سوف أتحدث في هذه المقالة عن صيغة غير عادية تسمح لك بالنظر إلى زاوية جديدة في التحولات المرتبطة بالمحاولة ، وخاصة المشاكل العكسية التي تنشأ فيما يتعلق بهذه التحولات. سأدعو إلى مشاكل معكوسة تتطلب حساب المصفوفة العكسية: العثور على التحويل بالنقاط ، وحل نظام المعادلات الخطية ، وتحويل الإحداثيات عند تغيير الأساس ، إلخ. سوف أبدي تحفظًا على الفور بأنه لن يكون هناك أي اكتشافات أساسية في المقال ، أو انخفاض في تعقيد الخوارزمية - سأُظهر ببساطة صيغة متماثلة وسهلة التذكر يمكنك من خلالها حل العديد من مشكلات التشغيل بشكل غير متوقع. لمحبي الدقة الرياضية ، يوجد هنا عرض تقديمي أكثر رسمية [1] (موجه نحو الطلاب) وكتاب مشاكل صغير هنا [2] .

عادة ما يتم تعريف التحول تقارب من المصفوفة $$$دولا$ وناقلات الترجمة ويعمل على حجة ناقلات من الصيغة

$$

$$\ mathcal {A} (\ vec {x}) = \ hat {A} \ vec {x} + \ vec {t}.$$

ومع ذلك ، يمكنك الاستغناء عنها $$$\ vec {t}$ إذا كنت تستخدم المصفوفة المدمجة والإحداثيات الموحدة للوسيطة (كما هو معروف لمستخدمي OpenGL). ومع ذلك ، اتضح أنه ، بالإضافة إلى أشكال الكتابة هذه ، يمكنك أيضًا استخدام محدد المصفوفة الخاصة ، والذي يحتوي على إحداثيات الوسيطة والمعلمات التي تحدد التحول. الحقيقة هي أن المحدد له خاصية الخطية على عناصر أي صف أو عمود ، وهذا يسمح باستخدامه لتمثيل التحولات المرتبطة. هنا ، في الواقع ، كيف للتعبير عن عمل التحول أفيني على ناقل تعسفي $$$\ vec {x}$ :


لا تتسرع في الهرب في رعب - أولاً ، يتم كتابة تحول هنا يعمل على مسافات ذات بعد تعسفي (هناك أشياء كثيرة من هنا) ، وثانياً ، على الرغم من أن الصيغة تبدو مرهقة ، إلا أنها تتذكر وتستخدم ببساطة. للبدء ، سأسلط الضوء على العناصر المرتبطة منطقياً بالإطارات والألوان


لذلك نرى أن عمل أي تحول تقارب $$$\ mathcal {A}$ يمكن تمثيل لكل متجه كنسبة محددة ، مع إدخال وسيطة المتجه فقط في الأعلى ، والقاع هو مجرد ثابت يعتمد فقط على المعلمات.

الضوء الأزرق المتجه $$$\ vec {x}$ هي حجة ، المتجه الذي يعمل على تحويل تقارب $$$\ mathcal {A}$ . فيما يلي ، تشير الرموز إلى مكون المتجه. في المصفوفة العليا للمكونات $$$\ vec {x}$ احتل العمود الأول بأكمله تقريبًا ، باستثناءهم في هذا العمود فقط صفر (أعلى) وواحد (أسفل). جميع العناصر الأخرى في المصفوفة عبارة عن متجهات معلمة (يتم ترقيمها بالحروف المرتفعة ، التي يتم وضعها بين قوسين حتى لا يتم الخلط بينها وبين الدرجة) والوحدات الموجودة في الصف الأخير. بين مجموعة من جميع التحولات تقارب ، تميز المعلمات ما نحتاجه. راحة وجمال الصيغة هي أن معنى هذه المعلمات بسيط للغاية: فهي تحدد تحول تقارب يترجم المتجهات $$$\ vec {x} ^ {\، (i)}$ في $$$\ vec {X} ^ {(i)}$ . لذلك ناقلات $$$\ vec {x} ^ {\، (1)}، \ dots، \ vec {x} ^ {\، (n + 1)}$ ، سوف نسمي "الإدخال" (محاطين بالمستطيلات في المصفوفة) - كل واحد منهم مكتوب بحكمة في العمود الخاص به ، يتم إلحاق الوحدة أدناه. تتم كتابة معلمات "الإخراج" من الأعلى (مظللة باللون الأحمر) $$$\ vec {X} ^ {(1)} ، \ dots ، \ vec {X} ^ {(n + 1)}$ ، ولكن الآن ليس المكون ، ولكن ككيان كامل.

إذا فوجئ شخص ما بهذا السجل ، فتذكر المنتج الموجه

$$عرض $$ $$ [\ vec {a} \ times \ vec {b}] = \ det \ تبدأ {pmatrix} \ vec {e} _1 & \ vec {e} _2 & \ vec {e} _3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \ end {pmatrix} ، عرض $$ $$

حيث كان هناك بنية متشابهة جدًا وكان السطر الأول يشغلها ناقلات الخط الأول. وعلاوة على ذلك ، فإنه ليس من الضروري أن أبعاد ناقلات $$$\ vec {X} ^ {(i)}$ و $$$\ vec {x} ^ {(i)}$ تزامن. تعتبر جميع المحددات كالمعتاد وتسمح بـ "الحيل" المعتادة ، على سبيل المثال ، يمكنك إضافة عمود آخر إلى أي عمود.

باستخدام المصفوفة السفلية ، كل شيء بسيط للغاية - يتم الحصول عليه من الأعلى بحذف الصف الأول والعمود الأول. عيب (1) هو أنه يجب عليك أخذ المحددات ، ومع ذلك ، إذا قمت بنقل هذه المهمة الروتينية إلى جهاز كمبيوتر ، فقد تبين أن الشخص سوف يتعين عليه فقط ملء المصفوفات بشكل صحيح بأرقام من مهمته. في الوقت نفسه ، باستخدام صيغة واحدة ، يمكنك حل بعض المشكلات العملية الشائعة:

• إيجاد تحول تقريبي بالنقاط ؛
• حساب إحداثيات مركزية.
• الاستيفاء متعدد الخطوط.
• مشاكل التحول الخطي (بدون ترجمة):
  
  • انعكاس المصفوفة
  • قاعدة كرامر في صيغة واحدة (لا ، ما رأيته ليس في صيغة واحدة) ؛
  • إعادة حساب إحداثيات المتجه عندما يتغير الأساس ؛
  • الاستيفاء من قبل لاجرانج متعدد الحدود.

ثلاث نقاط تحول أفيني على متن طائرة

تحت تأثير تحول أفيني غير معروف ، مرت ثلاث نقاط على متن الطائرة إلى النقاط الثلاث الأخرى. العثور على هذا التحول أفيني.
من أجل الدقة ، دع نقاط الدخول الخاصة بنا


و نتيجة التحول

العثور على التحول تقارب $$$\ mathcal {A}$ .

في الواقع ، يمكن حل هذه المشكلة بطرق مختلفة: باستخدام نظام المعادلات الخطية ، الإحداثيات ثنائية المركز ... لكننا سنذهب بطريقتنا الخاصة. أعتقد أنه من خلال الرموز المستخدمة ، يمكنك تخمين ما أحصل عليه: نأخذ المعادلة (1) للبعد $$$ن = 2 دولا$ والبديل $$$\ vec {x} ^ {\، (i)}$ كمعلمات الإدخال ، و $$$\ vec {X} ^ {\، (i)}$ - كنهاية أسبوع


وبعد ذلك يبقى فقط لحساب المحددات


سوف العين المدربة اكتشاف بسهولة بدوره على $$$30 ^ {\ circ}$ والبث على $$$((3 + \ sqrt {3}) / 2 ، 2) ^ {\ mathsf {T}}$ .

متى تكون الصيغة قابلة للتطبيق؟

يمكن أن يكون لمتجهات المدخلات والمخرجات أبعاد مختلفة - الصيغة قابلة للتطبيق على التحويلات التي تعمل على مسافات من أي بُعد. ومع ذلك ، يجب أن تكون هناك نقاط إدخال كافية ويجب ألا "تلتصق ببعضها البعض": إذا كان تحول الأفعال يتصرف من $$$ن$ مسافة-الأبعاد - يجب أن تشكل النقاط البسيط غير المنحل $$$ن + 1 دولا$ النقطة. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فمن المستحيل استعادة التحول بشكل لا لبس فيه (بأي طريقة على الإطلاق ، وليس هذا فقط) - سوف تحذر الصيغة من هذا بمقدار صفر في المقام.

لماذا استعادة تحويل أفيني إلى مبرمج؟

غالبًا ما تحتاج إلى العثور على تحويل بين صورتين (لحساب موضع الكاميرا ، على سبيل المثال). إذا كانت لدينا بعض النقاط (الميزات) الخاصة الموثوقة في هذه الصور ، أو لا ترغب في البدء على الفور مع ranzaks والقتال مع طبقات خارجية ، فيمكن استخدام هذه الصيغة.

مثال آخر هو التركيب . إن قطع مثلث من نسيج ما وسحبه إلى مثلث في مكان ما في الطائرة أو في الفضاء هو مهمة نموذجية لتطبيق تحويل القراب على نقاط من مساحة نسيج ، وترجمتها إلى الفضاء الذي تعيش فيه النماذج. غالبًا ما يكون من السهل علينا الإشارة إلى النقاط الموجودة على النسيج التي تتوافق مع رؤوس مثلث النموذج ، ولكن تحديد المكان الذي تذهب إليه النقاط غير الزاوية قد يتطلب بعض التفكير. مع نفس الصيغة ، يكفي فقط إدخال الأرقام في الخلايا الصحيحة وسيكون هناك مثل هذا الجمال.

من ما اضطررت إلى مواجهته شخصيًا: توفر الشبكة العصبية إحداثيات زوايا العلامة ونريد "استكمال الواقع" بكائن افتراضي موجود على العلامة.
من الواضح ، عند تحريك العلامة ، يجب أن يعيد الكائن كل تحركاته. وهنا الصيغة (1) مفيدة للغاية - ستساعدنا في تحريك الكائن بعد العلامة.

أو مثال آخر: تحتاج إلى برمجة دوران الكائنات المختلفة على المسرح باستخدام أداة gizmo. للقيام بذلك ، يجب أن نكون قادرين على تدوير النموذج المحدد حول ثلاثة محاور متوازية مع محاور الإحداثيات ومرور وسط الكائن. توضح الصورة حالة دوران النموذج حول محور موازٍ لـ $$ .

في النهاية ، كل ذلك يعود إلى مشكلة التناوب ثنائية الأبعاد حول نقطة تعسفية. دعنا نحلها في حالة بسيطة ، على سبيل المثال ، تشغيل $$$90 ^ \ circ$ عكس عقارب الساعة حولها $$$(a؛ b)$ (يتم حل الحالة العامة بالطريقة نفسها ، لا أريد فقط فوضى الحسابات باستخدام الجيب وجيب التمام). بالطبع ، يمكنك السير في طريق الساموراي وضرب المصفوفات الثلاثة (ترجمة نقطة الدوران إلى الصفر ، في الواقع التدوير والترجمة إلى الخلف) ، أو يمكنك العثور على إحداثيات أي ثلاث نقاط قبل وبعد التدوير واستخدام الصيغة. النقطة الأولى سهلة - نحن نعرف ذلك بالفعل $$$(a؛ b)$ يذهب إلى نفسه. دعونا نلقي نظرة على النقطة الأولى إلى اليمين ، لأنها صحيحة $$$(a + 1؛ b) \ mapsto (a؛ b + 1)$ . حسنا ، وواحد آخر أدناه ، فمن الواضح أن $$$(a؛ b-1) \ mapsto (a + 1؛ b)$ . ثم كل شيء بسيط

إحداثيات مركزية

نحلل المحدد الأعلى (1) على طول السطر الأول وفقًا لقاعدة لابلاس. من الواضح أنه نتيجة لذلك ، نحصل على بعض المتجهات المرجحة $$$\ vec {X} ^ {(i)}$ . اتضح أن المعاملات في هذا المجموع هي إحداثيات مركزية للحجة $$$\ vec {x}$ فيما يتعلق البسيط معين $$$\ vec {x} ^ {\، (i)}$ (للاطلاع على البراهين انظر [1] ). إذا كنا مهتمين فقط بإحداثيات مركزية لنقطة ما ، فيمكننا أن نخدع ونملأ السطر الأول بوحدات وحدة - بعد حساب المحددات ، نحصل على متجه تتزامن مكوناته مع إحداثيات مركزية $$$\ vec {x}$ . بيانيا ، مثل هذا التحويل $$$\ mathcal {B}$ تبدو ترجمة نقطة في فضاء إحداثياتها ثنائية المركز على النحو التالي


دعونا نجرب هذه "الوصفة" في الممارسة العملية. المهمة: ابحث عن إحداثيات مركزية لنقطة فيما يتعلق بمثلث معين. فليكن نقطة للنزاهة $$$(2،2) ^ \ mathsf {T}$ ، واتخاذ قمم مثلث


النقطة صغيرة - خذ (1) لـ $$$ن = 2 دولا$ ، ضع بيانات المهمة بشكل صحيح وحساب المحددات


هنا هو الحل: إحداثيات مركزية $$$(2،2) ^ \ mathsf {T}$ فيما يتعلق مثلث معين هناك $$ . $$ و $$ . في البرمجة ، غالبًا ما ينشأ حساب إحداثيات مركزية في سياق التحقق مما إذا كانت نقطة ما داخل البساط (تكون جميع إحداثيات مركزية أكثر من الصفر وأقل من الوحدة) ، وكذلك بالنسبة للعديد من الاستيفاءات ، والتي سنناقشها الآن.

لاحظ أن الصيغة (1) لها ازدواجية سارة: إذا قمنا بتوسيع المحدد في العمود الأول ، فسوف نحصل على الترميز القياسي لوظيفة affine ، وإذا حصلنا في السطر الأول على مجموعة affine من متجهات المخرجات.

متعدد الخطوط الاستيفاء

لذلك ، وجدنا أن تحول الأوزان يزن متجهات الخرج بمعاملات تساوي إحداثيات مركزية الحجة. من الطبيعي استخدام هذه الخاصية للاستيفاء متعدد الخطوط.

لون الاستيفاء

على سبيل المثال ، دعونا نحسب GL القياسي - "عالم الترحيب" - مثلث ملون. بالطبع ، يعرف برنامج OpenGL تمامًا كيفية تحريف الألوان وأيضًا القيام بذلك باستخدام إحداثيات متحدة المركز ، ولكن اليوم سنفعل ذلك بأنفسنا.

المهمة: عند رؤوس المثلث ، يتم ضبط الألوان ، لإقحام الألوان داخل المثلث. للتأكد من صحتها ، دع قمم المثلث لدينا لها إحداثيات


نخصص لهم الألوان: الأصفر ، السماوي والأرجواني


الأرقام الثلاثية هي مكونات RGB للون. خذ (1) وترتيب بيانات الإدخال بشكل صحيح


وهنا المكونات $$$\ mathcal {C} (x؛ y)$ تشير إلى كيفية رسم نقطة $$$(س ، ذ)$ من حيث RGB. دعونا نرى ما حدث.

يمكننا القول أننا قمنا للتو بتحويل تقريبي للفضاء ثنائي الأبعاد لصورة ما إلى فراغ ثلاثي الأبعاد للألوان (RGB).

الاستيفاء العادي (تظليل فونج)

يمكننا وضع مجموعة متنوعة من المعاني في المتجهات التي نقوم بتحريفها ، بما في ذلك المعاني التي يمكن أن تكون ناقلات طبيعية. علاوة على ذلك ، هذا هو بالضبط ما يفعله تظليل فونج ، فقط بعد الاستيفاء تحتاج إلى تطبيع المتجهات. توضح الحاجة التالية هذا الاستيفاء بالصورة التالية (مأخوذة من ويكيبيديا commons.wikimedia.org/w/index.php؟curid=1556366 ).

لا أعتقد أن الأمر يستحق إجراء حسابات - كل التفاصيل تمت مناقشتها في [2] ، لكنني سأعرض صورة بالنتيجة.

المتجهات الموجودة عليها ليست وحيدة ، ولاستخدامها في تظليل فونج ، يجب أولاً تطبيعها ، وللتوضيح ، يتم توجيهها في اتجاهات مختلفة تمامًا ، وهذا نادرًا ما يحدث في الممارسة العملية.

البحث عن الطائرة $$$z = z (x، y)$ في ثلاث نقاط

النظر في مثال آخر غير عادي لتطبيق التحول أفيني.
يتم إعطاء ثلاث نقاط

نجد معادلة الطائرة التي تمر بها في النموذج $$$z = z (x، y)$ . وسنفعل ذلك بمساعدة تحولات الأقرباء: من المعروف أنهم يقومون بترجمة الطائرات في الطائرات. للبدء ، نقوم بتصميم جميع النقاط على متن الطائرة $$$Xy$ هذا سهل. والآن ، سننشئ تحولا تقريبيا يترجم توقعات النقاط إلى النقاط ثلاثية الأبعاد الأصلية


والتي "تلتقط" جنبا إلى جنب مع النقاط والطائرة بأكملها $$$Xy$ لدرجة أنه بعد التحول سوف يمر عبر النقاط التي تهمنا.

كالعادة ، نحن بحاجة فقط لتوزيع الأرقام بين عناصر المصفوفات


أعد كتابة التعبير الأخير بالشكل المعتاد


ورسم ما حدث.

التحولات الخطية

على الرغم من الأهمية العملية للتحولات تقارب ، وغالبا ما يتعين على المرء التعامل مع التحولات الخطية. بطبيعة الحال ، التحولات الخطية هي حالة خاصة من التحولات الذكرية ، تاركة نقطة في مكانها $$$\ vec {0}$ . يتيح لنا ذلك تبسيط الصيغة قليلاً (بعد كل شيء ، سيتألف أحد الأعمدة من أصفار تقريبًا فقط ويمكنك توسيع المحدد بها)


كما ترون ، فإن الصف الأخير مع الوحدات وعمود واحد مفقود من الصيغة. هذه النتيجة تتسق تمامًا مع أفكارنا التي تحدد تحولًا خطيًا ، وهي كافية للإشارة إلى تأثيرها على $$$ن$ عناصر مستقلة خطيا.

ثلاث نقاط التحول الخطي

دعونا نحل المشكلة لنرى كيف يعمل كل شيء. المشكلة: من المعروف أنه تحت تأثير بعض التحولات الخطية


نجد هذا التحول الخطي.

نأخذ صيغة مبسطة ونضع الأرقام الصحيحة في الأماكن الصحيحة:


القيام به!

العثور على تحويل معكوس

أذكر أن مصفوفة التحول الخطي


يحتوي على صور لمتجهات الوحدة في أعمدةها:


لذلك ، بصفتنا مصفوفة على متجهات الوحدة ، نحصل على أعمدةها. وماذا عن التحول العكسي (دعنا نقول أنه موجود)؟ يفعل كل شيء "بالعكس":


انتظر لحظة ، لأننا وجدنا للتو صور ثلاث نقاط تحت تأثير التحول الخطي - وهو ما يكفي لاستعادة التحول نفسه!


حيث $$$\ vec {e} _1 = (1؛ 0؛ 0) ^ \ mathsf {T}$ . $$$\ vec {e} _2 = (0؛ 1؛ 0) ^ \ mathsf {T}$ و $$$\ vec {e} _3 = (0؛ 0؛ 1) ^ \ mathsf {T}$ .

لن نقتصر على الفضاء ثلاثي الأبعاد ونعيد كتابة الصيغة السابقة بشكل أكثر عمومية

كما ترون ، نحتاج إلى تعيين مصفوفة على اليسار على اليسار بمكونات وسيطة المتجه ، في الأعلى - سطر مع متجهات الإحداثيات ، وبعد ذلك فقط القدرة على اتخاذ المحددات.

مشكلة التحول العكسي

دعونا نجرب الطريقة المحددة في الممارسة. المهمة: عكس المصفوفة


نحن نستخدم (2) ل $$$ن = 3 دولارا$


ومن الواضح على الفور ذلك

كريمر حكم في صيغة واحدة

منذ المدرسة ، نواجه معادلات النموذج


إذا المصفوفة $$$\ hat {A}$ غير انحطاط ، ثم يمكن كتابة الحل


حسنًا ... أليس في المقطع السابق رأيت نفس التعبير ، ولكن بدلاً من ذلك $$$ب$ كان خطاب آخر؟ سوف نستخدمها.

هذا ليس سوى حكم كرامر . يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق توسيع المحدد في السطر الأول: الحساب $$$x_i$ فقط يفترض أننا شطب العمود مع $$$\ vec {e} _i$ ومعها $$$i$ عمود المصفوفة $$$\ hat {A}$ . الآن إذا قمت بإعادة ترتيب العمود $$$ب$ بدلا من واحد بعيد ، ثم نحن فقط الحصول على القاعدة "إدراج العمود $$$ب$ في المكان $$$i$ ال العمود والعثور على المحدد ". ونعم ، مع وجود علامات ، كل شيء على ما يرام: وحده $$$\ مساء$ نحن نولد عند التوسع على طول الخط ، بينما نولد الآخرين عند إعادة الترتيب - نتيجة لذلك ، يقومون بإلغاء بعضهم البعض.

بالنظر إلى المعادلة الناتجة ، يمكنك أن تلاحظ تشابهها مع المعادلة لإيجاد إحداثيات متحدة المركز: حل نظام المعادلات الخطية هو إيجاد إحداثيات مركزية لنقطة ما $$$\ vec {b}$ فيما يتعلق البسيط ، واحدة من القمم التي $$$\ vec {0}$ ، ويتم تعريف الباقي بواسطة أعمدة المصفوفة $$$\ hat {A}$ .

حل نظام المعادلات الخطية

نحل نظام المعادلات الخطية


في شكل مصفوفة ، يبدو هذا


نستخدم الصيغة الناتجة


من أين تأتي الإجابة؟ $$$س = 1/25 دولا$ . $$$ص = 14/25 دولا$ و $$$z = 2/5 دولا$ .

إحداثيات المتجهات عند تغيير الأساس

لنفترض أننا اخترنا أساسًا جديدًا (تحولنا إلى نظام إحداثيات مختلف). من المعروف أن الإحداثيات الجديدة للمتجهات يتم التعبير عنها عبر الخطية القديمة. لذلك ، ليس من المستغرب أن نستخدم أدواتنا لتغيير الأساس. كيفية القيام بذلك ، وسوف تظهر مع مثال.

لذلك ، دعونا نتحرك من الأساس القياسي $$$\ {\ vec {e} _x ، \ vec {e} _y \}$ إلى أساس يتكون من ناقلات


في الأساس القديم ، يتم تحديد ناقل $$$\ vec {x} = (3،4) ^ \ mathsf {T}$ . ابحث عن إحداثيات هذا المتجه بطريقة جديدة. في نظام الإحداثيات الجديد ، سوف تصبح متجهات الأساس الجديد سهلاً وستكون إحداثياتها


فيما يلي ، تعني الحدود القريبة من الأعمدة أن الإحداثيات فيها تشير إلى أساس جديد. من السهل تخمين تحول خطي يترجم


يحول أيضا إحداثيات ناقل لدينا حسب الحاجة. يبقى فقط لتطبيق الصيغة


يتطلب حل المشكلة بالطريقة المعتادة انقلاب المصفوفة (والذي ، أيضًا ، يتكون أيضًا من حساب المحددات) والضرب


نحن معبأة فقط هذه الخطوات في صيغة واحدة.

لماذا تعمل الصيغة لحل المشاكل المعكوسة؟

يتم تفسير فعالية الصيغة في حل المشكلات العكسية بالمساواة التالية (الإثبات موجود في [1] )


وهكذا ، تخفي الصيغة في حد ذاتها المصفوفة العكسية والضرب بمصفوفة أخرى بالإضافة إلى ذلك. هذا التعبير هو الحل القياسي لمشكلة إيجاد تحول خطي بالنقاط. لاحظ أنه من خلال عمل المصفوفة الثانية في هوية المنتج ، نحصل على المصفوفة العكسية. بمساعدتها ، يتم حل نظام المعادلات الخطية والمشاكل التي يمكن الحد منها: العثور على إحداثيات ثنائية المركز ، الاستيفاء من قبل لاجرانج متعدد الحدود ، إلخ. ومع ذلك ، فإن التمثيل في شكل منتج لمصفوفتين لا يسمح لنا بالحصول على "نظرة عميقة" مرتبطة بالتوسع في الصف الأول وعلى العمود الأول.

Lagrange الاستيفاء وخصائصه

اسمحوا لي أن أذكركم بأن لاغرانج الاستيفاء هو العثور على أقل الحدود متعدد الحدود من خلال النقاط $$$(a_0؛ b_0)$ . $$$(a_1؛ b_1)$ . $$$\ dots$ . $$$(a_n؛ b_n)$ . ليس أنها كانت مهمة شائعة في ممارسة المبرمجين ، ولكن دعونا ننظر إليها على أي حال.

كيف هي متعددو الحدود والتحولات الخطية ذات الصلة؟

الحقيقة هي أن كثير الحدود


يمكن اعتباره تحول خطي يعرض المتجه $$$(x ^ n؛ x ^ {n-1}؛ \ dots؛ 1) ^ T$ في $$$\ mathbb {R}$ . وبالتالي فإن مشكلة الاستيفاء نقطة $$$(a_0؛ b_0)$ . $$$(a_1؛ b_1)$ . $$$\ dots$ . $$$(a_n؛ b_n)$ يقلل من العثور على مثل هذا التحول الخطي الذي


ونحن قادرون على القيام بذلك. استبدال الحروف الصحيحة في الخلايا الصحيحة والحصول على الصيغة


يمكن العثور على الدليل على أن هذا سيكون متعدد الحدود لاجرانج (وليس شخصًا آخر) في [1] . بالمناسبة ، التعبير في المقام هو معرف Vandermonde. معرفة هذا وتوسيع المحدد في البسط على طول السطر الأول ، وصلنا إلى صيغة أكثر دراية ل Lagrange متعدد الحدود.

مشكلة في لاجرانج متعدد الحدود

هل من الصعب استخدامها؟ دعونا نجرب القوى على المشكلة: ابحث عن كثير الحدود لاغرانج يمر بالنقاط $$$(- 1 ؛ 2)$ . $$$(3 ؛ 4)$ و $$$(2 ؛ 7)$ .

استبدال هذه النقاط في الصيغة


على الرسم البياني ، سيبدو كل شيء هكذا.

خصائص لاجرانج متعدد الحدود

بعد أن وضعت المحدد الأعلى في الصف الأول والعمود الأول ، فإننا ننظر إلى متعدد الحدود لاغرانج من جانبين مختلفين. في الحالة الأولى ، نحصل على الصيغة الكلاسيكية من ويكيبيديا ، وفي الحالة الثانية ، نكتب كثير الحدود في شكل مجموع أحاديات $$$\ alpha_i x ^ i$ حيث


والآن يمكننا أن نثبت بسهولة بيانات معقدة إلى حد ما. على سبيل المثال ، في [2] ثبت في سطر واحد أن مجموع كثير الحدود لاغرانج الأساسية يساوي واحد وأن لاغرانج متعدد الحدود محرف $$$(a_0؛ a_0 ^ {n + 1})$ . $$$\ dots$ . $$$(a_n؛ a_n ^ {n + 1})$ له قيمة صفر $$$(- 1) ^ {n} a_0 \ cdot \ cdots \ cdot a_n$ . حسنًا ، ليس لاغرانج واحدًا - يمكن تطبيق نهج مماثل على الاستيفاء من خلال جيب جيب التمام أو بعض الوظائف الأخرى.

استنتاج

شكرا لكل من قرأ حتى النهاية. في هذه المقالة ، قمنا بحل المشكلات القياسية باستخدام صيغة غير قياسية واحدة. لقد أحببت ذلك ، أولاً ، إنه يوضح أن التحولات الأقارب (الخطية) ، والإحداثيات ثنائية المركز ، والاستيفاء ، وحتى كثير الحدود لاجرانج ترتبط ارتباطًا وثيقًا. بعد كل شيء ، عندما تتم كتابة حلول للمشاكل بنفس الطريقة ، ينشأ تفكير تقاربها من تلقاء نفسه. ثانياً ، في معظم الأوقات ، قمنا ببساطة بترتيب بيانات الإدخال في الخلايا الصحيحة دون تحويلات إضافية.

يمكن أيضًا حل المهام التي فكرنا فيها بطرق مألوفة جدًا. ومع ذلك ، بالنسبة للمشاكل ذات البعد الصغير أو المهام التعليمية ، قد تكون الصيغة مفيدة. بالإضافة إلى ذلك ، تبدو جميلة بالنسبة لي.

مراجع

[ 1] دليل المبتدئين لرسم خرائط البسيط بشكل لا لبس فيه

[ 2] مصنف على تعيين simplexes بشكل لا لبس فيه