🖤 🚕 🍐 مسارات الكم وما يأكلون به 💇 👨 🔞

تدور هذه الملاحظة الصغيرة حول كيفية رسم صور جميلة ، قليلاً ، حول الفيزياء ، والتي نادراً ما يتم الحديث عنها ، حول ميكانيكا الكم Bomov.

مقدمة صغيرة

كما يحب أي خيال علمي وهراء مزيف أن يخبرنا ، مثل فيلم The Secret ، فإن قوانين العالم الصغير تختلف اختلافًا كبيرًا عن تلك الكلاسيكية التي اعتدنا عليها.
في عالم ميكانيكا الكم ، يحكم الاحتمال المعطى بواسطة دالة الموجة كل شيء.

$\ psi$ (يمكن للمهتمين بالتفاصيل أن يبحثوا ، على سبيل المثال ، في منشور "تحفيز المون من وجهة نظر كيمياء الكم. الجزء الأول: الهيدروجين العادي مقابل الميون الهيدروجين" ).
إن ساق جميع أنواع الأشياء المضحكة ، مثل قطط شرودنجر ، ومبادئ عدم اليقين لهيسنبرغ ، وعدم المساواة بيل ، تنبع من الخصائص الاحتمالية لعلم الكم.

لكن كل هذه الصور مع جميع أنواع المدارات الإلكترونية لم تجب على السؤال "كيف يطير الإلكترون في الفضاء". لتوضيح هذا الموقف ، قضى الفيزيائيون الكثير من الوقت ، لكنهم لم يتمكنوا من التعامل معه. لكن ديفيد بوم (المعروف لدى الكثيرين بتأثير آرونوف-بوهم ) أنشأ أخيرًا واحدة من الإجراءات الشكلية لميكانيكا الكم (اسم نفسه) ، والتي لا تزال هناك مسارات تتحرك خلالها الجسيمات الكمومية. وعلى عكس تكاملات مسار فينمان ، فإن هذا المسار لكل جسيم هو بالضبط واحد. تتيح لك هذه الخاصية في الأساس تتبع حركة الجسيمات ، ومقارنة حركة الجسيمات الكلاسيكية والكمية ، والتي سنتعامل معها في هذه المقالة.

ليس فقط الشكليات

في الواقع ، لا أحد يهتم بشكل خاص بالشكليات نفسها ، ولكن من خلال هذه الإجراءات الشكلية ، يمكن للمرء بناء واحد من تفسيرات ميكانيكا الكم ، والتي بسبب البساطة الظاهرة للميكانيكا الكلاسيكية ، محبوبة من قبل بعض النزوات (ليس كثيرًا ، لأن الدخول في هذا العمل ليس بسيطًا جدًا).
لن نناقش هذا التفسير (وكذلك غيره).

مسارات الكلاسيكية والكمية

سننظر في نظام ممل إلى حد ما: إلكترون واحد في مجال عدة بروتونات. يمكنك أن تقرأ عن هذا النظام ، بالإضافة إلى الميكانيكا الكلاسيكية والكمومية في الجزأين الأول والثاني من منشورات "تحفيز المون من وجهة نظر كيمياء الكم".

المشكلة الكلاسيكية لحركة الجسيمات في إمكانات معينة تعطى بواسطة قانون نيوتن الثاني:

$m \ ddot {x} = F$

حيث m هي كتلة الجسيم ، x هي الإحداثيات ، F هي القوة المؤثرة على الجسيم ، و

$\ ddot {x} = \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2}$ - المشتق الثاني من إحداثي الجسيم في الوقت المناسب ، أو التسارع. إذا كانت القوى المحتملة تعمل فقط في النظام ، فيمكن التعبير عن القوة من خلال كيان جديد ، الطاقة المحتملة V كـ

$F = - \ frac {dV} {dx}$

في حالتنا ، إلكترون في مجال عدة بروتونات ،

حيث يتفاعل الإلكترون مع كل من البروتونات وفقًا لقانون كولوم

$V (R) = - k e ^ 2 / R$

، حيث k هي معامل يساوي 1 في الوحدات الذرية ، e هي شحنة الإلكترون ، و R هي المسافة من الإلكترون إلى البروتون.
في هذه الحالة ، فإن إجمالي إمكانات التأثير على الإلكترون سيكون مساوياً

،

$V = \ sum_ {n = 1} ^ N V_n (R_n) = - \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {k e ^ 2} {R_n} \،$

حيث يقوم الفهرس n بترقيم البروتونات (مجموع البروتونات N قطعة) ، و R _n هي المسافة من الإلكترون إلى البروتون n .

يعد حل الاختلاف العددي ، وهو قانون نيوتن الثاني ، مهمة مخترقة ، والشيء الرئيسي هو تحديد الوضع الأولي والسرعة. إذا طار الإلكترون بسرعة كبيرة ، فسوف يخرج من جاذبية البروتون (البروتونات) ويطير إلى ما لا نهاية ، وإذا كان هناك القليل من الطاقة ، فسوف يرفرف إلى الأبد في حقل إحدى النواة ، ولن يزور الآخرين أبدًا.

احتكاك مشع

إذا أخذنا في الاعتبار الاحتكاك الإشعاعي ، الذي يحدث بسبب حقيقة أنه عند التحرك مع التسارع ، فإن الإلكترون يعطي جزءًا من طاقته للحقل الكهرومغناطيسي ، ينبعث منه في مكان ما ، ثم الإلكترون في نهاية المطاف على لفة النواة في بعض الوقت.

ماذا يحدث في الكلاسيكيات ، كما نعرف.

ولكن ماذا سيحدث في ديناميات بوموف؟
في هذه الحالة ، سينتقل الجسيم أيضًا وفقًا لقانون نيوتن الثاني المحتمل

$V = V_ \ mathrm {C} + V_ \ mathrm {Q}$ حيث

$V_ \ mathrm {C}$ - الإمكانات الكلاسيكية من قانون نيوتن المعتاد ، والذي في حالتنا لديه الشكل المذكور أعلاه.
أي بالإضافة إلى الإمكانات الكلاسيكية ، سيعمل كيان آخر على ذلك: الإمكانات الكمومية

$V_ \ mathrm {Q}$ وجود (في حالة 1D) النموذج

$V_ \ mathrm {Q} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2mA} \ frac {d ^ 2A} {dx ^ 2}$

حيث A هي سعة (معامل) دالة الموجة

$A = | \ psi |$ (

$\ psi = A \ exp (i \ varphi)$ حيث

$\ varphi$ - مرحلة وظيفة الموجة).
لذلك ، للحصول على معادلة حركة الجسيم الكمومي ، ما زلنا بحاجة لمعرفة شيء عن وظيفة الموجة.

حول الخيارات المخفية

شكلية بوم هي نظرية ذات معلمات خفية. ولكن نظرًا لأن المعلمة المخفية (دالة الموجات) غير محلية ، فإن النتائج الحسابية في هذا الشكل لا تزال تلبي عدم المساواة المذكورة أعلاه.

في حالة بروتون واحد ، نعرف (انظر ، على سبيل المثال ، هنا ) التعبير الدقيق لوظيفة موجة الإلكترون في حالة الأرض (1 ثانية) [ في الوحدات الذرية ]:

$\ psi (R) = \ exp (-R)$

حول التطبيع والوحدات

في صيغة الإمكانية الكمومية ، سيتم تقليل تطبيع البسط مع المقام ، لذلك لن نقلق بشأنه.
حجة الأس ، في الواقع ، لا يستحق

$R$ و

$R / a_0$ حيث

د و ل ا

$a_0 دولا$ هو نصف قطر بوهر (0.529 Å). لكن بما أننا نستخدم الوحدات الذرية ، فأين

$a_0 = 1$ ، هذه الوحدة من الطول لا يمكننا تحمل عدم الكتابة. يمكنك قراءة المزيد عن هذا هنا .

في حالة العديد من البروتونات ، في إطار طريقة المدارات الجزيئية كتوليفات من المدارات الذرية ( MO LKAO ، انظر هنا ) ، سيتم إعطاء الحالة الأرضية بدرجة كافية من الدقة بواسطة مجموع المدارات 1s لكل من الذرات:

$\ psi \ approx \ sum_ {n = 1} ^ N \ psi_n (R_n) = \ sum_ {n = 1} ^ N \ exp (-R_n)$

الآن ، لمعرفة الإمكانيات الكمومية ، تحتاج فقط إلى استخدام هذا التعبير.

حسنًا <s> d </s>

وظيفة

$\ psi$ كما مجموع المدارات 1s هو حقيقي ، لذلك

$A = \ psi$ .
نظرًا لأن الإلكترون يمكنه التحرك في ثلاثة أبعاد ، هناك حاجة إلى مشتق أحادي البعد

$A_ {xx} '' = \ frac {d ^ 2 A} {dx ^ 2}$ يستعاض عن التعميم ثلاثي الأبعاد:

$\ Delta A = A_ {xx} '' + A_ {yy} '' + A_ {zz} ''$ . عامل

د ل ت ا

$\ دلتا$ يمكن تمثيله كمربع للمشغل nabla :

$\ Delta = \ nabla ^ 2$ . يمكنك أيضا تخيل المسافة

$R_n$ كيف

$R_n = \ sqrt {\ mathbf {R} _n ^ 2}$ حيث

$\ mathbf {R} _n$ هو ناقل نصف القطر للإلكترون نسبة إلى بروتون ن .

ثم

$\ Delta A = \ nabla ^ 2 \ psi = \ sum_ {n = 1} ^ N \ nabla ^ 2 \ psi_n (R_n)$

يعتبر المشتق الأول سهل:

$\ nabla \ psi_n (R_n) = \ nabla \ exp (-R_n) = \ exp (-R_n) \ cdot (-1) \ cdot \ frac {1} {2 \ underbrace {\ sqrt {\ mathbf {R} _n ^ 2}} _ {R_n}} \ cdot 2 \ mathbf {R} _n = - \ exp (-R_n) \ cdot \ frac {\ mathbf {R} _n} {R_n}$

المشتق الثاني هو بالفعل أكثر تعقيدًا إلى حد ما:

$\ nabla (\ nabla \ exp (-R_n)) = - \ frac {\ mathbf {R} _n} {R_n} \ nabla \ exp (-R_n) - \ exp (-R_n) \ nabla \ frac {\ mathbf {R} _n} {R_n} = \ exp (-R_n) - \ frac {2 \ exp (-R_n)} {R_n}$

حيث

$- \ frac {\ mathbf {R} _n} {R_n} \ nabla \ exp (-R_n) = \ exp (-R_n) \ cdot \ underbrace {\ left (- \ frac {\ mathbf {R} _n} { R_n} \ right) ^ 2} _ {1} = \ exp (-R_n)$ و

$- \ exp (-R_n) \ nabla \ frac {\ mathbf {R} _n} {R_n} = - \ exp (-R_n) \ cdot \ left (\ frac {\ overbrace {\ nabla \ mathbf {R} _n } ^ {3}} {R_n} - \ frac {2 \ mathbf {R} _n ^ 2} {2 R_n ^ 3} \ right) = - \ frac {2 \ exp (-R_n)} {R_n}$ .
تبقى النتيجة:

$\ Delta \ psi = \ overbrace {\ sum_ {n = 1} ^ {N} \ exp (-R_n)} ^ {\ psi} - \ sum_ {n = 1} ^ {N} \ frac {2 \ exp (-R_n)} {R_n}$
تقسيم كل شيء إلى

$\ psi =$ وضرب في

$- \ frac {\ hbar ^ 2} {2m}$
نحن نحصل عليها

$V_ \ mathrm {Q} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ left (1 - \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {2 \ exp (-R_n)} {R_n} \ right )$
ستختفي الوحدة أثناء التمايز للحصول على القوة ، بحيث يمكنك ترك الفصل الثاني بأمان فقط.

نتيجة لذلك ، يمكننا كتابة إمكانات الكم لدينا

$V_ \ mathrm {Q} \ approx \ frac {\ hbar ^ 2} {m} \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {\ exp (-R_n)} {R_n}$

ومع هذا التعبير يمكننا بالفعل قيادة ديناميات بوهم للإلكترون في مجال العديد من البروتونات.

تطبيق

لكل هذا الخزي ، تم كتابة الكود في بيثون ، وهو متاح هنا:

رمز بايثون

from math import * import numpy as np cutoff=5.0e-4 Quantum=True def dist(r1,r2): return np.dot((r1-r2), (r1-r2)) def Vc(r, r0): if dist(r, r0)>=cutoff: return -1.0/dist(r, r0) else: return -1.0/cutoff rH=[] #h1 #rH.append(np.array([ 0.0, 0.0, 0.0])) #h2 rH.append(np.array([-1.0, 0.0, 0.0])) rH.append(np.array([+1.0, 0.0, 0.0])) def Vat(r): V=0.0 for rh in rH: V+=Vc(r,rh) return V def PsiA(r): psi=0.0 for rh in rH: if dist(r, rh)<1.0e3: psi+=np.exp(-dist(r, rh)) return psi def Vq(r): vq=0.0 for rh in rH: if dist(r, rh)>=cutoff: vq-=2.0*np.exp(-dist(r, rh))/dist(r, rh) else: vq-=2.0*np.exp(-cutoff)/cutoff vq*=(-0.5) # -0.5*hbar**2/me return vq def GradF(F, r): grad=np.zeros(3) dx=0.1 for i in range(0,3): dr=np.zeros(3) dr[i]=dx #print(dr) #print(F(r+dr)-F(r-dr)) grad[i]+=(F(r+dr)-F(r-dr))/(2.*dx) return grad dt=0.001 tmax=2.0e1 DR=1.0 dx=0.001 MaxR=10.0 t=0.0 cent=np.zeros(3) Ntrj=30 m=1.0 def GenRvBox(DX): return np.random.uniform(-DX,+DX,3) def GenRvSph(DX): r=np.random.uniform(0.0,DX) phi=np.random.uniform(0.0,2.0*np.pi) theta=np.random.uniform(0.0,np.pi) x=r*np.sin(theta)*np.cos(phi) y=r*np.sin(theta)*np.sin(phi) z=r*np.cos(theta) return np.array([x,y,z]) for ntrj in range(0,Ntrj): if Quantum: outf=open("bmd_%05i" % (ntrj) + ".trj", "w") else: outf=open("cmd_%05i" % (ntrj) + ".trj", "w") nat=np.random.randint(0,len(rH)) r=rH[nat]+GenRvSph(DR) rprev=r+GenRvBox(dx) outf.write("%15.10f %15.10f %15.10f\n" % tuple(r)) t=0.0 while t<=tmax and dist(r,cent)<=MaxR: F= -GradF(Vat, r) if Quantum: F-= GradF(Vq, r) rnew= 2.*r - rprev + (F/m)*dt**2 rprev=r r=rnew outf.write("%15.10f %15.10f %15.10f\n" % tuple(r)) t+=dt outf.close() exit()

سنناقش فقط بضع نقاط.
تم دمج قانون نيوتن الثاني باستخدام خوارزمية Verlet :

$x (t + \ Delta t) = 2 x (t) - x (t - \ Delta t) + \ frac {F (t)} {m} \ Delta t ^ 2$

يتم إنشاء الموضع الأولي من خلال اختيار أحد البروتونات بشكل عشوائي ، ويتم تحديد اتجاه عشوائي حوله (باستخدام الإحداثيات الكروية). لضبط السرعة الأولية ، تحتاج إلى تعيين موضع آخر سابق. يتم تحديده باستخدام ناقل عشوائي صغير آخر.

تشغيل / إيقاف الإمكانات الكمومية ، ننتقل إلى أوضاع الحركة الكمومية / الكلاسيكية.

حسنًا ، يمكنك بناء صور جميلة باستخدام Gnuplot لذرة الهيدروجين

وللجزيء H ₂ ⁺

كما ترون ، فإن المسارات الكلاسيكية (العليا ، الزرقاء) إما موضعية للغاية ، أو إذا اضطر الإلكترون إلى التحرك بسرعة كبيرة ، فهرب من النواة. في الحالة الكمومية (أقل ، وردي) ، تسمح الإمكانية الكمومية للإلكترونات بالسير بعيدًا عن النواة ، وفي حالة جزيء H2 ⁺ ، تسمح لك بالركض من بروتون إلى آخر ، وهو تصور غير مباشر للروابط الكيميائية.

بضع كلمات حول بناء الصور: لإنشاء تأثير نيون ، يتم رسم كل مسار عدة مرات ، من الأبيض الرقيق إلى الأسود الكثيف ، من خلال ظلال اللون ذي الاهتمام. لراحة اختيار هذه اللوحة ، يمكنك ، على سبيل المثال ، استخدام الموقع https://www.color-hex.com/
ويرد مثال البرنامج النصي أدناه.

النصي ل Gnuplot

unset key
set xyplane relative 0

unset box

set view map

set size ratio -1

unset border
unset xtics
unset ytics

set terminal pngcairo size 2160,4096 backgr rgb "black"
set output "tmp.png"

yshift=-5.0
maxiC=29
maxiQ=29
splot \
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 30.0 lc rgb "#030d19" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 18.0 lc rgb "#071b33" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 17.0 lc rgb "#0a294c" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 16.0 lc rgb "#0e3766" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 15.0 lc rgb "#11457f" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 14.0 lc rgb "#155399" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 13.0 lc rgb "#1861b2" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 12.0 lc rgb "#1c6fcc" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 11.0 lc rgb "#1f7de5" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 10.0 lc rgb "#238bff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 9.0 lc rgb "#3896ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 8. lc rgb "#4ea2ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 7. lc rgb "#65adff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 6. lc rgb "#7bb9ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 5. lc rgb "#91c5ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 4. lc rgb "#a7d0ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 3. lc rgb "#bddcff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 2. lc rgb "#d3e7ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 1. lc rgb "#e9f3ff" not,\
for [i=0:maxiC] sprintf("cmd_%05i.trj", i) wl lw 0.5 lc rgb "#ffffff" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 30.0 lc rgb "#190613" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 18.0 lc rgb "#330c27" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 17.0 lc rgb "#4c123b" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 16.0 lc rgb "#66184f" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 15.0 lc rgb "#7f1e63" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 14.0 lc rgb "#992476" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 13.0 lc rgb "#b22a8a" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 12.0 lc rgb "#cc309e" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 11.0 lc rgb "#e536b2" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 10.0 lc rgb "#ff3dc6" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 9.0 lc rgb "#ff50cb" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 8. lc rgb "#ff63d1" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 7. lc rgb "#ff77d7" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 6. lc rgb "#ff8adc" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 5. lc rgb "#ff9ee2" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 4. lc rgb "#ffb1e8" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 3. lc rgb "#ffc4ed" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 2. lc rgb "#ffd8f3" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 1. lc rgb "#ffebf9" not,\
for [i=0:maxiQ] sprintf("bmd_%05i.trj", i) u 1:($2+yshift):3 wl lw 0.5 lc rgb "#ffffff" not

استنتاج

على الرغم من صعوبة فهم وحساب مسارات Bomov ، إلا أنه يسمح لك برسم صور جميلة تُظهر كم أكثر متعة وأكثر ثراءً من الميكانيكا الكلاسيكية.

إذا كان لديك تعليقات ، أسئلة ، اقتراحات: الكتابة. :)

مسارات الكم وما يأكلون به

مقدمة صغيرة

مسارات الكلاسيكية والكمية

تطبيق

استنتاج

More articles: