يعتبر التوزيع الأكثر تناسقًا للنقاط على الكرة مهمة مهمة بشكل لا يصدق في الرياضيات والعلوم وأنظمة الكمبيوتر ، وتطبيق شبكة فيبوناتشي على سطح الكرة باستخدام نفس الإسقاط هو طريقة تقريبية سريعة للغاية وفعالة لحلها. سأبين كيف ، مع تغييرات طفيفة ، فإنه يمكن أن يكون أفضل.

منذ بعض الوقت ظهر هذا المنشور على الصفحة الرئيسية لأخبار هاكر. مناقشتها يمكن قراءتها هنا .

مقدمة

مشكلة التوزيع الموحد للنقاط على الكرة لها تاريخ طويل للغاية. هذه واحدة من أكثر المشكلات التي تمت دراستها جيدًا في الأدب الرياضي في الهندسة الكروية. لها أهمية حاسمة في العديد من مجالات الرياضيات والفيزياء والكيمياء ، بما في ذلك الطرق الحسابية ، ونظرية التقريب ، ونظرية الترميز ، وعلم البلورات ، والإلكتروستاتيكا ، ورسومات الكمبيوتر ، ومورفولوجيا الفيروسات وغيرها الكثير.

لسوء الحظ ، باستثناء عدد قليل من الحالات الخاصة (وهي المواد الصلبة الأفلاطونية) ، من المستحيل توزيع النقاط على الكرة بشكل مثالي. بالإضافة إلى ذلك ، يعتمد حل المشكلة بشدة على المعيار المستخدم لتقييم التوحيد. في الممارسة العملية ، يتم استخدام العديد من المعايير ، بما في ذلك:

التعبئة والتغليف والطلاء
هياكل محدبة وخلايا فورونوي ومثلثات ديلوناي
الألباب $s$ طاقة الأرز
التكعيب والتصفيات

من المهم للغاية توضيح هذا الجانب: عادة لا يوجد حل مثالي واحد لهذه المشكلة ، لأن الحل الأمثل الذي يستند إلى معيار واحد لا يكون في الغالب توزيعًا مثاليًا للنقاط للآخرين. على سبيل المثال ، سنكتشف أيضًا أن تحسين العبوة لا يؤدي بالضرورة إلى إنشاء هيكل محدب مثالي والعكس صحيح.

من أجل الإيجاز ، سننظر في هذا المنشور في معيارين فقط: مسافة التعبئة الدنيا وشبكة الهيكل المحدبة / شبكة Delaunay (الحجم والمساحة).

في القسم 1 ، نوضح كيف يمكنك تغيير شبكة Fibonacci المتعارف عليها لإنشاء توزيع محسّن للتعبئة . في القسم 2 ، نوضح كيف يمكنك تغيير شبكة Fibonacci المتعارف عليها لبناء معلمات محسنة لهيكل محدب (الحجم والمساحة السطحية).

القسم 1. الأمثل من مسافة التعبئة والتغليف

غالبًا ما تسمى هذه المشكلة بمهمة "تام" تكريماً لعالم النبات "تيمز" ، الذي سعى إلى شرح البنية السطحية لحبوب حبوب اللقاح. يتطلب معيار التعبئة منا زيادة أصغر مسافة بين الجيران لـ

$N$ نقطة. هذا هو

$d_N = \ min_ {i \ neq j} | x_i - x_j |$

هذه القيمة تنخفض مع السرعة.

$~ 1 / \ sqrt {N}$ وبالتالي ، سيكون من المفيد تحديد المسافة المقيسة ، وكذلك الحد المقارب للمسافة المقيسة ،

$d ^ * _ N = \ sqrt {N} d_N ، \ quad \ quad d ^ * = \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} d ^ * _ N$

شبكة فيبوناتشي

أحد الحلول الأنيقة للغاية يصور العقد الموجودة في الطبيعة ، على سبيل المثال ، توزيع البذور في عباد الشمس أو مخروط الصنوبر. وتسمى هذه الظاهرة الدوامة النباتية . أظهرت Coxeter أن هذه الهياكل لها صلة أساسية بسلسلة Fibonacci ،

$F_k = \ {1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، ... \}$ والنسبة الذهبية

$\ phi = (1+ \ sqrt {5}) / 2$ .

في الأدب ، يوجد تعريفان مشابهان لمجموعة نقاط شبكة فيبوناتشي الكروية. يتم تعريف المصدر بدقة ل

$N$ يساوي أحد أعضاء سلسلة فيبوناتشي ،

$F_m$ ، ودرس جيدا في نظرية الأعداد.

$t_i = \ left (\ frac {i} {F_m} ، \ frac {i F_ {m-1}} {F_m} \ right) \ quad \ textrm {for} \؛ 0 \ leq i \ leq N-1$

التعريف العام يعمم الصيغة على مقدار تعسفي

$N$ ويستخدم في الحسابات في كثير من الأحيان:

$t_i = \ left (\ frac {i} {N} ، \ frac {i} {\ phi} \ right) \ quad \ textrm {for} \؛ 0 \ leq i \ leq N \ tag {1}$

حيث

$\ phi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ frac {F_ {n + 1}} {F_n} \ right)$

يوجد أدناه مثال على شبكات Fibonacci نفسها. من خلال التحول ، يمكنك تحويل هذه المجموعات من النقاط إلى دوارات فيبوناتشي معروفة لنا.

$(r، \ theta) = (\ sqrt {x_1}، 2 \ pi x_2)$

وبالمثل ، يمكن نقل مجموعات النقاط هذه من مربع الوحدة

$[0، 1] ^ 2$ على كرة باستخدام إسقاط متساوي القياس الأسطواني:

$(x، y) \ rightarrow (\ theta، \ phi): \ quad \ left (\ cos ^ {- 1} (2x-1) - \ pi / 2، 2 \ pi y \ right)$

$(\ theta، \ phi) \ rightarrow (x، y، z): \ quad \ left (\ cos \ theta \ cos \ phi، \ cos \ theta \ sin \ phi، \ sin \ theta \ right)$

يمكن العثور على العديد من الإصدارات المختلفة من شفرة Python الخاصة به على stackoverflow: بالتساوي في توزيع النقاط على كرة .

على الرغم من حقيقة أن مجموعات Fibonacci الكروية ليست على مستوى العالم أفضل توزيع للعينات على الكرة (لأن حلولها لا تتوافق مع حلول المواد الصلبة الأفلاطونية

$ن = 4،6،8،12،20$ ) ، ولهم خصائص أخذ العينات ممتازة وسهلة للغاية لبناء مقارنة مع غيرها من مخططات أخذ العينات كروية أكثر تعقيدا.

نظرًا لأن النقل من مربع الوحدة إلى سطح الكرة يتم بواسطة إسقاط مع الحفاظ على المنطقة ، فمن المتوقع أنه إذا تم توزيع نقاط البداية بالتساوي ، فسيتم توزيعها جيدًا إلى حد ما على سطح الكرة. ومع ذلك ، هذا لا يعني أن التوزيع سيكون الأمثل بشكل واضح.

هذا النقل يعاني من مشكلتين مختلفتين ولكن متداخلتين.

أولاً ، يتم تنفيذ هذا التراكب مع الحفاظ على المنطقة ، وليس المسافة. بالنظر إلى أنه في حالتنا ، فإن الشرط هو زيادة الحد الأدنى للمسافة الزوجية بين النقاط ، وهذه الشروط والعلاقات لن تتحقق بالضرورة بعد الإسقاط.

المشكلة الثانية هي الأكثر صعوبة في حلها من وجهة نظر عملية: التراكب لديه نقطتين من الانحطاط في كل قطب. فكر في نقطتين قريبتين جدًا من القطب ، لكنهما يختلفان بمقدار 180 درجة في خط الطول. في مربع واحد (وعلى إسقاط أسطواني) سوف يقابلان نقطتين بعيدتين جداً عن بعضهما البعض ، ومع ذلك ، عند تراكبهما على سطح الكرة ، يمكن وصلهما عبر قوس صغير للغاية يمر عبر القطب الشمالي. بسبب هذه المشكلة بالذات ، فإن العديد من التراكبات الحلزونية ليست المثلى بشكل كاف

قيمة Fibonacci Spherical Helix التي تم الحصول عليها من المعادلة 1 تعطي القيمة

$d_N ^ *$ للجميع

$N$ هذا هو

$d ^ * = 2$ .

شبكة 1

إصدار أكثر شيوعًا (خاصة على أنظمة الكمبيوتر) يخلق قيمة أفضل

$d ^ * = 3.09$ لديه النموذج:

$t_i = \ left (\ frac {i + 1/2} {N} ، \ frac {i} {\ phi} \ right) \ quad \ textrm {for} \؛ 0 \ leq i \ leq N-1 \ tag {2}$

يضع النقاط عند نقاط المنتصف من الفواصل (وفقًا لحكم نقطة المنتصف في صيغة Gauss التربيعية) ، لذلك ،

$ن = 100 دولا$ ، ستكون قيم الإحداثيات الأولى كما يلي:

$\ {\ frac {0.5} {100} ، \ frac {1.5} {100} ، \ frac {2.5} {100} ، \ ldots ، \ frac {97.5} {100} ، \ frac {98.5} {100} ، \ frac {99.5} {100} \}$

الشبكة 2.

المفتاح لتحسين المعادلة 2 هو إدراك ذلك

$d ^ * _ N$ يتوافق دائما مع المسافة بين النقاط

$t_0 دولا$ و

$t_3 دولا$ التي هي في القطبين. وهذا هو ، لتحسين

$d_N$ يجب أن تكون النقاط القريبة من القطبين متباعدة أكثر.

إذا حددنا التوزيع التالي:

$t_i (\ varepsilon) = \ left (\ frac {i + 1/2 + \ varepsilon} {N + 2 \ varepsilon} ، \ frac {i} {\ phi} \ right) \ quad \ textrm {for} \ . 0 \ leq i \ leq N-1$

$d ^ * _ N$ - منحنيات للقيم المختلفة.

$\ varepsilon = 0$ (الأزرق)؛

$\ varepsilon = \ frac {1} {2}$ (أورانج)؛

$\ varepsilon = \ frac {3} {2}$ (الأخضر)؛ و

$\ varepsilon = \ frac {5} {2}$ (الأحمر). يمكنك أن ترى ذلك

$\ varepsilon = \ frac {5} {2}$ يعطي النتائج أقرب إلى النتائج مقارب. هذا هو ، مع

$N> 20 دولا$ تعبير بسيط التالية يولد نتائج أفضل بكثير.

$d ^ * = 3.29$ بالمقارنة مع شبكة فيبوناتشي الكروية الكنسي:

$t_i = \ left (\ frac {i + 3} {N + 5} ، \ frac {i} {\ phi} \ right) \ quad \ textrm {for} \؛ 0 \ leq i \ leq N-1 \ tag {3}$

هذا هو ، مع

$N = 100 دولا$ قيم الإحداثيات الأولى تساوي:

$\ {\ frac {3} {105} ، \ frac {4} {105} ، \ frac {5} {105} ، \ ldots ، \ frac {100} {105} ، \ frac {101} {105} ، \ frac {102} {105} \}$

الشكل 1. قيم مختلفة

$d_N ^ *$ بقيم مختلفة

$\ epsilon$ . كلما زادت القيمة ، كلما كان التكوين أفضل. نحن نرى ذلك

$\ epsilon \ simeq 2.5 دولا$ يوفر حلا بالقرب من الأمثل.

شبكة 3.

كما ذكر أعلاه ، فإن واحدة من أخطر مشاكل التوزيع الموحد للنقاط على الكرة هي أن أمثلية التوزيع تعتمد بشكل حاسم على الوظيفة الموضوعية المستخدمة. اتضح. أن الكميات المحلية مثل

$d_N ^ *$ في بعض الأحيان يكادون "لا يغفروا الأخطاء" - نقطة واحدة في وضع غير مثالي بما فيه الكفاية يمكن أن تقلل بشكل كارثي تقييم توزيع النقاط بالكامل.

في حالتنا ، بغض النظر عن الحجم

$N$ معنى

$D_N ^ *$ عادة ما تحدده النقاط الأربع الأقرب إلى كل من القطبين ، خاصة

$t_0 دولا$ و

$t_3 دولا$ . ومع ذلك ، فمن المعروف أيضًا عن هذه الشبكة أن أكبر مضلع فورونوي موجود في القطب. لذلك تحاول تعظيم

$d_N$ بتقسيم النقاط القطبية الأصلية على التوالي ، نزيد الفراغ في القطب أكثر! لذلك ، قدمنا بديلاً للشبكة 2 ، وهو الأفضل عمومًا لأنه لا يظهر فراغًا كبيرًا بالقرب من القطبين.

إنه متطابق تقريبًا إلى الشبكة 2 ، ولكن له فوارق. أولا ، إنها تستخدم

$\ varepsilon = 11/2$ في

$1 \ leq i \ leq N-2$ . ثانيا ، إلى جانب هذه

$N-2$ تقع النقطتان الأولى والأخيرة في كل من القطبين.

هذا هو:

$t_0 = (0،0) ؛ \؛ t_n = (1،0) ؛ \ quad t_i = \ left (\ frac {i + 6} {N + 11} ، \ frac {i} {\ phi} \ right) \ quad \ textrm {for} \؛ 1 \ leq i \ leq N-2 \ tag {4}$

إن الخاصية المدهشة لهذه الطريقة في البناء هي أنه على الرغم من حقيقة أن إنشائها كان مدفوعًا بالرغبة في تقليل الفراغات في القطبين ، إلا أنه في الواقع يتمتع بأفضل قيمة بين جميع الأساليب

$d_N$ و

$د ^ *$ مع

$d ^ * = 3.31$ !

هذا هو ، مع

$N = 100 دولا$ ستكون قيم الإحداثيات الأولى كما يلي:

$\ {0؛ \؛ \ frac {7} {111} ، \ frac {8} {111} ، \ frac {9} {1111} ، \ ldots ، \ frac {102} {111} ، \ frac {103} {111} ، \ frac {104} {111} ؛ \؛ 1 \}$

الشكل 2. تكوينات الشبكة المختلفة. شبكة فيبوناتشي الكنسي على اليسار. لاحظ أنه على الرغم من أن الشبكة الوسطى

$d_N ^ *$ تحسنت ، في القطب لديها فراغ ملحوظ. الشبكة 3 ليس لها فراغ في القطب ولها أفضل قيمة

$d_N ^ *$ .

مقارنة

لقيم كبيرة

$N$ هذه القيمة

$د ^ *$ قابلة للمقارنة بشكل جيد للغاية مع الطرق الأخرى ، على سبيل المثال ، القباب الجيوديسية ، التي تستند إلى توقعات مثلثية من وجوه المواد الصلبة الأفلاطونية على سطح الكرة. ليس من المستغرب أن تكون القباب الجيوديسية عالية الجودة مبنية على أساس إيكوساهيدرون أو دوديكاهيدرون.

القباب الجيوديسية المستندة إلى الإيكوسادرون بقيم مختلفة

$N$ .

$\ تبدأ {array} {| c | cccccccccc |} \ hline N & 12 & 42 & 92 & 162 & 252 & 362 & 492 & 642 & 812 & 1002 \\ \ hline d ^ * & 3.64 & 3.54 & 3.34 & 3.22 & 3.15 & 3.09 & 3.06 & 3.03 & 3.00 & 2.99 \\ \ hline \ end {array}$

القباب الجيوديسية المستندة إلى Dodecahedron لقيم مختلفة

$N$ .

$\ تبدأ {array} {| c | ccccccc |} \ hline N & 20 & 32 & 122 & 272 & 482 & 752 & 1082 \\ \ hline d ^ * & 3.19 & 3.63 & 3.16 & 2.99 & 2.90 & 2.84 & 2.81 \\ \ hline \ end {array}$

بالإضافة إلى ذلك ، مجسم إيكوساهيدرون مقطوع يتوافق مع شكل الفوليرين

$C_ {60}$ لديه فقط

$d ^ * = 3.125$ .

هذا هو ، مع

$N> 100 دولا$ شبكة على أساس المعادلة 3 أفضل من أي متعدد السطوح الجيوديسية.

وفقًا للبيانات الواردة من المصدر الأول في قائمة المراجع أدناه ، فإن بعض الأساليب الحديثة ، والتي عادة ما تكون معقدة وتتطلب برمجة متكررة و / أو ديناميكية ، تحتوي على المؤشرات التالية.

$\ start {array} {| lr |} \ hline \ text {Lattice 1} & 3.09 \\ \ hline \ text {Max Determinant} & 3.19 \\ \ hline \ text {Lattice 2} & 3.28 \\ \ hline \ text {Lattice 3} & 3.31 \\ \ hline \ text {Zonal Equal Area} & 3.32 \\ \ hline \ text {Coulomb} & 3.37 \\ \ hline \ text {Log Energy} & 3.37 \\ \ hline \ end { مجموعة}$

استنتاج من القسم 1

الشبكة 3 ، التي أنشأتها المعادلة 3 ، هي عبارة عن تعديل لشبكة فيبوناتشي الكنسي ، والتي توفر تعبئة أفضل بكثير لتوزيع النقاط. هذا هو

$t_0 = (0،0) ؛ \؛ \؛ t_i = \ left (\ frac {i + 6} {N + 11}، \ frac {i} {\ phi} \ right) ؛ \؛ \؛ t_ {N-1} = (0،1) ؛ \ quad \ textrm {for} \؛ 1 \ leq i \ leq N-2$

القسم 2. تحسين الهيكل المحدب (شبكة Delaunay)

في القسم السابق ، قمنا بتحسين التوزيع بواسطة

$d ^ * _ N$ ومع ذلك ، تؤدي هذه التعديلات إلى تفاقم المؤشرات الأخرى ، على سبيل المثال ، حجم بدن محدب (شبكة Delaunay). يصف هذا القسم كيفية توزيع النقاط بالتساوي على كرة ما بطريقة تعظيم (زيادة) مؤشر أكثر عالمية مثل حجم بدن محدب.

نحن نشير

$C_N$ مثل بدن محدب

$N$ نقاط

$\ epsilon_N = N \ left (\ frac {4 \ pi} {3} \؛ - \ textrm {Vol} (C_N) \ right)$

عامل التطبيع المدرجة

$N$ ، لأن التناقض المطلق يتناقص مع السرعة

$~ 1 / N$ .

سلوك

$\ epsilon_N$ في مختلف

$N$ يمكن أن ينظر إليه في الشكل 3 (الخط الأزرق).

للحد من عدم تطابق وحدات التخزين ، تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من استخدام

$\ phi$ ، من منطق القسم الذهبي في

$N \ rightarrow \ infty$ لا يعني بالضرورة أنه أفضل قيمة للنهائي

$N$ . التحدث علميا ، يمكننا القول أننا بحاجة إلى أن نأخذ في الاعتبار تأثير تصحيح أطرافهم.

لنلخص المعادلة 1 كما يلي:

$t_i = \ left (\ frac {i + 1/2} {N} ، \ frac {i} {g (N)} \ right) \ quad \ textrm {for} \؛ 0 \ leq i \ leq N-1 \ tag {4}$

حيث نحدد

$g (n)$ كيف

$g (n) = \ start {cases} 3- \ phi ، & \ text {if $ k $ is}} \ \ phi ، & \ text {if $ k $ odd} \ end {cases} \ tag {5}$

حيث

$k = \ left \ lfloor \ textrm {log} _ {\ phi} (\ frac {n} {1.5}) \ right \ rfloor = \ left \ lfloor \ frac {\ ln (n / 1.5)} {\ ln \ phi \ \ right \ rfloor$

حيث

$\ lfloor x \ rfloor$ - وظيفة التقريب إلى أقرب عدد صحيح لأسفل.

يوضح الشكل 3 مقدار عدم تطابق الحجم الأمثل لنصف القيم.

$N$ .

السبب في ذلك هو حقيقة غير معروفة: جميع الأرقام

$x$ تلبية التحول موبيوس الخاصة ، بدءا من اللاعقلانية ، هي ما يعادلها

$\ phi$ .

$x = \ frac {a \ phi + b} {c \ phi + d} ، \ quad \ textrm {لجميع الأعداد الصحيحة} \؛ \؛ a ، b ، c ، d \؛ \ textrm {مثل هذا} | ad-bc | = 1$

لذلك السبب

$\ phi$ و

$inline$ تنسجم معًا بشكل جيد ، هل هذا صحيح

$\ frac {1} {\ phi} = \ frac {\ phi + 1} {2 \ phi + 1} ، \ quad \ quad \ frac {1} {3- \ phi} = \ frac {2 \ phi + 1} {1 \ phi + 1}$

الشكل 3. عدم تطابق بين حجم بدن محدب من النقاط وحجم المجال وحدة. ضع في اعتبارك أنه كلما كان أصغر ، كان ذلك أفضل. يوضح الشكل أن النموذج الهجين (الخط البرتقالي) يعتمد على

$\ phi$ و

$inline$ ، يوفر توزيع أفضل للنقاط من شبكة فيبوناتشي الكنسي (الخط الأزرق).

بالنسبة للنصف المتبقي ، نقوم أولاً بتحديد سلسلة مساعدة

$A_N$ كونه تباين في سلسلة فيبوناتشي

$A_1 = 1 ، \ ؛ A_2 = 4 ؛ \؛ A_ {n + 2} = A_ {n + 1} + A_n \؛ \ textrm {for} n = 1،2،3 ، ...$

هذا هو

$A_N = 1،4،5،9،14،23،37،60،97،157،254،411، ...$

جميع الكسور من هذه السلسلة لها كسور مستمرة أنيقة ، وفي حدود التقارب إلى

$\ phi$ . على سبيل المثال

$t _5 / t_4 = 1+ \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {4}}}}$

الآن يمكننا تعميم تماما

$g (n)$ على النحو التالي:

$g (N) = \ start {cases} 3- \ phi ، & \ text {if $ k $ is even} \\ A_ {j + 1} / A_j ، & \ text {if $ k $ غريب ، حيث $ j = (k + 7) / 2 $} \ end {cases} \ tag {6}$

يوضح الجدول أدناه القيم

$g (N)$ لمختلف

$N$ .

$\ start {array} {| c | c | c | c | c | c | c | c | c |} \ hline N & 4-6 & 7-10 & 11-16 & 17-26 & 27-43 & 44- 70 & 71-114 & 115-184 & 185-300 \\ \ hline g (n) & 3- \ phi & \ frac {23} {14} & 3- \ phi & \ frac {37} {23} & 3- \ phi & \ frac {60} {37} & 3- \ phi & \ frac {97} {60} & 3- \ phi \\ \ hline \ end {array}$

يوضح الشكل 4 أنه فيما يتعلق بحجم الهيكل المحدب ، فإن هذا التوزيع الجديد أفضل من الشبكة المتعارف عليها لجميع القيم

$ن$

الشكل 4. عدم تطابق بين حجم بدن محدب وحجم المجال وحدة. كلما انخفضت القيمة ، كان ذلك أفضل. هذا يخبرنا أن الطريقة الجديدة المقترحة (الخط الأخضر) توفر باستمرار توزيعًا أفضل من شبكة فيبوناتشي الأساسية (الخط الأزرق).

الشكل 5. مقارنة بصرية للشبكة الكنسي (يسار) مع الشبكة المعدلة الجديدة (يمين) مع n = 35 و n = 150. بصريا ، الاختلافات تكاد تكون غير محسوسة. ومع ذلك ، في ظل الظروف التي تتطلب أقصى قدر من الكفاءة ، توفر النسخة المعدلة (على اليمين) تحسينًا صغيرًا ولكنه قابل للقياس في حجم ومساحة سطح الهيكل المحدب.

ومن الغريب أن هذا التوزيع غير مهم أيضًا ، ولكنه يقلل بشكل ثابت من عدم التطابق بين مساحة سطح بدن محدب ومساحة سطح كرة مفردة. هذا يظهر في الشكل 6.

الشكل 5. عدم التطبيع الطبيعي للمناطق بين مساحة سطح بدن محدب (شبكة Delaunay) ومساحة سطح كرة واحدة. كلما انخفضت القيمة ، كان ذلك أفضل. هذا يدل على أن التعديل الجديد المقترح (النقاط الخضراء) يدل على انخفاض طفيف ولكنه ثابت في الفرق في المساحات السطحية مقارنة بشبكة فيبوناتشي الكنسي (النقاط الزرقاء)

استنتاج من القسم 2

الشبكة المقابلة للمعادلة 6 هي عبارة عن تعديل لشبكة فيبوناتشي الكنسي ، مما يؤدي إلى توزيع أفضل بكثير للنقاط ، استنادًا إلى حجم ومساحة سطح الهيكل المحدب (شبكة Delaunay).

مصادر

توزيع موحد للنقاط على الكرة

مقدمة

القسم 1. الأمثل من مسافة التعبئة والتغليف

القسم 2. تحسين الهيكل المحدب (شبكة Delaunay)

More articles: