لا يمكن المبالغة في تقدير أهمية الأعداد الأولية ، سواء في الاستخدام اليومي أو في جميع فروع الرياضيات . نحن نعتمد بهدوء على خصائصها الخاصة ، ونستخدمها كأساس لعناصر لا حصر لها في مجتمعنا ، لأنها جزء لا يتجزأ من نسيج الطبيعة ذاته. وغالبا ما تسمى الأعداد الأولية التي تقاوم أي عامل "ذرات" في عالم الرياضيات. قال كارل ساجان عنهم مثل هذا:

إن وضع الأعداد الأولية ككتل بناء أساسية في جميع الأرقام ، والتي هي في حد ذاتها لبنات بناء فهمنا للكون ، أمر مهم للغاية.

في الطبيعة وفي حياتنا ، يتم استخدام الأعداد الأولية في كل مكان: تقوم السيكادا ببناء دورات حياتها عليها ، ويستخدمها صانعو الساعات لحساب القراد ، وفي محركات الطائرات ، بمساعدتهم ، يكون معدل نبضات الهواء متوازناً. ومع ذلك ، فإن جميع مجالات التطبيق هذه تتلاشى على خلفية حقيقة مألوفة لدى كل مشفّر: فالأرقام الأولية هي في صميم أمان الكمبيوتر الحديث ، أي أنها مسؤولة مباشرةً عن حماية كل شيء . انظر القفل في شريط العنوان في المتصفح؟ نعم ، هذا يعني أن "المصافحة" ثنائية المفتاح تستخدم ، على أساس الأعداد الأولية. كيف تتم حماية بطاقة الائتمان الخاصة بك عند التسوق؟ أيضا استخدام التشفير على أساس الأعداد الأولية.

ومع ذلك ، على الرغم من أننا نعتمد باستمرار على خصائصها الفريدة ، ظلت الأعداد الأولية بعيدة المنال بالنسبة لنا. على مدار تاريخ الرياضيات ، حاولت أعظم العقول إثبات نظرية حول التنبؤ بالأرقام الأولية ، أو إلى أي مدى يجب أن تكون متباعدة عن بعضها البعض. في الواقع ، ترتبط بعض المشكلات التي لم يتم حلها ، مثل مشكلة الأرقام المزدوجة ، ومشكلة Goldbach ، وأعداد الوعرة الأولية ، وفرضية Riemann ، مع عدم القدرة على التنبؤ العامة وعدم اليقين في الأعداد الأولية عند الميل إلى ما لا نهاية. بالطبع ، من وقت إقليدس اكتشفنا خوارزميات تسمح لنا بالتنبؤ بموقع بعض الأرقام ، لكن النظريات العامة لم يتم إثباتها بعد ، ولم يكن للمحاولات السابقة أدوات للتحقق من الأعداد الكبيرة. ومع ذلك ، تسمح تقنية القرن الحادي والعشرين للباحثين باختبار الافتراضات بأعداد كبيرة للغاية ، ولكن هذه التقنية وحدها مثيرة للجدل ، لأن الفحص الخشن لا يعتبر دليلاً موثوقًا به. بمعنى آخر ، تقاوم الأعداد الأولية طاعة أي صيغة أو معادلة عالمية ، ويبدو ترتيبها في الطبيعة عشوائيًا.

ومع ذلك ، تمكن شخص واحد لديه خربشات عشوائية من إثبات أنه على الأقل ليس عشوائيًا تمامًا ...

من صراخ إلى طرف - Ulam مفرش المائدة

واحدة من أعظم الأدلة على أن ترتيب الأعداد الأولية ليس مصادفة بحتة ظهرت في أكثر الطرق احتمالا: من رسومات دودل العشوائية العشوائية لطالب واحد من المحاضرات بالملل.


مفرش المائدة Ulam

كما تقول القصة ، اكتشف عالم الرياضيات البولندي ستانيسلاف أولام هذا النمط الرسومي خلال حلقة دراسية في عام 1963. ورسمًا لشبكة من الخطوط ، قرر ترقيم التقاطعات بنمط لولبي مربع وبدأ في وضع دائرة حول الأرقام في اللوالب البسيطة. وللمفاجأة ، سقطت الأعداد الأولية المحاطة بدوائر على خطوط مستقيمة مائلة ، أو كما أوضح تعبير أولام ، "أظهر سلوكًا غير عشوائي بقوة". مفرش المائدة Ulam ، أو دوامة الأعداد الأولية ، هو العرض البياني الناتج لمجموعة من الأعداد الأولية المميزة في دوامة مربعة. تم نشر مفرش المائدة في الأصل وأصبح معروفًا على نطاق واسع في عنوان "الألعاب الرياضية" للمخرج مارتن غاردنر في مجلة Scientific American .


مفرش طاولة Ulam بقياس 377 × 377 (أرقام تصل إلى حوالي 142 ألف)

التصور الموضح أعلاه يكشف بوضوح عن أنماط جديرة بالملاحظة ، خاصة على طول الأقطار. ولكن ربما نحن نخدع أنفسنا؟ غالبًا ما يُزعم أن مفرش المائدة Ulam هو مجرد خدعة من عقولنا تحاول العثور على أنماط بشكل عشوائي. لحسن الحظ ، يمكننا استخدام اثنين من التقنيات المختلفة للتأكد من أن هذا ليس هو الحال. تخبرنا المقارنة البصرية والتحليل المنطقي بكل تأكيد أن النموذج ليس عرضيًا. أولاً ، نقوم بمقارنة مفرش المائدة Ulam المحدد بمصفوفة من الحجم NxN بمصفوفة من نفس الحجم تحتوي على نقاط محددة عشوائيًا. ثانياً ، يمكننا استخدام معرفتنا بالعدد متعدد الحدود لفهم سبب توقع ظهور بعض النماذج عند عرض الأعداد الأولية بشكل بياني.

كما ذكر أعلاه ، على الأرجح ، سيكون التأكيد الأكثر سهولة لعدم العشوائية للنمط هو المقارنة المباشرة مع مفرش المائدة لـ Ulam. للقيام بذلك ، قم بإنشاء مفرش المائدة Ulam ودوامة مربعة مع مواقع عشوائية من نفس الحجم. فيما يلي مصففتان مختلفتان تبلغان 200 × 200 تمثل اللوالب العددية:


توضح المقارنة المرئية أن مفرش المائدة Ulam يحتوي على أنماط مذهلة ، خاصة على طول المحاور المائلة ؛ بالإضافة إلى ذلك ، لا توجد مجموعات من النقاط تقريبًا. من ناحية أخرى ، لا ينشئ الترتيب العشوائي للنقاط على الفور أي أنماط ملحوظة ويؤدي إلى تراكم النقاط في اتجاهات مختلفة. مما لا شك فيه ، أن مثل هذه التقنية تفتقر إلى دقة الأدلة التقليدية ؛ ومع ذلك ، هناك شيء لا تشوبه شائبة في تصور اللوالب من الأعداد الأولية: هذه هي تقنية اكتشفت بشكل عشوائي والتي تسمح لك بإنشاء رسم بياني يحفز المنطق وجذاب جماليا.

إذا اقتربنا من طبيعة الأعداد الأولية بطريقة أكثر منطقية وتقليدية ، فمن المنطقي تمامًا توقع ظهور أنماط في مثل هذه التصورات. كما ذكر أعلاه ، يبدو أن الخطوط في الاتجاهات القطرية والأفقية والعمودية تحتوي على تلميح. يمكن تفسير بعض هذه الأسطر ، التي ليست أرقامًا أولية ، من خلال كثيرات الحدود المربعة العادية ، والتي تستبعد إمكانية ظهور الأعداد الأولية - على سبيل المثال ، أحد الخطوط القطرية المقابلة للمعادلة y = x² يستبعد الأعداد الأولية بشكل واضح. من ناحية أخرى ، من المعروف أن بعض حدود الحدود المربعة ، تسمى الصيغ الأولية (سنتحدث عنها أدناه) ، تخلق كثافة عالية من الأعداد الأولية ، على سبيل المثال ، كثير الحدود الأولية للولاية: x² - x - 41 ؛ هذا هو خط آخر ينعكس كنمط في دوامة (على الرغم من أنه من الصعب العثور على فجوات في الرسم البياني أعلاه).

تشير المقارنة البصرية إلى الأنماط ، ويؤكد التحليل المنطقي وجود الأنماط المتوقعة. بالطبع ، لا نزال بعيدين عن صيغة عالمية للعثور على جميع الأعداد الأولية ، ولكن مفرش المائدة Ulam جميل بلا شك ، كرمز لمعرفتنا وكرائعة في الفن الطبيعي.

ساكس دوامة

كما هو الحال في العديد من مجالات الرياضيات ، بعد ظهور الفكرة الأصلية ، بدأ جيش من زملائه في الرياضيات يتابعون على خطى في بذل محاولات للمساهمة في الموضوع الجديد. من المنطقي أن ألهمت مفرش المائدة لأولام أجيال من علماء الرياضيات الذين سعوا لتطوير اكتشافه المذهل. في عام 1994 ، قرر مهندس البرمجيات روبرت ساكس استخدام مهاراته في البرمجة لتصور الأعداد الأولية بطرق مختلفة.

كما هو الحال في حالة مفرش المائدة Ulam ، قرر Sachs تصميم مخططه باستخدام طائرة لولبية أخرى. على غرار الدوران الموضح أعلاه ، ترفض الطائرات الحلزونية إعطاء نقاط لنظام الأرقام الديكارتي التقليدي ، لأنها نظام تحديد المواقع أحادي القطب . فقط لمعرفة الرقم ، يمكنك معرفة موقعه في اللولب ، وموقعه بالنسبة لجميع الأرقام الأخرى في اللولب ، وكذلك المسافة من ذلك إلى المربع السابق والتالي من الرقم. ومع ذلك ، بدلاً من دوامة مربعة ، حاول Sax العثور على أنماط باستخدام أعداد صحيحة مثبتة على دوامة Archimedean مع الإحداثيات القطبية التالية:


الإحداثيات القطبية لولبية أرخميدس / ساكس

مع هذه التقنية ، يتمركز دوامة Archimedean حول الصفر ، وتقع المربعات من جميع الأرقام الطبيعية (1،4،9،16،25) عند تقاطع الحلزوني والمحور القطبي (تقع شرق الأصل).


هيكل أرخميدس / ساكس الحلزوني

بعد إعداد هذا المخطط ، سنملأ النقاط بين المربعات على طول الحلزونية (عكس اتجاه عقارب الساعة) ، ونطبقها على مسافة متساوية من بعضها البعض. وفي النهاية ، كما في المثال مع مفرش المائدة Ulam ، سنقوم باستبعاد الأعداد الأولية الموجودة في اللولب الناتج.

إن دوامة ساكس العددية ، التي نشرت لأول مرة على الإنترنت في عام 2003 ، جذابة بصريا وفكريا. بالإضافة إلى ذلك ، كما سنرى قريبًا ، يمنحنا فهمًا أعمق للأنماط الأولية أكثر من مفرش المائدة Ulam المشهور ، لأنه يجمع بين الخطوط المكسورة في دوامة Ulam الزائفة:


دوامة Archimedean مع أعداد أولية ملحوظة ، بل هي أيضًا دوامة Sax.

يوضح الرسم البياني الناتج مرة أخرى أنماطًا ملحوظة. على الفور تقريبًا ، يصبح من الواضح أن هناك خطًا أبيض نظيفًا يمتد من المركز ويمتد أفقيًا إلى الشرق. بالانتقال إلى مخططنا ، يمكننا التأكد من أن هذا مجرد خط يحتوي على جميع مربعات الأعداد الصحيحة (r = n ^ (. 5)). الملاحظة الثانية: نمط العلامات ، على عكس الخطوط المستقيمة لقماش المائدة Ulam ، يشبه الخطوط المنحنية . اتضح أن هذه المنحنيات ، والمعروفة أيضًا باسم منحنيات المنتج ، تعيدنا إلى كثير الحدود لتفسير الأنماط التي تنشأ في الحلزونية السابقة. ولكن قبل أن ننتقل إليهم ، من أجل الوحدة ، نقارن مرة أخرى دوامة ساكس مع دوامة القيم العشوائية:

كثير الحدود ومنحنيات المنتج

تركز عمل روبرت ساكس بعد هذا الاكتشاف بالكامل على هذه الأعمال المنحنية ، بدءًا من مركز اللولب أو بجانبه ، ويتقاطع عند زوايا مختلفة مع انعطافات اللولب. تكون المنحنيات مستقيمة تقريبًا ، ولكن الأمر الأكثر شيوعًا بالنسبة لها هو أنها تقوم بأدوار جزئية أو كاملة أو متعددة في اتجاه عقارب الساعة (مقابل حركة الحلزونية نفسها) حول الأصل ، قبل الاستقامة عند إزاحة معينة من المحور الشرقي الغربي. أحد أكثر الجوانب اللافتة للنظر في دوامة ساكس العددية هو غلبة هذه الأعمال المنحنية في نصف الكرة الغربي (على الجانب المقابل لمربع الأرقام).

وصف ساكس منحنيات المنتج بأنها تمثل "منتجات عوامل ذات فرق ثابت بينها". بمعنى آخر ، يمكن تمثيل كل منحنى بواسطة معادلة من الدرجة الثانية (كثير الحدود من الدرجة الثانية) ، وهي مرة أخرى ليست صدفة بسيطة ، بالنظر إلى انتشار مربع العدد الطبيعي في دوامة ساكس. ربما تقودنا منحنيات المنتج هذه إلى استنتاج أن دوامة ساكس أكثر فائدة في طريقنا لفهم الأعداد الأولية من مفرش المائدة لـ Ulam. على الرغم من أن مفرش المائدة Ulam أظهر لنا الأنماط والوجود المحتمل للمعادلات ، فإن دوامة Sachs توفر نقاط دعم في البحث عن الصيغ الأولية - انحناءها ونزاهتها ثابتتان ، مما يعني أنه سيكون من الأسهل اكتشافهما. على سبيل المثال ، يحتوي دوامة Sachs الموضحة أدناه على خطوط ذات علامات وصيغة أولية مقابلة لها ، مكتوبة في شكل قياسي. كما وعدت ، قابلتنا صيغة أولر الشهيرة لتوليد الأعداد الأولية (الإدخال الأخير: n² + n +41):


بفضل هذا الرقم الحلزوني ، تمكن Sax من الإدلاء ببيان مذهل حول ماهية الرقم الأولي: عدد صحيح موجب يقع على منحنى واحد فقط للمنتج. نظرًا لأن الدوران يمكن أن يدور إلى ما لا نهاية ، فإن المنحنيات نفسها يمكن اعتبارها أيضًا بلا نهاية ؛ من الناحية النظرية ، قد تتنبأ منحنيات المنتج هذه بموقع أعداد كبيرة بما يكفي - على الأقل تستحق هذه الأرقام نظرة فاحصة.

بشكل عام ، دفعتنا دوامة ساكس دون شك إلى فهم أعمق للأعداد الأولية من خلال اقتراح صيغ أكثر ملاءمة للأعداد الأولية.

معنى كل شيء

لذلك ، قمنا بتحليل كل من مفرش المائدة من أولام ودوامة ساكس. من خلال هذه الأمثلة ، اتسع فهمنا لطبيعة الأعداد الأولية. على وجه الخصوص ، أدخلنا دوامة ساكس إلى منحنيات المنتج ، والتي هي في الأساس مجموعة من المعادلات التربيعية ، والمعروفة باسم الصيغ الأولية. تبين أن كلا من الرسوم البيانية ، Ulama و Sax ، غير متوقعة وجمالية ، فهي تحفز فضولنا وتلقي الضوء على واحدة من أصعب المهام للعالم بأسره.

ما الدرس الذي يمكن تعلمه من كل هذا؟

لا يمكنك أبدًا رفض مراجعة المشكلات التي تبدو غير قابلة للذوبان ، حتى إذا كنت تفعل ذلك بدافع الفضول الخالص والملل ؛ يمكن للجميع اكتشاف الاكتشافات وغالبًا ما تنشأ نتيجة عمليات غير عادية تمامًا. عند تغيير وجهة النظر حول المهمة الشهيرة بفضل التصور ، اقترب ستانيسلاف أولام خطوة واحدة من فهم الأعداد الأولية: من يعرف ما هي الاكتشافات غير المتوقعة الأخرى التي سنصادفها؟