في مشكلات التحكم ، هناك حالات يكون فيها قانون حركة الجسم المتحكم فيه معروفًا ومن الضروري تطوير منظم له خصائص معينة. في بعض الأحيان تكون المهمة معقدة بسبب حقيقة أن المعادلات التي تصف الكائن المتحكم فيه غير خطية ، مما يعقد بناء وحدة التحكم. في هذا الصدد ، تم تطوير العديد من الطرق لمراعاة الخصائص الهيكلية غير الخطية لكائن التحكم ، أحدها طريقة مشكلة الديناميات العكسية.

مقدمة

تنشأ طريقة المشكلة العكسية للديناميكيات بشكل طبيعي عندما تحاول "تحويل" نظام ديناميكي إلى آخر ، عندما يكون لدى المطور معادلتين ، واحدة منها تصف نظامًا حاليًا متحكم به ، والآخر يعبر عن قانون حركة ذلك النظام المتحكم فيه للغاية ، ويحوله إلى شيء مفيد. قد يبدو القانون مختلفًا ، لكن الشيء الرئيسي هو أنه ممكن فعليًا. يمكن أن يكون هذا قانونًا لتغيير الفولتية الجيبية عند إخراج المولد أو نظام التحكم التلقائي في التردد ، أو قانون سرعة دوران التوربين أو حركة مهد الطابعة ، أو يمكن أن يكون إحداثيات X ، Y لرصاص القلم الرصاص ، والتي يوقعها المعالج على البطاقات.

ومع ذلك ، من الممكن "فرض" قانون التحكم الخاص بك الذي يتلاءم مع إطار إمكانية تحقيق مادي وإمكانية التحكم في شيء ما ، وهذا ليس غالبًا الجزء الأكثر صعوبة في عملية التطوير. لكن حقيقة أن الطريقة قيد الدراسة تجعل من السهل مراعاة عدم الخطية وتعدد الأبعاد للكائن في رأيي تزيد من جاذبيته. بالمناسبة ، هنا يمكنك ملاحظة الاتصال باستخدام طريقة التعويض غير الخطية للتعليقات [1].

من المعروف أن وحدات التحكم غير الخطية المشكلة بشكل صحيح في بعض الحالات ، حتى عند التحكم في نظام خطي ، تعطي خصائص تحكم أفضل بالمقارنة مع وحدات التحكم الخطية [2]. مثال على ذلك هو منظم يقلل من معامل التثبيط لنظام ما مع زيادة في خطأ عمل أمر ويزيده كلما انخفض الخطأ ، مما يؤدي إلى تحسين جودة العملية العابرة.

وبصفة عامة ، فإن موضوع التحكم المرتبط بالحاجة إلى مراعاة اللاخطية قد اجتذب انتباه العلماء والمهندسين لفترة طويلة ، لأن معظم الأشياء الحقيقية موصوفة في معادلات غير خطية. فيما يلي بعض الأمثلة على اللاخطية الشائعة في التكنولوجيا:


البيان العام للمشكلة هو على النحو التالي. دع هناك عنصر تحكم يمكن وصفه بالمعادلة التفاضلية ذات الترتيب nth

$$

$$F ({{x} ^ {(n)}} ، {{x} ^ {(n-1)}} ، \ ... \، \ x، \ {{\ xi}}، t) = u ، \ quad \ quad \ quad (1)$$

التي يوجد فيها اضطراب $$$\ {{\ xi}}$ (قد يكون هذا ضجيج جهاز القياس ، والتأثير العشوائي الخارجي ، والاهتزاز ، وما إلى ذلك) وإشارة التحكم $$$u$ (في التكنولوجيا ، يتم التحكم في الغالب باستخدام الجهد الكهربائي). في هذه الحالة ، من أجل بساطة الإدراك ، فإننا نعتبر كائن تحكم أحادي البعد ، والذي يتضمن اضطرابًا واحدًا. في الحالة العامة ، هذه الكميات ناقلات. ومن المعلوم أن متغيرات المرحلة $$${{x} ^ {(n)}} ، {{x} ^ {(n-1)}} ، \ ... \، \ x$ التي تصف حالة كائن التحكم ، الاضطرابات $$$\ {{\ xi}}$ والإدارة $$$u$ تعتمد على الوقت ، ولكن لا يتم عرض هذه الحقيقة لبساطة الإدراك. قد يحتوي التعبير (1) على عناصر غير خطية ، بالإضافة إلى أنه غير ثابت ، أي المعلمات التي تتغير بوضوح مع مرور الوقت. مثال على معادلة غير مستقرة يمكن أن يكون عدد نواة اليورانيوم في المفاعل ، والذي يتناقص باستمرار نتيجة لتفاعل الاضمحلال ، مما يؤدي إلى تغيير مستمر في قانون التحكم الأمثل لقضبان الوسيط.

يتم إنشاء وحدة التحكم بطريقة تعمل على وضع قانون تحكم معروف مسبقًا ، والذي يمكن وصفه بمعادلة تفاضلية للأمر لا تقل عن ترتيب المعادلة (1) ، الذي يصف كائن التحكم:

$$

$$f ({{x} ^ {(m)}} ، \ {{x} ^ {(m-1)}} ، \ ... \ ، \ x ، \ \ psi ، \ {{\ psi} ^ {(1)}}، \ ...، {{\ psi} ^ {(k)}}، \ t) = 0، \ \ \ \ \ m \ ge n، \ quad \ quad (2)$$

حيث $$$\ psi ، \ {{\ psi} ^ {(1)}} ، \ ... ، {{\ psi} ^ {(k)}}$ - إشارة التحكم ومشتقاتها بمبلغ يسمح لك بوصف قانون التحكم المطلوب بالكامل. لذلك ، بالنسبة لنظام التثبيت ، ليس من الضروري قياس مشتقات السيطرة. بالنسبة لنظام التتبع لإشارة إدخال منحدر ، يكفي لقياس المشتق الأول. لتتبع الإشارة المتغيرة من الدرجة الثانية ، يجب عليك إضافة مشتق آخر ، وهكذا. تجدر الإشارة إلى أن هذه الإشارة يتم تغذيتها إلى مدخلات منظم ، على عكس الإشارة $$$u$ إدخال كائن التحكم من المنظم. يمكن أن تكون هذه المعادلة أيضًا غير خطية وغير ثابتة.

لتحديد إشارة التحكم المطلوبة $$$u$ نعبر عن (2) أعلى مشتق

$$

$${{x} ^ {(n)}} = {{f}} ({{x} ^ {(n-1)}} ، {{x} ^ {(n-2)}} ، \ .. . \، \ x، \ psi، \ {{\ psi} ^ {(1)}}، \ ...، {{\ psi} ^ {(k)}}، t)$$

واستبدل التعبير الناتج بدلاً من ذلك $$$x ^ {(n)}$ في المعادلة (1) ، مع التعبير عن التحكم:

$$عرض $$ $$ \ تبدأ {matrix} {u = F \ left ({{f}} ({{x} ^ {(n-1)}} ، {{x} ^ {(n-2)}} ، \ ... \، \ x، \ psi (t)، \ {{\ psi} ^ {(1)}}، \ ...، {{\ psi} ^ {(k)}}، t) ، \\ \ quad \ quad \ quad \ quad {{x} ^ {(n-1)}}، {{x} ^ {(n-2)}}، \ ... \، \ x، \ { {\ xi}} ، t \ right).} & \ quad \ quad \ quad (3) \ end {matrix} $$ عرض $$

من التعبير (3) ، يصبح من الواضح أنه من أجل إنشاء إشارة التحكم المطلوبة ، من الضروري قياس بالإضافة إلى الاضطرابات الخارجية (إذا كان تأثيرها كبيرًا) لأن الكمية الخاضعة للرقابة نفسها $$$x$ ، وجميع مشتقاته تصل إلى النظام $$$ن -1 دولا$ شاملة ، والتي قد تسبب بعض الصعوبات. أولاً ، قد لا تكون المشتقات الأعلى متاحة للقياس مباشرةً ، كما نقول مشتق التسارع ، ونتيجة لذلك سيتعين علينا اللجوء إلى تشغيل التمايز ، برمجياً أو الدوائر. وكما تعلمون ، يحاولون تجنب ذلك بسبب الزيادة في الضوضاء. ثانياً ، تحتوي القياسات حتماً على ضوضاء ، وهذا يجبر المرء على اللجوء إلى الترشيح. أي مرشح هو ديناميكي ، أو بعبارة أخرى ، عنصر بالقصور الذاتي ، مما يعني وجود مشتق مع المعادلة. وبالتالي ، سيزداد ترتيب نظام التحكم بالكامل في الحالة العامة برقم يساوي مجموع أوامر المعادلات التي تصف جميع عدادات المرشح. وهذا هو ، إذا قمنا بالتحكم في كائن من المرتبة الثانية واستخدمنا مرشحات من الدرجة الثانية في كل قناة قياس (أي مرشحين من المرتبة الثانية فقط) لقياس كمية الخرج ومشتقاته ، فإن ترتيب نظام التحكم سيزداد بمقدار أربعة. بالطبع ، إذا كانت ثوابت وقت المرشح صغيرة بدرجة كافية ، فيمكن إهمال تأثير عناصر التجانس. ولكن على أي حال ، سوف يقومون بإدخال ما يسمى المعلمات الديناميكية الصغيرة في النظام ويمكن أن تؤثر مساهمتهم مجتمعة على استقرار نظام التحكم ككل [2]. يجب أن نفهم أيضًا أن هذه الطريقة تسمح لك بتحديد التحكم فقط في عملية النقل ولا ترتبط بالتحسين بواسطة أي معيار لجودة التحكم.

يمكن وصف علاقة وحدة التحكم وكائن التحكم بالنظام التالي:

فان دير بول المذبذب السيطرة

النظر في مثال لتوليف تحكم للسيطرة على نظام التذبذب الذاتي. هذا مثال وهمي يشرح جوهر الطريقة جيدًا. افترض أنك تريد التحكم في نظام تكون معادلاته كما يلي:

$$

$$\ ddot {x} - \ gamma (1 - {{x} ^ {2}}) \ dot {x} + {{\ omega} ^ {2}} x = u. \ quad \ quad (4)$$

يجب أن يكون قانون الإدارة كما يلي:

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {x} + 2T \ xi \ dot {x} + x = \ psi، \ quad \ quad (5)$$

حيث $$$\ psi$ - لدينا إشارة التحكم في القيادة (setpoint). هذا ، في الواقع ، نريد "تحويل" مولدنا غير الخطي إلى رابط تذبذب خطي. تجدر الإشارة إلى أنه في نفس [2] هذا النظام هو نظام الاستقرار ، لأن الإخراج $$$x$ يسعى لتكرار إشارة الإدخال $$$\ psi$ ، وهذا هو ، استقرار إخراج النظام عند مستوى ثابت معين $$$\ psi$ التي يمكن عرضها على النحو

$$

$$x \ rightarrow \ psi.$$

من المهم أن إشارة الدخل $$$\ psi$ كان ثابت أو يتغير ببطء (ببطء شديد أن خطأ التأخر $$$x$ من $$$\ psi$ تتناسب مع متطلباتنا الخاصة بالدقة) مع قيمة أو وظيفة ثابتة متقطعة ، حيث أن النظام بأكمله يحتوي على درجة استاتية من الصفر (أي ثابتة) ولأي إشارة إعداد متغيرة باستمرار $$$\ psi$ سيظهر خطأ ديناميكي بالتأكيد في إخراج النظام ، والذي سيبدو وكأنه إضافة قيمة ثابتة معينة إلى قيمة الإخراج التي تعتمد رتابة على معدل تغيير إجراء التحكم. سيتم القضاء على هذه الميزة في المستقبل.

لذلك ، نعبر عن أعلى مشتق من المعادلة (5):

$$

$$\ ddot {x} = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} - \ frac {2 \ xi \ dot {x}} {T} - \ frac {x} {{{T } ^ {2}}}$$

واستبدلها في (4) ، معبرة $$$u$ :

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} ^ {2}} - \ frac {1} {{{{T} ^ {2}} } \ right) x- \ left (\ frac {2 \ xi} {T} + \ gamma (1 - {{x} ^ {2}}) \ right) \ dot {x}. \ quad \ quad (6)$$

هذه هي إشارة التحكم ، والتي سيتم تشكيلها من قبل المنظم من إشارة التحكم المطلوبة $$$\ psi$ . من (6) يتبع أيضا الحاجة لقياس كمية الانتاج $$$x$ ومشتقه الأول.

فان دير بول التذبذبات مع المعلمات $$$\ gamma = 0.6 ، \ omega = 3$ تبدو مثل هذا:


دعنا نملك إشارة نوع "خطوة":


ونريد أن يكرره النظام.

نحن نطعمه بإدخال مذبذب ونرى الرد:


تحت تأثير الإشارة الفردية للإدخال ، تم إضافة تحيز ثابت صغير فقط إلى تذبذبات المذبذب.

لنفترض الآن أننا بحاجة إلى الحصول على استجابة المذبذب هذه لإشارة رئيسية تتوافق مع رد فعل الارتباط الذبذبي (5) مع ثابت الوقت $$$T = 0.125 دولا$ وعامل التخميد $$$\ xi = 0.8 دولا$ . استجابة $$$x_ {mp} (t)$ فيما يلي رابط تذبذب لكل خطوة وحدة:


الآن دعونا نعطي إشارة التحكم إلى المذبذب $$$u$ وصفها التعبير (6):


يمكن ملاحظة أن المذبذب يتصرف وفقًا للقانون المطلوب. دعنا ننظر إلى إشارة التحكم $$$u$ :


يوضح الشكل زيادة كبيرة في وقت عملية الانتقال. في نظام حقيقي ، على الأرجح ، إما أن يدخل النظام التشبع (التدمير) ، أو لمنع ذلك ، سيتعين علينا الحد من إشارة الدخل. نأخذ هذا في الاعتبار عن طريق الحد من سعة إجراء التحكم $$$u$ على المستوى $$$\ مساء$ 15. تبدو إشارة التحكم الآن كما يلي:


ومخرج المذبذب هو مثل هذا:


إن نتيجة تحديد الإشارة هي خطأ عابر كبير ، والذي ، حسب الخصائص المرغوبة للنظام ، يمكن أن يكون ذا أهمية كبيرة. مع زيادة الوقت الثابت المطلوب ، تنخفض الانبعاثات العابرة. يجب أن تكون حريصًا على أن إشارة التحكم القصوى في الحالة المستقرة (والتي تبدأ في هذا الرسم البياني من حوالي الثانية الثانية) ليست محدودة ، وإلا ستكون هناك عملية انتقال لا نهاية لها ولن ينجح النظام في تنفيذ المهمة. كسب منظم ، أي السيطرة على نسبة الإشارة $$$u$ في الإخراج منظم $$$\ psi$ يحددها معلمات النظام الخاضع للرقابة ، أي العامل $$$\ omega ^ 2$ .

الآن نقوم بإطعام المذبذب بإشارة تغيير خطية:


رد فعل الارتباط الاهتزاز:


ومذبذب:


لقد ظهر أن تأخر ثابت قد ظهر - خطأ ديناميكي ، لأن النظام مصمم لتتبع إشارة مرجعية ثابتة فقط $$$\ psi$ . من أجل التمكن من تتبع إشارة متفاوتة خطيًا ، من الضروري تقييم معدل التغير وأخذها في الاعتبار في وحدة التحكم. للقيام بذلك ، نؤلف قانون الرقابة المطلوب على النحو التالي:

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0، \ quad \ quad (7)$$

حيث $$$\ delta = \ psi-x$ - خطأ في تتبع الإشارة المرجعية بواسطة المذبذب.
نعبر أيضًا عن أعلى مشتق من (7) ، واستبدله في معادلة كائن التحكم (4) والحصول على إشارة تحكم:

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ frac {2 \ xi} {T} \ dot {\ psi} + \ left ({{\ omega} ^ {2} } - \ frac {1} {{{T} ^ {2}}} \ اليمين) x- \ left (\ frac {2 \ xi} {T} + \ gamma (1 - {{x} ^ {2} }) \ right) \ dot {x}. \ quad \ quad (8)$$

في الهيكل الجديد للجهة المنظمة المقابلة للتعبير (8) ، معدل تغيير الإجراء المحدد $$$\ dot {\ psi}$ . ننظر إلى مخرجات النظام عند تطبيق نقطة ضبط متفاوتة خطيًا على المدخلات:


مذبذب المسارات إشارة مجموعة $$$\ psi$ .

لكن هذا مثال اصطناعي بالكامل. في الواقع ، سيكون هناك نظام ربما لم يتم تحديد هيكله بدقة كافية - هذه المرة. سنحدد أيضًا معلمات النظام مع وجود خطأ معين - هاتان هما. يتضمن التحكم متغيرات المرحلة $$$x ، \ dot {x}$ التي يجب أن تقاس مع نوع من الضوضاء ثلاثة. وقد تطفو معلمات النظام بمرور الوقت ، أي أن النظام الثابت على مدى فترة زمنية طويلة بما فيه الكفاية قد يُظهر عدم الثبات. على الرغم من أنه من الأصح قول ذلك - في فترة زمنية قصيرة إلى حد ما ، قد يبدو النظام غير الثابت ثابتًا. في هذا المثال ، نفترض أن النظام قد تم تحديده بدقة كافية وأن تغييره بمرور الوقت ضئيل للغاية. ثم ، من أجل الوضوح ، نعيد كتابة التعبير عن وحدة التحكم (6) على النحو التالي:

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2} - \ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \ right) \ hat {x} - \ left (\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\ text {id}}} (1- { {{\ \ hat {x}}} ^ {2}}) \ right) \ hat {\ dot {x}} ، \ quad \ quad (9)$$

حيث $$$\ hat {x}، \ hat {\ dot {x}}$ - القيمة المقاسة الخاضعة للرقابة ومشتقاتها ؛ $$${\ omega} _ {\ text {id}} ، {\ gamma} _ {\ text {id}}$ - التردد الطبيعي المحدد ومعامل التوهين غير الخطية ، على التوالي.

إضافة خطأ 10 ٪ في تحديد المعلمات مذبذب من خلال الإعداد $$$\ gamma_ {id} = 0.66 ، \ omega_ {id} = 3.3 دولا$ . لنلقِ نظرة على النتيجة:


يمكن ملاحظة من الشكل أنه ظهر خطأ ثابت ، والذي ينمو مع زيادة خطأ التحديد $$$\ delta \ omega = \ omega- \ omega_ {id}$ وفي حالة مستقرة مستقلة عن الخطأ $$$\ delta \ gamma = \ gamma- \ gamma_ {id}$ . لكن الأخيرة تؤثر على انحراف المذبذب عابرًا عن ذلك من أجل الارتباط الذبذبي المثالي. يمكنك محاولة القيام بالشيء نفسه كما هو الحال في تصميم وحدات التحكم PID ( Habr وليس Habr ) - قم بإضافة جزءًا لا يتجزأ من الخطأ لإشارة التحكم (دون نسيان التشبع المتكامل مرة أو مرتين ). لكن الآن ، دعنا نتجاهل هذا السؤال ونفكر في التعبير (9) ، حيث يمكن ملاحظة أنه كلما كان التردد الطبيعي أقل $$$\ أوميغا$ مقارنة مع الوقت المطلوب ثابت $$$\ frac {1} {T}$ ، أصغر تأثير خطأ تحديد نفسه $$$\ frac {1} {T}$ . الحد $$$T$ من 0.125 إلى 0.05. خطأ ثابت انخفض أيضا:


الآن دعونا نحاول تعويض الخطأ الثابت عن طريق إضافة جزء لا يتجزأ من الخطأ إلى وحدة التحكم $$$\ دلتا$ (كما في وحدة تحكم PI). التعبير (9) سيتحول إلى

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2} - \ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \ right) \ hat {x} - \ left (\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\ text {id}}} (1- { {{\ \ hat {x}}} ^ {2}}) \ right) \ hat {\ dot {x}} + k_ {int} \ int_0 ^ {t_1} {(\ psi-x) dt} ، \ quad \ رباعية (10) دولا$$

حيث $$$k_ {int}$ - معامل المكون المتكامل ؛ $$$t_1$ - الوقت الحالي.

تتم كتابة التكامل هنا رسميًا على أنه شرح للفكرة العامة ، بدلاً من الوصف الرياضي لخوارزمية محددة ، لأنه في وحدة التحكم الحقيقية ، من الضروري اتخاذ تدابير للحد من الخطأ المتراكم ، وإلا يمكن أن تحدث مشكلات مع العابرة. دعونا نلقي نظرة على رد فعل النظام تحت تصرف المنظم الناتج المقابل للتعبير (10):


يوضح الشكل أن الخطأ الثابت يتناقص بمرور الوقت ، لكن العملية المؤقتة قد تأخرت. عن طريق القياس مع وحدة تحكم PID ، يمكنك محاولة إضافة مكونات متناسبة ومميزة. وكانت النتيجة على النحو التالي (لم يتم اختيار المعاملات بعناية):


بطبيعة الحال ، لم تعد إضافة المكونات المتكاملة والتفاضلية جزءًا من طريقة مشكلة الديناميات العكسية ، ولكنها تنفذ طريقة معينة لتحسين العملية العابرة.

دعونا نحلل تأثير قياسات الضوضاء للمتغيرات $$$\ hat {x}، \ hat {\ dot {x}}$ . مرة أخرى ، نقوم بإدخال خطوة إلى إدخال النظام وننظر إلى المخرجات في حالة عدم وجود أي ضوضاء (لا يزال هناك خطأ في تحديد الهوية بنسبة 10٪):


أضف الآن إلى القياسات $$$\ hat {x}، \ hat {\ dot {x}}$ ضوضاء غوسية بيضاء مع توقع صفر وفروق متساوية $$$\ sigma_x ^ 2 = \ sigma_ \ dot {x} ^ 2 = 0.01$ مرت من خلال روابط aperiodic مع ثوابت الوقت $$$T_x = T_ \ dot {x} = 0.01$ التي تحاكي جهاز استشعار قياس + مرشح تمرير منخفض . أحد تطبيقات الضوضاء الناتجة:


الآن بدأ إخراج النظام أيضًا في إصدار ضوضاء:


نتيجة إشارة تحكم صاخبة:


ألقِ نظرة على الخطأ أثناء تنفيذ المهمة:


دعونا نحاول زيادة ثوابت الوقت من أجهزة الاستشعار $$$T_x = T_ \ dot {x} = 0.04$ وننظر مرة أخرى في إخراج النظام:


ظهرت تقلبات كبيرة - نتيجة لعمل من لم يعرف مصيرهم للمعلمات الديناميكية الصغيرة [2] التي تصف المستشعرات (القصور الذاتي). تجعل هذه المعلمات الديناميكية عملية تصفية الضوضاء صعبة ، مما يجبر على وصف المستشعرات بثوابت زمنية "كبيرة" ، والتي عمومًا لا يمكن أن تعطي دائمًا نتيجة إيجابية.

السيطرة على محرك DC مع مراعاة الاحتكاك اللزج غير الخطي

هذه حالة أكثر واقعية لتطبيق طريقة مشكلة الديناميات العكسية. النظر في تنظيم السيطرة على محرك جامع العاصمة مع الإثارة من المغناطيس الدائم (علاء الصينية المحركات من اللعب). من حيث المبدأ ، فإن موضوع التحكم في هذه المحركات مغطى بشكل جيد ولا يسبب أي صعوبات معينة. سيتم استخدام طريقة مشكلة الديناميات العكسية بشكل عام للتعويض عن اللاخطية في معادلة ديناميكيات المحرك. نحن نفترض أن المحرك نفسه يمكن وصفه بواسطة معادلات تفاضلية خطية ، ولكن هناك تأثير كبير للاحتكاك اللزج غير الخطي للرمح ، بما يتناسب مع مربع سرعة دورانه. معادلة النظام الكهروميكانيكية هي كما يلي:

$$

$$\ تبدأ {matrix} \ dot {\ omega} = \ frac {1} {J} \ left (k_t \ Phi I - B \ omega - D \ omega ^ 2 - M_ {l} \ right) \\ \ dot {I} = \ frac {1} {L} \ left (U - k_e \ omega - RI \ right) \\ \ end {matrix}، \ quad \ quad (11)$$

حيث $$$\ أوميغا$ - السرعة الزاوية لدوران العمود ؛ $$$J$ - لحظة الجمود في نظام الدوران بأكمله (المراسي مع الحمولة المرفقة) ؛ $$$k_t$ - ثابت الماكينة ، المحدد لتصميم محرك معين ، يتعلق بسرعة دوران المغنطيسية ورمح الدوران ؛ $$$\ Phi$ – , ( ); $$$I$ – ; $$$B$ - معامل الاحتكاك اللزج الخطي ؛ $$$D$ - معامل الاحتكاك اللزج اللاخطي ؛ $$$M_l$ - لحظة التحميل ؛ $$$L$ - الحث من لف حديد التسليح ؛ $$$يو$ - الجهد المطبق على اللف ؛ $$$k_e$ - معامل مكافحة EMF ، ثابت لتصميم محرك معين ؛ $$$R$ - مقاومة لف حديد التسليح. من حيث المبدأ ، سيكون من الكافي القيام بالاحتكاك اللزج غير الخطي فقط ، ولكن تقرر تقديم الاعتماد غير الخطي للاحتكاك على سرعة دوران العمود كحيلة لمزيد من العمومية.

سنحاول جعل مثل هذا المنظم من خلال طريقة المشكلة العكسية للديناميات ، بحيث تتوافق ديناميكيات الخطأ في إنجاز المهمة من حيث السرعة بواسطة المحرك مع الارتباط الاهتزازي الموصوف بالتعبير

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ omega} + 2T \ xi \ dot {\ omega} + \ omega = \ psi، \ quad \ quad (12)$$

حيث $$$\ أوميغا$ - السرعة الزاوية لدوران عمود الدوران ؛ $$$\ psi$ - تحديد السرعة.

يمكن تجميع المعادلة (12) باستخدام خطأ حل الأمر كمتغير ديناميكي $$$\ delta = \ psi- \ omega$ :

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0،$$

ولكن بعد ذلك ستظهر المصطلحات الخاصة بمشتقات setpoint في المعادلة ، كما يمكن رؤيته من التعبير

$$

$$\ frac {1} {T ^ 2} (\ psi- \ omega) + \ frac {2 \ xi} {T} (\ dot {\ psi} - \ dot {\ omega}) + \ ddot {\ psi } - \ ddot {\ omega} = 0 ،$$

هذا ، بدوره ، سيزيد من تقلب مكون الخطأ. ونظرًا لأننا نريد أن يعمل النظام فقط على تعيين نقطة ثابتة ومتغيرة بشكل مفاجئ (أي ، بالنظر إلى أن سرعته وتسارعه وجميع المشتقات اللاحقة تكون صفرية) ، فإننا نحتاج إلى تتبع الخطأ الأقصى في الموضع ، دون مراعاة مشتقاته ، أو إذا كان من السهل فهمه ، مع صفر مشتقات من الخطأ ، والتي من شأنها أن تؤدي إلى التعبير (12).

للحصول على تعبير يصف المنظم في النهاية ، من الضروري تقليل نظام معادلتين من الدرجة الأولى (11) إلى معادلة من الدرجة الثانية. للقيام بذلك ، نفرق في المعادلة الأولى (11) فيما يتعلق بالوقت (على افتراض أن وقت التحميل لم يتغير):

$$

$$J \ ddot {\ omega} = \ Phi \ dot {I} -B \ dot {\ omega} -2D \ omega \ dot {\ omega}$$

واستبدل به التعبير من المعادلة الثانية للنظام (11) $$$\ dot {I}$ ، والذي يعطي معادلة من الدرجة الثانية

$$

$$\ ddot {\ omega} + \ left (\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} \ right) \ dot {\ omega} +2 \ frac {D} {J} \ omega \ dot {\ omega} + \ frac {\ Phi K_t K_e + RB} {JL} \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} = \ frac {\ Phi K_t} {JL} U. \ quad \ quad (13)$$

استبدال في التعبير (13) $$$\ ddot {\ omega}$ تم الحصول عليها من (12) يمكننا العثور على التحكم المطلوب $$$يو$ لتنفيذ قانون الحركة المطلوب (12):

$$

$$\ small U = \ frac {JL} {\ Phi K_t} \ left [\ left (\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} - \ frac {2 \ xi} {T} \ يمين) \ dot {\ omega} + \ frac {2D} {J} \ omega \ dot {\ omega} + \ left (\ frac {\ Phi K_t K_e + RB} {JL} - \ frac {1} {T ^ 2} \ right) \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} + \ frac {\ psi} {T ^ 2} \ right]. \ \ (14) دولا$$

نحن نطبق مدخلات محركين ، أحدهما مستكمل من قبل منظم يتم تنفيذه وفقًا لمبدأ المشكلة الديناميكية العكسية ، وهي خطوة بسعة الوحدة وفقًا للمخطط التالي:


وانظر الاعتماد على وتيرة دوران مهاوي السيارات في الوقت المحدد:


رد فعل على خطوة بسعة 10 فولت:


يظهر الاعتماد غير الخطي لمؤشر التذبذب للنظام الأولي على سعة إشارة الدخل من الأشكال.

الآن قارن بين محركين مع وحدات تحكم PID ، يظهر المخطط الهيكلي له في الشكل التالي:


ترددات دوران رمح المحركات:


وأكبر:


يمكن أن نرى من خلال الأشكال أنه بفضل وحدة التحكم PID التي تم إنشاؤها باستخدام طريقة مشكلة الديناميات العكسية ، تم تسريع استجابة النظام لإشارة التحكم خطوة ، والتي لا يمكن تحقيقها باستخدام وحدة تحكم PID التقليدية بسبب عدم الخطية في كائن التحكم. ومع ذلك ، فإن استخدام المعاملات المتغيرة لوحدة التحكم PID من المحتمل أن يحل هذه المشكلة بشكل أفضل ويجعل النظام أكثر قوة. لكن هذه قصة مختلفة تماما.

استنتاج

تعتبر هذه المقالة طريقة تسمح لك بإنشاء وحدة تحكم للتحكم في الأنظمة غير الخطية ، والتي تم عرضها بواسطة أمثلة من عناصر التحكم في مذبذب Van der Pol ومحرك DC.

المزايا الرئيسية لهذه الطريقة تشمل:

• سهولة تنفيذ قانون الرقابة المطلوب (تحليلي) ؛
• القدرة على التحكم في الأنظمة غير الخطية ؛
• القدرة على التحكم في الأنظمة غير الثابتة.

ومع ذلك ، تحتوي هذه الطريقة أيضًا على عدد من العيوب الهامة:

• الحاجة إلى معرفة متجه الحالة بالكامل للنظام الخاضع للرقابة (والذي قد يتطلب التمايز والتصفية) ؛
• الحاجة إلى تحديد دقيق بما فيه الكفاية لمعلمات النظام الخاضع للرقابة ، والتي يمكن أن تقلل من المتانة ؛
• الحاجة إلى دراسة نظام عدم الاستقرار الناتج عن العمل المشترك للمعلمات الديناميكية الصغيرة (المرشحات ، أجهزة الاستشعار) غير المدرجة في النموذج.

بشكل عام ، هذه طريقة مثيرة للاهتمام إلى حد ما ، ولكن من خلال مقارنة تنفيذها للسيطرة على محرك تيار مستمر (باستخدام وحدة تحكم PID) مع محرك يتحكم فيه فقط وحدة تحكم PID ، أصبح من الواضح أنه لن يكون من الممكن الحصول على كعكات كبيرة منه. لكن هيكل جهاز التحكم أكثر تعقيدًا ، حيث يجبر ، من بين أمور أخرى ، على مواجهة ضوضاء التمايز من ناحية ، ومنع حدود الاستقرار من الوصول إلى جهة أخرى. ربما مع هذا يرتبط عدد صغير من الأعمال حول هذا الموضوع. أحد التطبيقات الممكنة لطريقة المشكلة العكسية للديناميكيات يمكن أن يكون بناء مسارات مرجعية (مثالية) للأنظمة للمقارنة مع المسارات المقابلة لمختلف وحدات التحكم ، على سبيل المثال ، الخطية أو الخطية.

الأدب المستخدم:

1. كيم دي بي نظرية التحكم الآلي. V.2. أنظمة متعددة الأبعاد ، غير خطية ، مثالية وقابلة للتكيف: كتاب مدرسي. بدل. - M: FIZMATLIT ، 2004. - 464 صفحة.
2. Boychuk L.M. طريقة التجميع الهيكلي لأنظمة التحكم الأوتوماتيكية غير الخطية. M. ، "الطاقة" ، 1971.
3. أنظمة غير ثابتة للتحكم الآلي: التحليل والتوليف والتحسين / إد. KA بوبكوفا و N.D. Egupova. - M .: دار النشر من MSTU. NE بومان ، 2007 .-- 632 صفحة.