

كسوف الشمس والقمر. تخيل أن قمرًا صناعيًا ثنائي الأبعاد يدور حول كوكب ثنائي الأبعاد تعيش فيه. عندما يصبح القمر الصناعي بين كوكب ونجم ، يسقط ظله على الكوكب. من ناحية أخرى ، في الوقت نفسه ، يصبح الكوكب بين الضوء المنبعث من النجم على طول مسار طويل والقمر الصناعي ، أي ، يسقط ظل الكوكب على القمر الصناعي. يحدث كسوف الشمس والقمر في وقت واحد. بالطبع ، من الممكن التمييز بين الكسوف الحقيقي للقمر الشمسي والقمري على طول المسار الذي يمر به الضوء ، لكن سيكون من المستحيل عملياً التمييز بينهما عن التوائم. إن السقوط في الظل الذي يسقط على الكوكب وقمره الصناعي خلال الكسوف هو الطريقة الوحيدة للظلام في عالمك)

عالم ثلاثي الأبعاد مغلق

أعلاه ، درسنا العالم الرائع لكائن ثنائي الأبعاد. ماذا عنا كائنات ثلاثية الأبعاد؟ ما هي هندسة الكون ؟ لسوء الحظ ، لا يمكن للعلم بعد الإجابة على هذا السؤال. تتداخل خصائص وحجم الكون بشكل رئيسي. دعنا نحاول مساعدة العلم. نختار كمرشح كون الكون المغلق الأكثر إثارة للاهتمام بهندسة كروية ونفحصه بصريًا. هل ستكون هناك تأثيرات اكتشفناها من أجل تناظر ثنائي الأبعاد؟ ربما سنتعلم شيئًا جديدًا؟ شيء لم تتوقع معرفته؟ أو حتى نرى ما نراه كل يوم ، ولكن لا تولي اهتماما لذلك؟ كيف سيبدو هذا الكون؟

نموذج

سوف نستكشف العالم ، وهو فضاء ثلاثي الأبعاد ( ثلاثي الأبعاد ) - أي كرة تقع في فضاء ثلاثي الأبعاد. نختار نوعًا واحدًا من الكائنات للتصور - كرة (مجال ثنائي ينتمي إلى كرة ثلاثية).

المفاهيم الأساسية والعلاقات

الإحداثيات الديكارتية في الفضاء رباعي الأبعاد - سنشير إليها على أنها

(x_{0} ، x_{1} ، x_{2} ، x_{3})

$(x_0 ، x_1 ، x_2 ، x_3)$ - هذا بالفعل

(x ، y ، z ، w)

$(x ، y ، z ، w)$ .

الإحداثيات الفائقة كروية في الفضاء رباعي الأبعاد (نستخدم الزوايا فقط ، لأن نصف قطر عالمنا سيكون ثابتًا) - سنشير إليها على أنها

(a_{0} ، a_{1} ، a_{2})

$(a_0، a_1، a_2)$ - هذا بالفعل

(p h i ، t h e t a ، p s i)

$(\ phi ، \ theta ، \ psi)$ .

3-المجال المتمركزة عند الأصل - مجموعة من النقاط التي يكون متجه نصف القطر لها يساوي نصف قطر المجال 3

R

$R$ هو عالمنا

q u a d q u a d x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = R^{2}

$\ quad \ quad x_0 ^ 2 + x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 = R ^ 2$

2-المجال الذي ينتمي إلى 3-المجال - مجموعة من النقاط التي لها متجه نصف قطرها طول يساوي نصف قطر المجال 3

R

$R$ ويشكل مع ناقل نصف القطر من وسط المجال 2

ج

$ج$ زاوية تساوي نصف قطرها الزاوي من 2 المجال

r_{a}

$r_a$ هي كائنات التصور لدينا

q u a d q u a d x_{0} c_{0} + x_{1} c_{1} + x_{2} c_{2} + x_{3} c_{3} = R^{2} c o s r_{a}

$\ quad \ quad x_0 c_0 + x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3 = R ^ 2 \ cos r_a$

حيث

q u a d q u a d r_{a} = r / R

$\ quad \ quad r_a = r / R$

q u a d q u a d r

$\ quad \ quad r$ - دائرة نصف قطرها الجيوديسية من 2 المجال

نصف القطر الجيوديسي ، الزاوي والشرطي - من أجل فهم أفضل لما هو عليه ، خذ بعين الاعتبار تناظري ثنائي الأبعاد من مجال ثنائي ينتمي إلى مجال ثلاثي - دائرة تنتمي إلى كرة.

القوس الأحمر في الشكل هو دائرة نصف قطرها الجيوديسية للدائرة

ص

$ص$ . الزاوية الحمراء على الجانب الأيمن من الشكل هي دائرة نصف قطرها الزاوي للدائرة

r_{a} = r / R

$r_a = r / R$ . ارتفاع المثلث على الجانب الأيمن من الشكل هو نصف القطر الشرطي للدائرة

r_{n} = R s i n r_{a}

$r_n = R \ sin r_a$ .

الانتقال من الإحداثيات الفوقية

(a_{0} ، a_{1} ، a_{2})

$(a_0، a_1، a_2)$ إلى الديكارتي

(x_{0} ، x_{1} ، x_{2} ، x_{3})

$(x_0 ، x_1 ، x_2 ، x_3)$

q u a d q u a d x_{0} = R s i n a_{2} s i n a_{1} c o s a_{0}

$\ quad \ quad x_0 = R \ sin a_2 \ sin a_1 \ cos a_0$

q u a d q u a d x_{1} = R s i n a_{2} s i n a_{1} s i n a_{0}

$\ quad \ quad x_1 = R \ sin a_2 \ sin a_1 \ sin a_0$

q u a d q u a d x_{2} = R s i n a_{2} c o s a_{1}

$\ quad \ quad x_2 = R \ sin a_2 \ cos a_1$

q u a d q u a d x_{3} = R c o s a_{2}

$\ quad \ quad x_3 = R \ cos a_2$

حيث

q u a d q u a d a_{0}

$\ quad \ quad a_0$ يختلف من

0

$0$ إلى

2 p i

$2 \ pi$

q u a d q u a d a_{1}

$\ quad \ quad a_1$ يختلف من

0

$0$ إلى

p i

$\ pi$

q u a d q u a d a_{2}

$\ quad \ quad a_2$ يختلف من

0

$0$ إلى

p i

$\ pi$

تقاطع الخط الجيوديسي للكرات ثلاثية الأبعاد مع كروية تنتمي إلى كروية ثلاثية.
سيتم استخدام هذه النسبة لتعقب الأشعة. فليكن هناك خط جيوديسي يمتد من عمود الكرة الثلاثية

(0 ، 0 ، 0 ، R)

$(0 ، 0 ، 0 ، R)$ في الاتجاه المحدد بواسطة الزوايا

a_{0} د و ل ا

$a_0 دولا$ و

a_{1}

$a_1$ - تتزامن هذه الزوايا مع الزوايا التي تحدد الاتجاه في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالقرب من قطب ثلاثي الكرات

(0 ، 0 ، 0 ، R)

$(0 ، 0 ، 0 ، R)$

q u a d q u a d x_{0} = R s i n a_{2} s i n a_{1} c o s a_{0}

$\ quad \ quad x_0 = R \ sin a_2 \ sin a_1 \ cos a_0$

q u a d q u a d x_{1} = R s i n a_{2} s i n a_{1} s i n a_{0}

$\ quad \ quad x_1 = R \ sin a_2 \ sin a_1 \ sin a_0$

q u a d q u a d x_{2} = R s i n a_{2} c o s a_{1}

$\ quad \ quad x_2 = R \ sin a_2 \ cos a_1$

q u a d q u a d x_{3} = R c o s a_{2}

$\ quad \ quad x_3 = R \ cos a_2$

تبسيط لدينا (1)

q u a d q u a d x_{0} = r_{0} s i n a_{2}

$\ quad \ quad x_0 = r_0 \ sin a_2$

q u a d q u a d x_{1} = r_{1} s i n a_{2}

$\ quad \ quad x_1 = r_1 \ sin a_2$

q u a d q u a d x_{2} = r_{2} s i n a_{2}

$\ quad \ quad x_2 = r_2 \ sin a_2$

q u a d q u a d x_{3} = r_{3} c o s a_{2}

$\ quad \ quad x_3 = r_3 \ cos a_2$

حيث

q u a d q u a d r_{0} = R s i n a_{1} c o s a_{0}

$\ quad \ quad r_0 = R \ sin a_1 \ cos a_0$

q u a d q u a d r_{1} = R s i n a_{1} s i n a_{0}

$\ quad \ quad r_1 = R \ sin a_1 \ sin a_0$

q u a d q u a d r_{2} = R c o s a_{1}

$\ quad \ quad r_2 = R \ cos a_1$

q u a d q u a d r_{3} = R

$\ quad \ quad r_3 = R$

استبدال (1) في معادلة المجال 2 و التبسيط لدينا (2)

q u a d q u a d A s i n a_{2} + B c o s a_{2} = C

$\ quad \ quad A \ sin a_2 + B \ cos a_2 = C$

حيث

q u a d q u a d A = r_{0} c_{0} + r_{1} c_{1} + r_{2} c_{2}

$\ quad \ quad A = r_0 c_0 + r_1 c_1 + r_2 c_2$

q u a d q u a d B = r_{3} c_{3}

$\ quad \ quad B = r_3 c_3$

q u a d q u a d C = R^{2} c o s r_{a}

$\ quad \ quad C = R ^ 2 \ cos r_a$

استبدال (1) في معادلة 3 المجال وتبسيط لدينا (3)

q u a d q u a d D s i n^{2} a_{2} + E c o s^{2} a_{2} = F

$\ quad \ quad D \ sin ^ 2 a_2 + E \ cos ^ 2 a_2 = F$

حيث

q u a d q u a d D = r_{0}^{2} + r_{1}^{2} + r_{2}^{2}

$\ quad \ quad D = r_0 ^ 2 + r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2$

q u a d q u a d E = r_{3}^{2}

$\ quad \ quad E = r_3 ^ 2$

q u a d q u a d F = R^{2}

$\ quad \ quad F = R ^ 2$

معربا عن (2)

c o s a_{2}

$\ cos a_2$ لدينا

q u a d q u a d c o s a_{2} = (C - A s i n a_{2}) / B

$\ quad \ quad \ cos a_2 = (C - A \ sin a_2) / B$

استبدال في (3)

c o s a_{2}

$\ cos a_2$ لدينا

q u a d q u a d D s i n^{2} a_{2} + E / B^{2} (C - A s i n a_{2})^{2} = F

$\ quad \ quad D \ sin ^ 2 a_2 + E / B ^ 2 (C - A \ sin a_2) ^ 2 = F$

تبسيط لدينا

q u a d q u a d a s i n^{2} a_{2} + b s i n a_{2} + c = 0

$\ quad \ quad a \ sin ^ 2 a_2 + b \ sin a_2 + c = 0$

حيث

q u a d q u a d m = E / B^{2}

$\ quad \ quad m = E / B ^ 2$

q u a d q u a d a = m A^{2} + D

$\ quad \ quad a = m A ^ 2 + D$

q u a d q u a d b = - 2 m A C

$\ quad \ quad b = -2 m A C$

q u a d q u a d c = m C^{2} - F

$\ quad \ quad c = m C ^ 2 - F$

نقطة على استمرار الخط الجيوديسي لثلاث كرات تمر بنقطتين.
سيتم استخدام هذه العلاقة لإيجاد إحداثيات الملمس والعادي الخارجي عند نقطة تعسفية للكرة الثنائية المنتمية للكرة الثلاثية. سمح

q u a d q u a d O

$\ quad \ quad O$ - مركز 3 المجال

q u a d q u a d A

$\ quad \ quad A$ - مركز المجال 2

q u a d q u a d B

$\ quad \ quad B$ هي نقطة تعسفية لل 2 المجال

q u a d q u a d C

$\ quad \ quad C$ - النقطة المرغوبة ملقاة على استمرار الخط الجيوديسي

A B

$AB$ على مسافة صغيرة الزاوي

د ل ت ا

$\ دلتا$ من نقطة

B

$B$

q u a d q u a d D

$\ quad \ quad D$ - نقطة تقاطع الخطوط

A B

$AB$ و

O C

$OC$

q u a d q u a d E

$\ quad \ quad E$ - نقطة تقاطع الخط المار عبر النقطة

D

$D$ عمودي على التوالي

A B

$AB$ وخط يمر عبر نقطة

ي ا د و ل ا

$يا دولا$ بالتوازي مع مستقيم

A B

$AB$

q u a d q u a d r_{a}

$\ quad \ quad r_a$ - دائرة نصف قطرها الزاوي من 2 المجال

q u a d q u a d a = (p i - r_{a}) / 2

$\ quad \ quad a = (\ pi - r_a) / 2$

q u a d q u a d b = a - d e l t a

$\ quad \ quad b = a - \ delta$
إذا

r_{a} > p i

$r_a> \ pi$ ثم يجب وضعه

r_{a} = 2 p i - r_{a}

$r_a = 2 \ pi - r_a$ و

d e l t a = - d e l t a

$\ delta = - \ delta$
سوف تجد

v e c O D

$\ vec {OD}$

q u a d q u a d v e c O D = v e c O A + v e c A B / | v e c A B | c d o t | v e c A D |

$\ quad \ quad \ vec {OD} = \ vec {OA} + \ vec {AB} / | \ vec {AB} | \ cdot | \ vec {AD} |$

حيث

q u a d q u a d | v e c A D | = | v e c A B | / 2 + | v e c O E |

$\ quad \ quad | \ vec {AD} | = | \ vec {AB} | / 2 + | \ vec {OE} |$

q u a d q u a d | v e c O E | = | v e c D E | / t a n b

$\ quad \ quad | \ vec {OE} | = | \ vec {DE} | / \ tan b$

q u a d q u a d | v e c D E | = R s i n a

$\ quad \ quad | \ vec {DE} | = R \ sin a$

سوف تجد

v e c O C

$\ vec {OC}$

q u a d q u a d v e c O C = v e c O D / | v e c O D | c d o t R

$\ quad \ quad \ vec {OC} = \ vec {OD} / | \ vec {OD} | \ cdot R$

إضاءة

سوف نستخدم نموذجين للإضاءة.

نموذج إضاءة بسيط. في هذا النموذج ، يعتمد سطوع نقطة السطح على جيب التمام للزاوية بين الخارج الطبيعي إلى السطح والاتجاه إلى المراقب. سوف نستخدمها عند إنشاء صور للمواد التوضيحية. في الواقع ، هذا نموذج يوجد به مصدر ضوء النقطة حيث يقع المراقب ، حيث لا يعتمد سطوع النقطة السطحية على المسافة إلى مصدر الضوء.

نموذج الإضاءة واقعية. هذا النموذج سوف يكون مصدر نقطة مخصصة للضوء. سوف نستخدمها عند بناء صور واقعية. يمكن أن يأخذ هذا النموذج في الاعتبار تأثير منطقة واجهة الموجة على سطوع نقطة سطحية (في الواقع ، تأثير المسافة إلى مصدر الضوء). في عالم مغلق بهندسة كروية ، تتناسب مساحة واجهة الموجة بشكل مباشر مع مربع نصف القطر الشرطي للكرة بنصف قطر جيوديسي يساوي المسافة من نقطة السطح إلى مصدر الضوء. مع المسافة من مصدر الضوء ، تزداد مساحة واجهة الموجة إلى خط الاستواء (تنحرف أشعة الضوء) ، وبعد انخفاض خط الاستواء (تتقارب الأشعة الضوئية والتركيز). بعد اجتياز النقطة المقابلة لـ "مركز الكون" ، تحدث العملية العكسية: أشعة الضوء تتباعد أولاً ، ثم تلتقي مرة أخرى. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن لهذا النموذج أن يأخذ بعين الاعتبار خصوصيات الإدراك ( قانون ويبر - فيشنر ).

لبناء الصورة ، سوف نستخدم تتبع الأشعة العكسية . لكي يكون النموذج تفاعليًا (سوف ندرس عالمنا ونتحرك فيه) ، يجب أن تكون الصورة مبنية في الوقت الفعلي. لذلك ، سوف نقوم بإجراء العمليات الحسابية في تظليل التجزئة (نستخدم WebGL). نحن ننفذ الواجهة في JavaScript.

القوام

الملمس earth.jpg من هنا

Texture moon.jpg من هنا

نسيج sun.png من هنا

التعارف الأول

لنقم بإنشاء عالم مغلق ثلاثي الأبعاد بطول خط جيوديسي يبلغ 100 - لذلك سيكون من الأسهل بالنسبة لنا التنقل - سيكون خط الاستواء في عالمنا على مسافة 25 (ربع طول الخط الجيوديسي) ، والقطب المقابل من عالمنا - على مسافة 50 (نصف طول الخط الجيوديسي). نضع كوكبًا في عالمنا ونرسم أجزاء من سطحه بالألوان اعتمادًا على الأوكانت الذي يقع فيه:

ثمن محيط الدائرة	علامة X	علامة Y	علامة Z	اللون
أنا	+	+	+	الأحمر ( صاد )
II	-	+	+	الأخضر ( G رين)
III	-	-	+	الأزرق ( B الأزرق)
IV	+	-	+	البرتقالي
V	+	+	-	الأزرق ( C يان)
VI	-	+	-	الأرجواني ( M agenta)
VII	-	-	-	الأصفر ( Y ellow)
VIII	+	-	-	أبيض

كملمس رئيسي ، سوف نستخدم نسيج رقعة الشطرنج 3 × 6 ، أي أن كل خط متوازي وخط طول سيخوضان 12 خلية تمامًا. كملمس بديل سوف نستخدم نسيج العالم. فيما يلي صور من flyby تعريف كوكبنا.

لقطة من القطب الشمالي. يتم توجيه المحور X إلى اليمين ، يتم توجيه المحور ص إلى الأعلى ، يتم توجيه المحور Z نحونا. عند تطبيق نسيج بديل ، يمكنك رؤية:

على اليمين هو المحيط الهادئ
أعلاه - أمريكا الشمالية
اليسار - المحيط الأطلسي
أسفل - أوراسيا

صور الرحلة من القطب الشمالي إلى خط الاستواء ومن خط الاستواء إلى القطب الجنوبي.

لقطة من القطب الجنوبي. يتم توجيه المحور X إلى اليمين ، ويتم توجيه المحور Y إلى الأسفل ، ويتم توجيه المحور Z بعيدًا عنا. عند تطبيق نسيج بديل ، يمكنك رؤية:

اليمين - المحيط الهادي ، نيوزيلندا ، أستراليا
من فوق - المحيط الهندي
اليسار - المحيط الأطلسي ، أفريقيا
أسفل - أمريكا الجنوبية

دراسة بصرية

سنقوم بإجراء دراسة بصرية لعالمنا من أجل اكتشاف نظائرها من الآثار التي اكتشفناها في عالم مغلق ثنائي الأبعاد.

نظرائهم. كما هو الحال في التناظرية ثنائية الأبعاد ، سيكون لكل جسم في عالمنا ضعف - إذا رأينا القطب الشمالي أمامنا ، ثم يستدير يمكننا أن نرى ... القطب الجنوبي. إن الانكماش في سطح المضاعف ملحوظ بسبب حقيقة أننا قريبون بما فيه الكفاية من الكوكب.

تجربة يتحرك فيها المراقب بعيدًا عن الكوكب (الشكل الموجود في الركن الأيسر العلوي من كل صورة هو المسافة بين المراقب والكوكب).

وينظر إلى أن:

في البداية يتناقص الحجم الزاوي للكوكب - هذا هو المنظور المباشر المعتاد
ثم ، عندما اجتاز الكوكب خط الاستواء في عالمنا (المسافة أكثر من 25) ، يزداد حجمه الزاوي - وهذا هو تأثير المنظور المعاكس المألوف بالنسبة لنا
عند الزحف إلى القطب المقابل لعالمنا ، نرى سطحًا ضيقًا (المسافة 46.875)
عندما يكون الكوكب في القطب المعاكس لعالمنا (المسافة 50) يمتد إلى السماء بأكملها
عند الانزلاق من القطب المعاكس لعالمنا ، نرى سطحًا ممتدًا (المسافة 53.125)
بعد اجتياز الكوكب القطب المعاكس لعالمنا ، يبدو متحولًا بشكل متماثل - لقد تغير الأوكتان الأحمر مع الأزرق وهكذا
بعد ذلك ، يتناقص الحجم الزاوي لكوكب الأرض (المسافة من 50 إلى 75) ، ثم يزداد (المسافة من 75 إلى 100) - وهذا هو التأثير المألوف للمنظور الأمامي والخلفي

التحف. عند استخدام النموذج ، لوحظ أنه خلال مرور الكوكب من خلال النقاط التي تقع من المراقب على مسافات 25 و 50 و 75 ، قد تظهر القطع الأثرية - قد "ينمو" الشعر على هذا الكوكب أو قد "ينهار". من الواضح أن رياضياتي لا تأخذ في الاعتبار شيئًا ما)

صورة لكوكب الأرض بالقرب من القطب المقابل لعالمنا (تم استخدام "عدسة" واسعة الزاوية). إن سطح الكوكب الموجود أمامنا ضيق للغاية - لا يمكنك رؤية نصف الكرة الشمالي بأكمله فحسب ، بل أيضًا جزء من نصف الكرة الجنوبي خلف خط الاستواء. سطح الكوكب الذي خلفنا ممتد للغاية - يظهر القطب الجنوبي بشكل بارز. يمتد كلا السطحين نحو بعضهما البعض ، محاولين إحاطةنا بقذيفة كروية ويكشف لنا صورة لكوكب ممتد عبر السماء.

تجربة يبحث فيها المراقب (العدد الموجود في الزاوية اليسرى العليا من كل صورة هو الزاوية بين الاتجاه الهابط والنظرة).

في الصور:

يظهر لأول مرة أفق جانبنا من الكوكب
ثم ، نرى أفقًا ثانيًا فوقه ، حيث نجد ما يوجد على جانبنا من الكوكب خلف ظهورنا وراء الأفق
أبحث عن ، نرى الجزء الخلفي من الكوكب

صورة مزدوجة الأفق (تستخدم "عدسة" بزاوية واسعة). شريط السماء كبير بما يكفي لأننا على ارتفاع حوالي 50 كم.

صورة للسماء فوق الرأس (تم استخدام "عدسة" واسعة الزاوية).

عالم بلا ليلة.
علاوة على ذلك ، من أجل البساطة ، سوف نسمي كوكبنا الأرض ، قمره الطبيعي - القمر ، والنجم الذي يدور حوله - الشمس. لن يتم ملاحظة نسب أحجام الشمس والأرض والقمر ومداراتها من أجل الوضوح.
في الصورة: الحدود بين جانبي النهار والليل من الكوكب الذي يمر عبر المحيط الأطلسي. في الوقت نفسه ، الأرض المتضائلة والمتنامية مرئية. الرجال الذين يجلسون على قواعد القمر في عالمنا يرون صورة مماثلة تقريبا)

على الرسوم المتحركة: حركة الحدود بين الجانبين ليلا ونهارا من الأرض. تستطيع أن ترى تداخل الشمس من قرص الأرض مضاءًا بأشعة الشمس المنبعثة على طريق طويل.

كسوف الشمس والقمر.
في الصورة: القمر يخرج من ظل الأرض. الحدود الفاصلة بين جانبي النهار والليل للأرض والقمر مرئية.

على الرسوم المتحركة: كسوف الشمس والقمر.

وينظر إلى أن:

أولاً ، الأرض تلقي بظلالها على القمر ، والقمر يلقي بظلاله على الأرض
ثم يخرج القمر من ظل الأرض ، وظل القمر يترك سطح الأرض
ثم يعود ظل القمر إلى سطح الأرض والقمر مرة أخرى يدخل ظل الأرض
لا يمكن رؤية الحدود بين جانبي النهار والليل للقمر عندما يكون القمر مغطى بقرص الأرض لأن جانب القمر الذي يواجهنا لا يزال في ظل الأرض

على الرسوم المتحركة: حركة الحدود بين الجانبين ليلا ونهارا من الأرض والقمر جنبا إلى جنب مع كسوف الشمس والقمر. الرجال الذين يخدمون المراصد في نقطة لاغرانج L ₂ في عالمنا يرون نفس الصورة تقريبًا) بالطبع ، إذا أهملنا دوران الأرض)

في الصورة: فجر على محطة الفضاء الدولية في عالمنا)

استنتاج

ما هو كل هذا ل)؟ أردت فقط أن أرى العالم من خلال عيون مخلوق يعيش في عالم مغلق مضغوط بهندسة كروية. لمعرفة هذا العالم الرائع دون رموز كريستوفيل وما شابهها مع البقاء في إطار المسار العام للرياضيات العليا. والنتيجة أمامك. كل شيء يبدو للعمل بها. آمل أن يكون لديك يوم مثير للاهتمام وجميلة!

شفرة المصدر .

نموذج العمل (مفتوح على الكمبيوتر الشخصي ، وليس للأجهزة المحمولة).

بالنسبة لأولئك المهتمين بالموضوع ، هناك مقال رائع يتحدث عن الظواهر المدهشة التي يمكن ملاحظتها في الكون الحقيقي: كيفية رسم ثقب أسود. تتبع الأشعة الجيوديسية في الفضاء المنحني .

عالم ثلاثي الأبعاد ثلاثي الأبعاد. تتبع الأشعة الجيوديسية في عالم مغلق بهندسة كروية

مقدمة. عالم مغلق ثنائي الأبعاد

عالم ثلاثي الأبعاد مغلق

نموذج

التعارف الأول

دراسة بصرية

استنتاج

More articles: