لماذا لا يحتاج إثبات نظرية فيرما العظيمة إلى التحسين

على مر العقود منذ الدليل التاريخي لنظرية فيرما العظيمة ، ظهرت عدة أفكار حول كيفية جعلها أكثر موثوقية. ومع ذلك ، فإن هذه المحاولات تعكس سوء فهم عميق لما يجعل الأدلة مهمة.

يصادف يوم 23 يونيو الذكرى الخامسة والعشرين لإعلان أندرو وايلز ، الذي أثار حماس الجميع ، والذي أعلن فيه استلام دليل على نظرية فيرما العظيمة ، وهي أشهر مشكلة في الرياضيات في عمر 350 عامًا. القصة التي تحيط بدليل ويلز - عمل سراً في هذا المشروع لمدة سبع سنوات ، فجوة الأدلة التي ظهرت بعد إعلان يونيو ، وهو حل أنيق نشر بعد عام في عمل مشترك كتبه ويلز مع تلميذه السابق ريتشارد تايلور ، وحصل على لقب فارس في عام 2000 - دخلت حوليات الأساطير الرياضية.

بعد انفراج ويلز ، يمكن للمرء في كثير من الأحيان سماع تكهنات حول ظهور "عصر ذهبي" جديد في الرياضيات ، وخاصة في نظرية الأعداد - الحقل الذي تنتمي إليه نظرية فيرما. تعد الطرق التي قدمها ويلز وتايلور اليوم جزءًا من مجموعة أدوات خبراء نظرية الأعداد الذين يعتبرون تاريخ النظرية الكبرى مغلقة. لكن هذه القصة لم تطرق فقط المتخصصين في نظرية الأعداد.

لقد تذكرت هذا الأمر فجأة بأحداث عام 2017 ، عندما أشار اثنان من أخصائيي المنطق الذين قدموا تقارير عن قارتين مختلفتين ، خلال فترة عدة أيام ، إلى طرق لتحسين إثبات النظرية - وأخبرني بمدى دهشتهم لزملائهم عندما لم يظهر الخبراء في نظرية الأعداد أفكارهم ليست ذات فائدة.

عبر Log Logis عن هذه الأفكار بلغات تخصصات كل منها - نظرية المجموعات وعلوم الكمبيوتر النظرية. كانت المقترحات التي قدمتها صحيحة بطبيعتها ، وربما في يوم من الأيام ستطرح أسئلة جديدة ، لا تقل أهمية عن تلك التي طرحها فيرما. ومع ذلك ، أصبح من الواضح لي على الفور أن هذه الأسئلة لا تتعلق بالأخصائيين في نظرية الأعداد ، وأن أي افتراضات أخرى تعكس سوء فهم عميق لطبيعة دليل ويلز وأهداف نظرية الأعداد بشكل عام.

يمكن العثور على جذور سوء الفهم هذا في بساطة بيان Theorem ، المسؤول عن معظم جاذبيته: إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا أكبر من 2 ، فمن المستحيل العثور على ثلاثة أرقام موجبة ، أ ، ب ، ج ، بحيث:

$$

$$a ^ n + b ^ n = c ^ n$$

يتناقض هذا بوضوح مع الحالة حيث n هي 2: أي شخص درس الهندسة الإقليدية سيتذكر أن 3 ² + 4 ² = 5 ² ، وأن 5 ² + 12 ² = 13 ² ، وهكذا (هذه القائمة لا تنتهي). على مدار القرون القليلة الماضية ، حاول علماء الرياضيات شرح وجود مثل هذا التناقض ، وفي كل مرة فشلوا فيها ، تاركين وراءهم فروعًا جديدة كاملة من الرياضيات. من بين هذه الفروع مساحات واسعة من نظرية الأعداد الحديثة ، يجذبها ويلز لحله الناجح ، وكذلك العديد من الأفكار الأساسية في كل جزء من العلوم التي يمسها علماء الرياضيات. ومع ذلك ، لم يتمكن أي شخص من قبل Wiles من إثبات ادعاء Fermat.

لقد شعر علماء الكمبيوتر في الآونة الأخيرة بالحماس للتعرف على التقدم المحرز في تأكيد الأدلة تلقائيًا - وهي محاولة طموحة لوضع النهج الشكلي في الرياضيات موضع التنفيذ. بالنسبة للمتخصصين ، فإن الإثبات الرياضي عبارة عن قائمة من العبارات التي تفي بالقيود الصارمة:

1. يجب أن تتضمن البيانات الموجودة في أعلى القائمة أفكارًا مقبولة بشكل عام. في تفسير دقيق ، يتضمن هذا فقط البديهيات لنظرية المجموعة الرسمية ، عادةً من النظام الرسمي المعروف باسم ZFC (نظام Zermelo-Frenkel مع البديهية المفضلة). هذا غير عملي تمامًا ، لذلك نسمح أيضًا بإدراج النظريات المثبتة بالفعل - على سبيل المثال ، النظرية الكبرى للحالة n = 4 ، والتي أثبتها Fermat نفسه في القرن السابع عشر.
2. يجب الحصول على كل عبارة لاحقة من خلال تطبيق قواعد الاستنتاج المنطقي على البيانات السابقة.
3. أخيرًا ، يجب أن تكون النظرية المؤكدة في آخر مكان في القائمة.

تم تطوير المنطق الرياضي على أمل وضع الرياضيات على أساس متين - كنظام بديهي وخالي من التناقضات ، وهو قادر على التفكير دون الانزلاق إلى التناقض. على الرغم من أن عمل كورت جودل أظهر عدم إمكانية تحقيق هذا الحلم ، إلا أن العديد من الفلاسفة من الرياضيات ، وكذلك بعض علماء المنطق (أقلية صغيرة ولكنها نشطة ، وفقًا لخبراء في نظرية المجموعة) ما زالوا يشيرون إلى ZFC والمتطلبات المذكورة كنوع من الدستور من الرياضيات.

ومع ذلك ، فإن علماء الرياضيات لم يكتبوا الأدلة بهذا الشكل. يشير التحليل المنطقي لأدلة Wiles إلى العديد من الخطوات التي لا تأخذ ZFC في الاعتبار ، مع احتمال حدوث فضيحة: إذا توصل علماء الرياضيات إلى قواعد دون التحقق من دستورية ، كيف يعرفون أنهم جميعًا يعنون نفس الشيء؟

يبدو أن التحقق التلقائي من الأدلة يقدم حلاً لهذه المشكلة. يتضمن إعادة صياغة الأدلة من خلال مجموعة من البيانات المنفصلة ، كل منها مكتوب بلغة ثابتة يمكن للكمبيوتر قراءتها ، ثم تأكيد الإخلاص الدستوري لكل خطوة. تم تطبيق هذه الطريقة المستهلكة للوقت بنجاح على العديد من البراهين الطويلة والمعقدة ، وأشهرها هو دليل فرضية كبلر على التعبئة الأكثر كثافة للكرات التي صنعها توماس هاليز. لطالما اعتبر اختبار دليل ويلز أحد الأهداف الرئيسية. لذلك ، كان صديقي ، وهو متخصص في علوم الكمبيوتر ، يشعر بخيبة أمل حقيقية لأن البحث عن "علماء الرياضيات البحتين الذين يدعمون بشكل قاطع استخدام الأدوات الآلية في بناء حججهم" ، كما صاغ ، لم تسفر عن نتائج بعد.


" الحساب " لطبعة ديوفانتوس لعام 1670 ، حيث تم أيضًا تضمين ملاحظة فيرما سيئة السمعة في النص الرئيسي. في الترجمة ، يصبح نصها كما يلي: "من المستحيل أن يكون المكعب مجموع مكعبين ، أما بالنسبة للدرجة الرابعة فمن المستحيل أن يكون مجموع درجتين رابعتين ، أو بشكل عام ، لأي عدد يمثل درجة أكبر من الثانية ، يكون من المستحيل أن يكون مجموع اثنين من نفس الدرجات. لقد اكتشفت دليلًا رائعًا حقًا على هذا الافتراض ، حيث أن هذه الحقول ضيقة جدًا ولا يمكن استيعابها ".

أول شيء لا يأخذ في الحسبان خيبة الأمل هذه هو أن أدلة Wiles ، وإن كانت معقدة ، لها أساس بسيط يسهل شرحه للجمهور العادي. لنفترض أنه ، خلافًا لبيان فيرما ، هناك ثلاثة أعداد صحيحة موجبة أ ، ب ، ج

(A) a ^p + b ^p = c ^p

بالنسبة لبعض الأرقام الأولية الفردية (ويكفي التفكير في الأعداد الأولية فقط). في عام 1985 ، أظهر غيرهارد فراي أنه يمكن إعادة ترتيب أ ، ب ، ج

(ب) معادلة جديدة تسمى "منحنى إهليلجي"

مع الخصائص التي يعتقد الجميع كانت مستحيلة. بتعبير أدق ، من المعروف منذ فترة طويلة كيفية التعبير عن هذا المنحنى الإهليلجي من حيث

(C) جالوا التمثيل

وهي مجموعة لا حصر لها من المعادلات المتعلقة بكل من المنحنى الإهليلجي ولكل منهما الآخر عن طريق قواعد واضحة.

العلاقة بين هذه الخطوات كانت معروفة في عام 1985. بحلول ذلك الوقت ، كان معظم الخبراء في نظرية الأعداد مقتنعين - رغم عدم وجود دليل حتى الآن - على أنه يمكن تعيين كل تمثيل من جزر جالوا ، مرة أخرى ، وفقًا لقواعد واضحة ،

(د) وظيفة وحدات ،

شيء مثل تعميم ثنائي الأبعاد لوظائف الجيب وجيب التمام المألوف من علم المثلثات.

تم الحصول على الرابط النهائي عندما أكد كين ريب على افتراض جان بيير سور أن خصائص الوظيفة المعيارية المعطاة في شكل منحنى إهليلجي فراي تعني وجود

(E) وظيفة وحدات أخرى من الوزن 2 والمستوى 2.

ومع ذلك ، لا يمكن أن توجد مثل هذه الوظائف. لذلك ، لا توجد وظيفة معيارية (D) ، ولا تمثيل غالوا (C) ، ولا معادلة (B) ، ولا حل (A).

بقي فقط للعثور على الحلقة المفقودة بين (C) و (D) ، والتي يطلق عليها علماء الرياضيات فرضية الوحدات.

كان هذا الرابط موضوع البحث لمدة سبع سنوات عن Wiles. من وجهة نظرنا الحالية ، من الصعب تقدير شجاعة هذا المشروع المحفوف بالمخاطر تمامًا. بعد مرور عشرين عامًا على قيام يوتاكا تانياما وغورو شيمورا بالإبلاغ عن العلاقة بين (ب) و (د) إلى (ج) في الخمسينيات ، توصل علماء الرياضيات تدريجياً إلى أن هذا ينبغي أن يكون كذلك. تم التعبير عن هذا الأمل في عمل شائع للغاية قام به Andre Weil ، والذي يتناسب تمامًا مع برنامج Langlands المؤثر للغاية ، والذي سمي على اسم عالم الرياضيات الكندي Robert Langlands. كان هذا الاتصال جيدًا جدًا حتى لا يكون صحيحًا. ومع ذلك ، فإن فرضية نمطية بدا بعيد المنال تماما. كائنات الأنواع (C) و (D) كانت مختلفة جدًا.

لم يشرح عالم الكمبيوتر ما إذا كان خيبة أمله ترجع إلى حقيقة أنه لم يكن من المهم بالنسبة لنظرية الأعداد أن يقتصر الدليل على إيجاد الرابط الحرج بين (C) و (D) ، أو أنه تراوح من (A) إلى (E). لن أحاول معرفة ذلك. ولكن إذا احتاج المنطقيون فقط إلى التأكيد الرسمي لإثبات العلاقة بين (C) و (D) رسميًا ، فستكون توقعاتهم مرتفعة جدًا. أولاً ، أثبت Wiles أكثر قليلاً بما يكفي لفرضية الوحدة لاستكمال الخصم "من (A) إلى (E)". تم وضع فرضية كاملة من وحدات نمطية بعد عدة سنوات من قبل كريستوف برولي ، براين كونراد ، فريد الماس وريتشارد تايلور. لكن هذا لا يلقي بظلاله على عمل Wiles! على العكس من ذلك ، فإن حقيقة أن مثل هذا العدد الكبير من الخبراء العالميين البارزين في نظرية الأعداد قد اتبعوا خطوات عمل ويليس بعد بضعة أشهر فقط من ظهوره يتحدث عن ثروته.

على سبيل المثال ، في وقت لاحق بقليل ، في خريف عام 2016 ، التقى 10 من علماء الرياضيات في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون ، نيو جيرسي ، وكانوا قادرين على إثبات وجود صلة بين المنحنيات الإهليلجية والوظائف المعيارية في ظل ظروف جديدة. لقد استخدموا جميعًا مسارات مختلفة لفهم بنية دليل وايلز ، الذي ظهر عندما كان بعضهم لا يزالون أطفالًا. إذا طُلب منهم وصف هذا الدليل في شكل سلسلة من الاستنتاجات المنطقية ، فإنهم بلا شك سيصدرون 10 نسخ مختلفة منه. يشبه كل منهم المسار من (A) إلى (E) الموصوف أعلاه ، ولكنه سيكون أكثر تفصيلاً.

ومع ذلك - وهذا ما يتم تجاهله دائمًا من وجهة النظر الفلسفية للأدلة - فإن كل واحد من هؤلاء العشرة ينسب تأليف دليله إلى ويلز. كانوا يشيرون إليهم بالطريقة نفسها التي تشير إليها الأدلة الأخرى في مقالات توضيحية أو في الدورات التدريبية التي حضروها أو قاموا بتدريسها. وعلى الرغم من أن كل من العشرة كانوا قد أغفلوا بعض التفاصيل ، إلا أنهم عمومًا سيكونون على حق.

ما هو دليل Wiles إذا كان يمكن أن يكون لديه العديد من الخيارات المختلفة؟ في الفلسفة الرياضية ، من المعتاد التعامل مع الدليل المنشور كتقدير لإثبات رسمي مثالي ، والذي يمكن من حيث المبدأ التحقق منه على جهاز كمبيوتر يطبق قواعد النظام الرسمي. لا يتلوث الدليل المثالي بأي شيء خارج النظام الرسمي - كما لو أن كل قانون يحمل علامة تؤكد مبرراته الدستورية.

لكن هذا النهج يتناقض مع ما يقوله علماء الرياضيات أنفسهم عن أدلةهم. لا يستخدم علماء الرياضيات اختبارات عبودية أيديولوجية أو فلسفية ، لكنني مقتنع بأن معظم زملائي سيتفقون مع مايكل فرانسيس عطية ، الذي صرح أن الدليل "هو الاختبار النهائي ، ولكن ليس أساس أي شيء". الأدلة المنشورة ليست بوضوح أساس أي شيء.

من المؤكد أن خبراء ويلز وخبراء نظرية الأعداد الذين صقلوا أفكاره ووسعوها لم يتوقعوا تلقي عروض من اثنين من أخصائيي المنطق. ولكن - على عكس العديد من الأشخاص الذين يراقبون نظرية الأعداد من بعيد - فهموا بالتأكيد أن مثل هذا الدليل الذي نشره Wiles يجب ألا يعامل كنوع من القطع الأثرية بحد ذاته. على العكس من ذلك ، فإن دليل ويلز هو نقطة الانطلاق للحوار المفتوح الذي يكون بعيد المنال ونابضًا بالحيوية بحيث لا يمكن قصره على الحدود الخطيرة الغريبة على الموضوع.