مجرد تقسيم ، أو كيفية إنشاء نظرية رياضية وكسب 400 ألف دولار على ذلك. السلسلة الثانية ، ما قبل الأخير

في السلسلة السابقة ، درسنا الأرقام الكسرية التي لم تتضمن الأرقام المنطقية. اليوم ، هذا بالضبط ، لا يعتبر جزءًا ، ينتظرنا ، وسنستعد أيضًا لجزء أخير أكثر تعقيدًا بقليل دون استخدام مصطلحات مثل حلقات فئات المخلفات أو مقارنات مع اللوغاريتم المنفصل. وفي الجزء الثالث أيضًا من المهتمين ، تنتظر جوائز قدرها 400 ألف دولار. لماذا في الثالث؟ لأنه بدون مقدمة الموضوع ، ليس من السهل دائمًا فهم أسباب عدم سهولة الحصول على الجوائز. وبعد القراءة - فقط الحظ وبعض الأنشطة الهادفة والصبور ، ولكن ليست صعبة للغاية ، هذا كل ما تحتاجه.

النجوم العقلانية

للإجابة على الأسئلة التي سبق طرحها حول الأرقام المنطقية ، نحتاج مرة أخرى إلى انحدار صغير. أولاً ، تذكر أنه في عملية القسمة على "الزاوية" ، نحصل دائمًا على الباقي من تقسيم جزء معين من عدد الأرباح على المقسوم عليه. في هذه الحالة ، تتم كتابة الجزء بالكامل من القسمة في النتيجة ، ويضرب ما تبقى من التقسيم بقاعدة نظام الأرقام ، وبعد ذلك يتم تكرار إجراء القسمة مع الباقي حتى يتم الكشف عن الفترة أو يتم تقليل كل عوامل القسمة ونحصل على الكسر النهائي.

يبدو مثل هذا:

5 | 3 ------ 1.66(6) 3 20 18 20 18 2 ... 

هنا ، ما تبقى من طرح 18 من 20 تساوي دائمًا اثنين ، ثم نضربها بقاعدة نظام الأعداد العشرية.

الآن دعنا نفكر كيف يختلف تقسيم 5 على 3 ، على سبيل المثال ، تقسيم 1 على 3؟ الجواب بسيط - وجود عدد صحيح نتيجة لذلك. لكننا تساءلنا عن الفترة والجزء الذي يذهب قبل الفترة (وتسمى الفترة السابقة) ، ولكن لم يتم تضمينها في الجزء بأكمله من النتيجة. لذلك ، نحن لسنا بحاجة إلى النظر في الجزء كله. لذلك ، في هذا المثال ، يمكن استبعاد جميع الأرقام التي تزيد عن 3 أو ما يعادلها. والأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو أن قوانين التقسيم تتجلى في جوانب كثيرة دون أي رقم آخر باستثناء رقم واحد. بمعنى أنه يكفي دراسة تقسيم الوحدة إلى سلسلة من الأعداد الصحيحة والوحدات الكبيرة ، وسنفهم كيفية الإجابة على جميع الأسئلة المطروحة ، وفي نفس الوقت سنلتقي بعدد كبير من النجوم الجديدة.

في غضون ذلك ، لم نبدأ دراسة جادة للموضوع - بعض الحيل. هل تعلم أن المشاركة يمكن أن تتم "بالعكس"؟ ليس مثل اعتدنا على من المدرسة ، ولكن ابتداء من النهاية. دعونا نوضح ذلك في مثال آخر ، حيث نأخذ الباقي الأخير ، ونبدأ من ذلك بحساب فترة الكسر. أذكر أن الباقي في قسمة 5 على 3 كان يساوي 2. ما هو آخر رقم قمنا بطرحه للحصول على شيطان؟ لا نحتاج أن نتذكر ، لأننا نعلم دائمًا أننا نطرح الأرقام من الباقي السابق مضروبًا في 10 ، أي أن الرقم الأخير من التناقص يساوي دائمًا 0. وهذا يعني أنه يكفي فرز منتجات الثلاثية بالأرقام من 1 إلى 9 ، = (3،6 ، 9،12،15،18،21،24،27) ، لنرى - من بينها ، واحد فقط ينتهي بـ 8 وفي المجموع مع الباقي 2 ، يعطي صفراً في الرقم الأخير من الرقم المتناقص. لذلك قبل أن نحصل على ما تبقى من 2 ، قمنا بطرح 18 من 20. لماذا من 20؟ لأن أي رقم آخر به صفر في الرقم الأخير سيعطي الفرق X0-18 أكثر من ثلاثة أو أقل من الصفر. بنفس الطريقة ، نحسب جميع الأرقام الأخرى:

2 - بقايا معروفة
18 - بالإضافة إلى الرقم بصفر ، مع إظهار قيمة الرقم التالي في وقت واحد نتيجة لذلك - 6 (6 * 3 = 18)
20 هو رقم مناسب مع صفر
2 - رقم بصفر قبل الضرب في 10 (= 20/10)
18 - بالإضافة إلى الرقم بصفر
20 هو رقم مناسب مع صفر
...

نتيجة لذلك ، نحصل على نفس التسلسل تمامًا كما يحدث عند التقسيم من زاوية ، ولكن "من ناحية أخرى". لذلك يمكنك حساب "من النهاية" فترة أي كسور دورية. وما هي الفترة السابقة (وأهمية حسابها لهذه الحالة بالطريقة الموضحة) سنرى المزيد. يكون الجزء بأكمله من النتيجة دائمًا صفريًا عند استخدام الوحدة كأرباح ، وبالتالي فإننا محرومون من الحاجة إلى حساب شيء آخر ، باستثناء الفترة.

تذكر الآن كيف نقسم الوحدة إلى ثلاثة: $$ . كل شيء بسيط هنا ، والفترة قصيرة ، وليس هناك فترة ما قبل الفترة ، ويبدو أن لا شيء رائع. ولكن دعونا نحاول ضرب نتيجة القسمة مرة أخرى بثلاثة: $$ هذا هو $$ . وفي البداية كان الأمر هكذا: $$ . لا تلاحظ الفرق؟ كان هناك واحد في المدخلات ، وبعد الإجراءات المباشرة والعكسية ، حصلنا على ... كيف يمكنني أن أسميها أسهل؟ هذا هو ، إذا تتبعنا سلسلة التسع بأكملها إلى ما لا نهاية ، فسوف نفهم أن لدينا وحدة ، ولكن لا يزال الأمر غير ذلك ، هل تجدها؟ حسنًا ، ليس مثل الأصل ، وهذا كل شيء. سيقول علماء الرياضيات أن هذين الشكلين هما فقط شكلان من أشكال تدوين الرقم نفسه ، ولكنهما يفهمان كل يوم المتمردين "نفس" قليلاً ضد مثل هذه التعريفات. من حيث المبدأ ، من الصعب الاختلاف مع علماء الرياضيات ، لأن العديد من التسع بعد الفاصلة العشرية يختلفون عن الوحدة بشيء سريع الزوال تمامًا ، وصغير بلا حدود ويميلون إلى الصفر في الحد الأقصى. لكن على وجه التحديد ، هل يمكنك أن تتبنى في عقلك هذه المجموعة الكاملة من اللانهائيات؟ عدد لا حصر له من تسعة ، وهو اختلاف صغير بلا حدود ، يميل إلى الصفر عند التحرك على طول سلسلة من تسعة إلى ما لا نهاية. والآن قارن هذا مع هذا السجل - 1. علامة واحدة - وكل شيء واضح بالنسبة لنا. وكم عدد العلامات التي كانت موجودة في النقاشات حول مساواة عدد لا حصر له من التسعة في واحد؟ وهذا هو ، لا يزال هناك فرق؟ أو هل يتجاهل عقلك بسهولة مثل هذه التافهات في مجموعة من الاختلافات؟ لكن إذا لم نذهب إلى النظرة الذهنية التي لا تنتهي في قائمة التسع ، فعندئذٍ في المكان الذي نتوقف فيه ، سيكون هناك على الفور فرق حتى يعترف به علماء الرياضيات على أنه مهم - إذا كنت لا ترى التسع الآخرين ، فلن نكون على الإطلاق. لذلك ، يطرح السؤال - هل تستطيع أن ترى في أعماق كل اللانهاية؟ بشكل عام ، كل ما تريد ، أمر علماء الرياضيات أن تعتبر هذه الظاهرة هي نفس العدد. لذلك ، بعد النظر في هذا النجم (مع الصراحة - توهج غريب) ، ننتقل إلى النجم التالي.

استنتاج مثير للاهتمام يأتي من حقيقة اكتشاف عدد لا حصر له من التسع - إذا كان المقسوم على واحد أكبر من 3 ، ثم تقسم الفترة الناتجة دائمًا على 9 ، جيدًا ، بالطبع ، على 3 ، وكذلك بطولها أكثر من حرف واحد ، بواسطة 11 ، ومتى المزيد من الشخصيات - 13 ، 37 ، 101 وهلم جرا. وهذا كله بغض النظر عن مقسوم الوحدة ، إذا كان الأمر بسيطًا وأكثر من ثلاثة. يمكنك التحقق من ذلك بنفسك ، على سبيل المثال ، قسّم فترة 1/7 مساوية 142857 على 3 ، 9 ، 11 ، 13 ، 37.

حسنًا ، قبل الأكوام نسأل سؤالًا بسيطًا - هل من الممكن بناء هذه الفترة بنفسك؟ نعم يمكنك ذلك. على سبيل المثال ، نرغب في الحصول على الفترة 0123456789 ، هل يمكن أن نجد توزيعات أرباح وقسائم تعطي شيئًا مشابهًا؟ يمكنك! لكن بدون الرقم 8. سيكون 1/81. ولكي يظهر الرقم 8 في مكانه الصحيح ، سنحتاج إلى إضافة الرقم 81 بعدد قليل من الأرقام بعد العلامة العشرية ، أو بدون علامة عشرية ، ولكن بعد ذلك ستظهر العديد من الأصفار في هذه الفترة.

انتظام آخر - بالنسبة لبعض مقسومات الوحدة ، لا يمكننا حساب الفترة على الإطلاق ، ولكن ببساطة تحويلها دوريًا عندما نضرب العائد (الوحدة) بأي عدد. على سبيل المثال - 1/7 = 0. (142857) ، و 2/7 = 0. (285714) ، 5/7 = 0. (714285) ، 3/7 = 0. (428571) وهكذا. إذا كان العائد أكبر من 7 ، فسيذهب الجزء بالكامل من نتيجة القسمة إلى الجزء قبل العلامة العشرية ، وستظل الفترة تتكون من الأرقام الستة نفسها ، لكن مرة أخرى تحولت دوريًا - 25/7 = 3. (571428) ، 86/7 = 12. (285714) إلخ كيف تحب ذلك؟ أي عدد عند القسمة على 7 يعطي مجموعة من نفس الأرقام! أي! بالتأكيد أي. ونعم ، هذه "أي أرقام" هي عدد لا حصر له. والنتيجة تشمل دائما 6 من نفس الأرقام. علاوة على ذلك ، ستفهم سبب تنظيم عالم الأرقام على هذا النحو ، لكن في الوقت الحالي ، نلاحظ أنه عند قسمة الوحدة على 7 ، تلقينا ضمنيًا جميع المعلومات اللازمة لحساب الفترة من نتيجة أي أرقام أخرى إلى سبعة ، لأننا نعلم الآن أنه يكفي مجرد تحويل واحد دوريًا النتيجة الوحيدة للانقسام. أي أنه تم التأكيد مرة أخرى على أنه لا توجد حاجة للتعامل مع تقسيم أي أرقام ، باستثناء رقم واحد ، بالعدد المختار للدراسة. صحيح ، قد يكون من الضروري ضرب بعض الأرقام وتذكر النتائج الوسيطة ، ولكن المزيد عن ذلك لاحقًا.

الآن للحصول على رؤية أكثر عمومية ، سوف نعرض "خريطة المعركة". يتم رسم خريطة لتقسيم الوحدة على الرقم قيد الدراسة ، في حين يتم التقسيم في جميع أنظمة الأرقام بقاعدة أقل من الرقم قيد الدراسة. لا تتضمن الخريطة نتيجة القسمة ، أي فترة الكسر المعني ، ولكن بدلاً من ذلك ، تحتوي الخريطة على البقايا التي تم الحصول عليها في كل مرحلة من مراحل "الزاوية". هكذا تبدو:


في الجدول أعلاه ، ترى الخطوط ، من 0 إلى 6. 0 هي أيضًا أساس نظام الأرقام. هل لا توافق دعنا نحاول إقناع. ما هو نظام الأرقام؟ هذه هي القاعدة ، مضروبة بقيمة معينة ، ثم تضاف إلى النتيجة ، والتي هي في البداية الصفر. لذلك يتم الحصول على جميع الأرقام ، على سبيل المثال ، في نظام الأرقام العشرية. وإذا كانت القاعدة هي الصفر؟ ثم كل المصطلحات مضروبة في الصفر ستكون أيضا مساوية للصفر. لكن ماذا هذا التغيير؟ هل انتهكنا قاعدة بناء الأرقام في نظام الأرقام المختار؟ لذلك ، من أجل عمومية الصورة على خريطة المعركة ، نستخدم جميع أنظمة الأرقام ، من 0 إلى 6 في حالة دراسة الرقم 7. ولكن بالإضافة إلى العمومية ، سيكون للغرض مع الأصفار غرض إضافي.

لكن ماذا تعني كل هذه الخطوط؟ يوضح لنا كل صف تسلسل المخلفات عند قسمة الوحدة على سبعة في نظام الأرقام ، والذي تم توقيعه في العمود الموجود في أقصى اليسار. أي عند تقسيم 1/7 في نظام ذي قاعدة 0 ، لدينا المتبقي الأولي من 1 (الوحدة التي نقسمها). علاوة على ذلك ، كما فعلنا دائمًا عند القسمة على الزاوية ، نضرب الباقي أولاً بقاعدة نظام الأرقام. نحصل على الصفر. الآن صفر هو الباقي الحالي. عادة ، عند حساب الباقي بعد استلام الباقي يساوي الصفر ، وإذا لم تكن هناك أرقام إضافية في الرقم القابل للقسمة ، يتم إيقاف التقسيم (منذ الحصول على النتيجة). لكن في حالتنا ، نملأ جدولًا لا يتحمل الفراغ ، بالإضافة إلى نفاد الصبر ، له خصائص إضافية تتطلب أيضًا وجود أي أرقام في جميع الخلايا. لذلك ، نستمر في تقسيم وتقسيم الباقي على 0 على 7. عادةً ، بينما الباقي أصغر من المقسوم عليه ، يتم ضربه بقاعدة نظام الأرقام ، لكن الضرب بصفر عدة مرات لا طائل منه ، لذلك نكتب أنه بعد الضرب بصفر يصبح الباقي صفرًا مرة أخرى ، و الآن ضعه في الجدول في الخلية التالية. ثم كرر الإجراء. وهكذا نملأ جميع الخلايا الموجودة في الصف الأول بالأصفار. ثم قم بملء السطر الثاني. ولكن لديها بالفعل أساس آخر لنظام الأرقام - وحدة. بعد قسمة 1 على 7 ، لدينا الباقي الأول - واحد. ثم نقوم بضرب قاعدة نظام الأرقام ، أي بواسطة نظام واحد. نحصل مرة أخرى 1. نكتب في الخلية المناسبة. مرة أخرى ، نضرب في 1 ، ومرة ​​أخرى نحصل على 1 ونكتب مرة أخرى. وهكذا حتى يتم ملء السطر الثاني. ولكن بعد هذين الخطين الرائعين من كل النواحي ، توصلنا أخيرًا إلى تقسيم أكثر معنى - في النظام الثنائي (وسيصبح معنى النظامين الأوليين واضحًا لاحقًا). أولا لدينا نفس الوحدة. اكتب الوحدة في السطر الثالث. ثم نقوم بضرب قاعدة قاعدة الأرقام (2). نحصل على 2. 2 أقل من سبعة ، لا يمكننا الطرح بعد ، لذلك نكتب الباقي 2 في الجدول. مرة أخرى ، نقوم بضرب 2 ، نحصل على 4 ، ومرة ​​أخرى أقل من 7 ، لذلك مرة أخرى يذهب إلى الجدول دون تغييرات. ولكن في الخطوة التالية ، نحصل على 8 ، أي أكثر من 7 ، لذلك نحتاج إلى طرحها. والنتيجة هي 1. نكتب في الجدول. لكن في وقت سابق كانت لدينا وحدة بالفعل ، لذلك ستكون جميع الخطوات الأخرى هي نفسها - لذلك سنضيف السطر الثالث إلى النهاية. وبنفس الطريقة ، سنضيف بقية الخطوط ، ولكن لا ننسى أننا بحاجة إلى الضرب على أساس آخر من نظام الأرقام.

لذلك ، عندما وصلنا في النهاية إلى الجدول المكتمل ، يمكننا استخلاص بعض الاستنتاجات. أولا ، الانتباه إلى التكرار. بالنسبة للنظام الثنائي ، لدينا 1،2،4،1،2،4،1 ، أي مرتين 1،2،4 ثم مرة أخرى 1. هنا ، تتوافق القائمة 1،2،4 مع فترة الكسر الثنائي الناتج. بمعنى أن المدة ستكون الطول 3. وعلى الرغم من أننا استخدمنا الباقي بدلاً من أرقام الفترة ، فإن الطول لم يعان من ذلك ، وبالتالي يتم حفظ جميع المعلومات. وأكثر من ذلك - يوجد في الجدول بقايا معلومات أكثر حقًا. ولكن المزيد عن ذلك لاحقًا ، ولكن في الوقت الحالي ، نلاحظ أن جميع الخطوط مصنوعة من نفس الطول لسهولة الدراسة وبسبب وجود عدد من الخصائص المفيدة. لذلك تبدأ الخطوط وتنتهي بالوحدات ، التي تميز خصائص الرقم 7. تمامًا ، وإذا قللنا الخطوط إلى طول الفترة ، فلن نتمكن من الاستمتاع بجمال العرض المتماثل لجوهر الرقم 7.

الآن عن المعلومات. تحدد الوحدات المتبقية الرقم بشكل فريد في الموضع المقابل من الفترة ، وبالتالي ، لا تُفقد المعلومات الواردة في هذا التمثيل ، ولكن نظرًا لأن الباقي يمكن أن يكون أكبر ، على سبيل المثال ، الحد الأقصى لوظيفة عشرية واحدة (على سبيل المثال ، 9) ، تصبح المعلومات بمشاركتها هي الأكثر اكتمالا ، لأن وظيفة واحدة في النظام تصبح كاملة. لا يمكن للحساب أن يخبرنا أن الباقي كان ، على سبيل المثال ، 19 عامًا ، ولكن الباقي 19 سيخبرك بوضوح ما هو الرقم في الفترة ومن الباقي السابق الذي طرحنا فيه ناتج الأرباح (تذكر التركيز مع القسمة "من النهاية"). وإلى جانب ذلك ، نلاحظ على الفور شيئًا بسيطًا واحدًا - لا يمكن أن يكون هناك أكثر من المخلفات $$$N-1$ حيث $$$N$ - رقم التحقيق الذي نقسم به الوحدة. هذه نقطة مهمة جدا. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن إثبات أنه إذا تكررت بقايا تمت مصادفتها مسبقًا عند القسمة على زاوية ، فسيكون هناك تكرار لسلسلة كاملة من الوحدات البنائية التي اتبعت القيمة المتكررة سابقًا. لذلك نحن لسنا بحاجة إلى أن أعتبر ذلك ، بمجرد العثور على هذه الفترة. إذا قمنا بتسجيل الأرقام من الفترة فقط ، فإن تكرار الأرقام في هذه الفترة لا يعني إكمال الحساب. لذلك ، الأرصدة أكثر أهمية من الأرقام من الفترة. ولكن الشيء الأكثر إثارة للاهتمام هو بقايا كل شيء $$$N-1$ ، وبالتالي فإن الفترات أطول $$$N-1$ لا يمكن أن يكون. لذلك ، وجدنا هنا الحد الأعلى لعدد الأرقام في هذه الفترة ، وننتقل من الأرقام الفعلية للفترة إلى الأرصدة. كما يقولون ، وسهولة حركة اليد وليس الاحتيال. هذا هو الاستفادة من معلومات أكثر اكتمالا. حسنًا ، لذلك ، فإن عرض "خريطة المعركة" الخاصة بنا لـ 7 مباريات هو 6 أعمدة ، أي 6 أعمدة لجميع المخلفات المحتملة وعمود واحد لاكتشاف التماثل من الوحدات ، وهو ليس إلزاميًا على الإطلاق لجميع الأرقام ، وبالتالي فهو ليس الأمر يستحق الإخفاء ، مما يوفر مساحة تحت عمود واحد.

حسنًا ، ألقِ نظرة الآن على "الخريطة" أعلاه من حيث فائدتها. يمكنك أن تلاحظ على الفور مجموعة من الأنماط البسيطة. يبدأ كل سطر بوحدة ، وينتهي بها. يشير الموضع الثاني لكل سطر إلى قاعدة نظام الأرقام ، لكن وسط كل سطر يحتوي إما على N-1 أو 1. لاحظ أننا لم نبذل أي جهد لترتيب الأرقام في الجدول بالترتيب المشار إليه ، باستثناء تحديد نتائج القسمة في الجدول ببساطة. ولكن على الرغم من تجاهلنا لأي ترتيب (باستثناء تسلسل خطوات التقسيم) ، فقد نشأ الترتيب نفسه من أي مكان وجذبنا الحرف P من الوحدات ، ووضع عليه غطاءًا من الأصفار (مع قناع من واحد) ، مقسومًا الجدول بعمود متوسط ​​من الوحدات ، و الإضافات إلى الرقم 7 (وفقًا للصيغة 7-1 = 6). بالإضافة إلى ذلك ، وضع الترتيب نفسه أنظمة الأرقام في العمود الثاني. قارنها بالأرقام الموجودة في العمود الأيسر الأول ، حيث تتم إضافتها فقط عن قصد ، حتى نعرف بالضبط مكان نظام الأرقام. حسنًا ، يمكننا بسهولة حساب فترة الكسور الناتجة بأنفسنا ، على الرغم من أنه للراحة يتم الإشارة إليها في العمود الذي يحتوي على قيم النموذج p = X.

في الواقع ، قبل أن يكون لديك شيء يشبه الجدول الدوري ، ولكن ليس للكيمياء ، ولكن لنظرية الأعداد. بنفس طريقة Mendeleev ، يمكنك فقط النظر إلى الجدول لإيجاد نمط معين ، ومن ثم ، كما هو الحال بعد Mendeleev ، يمكن تبرير وجود هذا النمط وإثبات أنه يتكرر لجميع الأرقام التي تلبي مجموعة معينة من الشروط. وهذا هو الشيء الأكثر أهمية في هذه الجداول. بمجرد النظر إلى الأنماط ومراقبتها ، يمكنك اكتشاف القوانين ، على سبيل المثال ، نظرية الأعداد. حسنًا ، بالنسبة للقراء الأكثر تفكيرًا ، فإن الطريق إلى دورة كاملة يفتح هنا - بعد العثور على نمط ، تحتاج إلى إثبات (أو دحض) أهميته بالنسبة لجميع الأرقام ، أو لأرقام فئة معينة.

كما لوحظ ، يحتوي هذا الجدول على معلومات كاملة حول الرقم الأولي 7. ولكن من هذه المعلومات يمكننا استنباط الفرضيات المتعلقة بجميع الأعداد الأولية. وحتى بعض هذه الفرضيات قد أثبتت لنا بالفعل ، لذلك علينا فقط التحقق من استنتاجات الآخرين. تم تقديم الدليل من قبل أشخاص مشهورين مثل فيرما وإيلر. أعطانا مزرعة هذه الصيغة $$$a ^ {(p-1)} \ pmod p = 1$ (هنا تأخذ عملية التعديل باقي تقسيم القيمة على اليسار على القيمة على اليمين ، في البرمجة يشار إليها عادةً بواسطة الرمز٪) ، أي ما تبقى من القسمة $$$a ^ {(p-1)}$ على p يساوي دائمًا واحدًا لكل الأعداد الأولية (أي الأعداد الأولية ، وهذا أمر مهم). ولكن الرقم 7 هو أيضا رئيس الوزراء. ويمكن حساب كل بقايا في كل صف باستخدام الصيغة التالية: $$$b ^ i \ pmod N = r$ . هنا b هي أساس نظام الأرقام (من قاعدة اللغة الإنجليزية) ، i هو رقم الموضع في السطر (من الفهرس باللغة الإنجليزية) ، بدءًا من الصفر للموضع الأول ، N هو الرقم قيد التحقيق (في هذه الحالة - 7) ، r هو الباقي (من التذكير باللغة الإنجليزية ) تشكلت في الخطوة الأولى من القسمة على زاوية ومضمنة في العمود رقم i من الجدول. دعنا نقارن صيغة Fermat وصيغة حساب الباقي المحدد بواسطة الفهرس i. أنها متطابقة للعضو الأخير في جميع تسلسل المخلفات. وبما يتفق تماما مع صيغة فيرما ، لكل الباقي في الموقف $$$N-1$ لدينا المساواة في الوحدة. وهذا يعني أن النمط الذي لوحظ بالعين المجردة في شكل عمود من الوحدات تم تأكيده وثبت مرة أخرى في أيام فيرما (على الرغم من أن فيرمات لم ينغمس في الأدلة ، ولكن عادة ما كانت جميع تصريحاته صحيحة). أضاف Euler إلى صيغة Fermat القدرة على استخدامه ليس فقط للأعداد الأولية ، ولكن أيضًا للأعداد المركبة. صحيح ، أنت بحاجة إلى معرفة جميع مقسومات الرقم ، لكن بالنسبة للأعداد الصغيرة ، هذه ليست مشكلة. لذلك في الجدول الثاني (أدناه) نرى تسلسل المخلفات للرقم 21 ، وهو مركب. أثبت أويلر أن ما تبقى من تقسيم العدد التعسفي إلى درجة مساوية لعدد الأعداد الأصغر وعدم وجود مقسومات مشتركة مع N تساوي أيضًا رقم واحد. وهذه هي الحقيقة بالتحديد التي نلاحظها في الجدول للرقم 21 ، والتي من بين 20 رقمًا أدنى ، 8 لها مقسوم مشترك مع 21 ، و 12 لا. لذلك ، نلاحظ في العمود 12 (عند الفهرسة من نقطة الصفر) العديد من الوحدات. وهذه الوحدات ليست في نهاية السطور ، لأن بعض الأرقام التي تقل عن 21 لها قواسم مشتركة مع 21.لكن بالنسبة للأعداد الأولية ، لا يوجد عدد أصغر به مقسومات مشتركة ، وبالتالي فإن عدد الأرقام بدون المقسومات المشتركة البسيطة يكون دائمًا أكبر منه في المركب. وبالتالي ، بقايا الوحدة في الجدول للأشياء البسيطة أبعد من تلك المركبة. لكن لاحظ - ليست كل القيم في العمود 12 من الجدول لـ 21 مساوية واحدة. هل أويلر مخطئ؟ لا ، لم يكن ينوي استخدام صيغته للعمل مع الأرقام التي يمكن تخفيضها ، وفقط في السطور التي تتكون من مضاعفات 3 و 7 (مقسومات 21) لدينا تعارض مع صيغة Euler. بشكل عام ، اتضح لنا أن Fermat و Euler أعطانا صيغًا مفيدة مفيدة لفهم مشكلات قسمة الأرقام ، وتؤكد الجداول المذكورة أعلاه بكل مجدها نتائج Euler و Fermat.


على الرغم من أنه من الجدير بالذكر أنه لا يعرف فيرما ولا يولر عن الجدول أعلاه. وإذا عرفوا ، فلم يتم إخبار أحد عنها. على الرغم من ذلك ، من ناحية أخرى ، في أيامهم ، كانت الرموز العشرية البديلة أقل شعبية إلى حد ما مما كانت عليه في عصرنا. حتى ذلك الحين لم يعرف الجميع النظام العشري ، لكنهم كانوا يعتمدون فقط على الأصابع. وبالتالي ، فإن فيرمات المستنبط ، ثم الصيغة التي قدمها أويلر لربط الأساس والدرجة ، لا تعطينا شرحًا للقوانين الأخرى في هذا الجدول. لذلك ، ينتظرنا المزيد من النجوم ، ثم فترة الفتح المشروط لقذائف الإلكترون من الذرات ، بمساعدة الكيميائيين الذين شرحوا أخيرًا الخصائص التنبؤية السحرية للجدول الدوري. ولكن لنبدأ بالسحر.

من النجوم إلى السحر

عشاق اللغز يعرفون ما يسمى "المربعات السحرية". هذه هي الجداول التي تحتاج فيها لترتيب الأرقام بطريقة تتشابه المبالغ على طول الخطوط الرأسية والأفقية والقطريتين. حيرة العديد من الناس مرارًا وتكرارًا لوضع الأرقام في سرير Procrustean من القيود المفروضة على المبالغ ، وحتى تمكنوا من ملء المربعات الكبيرة جدًا. لكن اليوم التقينا بسحر أكثر قوة. نعم ، يحتوي الجدول الدوري لنظرية الأعداد على العديد من القيود ، وحتى أول طالب في الصف يستطيع أن يتعلم مشاركة "الزاوية" يمكنه ملؤها. فكر في الأمر - أذكى الناس ملأوا المربعات السحرية ، لكنهم لم يجدوا طريقة شائعة لملء ، أو حتى تقدموا في الحجم إلى مئات الأعمدة البائسة. وسيستجيب طالب الصف الأول بشكل كامل إلى مليار شخص ، إذا كان لديه الوقت الكافي المتاح فقط.إليكم هذه المجرة ، المليئة بالنجوم على مقل العيون ، في انتظارنا في المربعات العددية.

لنبدأ سرد الأنماط الواضحة

الضرب. يمكن ضرب أي صف من الجدول بأي الآخر. ستكون النتيجة عبارة عن سلسلة يتم حساب عددها كمنتج لأرقام السلسلة المضروبة مقسومة على الباقي على الرقم قيد الدراسة. هذا هو ، إذا ضاعفنا الصف 2 من الجدول لمدة 7 في الصف 3 ، ثم حصلنا على الصف 6. وإذا ضربنا الصف 4 في الصف 6 ، فسوف نحصل على 24 mod 7 = 3 ، أي الصف الثالث. وخاصية تقسيم القسمة (أي مع الباقي) تجعل جميع أنظمة الأرقام ، أكبر من العدد قيد الدراسة ، غير ضرورية. لذلك نحن لسنا بحاجة إلى نظام أرقام ذي قاعدة 24 ، لأن قيم البقايا فيه ستكون هي نفسها تمامًا كما في النظام ذي القاعدة 3. في أي نظام أرقام نحسب الباقي من قسم 1/7 ، نحصل دائمًا على نتيجة موجودة بالفعل في الجدول. الروايات المتناقلة؟ وهذه ليست سوى البداية.

التماثل. يحتوي كل عمود ثان على الأجزاء العلوية والسفلية ، وهي انعكاس لبعضها البعض. وتحتوي الأعمدة المتبقية على قيم مساوية لتكملة الرصيد المنعكس N. وهذا هو ، في العمود الثاني من الجدول للرقم 7 ، الرقم 1 يكمل 6 إلى 7 ، 2 ملاحق 5 و 3 ملاحق 4. ونتيجة لذلك ، الصيغة المذكورة أعلاه$$ب ط( وزارة الدفاعN ) = r يكمله النظام التالي:$b^i \pmod N = r$

$$( ن - ي ) أنا( وزارة الدفاعN ) = r ، للأعمدة الفردية$(N-j)^i \pmod N = r$
$$ي أنا( وزارة الدفاعN ) = r ، حتى للأعمدة$j^i \pmod N = r$
$$j = N - b هنا N هو الرقم قيد الدراسة (على سبيل المثال 7) ، b هو أساس نظام الأرقام ، i هو مؤشر الأعمدة الذي يبدأ من الصفر ، r هي القيمة المتبقية في خلية b و i المحددة.$j=N-b$



يتم التعبير عن التماثل الأفقي من خلال الأعمدة القصوى الموضحة سابقًا للوحدات والعمود الأوسط للوحدات ومكملتها للقيمة N. وهذا ينطبق تمامًا على الأعداد الأولية ، ولكن بالنسبة للمكونات ، هناك انحرافات. بالإضافة إلى ذلك (مرة أخرى فقط للأعداد الأولية ، ولكن أيضًا في بعض الأحيان للمكونات) ، يبدأ العمود الأوسط الفاصل دائمًا إما بوحدة من فترة التكرار المتبقية ، أو يمنح على اليمين سلسلة من الإضافات إلى N للنصف الأيسر من السلسلة. أي إذا كانت الوحدة في العمود الأوسط ، فسيكرر الجزء الأيسر. إذا كانت هناك إضافة إلى N ، فسيستمر الجانب الأيسر نفسه ، ولكن بعد الطرح من N. وهكذا ، من الجدول بأكمله (للأعداد الأولية) ، يمكنك ترك المربع العلوي الأيسر فقط مع الجانب$$( N - 1 ) / 2 (بدون صف صفري) ، وجميع القيم المتبقية الأخرى مستمدة بشكل لا لبس فيه بناءً على معلومات من هذا المربع. على الرغم من أنه لا يجب أن تنسى أن الجدول بالكامل مستمد من معرفة رقم واحد - المقسوم عليه ، في حين أن العائد هو ثابت يساوي 1.الآن المجموع. بشكل أساسي ، ولكن في بعض الأحيان بالنسبة للمركب ، يتم اتباع القواعد الموضحة أدناه. المجموع الأفقي (بدون إضافة العمود الأخير للتوضيح) دائمًا ما يكون مضاعفًا للرقم قيد التحقيق. المجموع الرأسي هو أيضًا مضاعف العدد قيد التحقيق. مبالغ الأرصدة خلال الفترة من واحد إلى واحد (الفترة قد تكون أقل من عرض الجدول) إما متعددة أو مساوية للرقم قيد التحقيق.$(N-1)/2$



مزيد من القسمة. يمكن أن تكون صفوف الصفوف المتبقية بين الوحدات (فترات الوحدات المتبقية) بأطوال مختلفة ، ولكن تقسم جميع أطوال الصفوف الأولية دائمًا الطول الكلي للجدول على عدد صحيح. أي إذا لم يقسم صف واحد على الأقل بين الوحدات إجمالي الطول الكلي للجدول تمامًا ، فهذا رقم مركب (قارن بين الجداول 21 و 7).

الطول والتفرد. يتكون كل صف بطول زوجي وأقصر من عرض الجدول من جزأين - سلسلة من المخلفات إلى الوسط ، وبعد ذلك سلسلة من الإضافات إلى N لسلسلة المخلفات الأولية. علاوة على ذلك ، فإن جميع القيم خلال الفترة فريدة من نوعها ، أي أنها تتكرر فقط مع تكرار هذه الفترة ، ولكن خلال الفترة لا تتكرر أبدًا.

الضرب. إذا تم ضرب كل خلية في الجدول بعدد صحيح ، فسنحصل إما على تحول دوري للمخلفات في حالة طول فترة مساوية لعرض الجدول ، أو سلسلة جديدة في الحالات التي تكون فيها الفترة أقصر من عرض الجدول. علاوة على ذلك ، في حالة الفترات القصيرة ، ستكون جميع القيم في السلسلة الجديدة فريدة من نوعها ، أي أنه لا يوجد أي منها في السلسلة التي تم الحصول عليها بقسمة الوحدة على الرقم قيد الدراسة ، وكذلك في السلسلة التي تم الحصول عليها عن طريق ضرب الأرقام الأخرى وفي السلسلة الأصلية ، والتي مضروبة في ثابت. في المجموع ، يساوي عدد الفترات الفريدة عرض الجدول مقسومًا على طول الفترة (للأعداد الأولية). وبالنسبة للمكونات في جميع الفترات الممكنة ، لا توجد مخلفات "محظورة" ، والتي عندما تضربها صفوف قابلة للقسمة على مقسومات العدد قيد الدراسة ، تعطي ما تبقى من الصفر ، ولكن المزيد عن ذلك في وقت لاحق.

نتيجة الضرب المتسلسل ، يمكن للمرء الحصول على نوبة فترة دوري أو فترة جديدة. يمكن أيضًا تحويل الفترة الجديدة دوريًا ، بضربها بقيم أخرى. تعتبر القاعدة العامة لاختيار نوبة عمل أو فترة جديدة بسيطة - إذا كان في الفترة الباقية رقم نضاعفه ، فسوف نحصل على نوبة دورية ، وإذا لم يكن هذا الرقم ، فسنحصل على سلسلة جديدة. وبالطبع ، ينطبق هذا بشكل مباشر على الكسور الدورية ، وبشكل أكثر دقة على فتراتها (من الضروري التمييز بين الفترات من الأرصدة والفترات من الأرقام في سجل الكسر ، على الرغم من أن الفرق واضح عادةً من السياق). لذلك في المثال الموضح سابقًا للرقم 7 ، رأينا أنه بغض النظر عن كيفية ضرب نتيجة القسمة على 7 ، فإننا نحصل دائمًا على نفس مجموعة الأرقام في هذه الفترة ، لكننا نتحول دوريًا إلى القسم القياسي 1/7. في حالة الرقم 7 ، لدينا فترة (بالتدوين العشري) بطول ،بالتزامن مع عرض الجدول ، وبالتالي ، لا يمكن الحصول على أرقام أخرى فيه (لا يوجد المزيد من الأرصدة المتاحة) ، ولكن فقط التحولات الدورية ممكنة. ولكن هناك نقطة أخرى - شاركنا في النظام العشري ، ولكن لا يوجد مثل هذا الخط في الجدول. هذا يعني أنه للعثور على ذلك ، نحتاج إلى قسمة 10 على 7 والحصول على الباقي - 3. نظام الأرقام مع القاعدة 3 هو الذي يكرر تمامًا سلوك النظام العشري فيما يتعلق بالباقي ، وبالتالي نرى في الصف الثالث الفترة الكاملة ، أي بطول يساوي عرض الجدول. ومن أجل الحصول على الفترة بالقيمة العشرية من الأرصدة ، يمكنك أن تأخذ أي ما تبقى وتبدأ بتقسيمها على الزاوية ، ونتيجة لذلك سيكون هناك جميع أرقام فترة الكسر. يتم تحديد تحول الفترة أثناء الضرب من خلال إيجاد بقية تقسيم العامل على N في سلسلة البقايا. سيكون التحول مساوياً لمؤشر الرصيد الموجود ،أي أننا نحتاج دائمًا إلى تحويل الفترة دوريًا من اليمين إلى اليسار بعدد الأرقام المساوية لمؤشر الباقي الموجود.

وبعض التبعيات بين الأعداد المختلفة التي تمت دراستها:


هنا نرى صفوفًا للأرقام من 2 إلى 39 في النظام الثنائي. إيلاء الاهتمام للصف السفلي. أعمدة الأرقام 1،2،4،8،16،32 ترتفع من ذلك. بعد الرقم 32 ، نرى عمودًا من القيم يزداد بواحد (25،26،27، ...). في العمود التالي ، تزيد القيم بمقدار ثلاثة. ثم في 6 ، 13 ، 26 ، إلخ. زيادة "التبديل" بعد الوصول إلى قيمة أكبر من الرقم قيد التحقيق (العمود الموجود على اليسار بين قوسين ، قبل طول الفترة). لذا فإن النمو من جانب واحد ينتقل إلى النمو بمقدار اثنين ، ثم ثلاثة ، إلخ. بشكل عام ، كل هذه الأعمدة تبدأ بـ$$2 i ، حيث i هو مؤشر العمود. أقل من$2^i$$$2 i لا تتغير القيمة ، ولكن فوقها تتغير وفقا للصيغة$2^i$$$2 i / j ، حيث j هي الزيادة عند تحريك الصف لأعلى (أكبر من الصفر). وهذا هو ، في حين أن رقم الصف بين$2^i/j$$$$2^i/j$ و $$2 i / ( j + 1 ) ، الزيادة تساوي j. بعد عبور الحدود$2^i/(j+1)$$$2 i / ( j + 1 ) ، تصبح الزيادة متساوية$2^i/(j+1)$$$ي + 1 ، ثم إرادة الحدود$j+1$$$2 i / ( j + 2 ) ، بعدها ستكون الزيادة$2^i/(j+2)$$$$j+2$ إلخبالضبط نفس الانتظام هو سمة لأي قاعدة من أنظمة الأرقام ، أي أنه يمكن استبدال جميع الخطوط بصفوف من نظام الأرقام 10 (وفي الصورة نرى نتائج النظام الثنائي) ، أو أي نظام آخر ، وفي نفس الوقت سيتم الحفاظ على الانتظام ، ولكن مع الاستبدال 2 في الصيغة على أساس آخر من نظام الأرقام.

ما سبق ليس قائمة كاملة بالأنماط ، ولكن ربما يكون لمحبي اللغز بالفعل ما يكفي لمحاولة ملء مربع مماثل ، على سبيل المثال ، للأعداد الأولية 11 و 13 و 17. جرب ، لكن لا تستخدم طريقة القسمة على الزاوية أو الأس. فجأة سوف تكتشف بعض الانتظام الأخرى التي تشكلت هذه المربعات!

توقعات

يميل أصحاب الكرة الكريستالية إلى التنبؤ بالمستقبل ، ولكن يمكننا أيضًا التنبؤ بشيء ما من طاولاتنا. ربما لاحظت بالفعل - آخر أعمدة الوحدات موجودة فقط في الأعداد الأولية. أي أن نظرة واحدة على الطاولة تكفي لفهم ما إذا كان الرقم هو رقم أولي أم لا. هذا هو التنبؤ الأول للكرة البلورية. التوقع الثاني هو فترة الكسر في نظام الأرقام$$k ∗ N - 1 (هنا k أي عدد صحيح أكبر من الصفر) هي دائمًا 2. فترة الكسر في نظام الأرقام$k*N-1$$$تساوي k ∗ N + 1 دائمًا 1 وكل القيم فيه تساوي 1 أيضًا. على سبيل المثال ، بالنسبة للرقم المدروس N = 11 مع k = 1 ، لدينا$k*N+1$$$k ∗ N - 1 = 10 ، أي في نظام الأعداد العشرية$k*N-1=10$$$1 / 11 = 0. ( 09 ) ، وطول فترة تساوي 2، كما هو متوقع أعلاه. الآن نحن نتوقع مكملا للصيغ Euler و Fermat. أولاً ، تذكر أنه يمكن حساب كل ما تبقى عن طريق الحصول على رقم موضعه وقاعدة نظام الأرقام باستخدام الصيغة$1/11=0.(09)$

$$ب ط( وزارة الدفاعN ) ، حيث b هي أساس نظام الأرقام ، i هو الموضع الذي يبدأ من الصفر ، N هو الرقم قيد التحقيق. تتوافق هذه الصيغة مع صيغ Fermat و Euler ، إذا أخذنا في هذا الموضع مساوٍ للقيم التي اقترحها Fermat و Euler. ولكن إلى جانب النمط$b^i \pmod N$$$و ( ص - 1 )( وزارة الدفاعع ) = 1 تعطى لنا من قبل فيرمات ، يعطينا انتظام العمود الأوسط صيغة مماثلة -$a^{(p-1)} \pmod p = 1$$$و ( ص - 1 ) / 2( وزارة الدفاعp ) = { 1 ، p - 1 } ، أي ، أي رقم لسلطة أولية ، ناقص واحد مقسوم على 2 ، سيمنحنا إما وحدة أو p-1 ، حيث p أولية. يمكن تمديد الصيغة إلى الحالة عندما يكون عدد الفترات من واحد إلى واحد داخل الجدول بأكمله غريبًا وطول الفترة متساويًا.$a^{(p-1)/2} \pmod p = \{1,p-1\}$ ثم $$و على ك( وزارة الدفاعع ) = ع - ( أ ( ع - 1 ) / 2 + ك( وزارة الدفاعp ) ) ، حيث k هو أي عدد صحيح ، p هو الأساس. تعكس هذه الصيغة انتظام تكرار الجزء الثاني من الفترة ذات الطول المتساوي ، ولكن مع الطرح من الرقم المدروس ، تم وصف هذا الاعتماد أعلى قليلاً. بالنسبة لعدد من الفترات الزوجية ذات الطول المتساوي ، يمكن للمرء أيضًا أن يعبر بواسطة الصيغة عن اعتماد المخلفات من النصف الأيمن من الفترة على البقايا من النصف الأيسر. الآن سنتوقع كيفية العثور على جميع مقسومات الرقم من مثل هذا الجدول. للقيام بذلك ، انظر مرة أخرى إلى الجدول للرقم 21:$a^k \pmod p = p - (a^{(p-1)/2+k} \pmod p)$




من الواضح على الفور أن عددًا قليلًا جدًا من الصفوف ينتهي بوحدة ، وهذا يشير إلى الطبيعة المركبة للرقم. كما أوضح أويلر في صيغته لمقارنة درجة رقم مركب مع ما تبقى من 1 ، فإن الأس في هذه الحالة لا يمكن أن يكون مساويًا للرقم المركب ناقصًا واحدًا (أي القيمة التي تحدد الموضع الأقصى في الجدول) ، لذلك في حالة الرقم 21 نرى الصفوف دون وحدة في النهاية. ومع ذلك ، فإننا نرى أيضًا عدة صفوف تحتوي على وحدات. لماذا لا تتحقق صيغة أويلر بالنسبة لهم؟ انتبه إلى فترتها ، فهي تساوي 2 أو 1. وهذا هو ، كما هو الحال بالنسبة للعديد من الصيغ ، صيغة Euler تعطينا حلاً واحدًا من المجموعة ، وفي هذه المجموعة هناك وحدات مضمونة في المواضع المحددة بالضبط بواسطة الصيغة ، أي قبل آخر مكان في الجدول ، لكن بما أن المدة قصيرة ،تكرار عدة مرات ، وأحيانًا يتناسب بنجاح مع العرض الكلي للجدول ونحصل على واحد في نهاية بعض الصفوف. هذا الموقف نموذجي لمجموعة كاملة من الأرقام ، والتي يطلق عليها اسم بسيط ، لأنها تنتحل شخصية بسيطة ، ووضع وحدات في الصف الصحيح في بعض الصفوف. لكن هذا لا يمنعنا من رؤية تلك السلسلة التي لا توجد فيها وحدة في النهاية ، وبالتالي فإن هذا الموقف لا يؤثر بأي شكل من الأشكال على الإمكانية الأساسية لتحديد البساطة أو الطبيعة المركبة للرقم وفقًا للجدول المقترح. على الرغم من أنه في الواقع ، غالبًا ما يتم العثور على المبادئ مع وجود قيود على قدراتنا ، ولكن بشكل أكبر على ذلك لاحقًا.وضع وحدات على اليمين في بعض الصفوف. لكن هذا لا يمنعنا من رؤية تلك السلسلة التي لا توجد فيها وحدة في النهاية ، وبالتالي فإن هذا الموقف لا يؤثر بأي حال على الإمكانية الأساسية لتحديد البساطة أو الطبيعة المركبة للرقم وفقًا للجدول المقترح. على الرغم من أنه في الواقع ، غالبًا ما يتم العثور على المبادئ مع وجود قيود على قدراتنا ، ولكن بشكل أكبر على ذلك لاحقًا.وضع وحدات على اليمين في بعض الصفوف. لكن هذا لا يمنعنا من رؤية تلك السلسلة التي لا توجد فيها وحدة في النهاية ، وبالتالي فإن هذا الموقف لا يؤثر بأي شكل من الأشكال على الإمكانية الأساسية لتحديد البساطة أو الطبيعة المركبة للرقم من الجدول المقترح. على الرغم من أنه في الواقع ، غالبًا ما يتم العثور على المبادئ مع وجود قيود على قدراتنا ، ولكن بشكل أكبر على ذلك لاحقًا.

الآن المقسومات على العدد 21. تبدأ فتراتها وتنتهي ليس بالوحدات ، بل المقسومات نفسها. الأمر نفسه ينطبق على جميع الصفوف في المواضع التي هي مضاعفات المقسومات. لذلك بالنسبة للقسمة 3 نرى أنه في السطر رقم 3 تبدأ الفترة بثلاثة أضعاف وتنتهي بها. الشيء نفسه بالنسبة للصف رقم 7 (على الرغم من أن طول الفترة هناك يساوي واحد). وبنفس الطريقة ، تتصرف كل مضاعفات أرقام الصفوف الثلاثة والسبعة بالطريقة نفسها. أي أن عدم وجود وحدة في الفترات يعد علامة على اكتشاف مقسوم الرقم قيد الدراسة ، أو قيمة مضاعفة للقسمة. حسنًا ، تخبرنا الوحدة في بداية هذه السلسلة بطول الفترة السابقة. بالنسبة للرقم المركب ، توجد الفترة السابقة فقط في أنظمة الأرقام التي هي مضاعفات مقسومات الرقم. لذلك إذا صادفت كسراً مع فترة ما قبل ، يجب أن تعلم أنه تم الحصول عليه بعد قسمة الرقم المركب.طول الفترة التمهيدية يساوي عدد البقايا في بداية السلسلة غير المدرجة في فترة البقايا. عند تقسيم الوحدة على العدد المدروس ، ستتكون الفترة السابقة دائمًا من أصفار. إذا قمنا بضرب نتيجة القسمة على رقم آخر (أو ، بالمقابل ، قسّم العامل على N) ، فسنحصل على نفس الفترة ، حيث يتم إعطاء القواعد لوصفها أعلاه ، بالإضافة إلى جزء من نتيجة ضرب العامل بالبتات الأقدم في الفترة السابقة. إذا كان الرقم المضروب أكبر من N ، فسيذهب جزء من البتات الأكثر أهمية إلى الجزء الصحيح من النتيجة ، وستظل الفترة السابقة بنفس الطول.يتم إعطاء القواعد الخاصة بالوصف أعلاه ، بالإضافة إلى جزء من نتيجة ضرب العامل بفترة اختفت بها الأرقام العليا في الفترة السابقة. إذا كان الرقم المضروب أكبر من N ، فسيذهب جزء من البتات الأكثر أهمية إلى الجزء الصحيح من النتيجة ، وستظل الفترة السابقة بنفس الطول.يتم إعطاء القواعد الخاصة بالوصف أعلاه ، بالإضافة إلى جزء من نتيجة ضرب العامل بفترة اختفت بها الأرقام العليا في الفترة السابقة. إذا كان الرقم المضروب أكبر من N ، فسيذهب جزء من البتات الأكثر أهمية إلى الجزء الصحيح من النتيجة ، وستظل الفترة السابقة بنفس الطول.

لاحظ أنه في حالة قيامنا بضرب الجدول بأكمله برقم مركب بعدة مضاعفات لأي مقسوم على الرقم قيد الدراسة ، فسوف نحصل على انحطاط الجدول عندما يصبح نسخة من جدول رقم آخر تم الحصول عليه بعد تقليص البحث الذي تم البحث عنه بواسطة المقسوم عليه. يوجد أدناه جدول للرقم 21 مرة 3 ، وأدناه جدول بالرقم 7 مرات 3. إذا قارنتها ، يصبح من الواضح أن لدينا نسخة من الجدول تقريبًا للأسماء السبعة ، ولكننا نعرضها بثلاثة أضعاف ارتفاع. لن تعمل نسخة كاملة ، لأنه في الجدول يكون 21 رقمًا أكبر من 7 صالحة ، وفي الجدول 7 ، هذه الأرقام غير صالحة. لكن إذا أخذنا ذلك في الاعتبار ونقسمنا على بقية القيم في الجدول لـ 21 بالرقم 7 ، فسوف تلتقي الجداول. على الرغم من أن مثال هذه النسخة شبه تقريبا يمكن أن يتأكد من أنه خارج الجدول الفرعي لـ 7 ، داخل الجدول لـ 21 ،هي ، كما ذكرنا سابقًا ، نسخًا كاملة ، من المنطقي إزالتها ببساطة لتسهيل الإدراك.



بالإضافة إلى ذلك ، انتبه إلى صفوف الأصفار بالسطر رقم 7 ورقم 14. يخبروننا بوضوح عن قابلية القسمة على الرقم 21 ، لأننا ضاعفنا نتيجة قسمة 1/21 على 3 ، والتي تم تخفيضها وإعطاء النتيجة 1/7 ، لكن الصف رقم 7 في هذه الحالة يوضح نتيجة القسمة 7/7 ، حيث تكون جميع البقية صفر. الصف رقم 14 هو نتيجة القسمة 14/7 ، وهناك الباقي يساوي الصفر.

نذكر أيضًا أنه قبل ضرب الجدول في 3 ، كان للصفين 7 و 14 قيم كانت مضاعفات 7 ، والتي إذا ضربناها أي قيم تحتوي على مقسوم ثلاثي ، نتج عنها مضاعف لـ 21. لكن كما نتذكر ، في مثل هذا الجدول يمكنك ضرب الصفوف ، مما يعني أن أي صف يحتوي على ما تبقى من مضاعفات 3 ، يتم ضربه في رقم الصف 7 أو 14 ، سيعطي صفراً في الخلية المقابلة. لكن وجود الصفر في الجدول يعني قابلية القسمة على العدد من خلال قاعدة نظام الأرقام ، في الصف الذي يوجد به صفر. بما أن 21 قابلة للقسمة على 3 و 7 فقط ، فلا ينبغي أن يكون هناك أصفار في صفوف لا تتعدى 3 و 7. هذا هو السبب في جميع الصفوف ، باستثناء المضاعفات 3 ، فلن نجد البقايا التي هي مضاعفات 3. وهذا هو ، إذا تم استيفاء هذه البقايا ، ثم ضرب الصف بمثل هذه البقية في الصف رقم 7 أو 14 ، فسنحصل على صف لا يتزامن مع صف صف ، ولكن تحتوي على الأصفار. الصفوف فقطتتضاعف مضاعفات 3 مع صف صف بعد ضرب في الصفوف 7 أو 14. ولكن صف صف في الجدول واحد. كيف يتم الجمع بين صف صف واحد وبقايا صفرية عند الضرب بثلاثة من الصفوف 7 و 14؟ الأمر بسيط للغاية - تحتاج إلى حظر ظهور ثلاثة أرقام متعددة في جميع الصفوف ، باستثناء الأرقام الثلاثة. لكننا توصلنا للتو إلى هذه القاعدة ، وتم دائمًا مراعاة قوانين الجدول المتبقي. هذا هو ، دائمًا ، بطريقة ما مسلية ، أن الطبيعة نفسها تزيل (وتزيل) الأعداد الممنوعة من الصفوف غير المخصصة لها. هنا لدينا التنبؤ المنطقي لخوارزمية عمل الطبيعة. أو مجرد منطق لدينا؟ الأمر يستحق النظر.كيف يتم الجمع بين صف صف واحد وبقايا صفرية عند الضرب بثلاثة من الصفوف 7 و 14؟ الأمر بسيط للغاية - تحتاج إلى حظر ظهور ثلاثة أرقام متعددة في جميع الصفوف ، باستثناء الأرقام الثلاثة. لكننا توصلنا للتو إلى هذه القاعدة ، وتم دائمًا مراعاة قوانين الجدول المتبقي. هذا هو ، دائمًا ، بطريقة ما مسلية ، أن الطبيعة نفسها تزيل (وتزيل) الأعداد الممنوعة من الصفوف غير المخصصة لها. هنا لدينا التنبؤ المنطقي لخوارزمية عمل الطبيعة. أو مجرد منطق لدينا؟ الأمر يستحق النظر.كيف يتم الجمع بين صف صف واحد وبقايا صفرية عند الضرب بثلاثة من الصفوف 7 و 14؟ الأمر بسيط للغاية - تحتاج إلى حظر ظهور ثلاثة أرقام متعددة في جميع الصفوف ، باستثناء الأرقام الثلاثة. لكننا توصلنا للتو إلى هذه القاعدة ، وتم دائمًا مراعاة قوانين الجدول المتبقي. هذا هو ، دائمًا ، بطريقة ما مسلية ، أن الطبيعة نفسها تزيل (وتزيل) الأعداد الممنوعة من الصفوف غير المخصصة لها. هنا لدينا التنبؤ المنطقي لخوارزمية عمل الطبيعة. أو مجرد منطق لدينا؟ الأمر يستحق النظر.هنا لدينا التنبؤ المنطقي لخوارزمية عمل الطبيعة. أو مجرد منطق لدينا؟ الأمر يستحق النظر.هنا لدينا التنبؤ المنطقي لخوارزمية عمل الطبيعة. أو مجرد منطق لدينا؟ الأمر يستحق النظر.

لماذا يمكنني استخدام الجداول الموضحة؟ على سبيل المثال ، يعطوننا الفرصة لإنشاء تسلسلات عشوائية زائفة. وهذه التسلسلات لها عدد من الخصائص المفيدة. لذلك في كل سلسلة من المخلفات لا توجد تكرارات. إذا كنا بحاجة إلى التكرار (للحصول على تقليد أكثر اكتمالا للعشوائية) ، فعندئذ لدينا قيم التخلص من فترة الكسر ، والتي يمكن تكرارها في كثير من الأحيان. إن توزيع البقايا من مجموعة كاملة من تسلسلات الأعداد الأولية يكون دائمًا متناسقًا تمامًا. يتم الاحتفاظ تلقائيًا بقيم عدد من المخلفات في النطاق [1 ، N-1]. للحصول على تسلسل ، لدينا عدد غير محدود من الأعداد الأولية ، مما يجعل عدد التسلسلات غير محدود. لا يتجاوز الحد الأقصى لطول التسلسل قيمة الرقم الأولي ، والذي يعطي طريقة بسيطة للتنبؤ بهذه المعلمة المهمة.يضمن وجود العديد من المتتاليات ، مع فترة أقصر من N ، عدم وجود تقاطعات متسلسلة عند إنشائها بالتوازي ، أي تحميل جميع مراكز المعالج ، لا يتعين علينا التفكير في الأقفال والمزامنة وفحوص الدخول وما شابه ذلك ، مما يزيد بشكل كبير من سرعة التوازي. بالإضافة إلى ذلك ، تتوفر خوارزمية التوليد (القسمة على الزاوية) لطلاب المدارس الابتدائية ، كما أنه من السهل جدًا تنفيذها برمجيًا.بالإضافة إلى ذلك ، تتوفر خوارزمية التوليد (القسمة على الزاوية) لطلاب المدارس الابتدائية ، كما أنه من السهل جدًا تنفيذها برمجيًا.بالإضافة إلى ذلك ، تتوفر خوارزمية التوليد (القسمة على الزاوية) لطلاب المدارس الابتدائية ، كما أنه من السهل جدًا تنفيذها برمجيًا.

يمكنك أيضًا التفكير في التشفير. يمكنك التنبؤ بتسلسل الوحدات المتبقية من خلال معرفة مقسوم الوحدة ونظام الأرقام المحدد وأي قيمة من سلسلة تشفير البيانات (بعد كل شيء ، يمكنك تشفير عن طريق تخطي بعض المخلفات). حتى عندما تكشف بعض الطرق عن بعض القيم من تسلسل التشفير ، فسيتعين على المشفر التشفير تخمين الرقم المختار وقاعدة نظام الأرقام. إذا قمت باختيار معلمتين من أوامر بسيطة من عشرات أو ملياري (وبالنسبة لهم ، بسبب الحجم المتواضع ، فمن السهل جدًا بناء جدول لفتراتهم ، مما سيتيح لك تغيير الشفرات على الفور كل ثانية على الأقل) ، ثم استخدام القوة الغاشمة لا يمكن تكسيرها إلا عن طريق عدم الفرز أقل من 10 ^ 18 زوجا. ولكن حتى لو كسروا مجموعة بيانات واحدة ،ثم بعد فاصل زمني معين (على سبيل المثال ، كل رسالة لها زوجها الخاص) ، سيتغير زوج التشفير ويجب بدء كل شيء من جديد ، والذي قد لا يعمل بسبب عدم القدرة على الحصول على القيمة من تسلسل التشفير لكل رسالة (أو حتى جزء من الرسالة ، عند تغيير المفتاح بعد عدد الرسائل بايت المفتى). بالنسبة إلى الكمبيوتر العادي ، هذه مهمة لا يمكن حلها. على الرغم من أن كل شيء هنا يعتمد على اكتشاف نظرية القسمة الكافية لمثل هذه الأغراض (كما في حالة التشفير غير المتماثل على نطاق واسع).على الرغم من أن كل شيء هنا يعتمد على اكتشاف نظرية القسمة الكافية لمثل هذه الأغراض (كما في حالة التشفير غير المتماثل على نطاق واسع).على الرغم من أن كل شيء هنا يعتمد على اكتشاف نظرية القسمة الكافية لمثل هذه الأغراض (كما في حالة التشفير غير المتماثل على نطاق واسع).

في السلسلة التالية ، سنتحدث عن نظرية القسمة ، وعن الجوائز التي تنتظر القراء المهتمين.