مقدمة لوضع نظرية

مفهوم اللانهاية بعيد ايديولوجيًا عن المصطلحات الرياضية العادية - لا يوجد أي موضوع آخر يتجاوز الرياضيات بطريقة تتحول من أداة عملية تحليلية إلى ظاهرة ذات ترتيب أسطوري. مفهوم اللانهاية على مسافة قصيرة مع الموضوعات الثقافية مثل الدين والفلسفة ، ويكتنفها في هالة غامضة من الألوهية.

ذات مرة ، كان هناك اعتقاد أساسي في جميع التخصصات الأكاديمية - لا يوجد سوى اللانهاية واحدة .

لكن في عام 1874 ، قام عالم رياضيات غير معروف إلى حد ما بسلسلة من الملاحظات الثورية التي تلقي بظلال من الشك على هذا الاعتقاد المقبول عالمياً والمتجذر بعمق. لقد أثبت جورج كانتور ، في منشوره (الأسطوري الآن) حول ملكية مجموعة من جميع الأرقام الجبرية الحقيقية ، أن العديد من الأعداد الحقيقية "أكثر عددًا" من العديد من الأعداد الجبرية. لذلك فقد أوضح أولاً أن هناك مجموعات لا حصر لها من أحجام مختلفة (لا تقلق - لتوضيح هذا ، سوف ندرس مقالته بالتفصيل قريبًا).


"الكثير هو كمية كبيرة تسمح لك أن تتخيل نفسك" - جورج كانتور

من عام 1874 إلى عام 1897 ، نشر كانتور بشدة مادة تلو الأخرى ، حيث وسّع نظريته حول المجموعات المجردة إلى تخصص مزدهر. ومع ذلك ، فقد قوبلت بمقاومة عنيدة وانتقاد. يعتقد الكثير من الأطفال أن نظرياته انتقلت إلى مجال الفلسفة وانتهكت مبدأ الدين.

ومع ذلك ، عندما بدأت التطبيقات العملية للتحليل الرياضي ، تغير الموقف من النظرية ، وبدأت أفكار ونتائج كانتور في اكتساب التقدير. بحلول العقد الأول من القرن العشرين ، وصلت ملاحظاته ونظرياته ومنشوراته إلى ذروتها - الاعتراف بنظرية المجموعة الحديثة كمجال جديد فريد من نوعه للرياضيات:

نظرية المجموعات هي نظرية رياضية حول مجموعات (مجموعات) محددة بدقة من الكائنات الفردية تسمى أعضاء أو عناصر مجموعة.

كم عدد الأرقام بين 0 و 1؟

يُعد منشور Cantor الأول من أربع صفحات ونصف مثالًا رائعًا على الإيجاز. وهي مقسمة إلى دليلين منفصلين ، مما يؤدي بشكل مشترك إلى استنتاج أن هناك نوعين فريدين على الأقل من المجموعات.

في الجزء الأول من النظرية ، ندرس مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية ونثبت أنها مجموعة لا حصر لها . لا ينبغي الخلط بينه وبين أن "الحساب" لا يعني بالضرورة أن الحساب يتم الاحتفاظ به بأرقام كاملة ؛ في سياق نظرية المجموعة ، تعني كلمة "countable" أنه يمكن وصف المجموعة ، حتى لو كانت مكونة من عدد لا حصر له من العناصر ، بسلسلة مكررة ، على سبيل المثال ، دالة متعددة الحدود مرتبة . ودعا كانتور هذه الخاصية لمجموعة لا حصر لها من أرقام المراسلات الفردية مع سلسلة ، وجود مراسلات واحد إلى واحد .

باختصار ، يمكن اشتقاق مجموعة أو مجموعة من جميع الأرقام الجبرية الحقيقية باستخدام بعض السلسلة النظرية من كثيرات الحدود بدرجات ومعاملات مختلفة ؛ لذلك ، فإن مجموعة جميع الأرقام الجبرية الحقيقية هي مجموعة لا حصر لها .

في الجزء الثاني من عمل كانتور ، يتم تحليل دور الأعداد المعقدة الحقيقية ، وتسمى أيضًا الأرقام التجاوزي . الأرقام التجاوزي (أفضل الأمثلة على ذلك pi و e) لها خاصية فضولية: من المستحيل رياضيا استخلاصها باستخدام دالة متعددة الحدود - فهي ليست جبرية. بغض النظر عن حجم أو عدد الأجزاء أو الدرجات أو المعاملات ، لا يمكن لأي سلسلة أن تحسب pi في مجموعتها من مجموعة لا حصر لها.

ثم يشير Kantor إلى أنه في أي فاصل زمني مغلق [ a ، b ] يوجد رقم واحد على الأقل لا يمكن حسابه في مجموعة لا حصر لها. نظرًا لوجود رقم واحد من هذا القبيل ، من المفترض أنه في عائلة الأعداد الحقيقية يوجد عدد لا حصر له من الأرقام التجاوزي.

وهكذا ، فقد أثبت اختلافًا واضحًا بين مجموعة من الأعداد المستمرة التي لا تحصى والتي لا تعد ولا تحصى ومجموعة الأرقام القابلة للعد ، والتي يمكن تمثيلها كسلسلة ، على سبيل المثال ، لجميع الأرقام الجبرية الحقيقية.

التالي: التسجيل والعمليات

توجت أول مطبوعات كانتور بهذا التأكيد المذهل لوجود نوعين مختلفين على الأقل من اللانهاية. بعد مقالته الأولى ، ظهرت موجة من الإضافات ، ببطء ولكن بثبات تمهد الطريق لنظرية المجموعة الحديثة.


من المهم أيضًا مشاركة ملاحظة مثيرة للاهتمام: معظم الأشخاص الذين يستخدمون نظرية المجموعات في الممارسة بدلاً من تقييم هذه النظرية بعينها ، ولكن اللغة المعممة التي تحددها. بسبب طبيعتها المجردة ، تؤثر نظرية المجموعة سراً على العديد من مجالات الرياضيات. في التحليل الرياضي ، الذي يتطلب التفاضل والتكامل حساب التفاضل والتكامل ، وفهم لحدود واستمرارية وظائف ، وأخيرا ثابتة في نظرية مجموعة ، أمر ضروري. في جبر المنطق ، تتوافق العمليات المنطقية "و" ، "أو" و "لا" مع عمليات التقاطع ، الاتحاد والاختلاف في نظرية المجموعة. وأخيراً وليس آخراً ، تضع نظرية المجموعات الأساس لطوبولوجيا - دراسة الخصائص الهندسية والعلاقات المكانية.

مسلحين بفهم أساسي لتاريخ المجموعات وبعد قيامنا بتعمق قصير في أعماق تأثيرها ، يمكننا أن نبدأ في التعرف على أساسيات نظام التدوين في نظرية المجموعات.

الجزء الثاني لمحة موجزة عن العمليات ، والتدوين ومخططات فين.

كما ذكرنا في الجزء السابق ، فإن إحدى المزايا الأساسية لنظرية المجموعة لا تنمو من أي نظرية معينة ، بل من اللغة التي أوجدتها. وهذا هو السبب في أن الجزء الرئيسي من هذا القسم سيخصص للتدوين والعمليات والتمثيل البصري لنظرية المجموعة. لنبدأ بشرح الرموز الأساسية لتدوين مجموعة - عناصرها المقابلة. يوضح الجدول التالي مثالًا على مجموعة واحدة A مع ثلاثة عناصر:


مجموعة عبارة عن عناصر "1" و "2" و "3"

"1" عنصر من عناصر المجموعة أ

يعرض السطر الأول المجموعة A بثلاثة عناصر منفصلة ( A = {1،2،3} ) ؛ يعرض السطر الثاني الطريقة الصحيحة لتعيين عنصر خرساني فردي ينتمي إلى المجموعة A. كل شيء بسيط حتى الآن ، لكن نظرية المجموعات تصبح أكثر إثارة للاهتمام عندما نضيف المجموعة الثانية - تبدأ الرحلة عبر العمليات القياسية.

بالنسبة للجدول أعلاه ، دعنا نقدم مجموعتين إضافيتين B و C تحتويان على العناصر التالية: B = {3 ، A ، B ، C ، D ، E} ، C = {1،2} . على الرغم من أننا أنشأنا ثلاث مجموعات (A و B و C) ، في الأمثلة أدناه ، يتم تنفيذ العمليات في وقت واحد مع مجموعتين فقط ، لذا كن حذراً في تحديد المجموعات المشار إليها في العمود الموجود في أقصى اليسار . يوضح الجدول أدناه المعاملات الخمسة الأكثر شيوعًا للمجموعات:


العمليات: التقاطع - مجموعة العناصر التي تنتمي إلى المجموعة أ والمجموعة ب ؛

الاتحاد - مجموعة من العناصر التي تنتمي إلى المجموعة أ أو المجموعة ب ؛

subset - C هي مجموعة فرعية من A ، المجموعة C مدرجة في المجموعة A ؛

المجموعة الفرعية (true) - C هي مجموعة فرعية من A ، لكن C لا تساوي A ؛

مكمل نسبي - مجموعة من العناصر التي تنتمي إلى A وليس لـ B.

ها هم ، العمليات الأكثر شيوعًا في نظرية المجموعات ؛ أنها تحظى بشعبية كبيرة في المناطق خارج الرياضيات البحتة. في الواقع ، من المحتمل جدًا أن تكون قد شاهدت بالفعل أنواعًا مماثلة من العمليات في الماضي ، على الرغم من أن ذلك لا ينطبق على مثل هذه المصطلحات ، وحتى استخدامها. توضيح جيد: اطلب من أي طالب وصف مخطط Venn من مجموعتين متقاطعتين ، وسيصل بشكل حدسي إلى النتيجة الصحيحة.

ألقِ نظرة أخرى على السطر الأخير ، الإضافة النسبية - ما مزيج غير عادي من الكلمات ، أليس كذلك؟ بالنسبة إلى ماذا؟ إذا تم تعريف المكمل النسبي A - B على أنه A وليس B ، فكيف يمكننا الإشارة إلى كل شيء ليس B؟

مجموعة عالمية - مجموعة فارغة

اتضح أننا إذا أردنا الحصول على إجابة ذات مغزى ، فعلينا أولاً أن نوفر سياق مشكلة مجموعتنا الكاملة. غالبًا ما يتم تعريفه بشكل صريح في بداية المهمة عندما تقتصر العناصر المقبولة للمجموعة على فئة ثابتة من الكائنات التي توجد فيها مجموعة عالمية ، وهي مجموعة شائعة تحتوي على جميع العناصر لهذه المهمة المعينة. على سبيل المثال ، إذا كنا نرغب في العمل مع مجموعات فقط من حروف الأبجدية الإنجليزية ، فإن مجموعتنا العالمية U ستتألف من 26 حرفًا من الحروف الأبجدية.

بالنسبة لأي مجموعة فرعية A من المجموعة U ، يتم تعريف مكمل المجموعة A (المشار إليها بواسطة A أو U - A ) على أنه مجموعة من جميع العناصر في عامة السكان U غير الموجودة في A. إذا عدنا إلى السؤال المطروح أعلاه ، فإن مكمل المجموعة B هو كل شيء ضمن المجموعة العالمية التي لا تنتمي إلى B ، بما في ذلك A.

قبل أن نمضي قدمًا ، نحتاج إلى ذكر مجموعة مبادئ أخرى ، وهي مهمة بشكل كافٍ لفهم أساسي: مجموعة صفرية أو فارغة . ضع في اعتبارك أن هناك مجموعة واحدة فارغة ؛ لذلك ، لا يقولون أبدًا "مجموعات فارغة". على الرغم من أننا لن ننظر في التكافؤ في هذه المقالة ، فإن النظرية الأساسية هي أن مجموعتين متساويتين إذا كان لديهم نفس العناصر ؛ لذلك ، يمكن أن يكون هناك مجموعة واحدة فقط بدون عناصر. لذلك ، هناك مجموعة فارغة واحدة.

المخططات فين والباقي

الرسوم البيانية لفن ، التي ابتكرها جون فين رسمياً في عام 1880 ، هي بالضبط ما تتخيله ، على الرغم من أن تعريفه العلمي يبدو شيئًا مثل هذا:

التمثيل التخطيطي لجميع العلاقات الممكنة من عدة مجموعات

فيما يلي صورة للرسومات الست الأكثر شيوعًا للفين ، وكلها تقريبًا تعرض معاملات تمت دراستها مؤخرًا:


الاتحاد ، التقاطع ، المكمل النسبي ، الفرق المتماثل ، المجموعة الفرعية الصحيحة ، المكمل المطلق.

بدايةً من تدوين بسيط للغاية لمجموعة وعناصرها ، تعلمنا بعد ذلك عن العمليات الأساسية التي سمحت لنا برسم هذا التلميح المرئي. درسنا جميع العمليات باستثناء الفرق متماثل (أسفل اليسار). من أجل عدم ترك الفجوات في المعرفة ، نقول إن الفرق المتماثل ، الذي يُسمى أيضًا اتحاد مفصل ، هو ببساطة مجموعة من العناصر الموجودة في أي من المجموعات ولكنها لا تدخل في تقاطعها .

نختتم هذا القسم من خلال إدخال مفهوم القوة (الرقم الأساسي) . قوة المجموعة ، التي يرمز إليها برمز القيمة المطلقة ، هي ببساطة عدد العناصر الفريدة الموجودة في مجموعة معينة. على سبيل المثال الموضح أعلاه ، قوة ثلاث مجموعات تساوي: | A | = 3 ، | ب | = 6 ، | C | = 2.

قبل الانتقال ، سأعطيك طعامًا للتفكير - ما هي العلاقة بين السلطة وعدد المجموعات الفرعية المحتملة؟

الجزء 3. السلطة ومجموعات الأس

في الجزءين السابقين ، اكتشفنا أساسيات نظرية المجموعات. في الجزء الثالث ، سوف نعزز فهمنا من خلال التركيز على أهم خاصية في أي مجموعة: العدد الإجمالي للعناصر الفريدة الموجودة فيه .

يوفر لنا عدد العناصر الفريدة في المجموعة ، والمعروفة أيضًا باسم الطاقة ، نقطة مرجعية أساسية لإجراء مزيد من التحليل الأعمق لهذه المجموعة. أولاً ، القوة هي أول الخصائص الفريدة التي ندرسها والتي تسمح لنا بمقارنة أنواع مختلفة من المجموعات بشكل موضوعي ، والتحقق مما إذا كان هناك bijection (هذا ، مع بعض التحذيرات ، مجرد مصطلح أكثر دقة للوظيفة ) من مجموعة إلى أخرى. طريقة أخرى لاستخدام الطاقة ، بالإضافة إلى موضوع هذا الجزء من المقالة ، تتيح لنا القوة تقييم جميع المجموعات الفرعية الممكنة الموجودة في هذه المجموعة . التي يمكن تطبيقها حرفيا في المشاكل اليومية لتوزيع القرارات ، سواء كان ذلك تخطيط الميزانية لرحلة إلى متجر البقالة أو الأمثل لمحفظة الأوراق المالية.


أمثلة من أصل

على سبيل المثال ، يعرض الجدول أعلاه خمس مجموعات منفصلة مع الإشارة إلى قوتها على اليمين. كما قلنا من قبل ، فإن رمز القوة يشبه رمز القيمة المطلقة - القيمة الموجودة بين خطين عموديين. جميع الأمثلة مفهومة ، مع استثناء محتمل من السطر الأخير ، والذي يؤكد على حقيقة أن العناصر الفريدة فقط لقوة التأثير المحددة.

تذكر المجموعات الفرعية من الجزء السابق من المقال؟ اتضح أن العلاقة الأساسية لبعض المجموعات A وعدد المجموعات الفرعية المحتملة من A لها اتصال مذهل. يظهر أدناه أن عدد المجموعات الفرعية التي يمكن أن تتكون من مجموعة فرعية معينة يزداد بترتيب الطاقة بقيمة قابلة للتنبؤ:

عدد المجموعات الفرعية المحتملة في C = 2 ^{| C |}

دعنا نلقي نظرة فاحصة على المثال أدناه. ومع ذلك ، بادئ ذي بدء ، دعونا نفكر في الصيغة. تخيل القوة كعدد إجمالي لـ "المواضع" ، وهي مجموعة. عند إنشاء مجموعة فرعية لكل منصب ممكن ، يتم اتخاذ قرار منطقي (نعم / لا) . هذا يعني أن كل عنصر فريد يضاف إلى المجموعة (أي زيادة الطاقة بواحد) يزيد من عدد المجموعات الفرعية المحتملة بعامل اثنين. إذا كنت مبرمجًا أو عالماً ، فيمكنك فهم هذا المنطق بشكل أعمق قليلاً إذا فهمت أنه يمكن حساب جميع المجموعات الفرعية للمجموعة باستخدام جدول الأرقام الثنائية.

مجموعة الأسية (بوليان)

قبل أن نحسب كل المجموعات الفرعية كمثال للمجموعة C ، أود أن أعرض المفهوم الأخير - المنطقية .

يتم الإشارة إلى bulean بالحرف الكبير S ، متبوعًا بالمجموعة الأولية S (C) بين قوسين. Boolean هي مجموعة من جميع المجموعات الفرعية من C ، بما في ذلك المجموعة الفارغة والمجموعة C نفسها ، ويبين الجدول أدناه Boolean S (C) مع كل التباديل للمجموعات الفرعية المحتملة للمجموعة C الموجودة في مجموعة كبيرة واحدة.


لراحة التنسيق ، قمت بإزالة الفواصل بين مجموعات ***

كيف يمكن للبوليان أن يكون مفيدًا؟ في الواقع ، من المرجح أنك استخدمت منطقيين بشكل حدسي عدة مرات دون أن تدرك ذلك. في كل مرة تقوم فيها بتحديد مجموعة فرعية من العناصر من مجموعة أكبر ، يمكنك تحديد عنصر منطقي. على سبيل المثال ، يدرس الطفل بعناية متجر للفطائر مع فاتورة بقيمة 5 دولارات - ما هو عنصر بوليان مجموعة جميع الحلويات المتاحة التي سيختارها؟ أو إذا أخذت مثالًا تقنيًا أكثر: قد تحتاج ، كمطور برامج ، إلى طلب جميع مستخدمي قاعدة البيانات المحتملين الذين لديهم أيضًا خصائص X و Y - وهي حالة أخرى يتم فيها اختيار مجموعة فرعية واحدة من جميع المجموعات الفرعية المحتملة.

التكافؤ وظيفة bijective

نحن الآن نفهم ما هي قوة المجموعة ، ولماذا هي مهمة ، وصلتها بالمنطقية. لذلك ، دعنا نرجع بإيجاز إلى ما ذُكر في البداية: ما الذي يحدد على وجه التحديد التكافؤ في نظرية المجموعات؟

من الواضح أن لمجموعتين بنفس القوة بعض الخصائص المشتركة ، لكن أوجه التشابه تنتهي عند هذا الحد - ماذا لو كان هناك عنصر متعدد في إحدى المجموعات؟ ماذا لو مجموعتين لديها نفس القوة وعدد العناصر؟ لا يمكن إنكار أنها "مكافئة" إلى حد ما ، ولكن حتى في هذه الحالة لا تزال هناك إمكانية للاختلافات ، لأن كل مجموعة يمكن أن تحتوي على عناصر مختلفة تتكرر في نفس العدد من المرات. النقطة هنا هي أن مفهوم التكافؤ في نظرية المجموعات هو غريب بعض الشيء عن مجالات الرياضيات الأخرى. يتطلب إنشاء التكافؤ في هذا العالم الإلمام بهذا المفهوم ولغة جديدة. في الجزء الأخير من هذه المقالة ، نقدم مفهوم التكافؤ ، وكذلك الخصائص الأساسية مثل وظائف الحقن ، bijective ، والسكولي.

الجزء 4. وظائف.

في هذا الجزء ، سنتحدث أكثر عن الوظائف ضمن نظرية المجموعة. كما هو الحال في المفاهيم السابقة ، تختلف مصطلحات الوظائف القياسية في نظرية المجموعات اختلافًا طفيفًا عن مجالات الرياضيات الأخرى ، وبالتالي فهي تحتاج إلى شرح. هناك الكثير من المصطلحات ، لذلك دعونا نبدأ العمل على الفور! يعكس الجدول الأول أدناه مفاهيم مجال التعريف ومجال القيم وقيمة الوظيفة:


إن دالة في عالم نظرية المجموعة هي ببساطة مراسلات بعض العناصر (أو جميعها) من المجموعة (أ) إلى بعض (أو جميع) عناصر المجموعة (ب). في المثال أعلاه ، تسمى مجموعة جميع العناصر الممكنة في (أ) مجال التعريف ؛ تسمى عناصر A المستخدمة كقيم إدخال الوسائط بشكل خاص. على اليمين ، تُسمى مجموعة جميع قيم المخرجات المحتملة (تسمى في مجالات أخرى من الرياضيات "مجال القيم") المنطقة المشتركة ؛ تسمى مجموعة عناصر المخرجات الحقيقية B المقابلة لـ A صورة .

حتى الآن ، لا شيء معقد حقًا ، مجرد طريقة جديدة لتعيين معلمات الوظيفة. بعد ذلك ، سنتحدث عن كيفية وصف سلوك وظائف المطابقة هذه باستخدام أنواع الوظائف الشائعة.

الحقن ، الرفض و bijection

في نظرية المجموعات لتتناسب مع تصنيف مجموعات من يشيع استخدامها ثلاثة مفاهيم: حقن ، surjection و دالة تقابلية . لسوء الحظ ، تحتوي هذه المفاهيم على العديد من الأسماء المختلفة التي تعزز الالتباس ، لذلك سننظر أولاً في كل تعريف ثم نلقي نظرة على الأمثلة المرئية. تصف المصطلحات الثلاثة طريقة تعيين الوسائط على الصور:

• تكون الوظيفة عن طريق الحقن ( أو "واحد إلى واحد" ) إذا تم تعيين كل عنصر في المنطقة المشتركة إلى أكثر من عنصر واحد في منطقة التعريف.
• , . ( .)
• , .

وكان الكرز على كعكة من هذه التعريفات المعقدة المعاني الإضافية المحتملة للكلمات "عن طريق الحقن" ، "surjective" و "bijective". عندما يتم استخدامها لوصف وظيفة (المراسلات) ، فإن القيمة المذكورة أعلاه ستكون صحيحة ؛ ومع ذلك ، سيكون صحيحًا أيضًا تحديد الدالات (المراسلات) فقط بهذه الخصائص. أي أن الوظيفة التي لها سلوك عن طريق الحقن تسمى الحقن ، وتسمى الوظيفة ذات السلوك الواقعي بالتخليط ، وتسمى الوظيفة ذات السلوك الحاقدي bijection .

قراءة قائمة النقاط أعلاه مرة أخرى. التراجع هو مجرد وظيفة تفي بكل من المتطلبات السابقة ؛ وهذا هو ، وظيفة عن طريق الحقن وsurjective. لا ينبغي أن تكون وظيفة الحقن حكيمة ، ويجب ألا تكون الحقن عن طريق الحقن. فيما يلي مثال مرئي أدت فيه هذه التصنيفات الثلاثة إلى إنشاء وظائف مجموعة محددة بواسطة أربعة مجموعات ممكنة من خصائص الحقن والحقن:


حقن (حقن + حقن) ، حقن (حقن + عدم حقن) ، حقن (عدم حقن + حقن) ، غير مصنف (غير حقن + عدم حقن)

هذا كل شئ!الآن لدينا فهم أساسي للعلاقات الأكثر شيوعًا الموجودة في عالم المجموعات. ومع ذلك ، هذه ليست نهاية رحلتنا على الإطلاق: على العكس ، هذه هي البداية.

الأسس الأساسية لنظرية المجموعة هي مفتاح فهم مجالات الرياضيات العليا. لمواصلة حركتنا الصعودية نحو هذه المجالات المختلفة ، سنحتاج إلى استخدام معرفتنا بنظرية المجموعات لتوضيح واحدة من أكثر النظريات ثورية في تاريخ الرياضيات: نظام البديهية Zermelo-Frenkel .