نظرية الاحتمالات. صيغة بايز

دع بعض التجربة تجرى.

$$$w_1 ، ... ، w_N$ - الأحداث الأولية (النتائج الأولية للتجربة).
$$$\ Omega = \ {w_i \} _ {i = 1} ^ N$ - مساحة الأحداث الأولية (مجموعة جميع النتائج الأولية المحتملة للتجربة).

التعريف 1:

ضبط النظام $$$\ سيجما$ يسمى جبر سيجما إذا كانت الخصائص التالية راضية:

1. $$$\ أوميغا \ في \ سيغما ؛$
2. $$$A \ in \ Sigma \ Rightarrow \ overline {A} \ in \ Sigma؛$
3. $$$A_1 ، A_2 ، ... \ in \ Sigma \ Rightarrow \ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma.$

من الخصائص 1 و 2 من التعريف 1 يتبع ذلك $$$\ emptyset \ in \ Sigma$ . من الخصائص 2 و 3 من التعريف 1 يتبع ذلك $$$\ bigcap \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma \ space ($ ل $$$A_i \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ overline {A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {sv.2} \\ \ Rightarrow_ {sv.2} \ overline {\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i}} \ in \ Sigma \ Rightarrow \ bigcap \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma).$

التعريف 2:

• $$$دولا$ - حدث $$$\ forall A \ in \ Sigma؛$
• $$$P \ colon \ Sigma \ to \ mathbb R$ - التدبير الاحتمالي (الاحتمال) إذا:
  
  1. $$$P (\ Sigma) = 1 ؛$
  2. $$$\ forall A \ in \ Sigma \ space \ space P (A) \ geqslant 0؛$
  3. $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty ، \ space A_i \ in \ Sigma ، \ space A_i \ cap A_j = \ emptyset$ في $$$i \ not = j \ Rightarrow P (\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i) = \ sum \ limit_ {i = 1} ^ \ infty P (A_i).$

خصائص الاحتمالات:

1. $$$P (A) \ leqslant 1؛$
2. $$$P (A) = 1-P (\ overline {A})؛$
3. $$$P (\ emptyset) = 0 ؛$
4. $$$A \ subseteq B \ Rightarrow P (A) \ leqslant P (B)؛$
5. $$$P (A \ cup B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B)؛$
6. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ N \\ \ space \ space P (\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ N A_i) = \ sum \ limit_ {i = 1} ^ NP ( A_i) - \ sum \ limit_ {i <j} P (A_i \ cap A_j) + \ sum \ limit_ {i <j <k} P (A_i \ cap A_j \ cap A_k) -... + \\ + ( -1) ^ {n-1} P (A_1 \ cap A_2 \ cap ... \ cap A_n)؛$
7. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty \ colon (A_ {i + 1} \ subseteq A_i، \ space \ bigcap \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i = \ emptyset) \ space \ space \ space \ lim \ limit_ {i \ to \ infty} P (A_i) = 0.$

التعريف 3:

$$$(\ Omega، \ Sigma، P)$ - مساحة الاحتمال .

التعريف 4:

$$$\ forall A، B \ in \ Sigma: P (B)> 0$
$$$\ qquad P (A | B) = \ frac {P (AB)} {P (B)}$ - الاحتمال المشروط لحدث ما $$$دولا$ موضوع لهذا الحدث $$$B$ .

التعريف 5:

اسمحوا ل $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ حيث $$$\ forall i \ in \ overline {1، N} A_i \ in \ Sigma$ يتم تنفيذه $$$\ forall i، j \ in \ overline {1، N} \ space A_i \ cap A_j = \ emptyset$ و $$$\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ N A_i = \ Omega$ . ثم $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ دعا قسم من مساحة الأحداث الابتدائية.

النظرية 1 (صيغة الاحتمال الكلي):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - تقسيم مساحة الأحداث الابتدائية ، $$$\ forall i \ in \ overline {1، N} \ space P (A_i)> 0$ .
ثم $$$\ forall B \ in \ Sigma \ quad P (B) = \ sum \ limit_ {i = 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)$ .

نظرية 2 (صيغة بايز):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - تقسيم مساحة الأحداث الابتدائية ، $$$\ forall i \ in \ overline {1، N} \ space P (A_i)> 0$ .

ثم $$$\ forall B \ in \ Sigma \ colon P (B)> 0 \ quad P (A_i | B) = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {\ sum \ limit_ {i = 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)} = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {P (B)}$ .

باستخدام صيغة بايز ، يمكننا المبالغة في تقدير الاحتمالات المسبقة ( $$$P (A_i)$ ) بناءً على الملاحظات ( $$$P (B | A_i)$ ) ، والحصول على فهم جديد كليا للواقع.

مثال :

لنفترض أن هناك اختبارًا يتم تطبيقه على الشخص بشكل فردي ويحدد: هل هو مصاب بفيروس "X" أم لا؟ نحن نفترض أن الاختبار كان ناجحًا إذا أصدر الحكم الصحيح لشخص معين. من المعروف أن هذا الاختبار له احتمالية نجاح 0.95 ، و 0.05 هو احتمال حدوث كلا الأخطاء من النوع الأول (إيجابية خاطئة ، أي أن الاختبار أصدر حكمًا إيجابيًا ، والشخص يتمتع بصحة جيدة) ، والأخطاء من النوع الثاني (سلبية سلبية ، أي مر الاختبار بحكم سلبي ، والشخص مريض). من أجل الوضوح ، حكم إيجابي = اختبار "قال" بأن الشخص مصاب بفيروس. ومن المعروف أيضًا أن 1٪ من السكان مصابون بهذا الفيروس. دع بعض الأشخاص يحصلون على حكم إيجابي في الاختبار. ما مدى احتمالية مرضه حقًا؟

دلالة: $$$t$ - نتيجة الاختبار ، $$$د$ - وجود الفيروس. ثم ، وفقًا لمعادلة الاحتمال الكلي:

$$

$$P (t = 1) = P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0).$$

بواسطة نظرية بايز:

$$

$$P (d = 1 | t = 1) = \ frac {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1)} {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0)} = \\ = \ frac {0.95 \ times0.01} {0.95 \ times0.01 + 0.05 \ times0.99} = 0.16$$

اتضح أن احتمال الإصابة بفيروس "X" تحت شرط اختبار إيجابي هو 0.16. لماذا هذه النتيجة؟ في البداية ، يُصاب الشخص المصاب باحتمال قدره 0.01 بفيروس "X" ، وحتى مع إحتمال قدره 0.05 فإن الاختبار سيفشل. أي أنه في حالة إصابة 1٪ فقط من السكان بهذا الفيروس ، يكون لحدوث خطأ في الاختبار قدره 0.05 تأثير كبير على احتمال إصابة شخص ما بالمرض ، بشرط أن يعطي الاختبار نتيجة إيجابية.

قائمة الأدبيات المستخدمة:

• "أساسيات نظرية الاحتمالات. كتاب مدرسي "، M.E. جوكوفسكي روديونوف ، معهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا ، موسكو ، 2015 ؛
• "التعلم العميق. الانغماس في عالم الشبكات العصبية "، S. Nikulenko ، A. Kadurin ، E. Arkhangelskaya ، PETER ، 2018.