دخول

هل حدث أنك تريد جمع بعض المسلسلات غير المحدودة ، ولكن لا يمكنك التقاط مبلغ جزئي من المسلسل؟ هل ما زلت لم تستخدم المشتق المنفصل؟ ثم نذهب لك!

تعريف

متسلسل مشتق منفصل $$$a_n$ نسمي هذا التسلسل $$$\ دلتا a_n$ هذا لأي طبيعي $$$n> 1 دولا$ يؤديها:

$$

$$\ Delta a_n = a_n - a_ {n-1}$$

النظر في الأمثلة التالية:

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = 1 - 1 = 0$$

• $$

  $$a_n = n \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = n - (n - 1) = 1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 2 \\ a_n = n ^ 2 - (n - 1) ^ 2 = n ^ 2 - (n ^ 2 - 2n + 1) = 2n-1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 3 \\ \ Delta {a_n} = n ^ 3 - (n - 1) ^ 3 = 3n ^ 2 - 3n + 1$$

• $$

  $$a_n = k ^ n \\ \ Delta {a_n} = k ^ n - k ^ {n-1} = k ^ {n-1} (k-1)$$

حسنا ، أنت تحصل على هذه النقطة. شيء من هذا القبيل مشتق من وظيفة ، أليس كذلك؟ لقد فهمنا كيفية حساب المشتقات المنفصلة للتتابعات "الأبسط". مهم ، ولكن ماذا عن المجموع ، والفرق ، والمنتج ، وحاصل التسلسل؟ للمشتق "العادي" بعض قواعد التمايز. دعنا نأتي مع واحدة منفصلة!

أولا ، النظر في المبلغ. ومن المنطقي أن يكون مجموع التسلسلات أيضًا نوعًا من التسلسل. دعنا نحاول العثور على المشتق بحكم التعريف:

$$

$$\ Delta {(a_n + b_n)} = a_n + b_n - (a_ {n - 1} + b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} + b_n - b_ {n - 1 } = \ Delta {a_n} + \ Delta {b_n}$$

الهائل! لقد حصلنا على أن مشتق مجموع المتواليات هو مجموع مشتقات هذه المتواليات! شكرا قبعة
دعونا نحاول أن نثبت الشيء نفسه مع الفرق

$$

$$\ Delta {(a_n - b_n)} = a_n - b_n - (a_ {n - 1} - b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} - (b_n - b_ {n - 1}) = \ Delta {a_n} - \ Delta {b_n}$$

ونحن ننتقل إلى العمل!
وبالمثل ، نجد بحكم التعريف:

$$

$$\ Delta {(a_nb_n)} = a_nb_n - a_ {n-1} b_ {n-1} = \\ = a_nb_n-a_ {n} b_ {n-1} + a_nb_ {n-1} - a_ {n -1} b_ {n-1} = \\ = a_n (b_n - b_ {n-1}) + b_ {n-1} (a_n - a_ {n-1}) = \\ = a_n \ Delta {b_n } + b_ {n-1} \ Delta {a_n}$$

رائع ، أليس كذلك؟ النظر في حاصل

$$

$$\ Delta (\ frac {a_n} {b_n}) = \ frac {a_n} {b_n} - \ frac {a_ {n - 1}} {b_ {n-1}} = \ frac {a_nb_ {n-1 } -a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1}} = \\ = \ frac {a_nb_ {n-1} -a_nb_n + a_nb_n-a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1 }} = \\ = \ frac {b_n \ Delta {a_n} -a_n \ Delta {b_n}} {b_nb_ {n-1}}$$

رائع ...

ولكن هذا هو كل مشتق. ربما هناك مضادات منفصلة ؟ اتضح أن هناك!

المزيد من التعاريف

تسلسل بدائي منفصل $$$a_n$ استدعاء مثل هذا التسلسل $$$A_n$ هذا لأي طبيعي $$$n> 1 دولا$ يؤديها:

$$

$$a_n = \ Delta A_n$$

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = n$$

• $$

  $$a_n = n \\ n = \ frac {2n-1} {2} + \ frac {1} {2} = \ frac {\ Delta n ^ 2 + \ Delta n} {2} = \ frac {\ Delta (n ^ 2 + n)} {2} \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = \ frac {n ^ 2 + n} {2}$$

هذا مفهوم. قوه يأتي مع التناظرية من نيوتن لايبنيتز!

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \\ = A_1 - A_0 + A_2 - A_1 + ... + A_n - A_ {n-1} = \ \ = A_ {n} - A_0$$

هيا! هذه نكتة صدفة! والآن نفس أجمل:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n a_ = \ sum_ {i = 1} ^ n \ Delta A_i = A_i \ bigg | _ {1} ^ {n}$$

وتعميمها على مجموعة الأعداد الطبيعية من $$$دولا$ إلى $$$ب$ :

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} f (i) = F_i \ bigg | _a ^ b$$

تطبيق

الذي يتذكر الصيغة ذاتها لمجموع سلسلة من المربعات من الأرقام الطبيعية من $$$1$ إلى $$$ن$ ؟ وهنا أنا لا أتذكر. دعنا نخرجها!
ولكن عليك أولاً أن تجد المضاد للتسلسل $$$a_i = i ^ 2$ :

$$

$$i ^ 2 = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3} + i - \ frac {1} {3} = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3 } + i - \ frac {1} {3} = \\ = \ frac {1} {3} \ Delta i ^ 3 + \ frac {1} {2} \ Delta (i ^ 2 + i) - \ frac {1} {3} \ Delta i = \\ = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + 3i-2i} {6} = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} { 6}$$

والآن ، في الواقع ، المبلغ نفسه:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 2 = \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6} \ bigg | _0 ^ n = \ frac {2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n} {6}$$

ماذا عن مجموع المكعبات؟

أولا نحسب

$$

$$\ Delta i ^ 4 = i ^ 4 - (i-1) ^ 4 = i ^ 4- (i ^ 4 - 4 i ^ 3 + 6i ^ 2-4i + 1) = 4i ^ 3 - 6i ^ 2 + 4i-1 دولا$$

المضاد لل $$$i ^ 3$ :

$$

$$i ^ 3 = \ frac {1} {4} (4i ^ 3-6i ^ 2 + 4i-1) + \ frac {3} {2} i ^ 2-i + \ frac {1} {4} = \ \ = \ frac {\ Delta i ^ 4} {4} + \ frac {3} {2} \ Delta {\ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6}} - \ Delta {\ frac { i ^ 2 + i} {2}} + \ frac {\ Delta {i}} {4} = \\ = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i-2i ^ 2 -2i + i} {4}} = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + i ^ 2} {4}} = \\ = \ Delta {\ bigg (\ frac {i (i + 1 )} {2} \ bigg) ^ 2} \\ \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 3 = \ bigg (\ frac {i (i + 1)} {2} \ bigg) ^ 2 \ bigg | _0 ^ n = \ bigg (\ frac {n (n + 1)} {2} \ bigg) ^ 2$$

مهم ، على ما يبدو ، لا شيء معقد ...

لالمتقدمة

العثور على لا يتجزأ ليس من السهل دائما ، أليس كذلك؟ ماذا نفعل في الحالات الصعبة؟ هذا صحيح ، والاندماج في أجزاء. ربما هناك تناظرية؟ أنا لن أعذبك ، هو ، والآن سنخرجه.

لنفترض أننا بحاجة إلى حساب مجموع السلسلة

$$

$$p = const \\\ sum_ {i = 1} ^ {n} ip ^ {i} =؟$$

ما يجب القيام به من غير المحتمل أن تكون قادرًا على التقاط المضاد المنفصل للتسلسل بسهولة. لنشاهد.

نحن نعلم بالفعل أن:

$$

$$\ Delta {(f (n) g (n))} = f (n) \ Delta {g (n)} + g (n-1) \ Delta f (n)$$

ثم

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) + \ sum_ {i = a } ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i) \ iff \\ \ iff \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = \ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

والآن خطوة واحدة غير مبالية:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = f (a) g (a) -f (a-1) g (a-1) + f (a +1) g (a + 1) - f (a) g (a) + \\ + ... + f (b) g (b) -f (b-1) g (b-1) = f ( b) g (b) -f (a-1) g (a-1)$$

استبدل المساواة التي حصلت عليها قبل:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = f (b) g (b) -f (a-1) g (a-1) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

Finita la comedy.

العثور على نفس المبلغ:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i}} = S_n \\ p ^ i = \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ S_n = \ sum_ {i = 1} ^ ni \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ $$

قد يبدو لشخص ما أن الصيغة أصبحت أكثر تعقيدًا ، وقمنا بتعقيد عملنا فقط. لكن هذا ليس كذلك. سمح $$$f (i) = i ، g (i) = \ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}$ ثم:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nf (i) \ Delta g (i) = f (n) g (n) -f (0) g (0) - \ sum_ {i = 1} ^ {n} g (i-1) \ Delta f (i) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - 0 - \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {p ^ {i}} {p-1} = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1} ^ {n} p ^ i \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1 } ^ {n} \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {p ^ {n + 1} -p} {(p-1) ^ 2} \ bigg) = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

لغز رائع

أقترح ممارسة هذا بمثال مهمة من الاختيار في دورات Tinkoff Generation إلى Learning Machine . هذه هي المشكلة نفسها:

لقد سئمت من حل المشكلات من الاختيارات إلى دورات Tinkoff Generation وقررت أن تأخذ قسطًا من الراحة من خلال مشاهدة العديد من حلقات السلسلة الجديدة التي يتحدث عنها الجميع.

تبدأ في مشاهدة جميع المسلسلات ، بدءًا من الأول. كل حلقة تستغرق ساعة واحدة. بعد مشاهدة السلسلة التالية ، تبدأ الاحتمال الثابت ppp بمشاهدة السلسلة التالية ، وإلا ستنتهي فترة الراحة وستعود إلى العمل.

لا تمنعك الجوع والنوم والاحتياجات الأخرى ، وللمسلسل عدد لا حصر له من الحلقات ؛ من الناحية النظرية ، يمكن أن تستمر استراحة إلى الأبد.

كم من الوقت سوف يستمر كسر متوسط الخاص بك؟

بالمعنى الدقيق للكلمة ، نحن هنا بحاجة إلى العثور على التوقع الرياضي. هيا بنا

قرار

احتمال أن يستمر الفاصل ساعة واحدة:

$$

$$P (1) = 1 - p$$

2 ساعة

$$

$$P (2) = p (1-p) \\ ...$$

ن ساعة:

$$

$$P (n) = p ^ {n-1} (1-p)$$

ثم التوقع هو:

$$

$$E [X] = \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * P (i)} = \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * (1-p) p ^ {i-1}} = \\ = (1-p) \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * p ^ {i-1}}$$

إنه مألوف ، أليس كذلك؟

وجدنا بالفعل ذلك

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

ثم الصف الذي نحتاجه واضح تمامًا:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i-1} = \ frac {1} {p} \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

وتأتي المهمة لإيجاد حد التسلسل

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

حيث $$$p <1$ كما $$$ع$ - احتمال الحدث.
نثبت الآن ذلك

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0 ، \ space \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} p ^ n (n + 1) = 0$$

• $$

  $$f (x) = p ^ {x + 1} x ، \ space x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q} ، \ space 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {p ^ {x + 1} x} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty } {\ frac {x} {q ^ {x + 1}}} = \\ = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {x '} {(q ^ {x + 1})' }} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x + 1} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} f ( x) = 0 \ يعني \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0$$
  
  

• $$

  $$f (x) = p ^ {x} (x + 1) ، \ space x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q} ، \ space 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {p ^ {x} (x + 1)} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {x + 1} {q ^ {x}}} = \\ = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {(x + 1) '} {(q ^ {x}) '}} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} f (x) = 0 \ يعني \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} (n + 1) p ^ {n} = 0$$
  
  

الآن أصبح من السهل فهم ذلك

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} { (p-1) ^ 2}$$

و

$$

$$E [X] = (1-p) \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i-1}} = (1-p) \ frac {1 } {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} {1-p}$$

بعض ما يصل

فوه ... كان الأمر سهلًا جدًا ، حتى بالنسبة لي ، أيها القراء الأعزاء. قائمة الإنجازات لهذا اليوم:

1. لقد فهمنا ما هو المشتق المنفصل.
2. مشتقة من القواعد الكامنة للتمايز
3. لقد فهمنا ماهية المضاد المنفصل.
4. لقد اشتقنا من صيغة نيوتن ليبنيز
5. مشتقة من التناظرية التكامل من خلال الأجزاء
6. لقد حللنا المهمة الصعبة المتمثلة في اختيار دورة التعلم الآلي في Tinkoff Generation

ليس سيئا لبداية ، ما رأيك؟

التعليقات هي موضع ترحيب!