يقطع علماء الرياضيات الأشكال بحثًا عن أجزاء من المعادلات

يشرح عمل جديد حول مشكلة "المحاذاة المتساوية" متى يمكن قطع شخصية وتجميع شخص آخر منها

إذا كان لديك قطعتين من الورق والمقص ، فهل يمكنك قص قطعة وإعادة ترتيب القطع للحصول على الأخرى؟ إذا استطعت ، فإن هذين الشكلين هما "مقص متطابق" [ متساو ].

ومع ذلك ، يهتم علماء الرياضيات بما إذا كان من الممكن اكتشاف مثل هذه العلاقة بالأشكال دون استخدام المقص؟ بمعنى آخر ، هل هذه الأرقام لها خصائص يمكن قياسها مقدمًا وتحديد ما إذا كانت متطابقة؟

بالنسبة إلى الأشكال ثنائية الأبعاد ، تكون الإجابة بسيطة. تحتاج فقط إلى قياس منطقتهم. إذا كانت تتطابق ، ثم الأرقام متطابقة المقص.

لكن بالنسبة للأشكال ذات الأبعاد العليا - على سبيل المثال ، بالنسبة للكرة ثلاثية الأبعاد أو دونات الإحدى عشرة الأبعاد التي يصعب تخيلها - تصبح مسألة القطع وإعادة التجميع في شكل مختلف أكثر تعقيدًا. وعلى الرغم من قرون من الجهد ، لم يستطع علماء الرياضيات تحديد الخصائص التي تؤكد التكوين المتساوي لمعظم الشخصيات ذات الأبعاد الأعلى.

ومع ذلك ، في خريف هذا العام ، حقق عالمان رياضيان أكبر تقدم في حل هذه المشكلة منذ عدة عقود. في ورقة قدمت في جامعة شيكاغو يوم 6 أكتوبر ، اتخذ جوناثان كامبل من جامعة ديوك وإينا زاخاريتش من جامعة كورنيل خطوة مهمة نحو إثبات التطابق في المقص لأشكال ذات أبعاد.

لكن ليس هذا فقط. مثل أهم مشاكل الرياضيات ، فإن الاتزان هو ثقب الأرانب: بيان متواضع يجذب علماء الرياضيات إلى الحفرة العميقة للرياضيات المعقدة. في محاولة لفهم التطابق المقصي ، ربما أظهر كامبل وزاخاريتش طريقة جديدة للحديث عن مجال مختلف تمامًا في هذا العلم: المعادلات الجبرية.

أول قطع

قد يبدو المحاذاة المتساوية مهمة بسيطة. منذ أكثر من 2000 عام ، أدرك إقليدس أنه يمكن إعادة ترتيب شخصيتين من الأبعاد لنفس المنطقة من واحدة إلى أخرى. من المنطقي افتراض أن الأرقام ذات الأبعاد الأعلى لنفس الحجم يمكن إعادة بنائها بشكل مماثل.

لكن في عام 1900 ، اقترح ديفيد هيلبرت أن هذه المهمة ليست في الواقع بهذه البساطة.

في تلك السنة ، تحدث في المؤتمر الدولي للرياضيات في باريس ، وحدد 23 مشكلة مفتوحة ، والتي ، في رأيه ، ستوجه الفكر الرياضي في القرن القادم. كان الثالث منهم مرتبطًا بتوافق المقص [التكوين المتساوي للعديد السطوح المتعددة السطحية]. اقترح هيلبرت أن ليس كل الشخصيات ثلاثية الأبعاد من نفس الحجم متطابقة - وتحدى علماء الرياضيات من خلال اقتراح العثور على زوج من الأرقام التي تثبت ذلك.

بعد عام من الخطاب ، قام بذلك الطالب دان ماكس ، ماكس دان . مثل هذا المصطلح بدا لعلماء الرياضيات مشبوهة. وقال زكاريفيتش: "يعتقد بعض الناس أن هيلبرت أدرج هذه المهمة في القائمة فقط لأن طالبه حلها بالفعل".

سواء كانت مؤامرة أم لا ، فإن قلب دان قلب فكرة علماء الرياضيات عن التمثيل المتساوي رأسًا على عقب. أثبت أن رباعي السطوح من وحدة تخزين واحدة لا يساوي مكعب من نفس الحجم. بغض النظر عن كيفية قص الجزء الأول ، لا يمكنك أبدًا تجميع القطع من الثانية.

بالإضافة إلى إظهار أن المساواة في الحجم ليست كافية لتحديد التكوين المتساوي ، اقترح Den طريقة جديدة لقياس الأشكال. لقد أثبت أن أي شخصيات ثلاثية الأبعاد ، مساوية لبعضها البعض ، يجب أن يكون لها نفس الحجم ، وأيضًا أن تتزامن إلى حد جديد.

ركز دان على الزوايا الداخلية بين وجهي الشكل ثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال ، داخل المكعب ، تلتقي كل الوجوه بزوايا قائمة. لكن في الأشكال الأكثر تعقيدًا ، تكون الزوايا مختلفة ولها أهمية مختلفة. تؤثر الزوايا بين الحواف الأطول على شكل الشكل أكثر من الزوايا الموجودة بين الحواف الأقصر ، لذلك حدد Den الزوايا وزناً بناءً على أطوال الحواف التي تشكلها. قام بدمج هذه المعلومات في صيغة معقدة أسفرت عن رقم واحد - "Den invariant" - لشخص معين.


يريد علماء الرياضيات معرفة الوقت الذي يمكن فيه قطع الشكل وتجميع شخص آخر منه.
متباعدة بشكل متساوٍ الأرقام ثنائية الأبعاد إذا كان لديهم نفس المنطقة.
تتكون الأشكال ثلاثية الأبعاد بشكل متساوٍ إذا كان لديهم نفس الحجم ودينان الثابت.
المكعب ورباعي السطوح لا يتألفان بنفس القدر - لديهما نفس الحجم ، لكنهما مختلفان من عناصر دن.
يمكن تقطيع الأشكال إلى أجزاء ، ويمكن قص الرسوم البيانية للمعادلات إلى أشكال فرعية. يبحث علماء الرياضيات عن نظير لثابت ديهن ، مما يدل على أن معادلتين تتكونان من قطع متطابقة.

أثبت دينج أن أي شخصيات ثلاثية الأبعاد متساوية مع بعضها البعض يجب أن يكون لها نفس الحجم وثابت دينغ. لكنه لم يستطع الإجابة عن سؤال أكثر تعقيدًا: إذا كانت الأشكال ثلاثية الأبعاد لها نفس الحجم وكان دان غير ثابت ، فهل هذا يعني أنها متساوية بالضرورة؟ لقد أثبت جان بيير سيدلر هذا الأمر أخيرًا في عام 1965. بعد ثلاث سنوات ، أظهر بيورج جيسن أن هاتين الخاصيتين هما اللتان تحددان الاتزان في أربعة أبعاد.

كانت نتائج Sidler و Jessen خطوات جادة للأمام ، لكن علماء الرياضيات هم أناس جشعون: هل هناك حجم كافٍ ومتغير من دان لتحديد التكوين المتساوي للأشكال في جميع الأبعاد؟ هل هذه القياسات كافية في المساحات الهندسية بخلاف الإقليدية - في الهندسة الكروية (تخيل خطوط الطول والعرض على سطح الأرض) أو الكون ذي الشكل السرج للهندسة الزائدية؟

في نهاية القرن العشرين ، اقترح عالم الرياضيات ألكساندر بوريسوفيتش جونشاروف مقاربة ، في رأيه ، يمكن أن تحل المشكلة بأكملها مرة واحدة وإلى الأبد - وفي الوقت نفسه تتصل بالمساواة مع مجال مختلف تمامًا للرياضيات.

اتصالات غريبة

الرياضيات مليئة بالاتصالات غير المتوقعة. يقول زاخريفيش إن القيام بالرياضيات يشبه التعثر في شيء غريب في الطبيعة ومحاولة فهم السبب في ذلك.

"إذا قابلت حلقة من الفطر في غابة ولم تكن تعرف كيف تنمو الفطر ، فهل ستفكر في كيفية معرفتها كيف تنمو حولها؟ قالت. "السبب هو أن الفطريات لها نمو في باطن الأرض."

في عام 1996 ، صاغ غونشاروف مجموعة من الفرضيات التي تشير إلى وجود بنية رياضية ، مخبأة أيضًا تحت السطح. إذا كان هذا الهيكل موجودًا ، فسيكون قادرًا على شرح السبب الذي يجعل بعض الظواهر الرياضية - بما في ذلك التكوين المتساوي - تعمل بهذه الطريقة.

تنص إحدى الفرضيات على أن حجم الشكل ودان ثابته يكفي لتحديد التكوين المتساوي للأشكال من أي بُعد وفي أي مكان.

وقال تشارلز ويبل من جامعة روتجرز: "قال جونشاروف إن نفس المبادئ التي تنطبق على ثلاثة أبعاد تنطبق على الجميع".

لكن جونشاروف ، الذي يعمل الآن في جامعة ييل ، توقع أيضًا أن يشرح هذا الهيكل الخفي أكثر من ذلك بكثير. قال إن المحاذاة المتساوية هي مفهوم عالمي أكثر ، وأنه ينطبق ليس فقط على قطع الأشكال الهندسية ، ولكن أيضًا على قطع الأشكال الناتجة عن حلول المعادلات الجبرية - على سبيل المثال ، الرسم البياني للمعادلة x ² + y ² + z ² = 1. و تعكس المعلومات اللازمة للتصنيف حسب التكوين المتساوي المعلومات اللازمة لتصنيف المعادلات الجبرية - بحيث تتكون معادلات نفس الفئة من أجزاء متطابقة.

كان الاتصال صادمًا ، كما لو كان مبدأ مناسبًا لتنظيم الحيوانات بطريقة ما يسمح لك بتنظيم العناصر الكيميائية أيضًا. يجد العديد من علماء الرياضيات هذه الفكرة غريبة كما تبدو للوهلة الأولى.

"هذا غامض تماما. قال كامبل: "للوهلة الأولى ، لا ينبغي ربط هذه الأشياء على الإطلاق".

تشريح المعادلات

لفهم كيف يمكن أن تكون الأشكال الهندسية والمعادلات الجبرية متشابهة ، سيكون من المفيد أولاً فهم كيف يمكن تقسيم حلول المعادلات إلى أجزاء. للقيام بذلك ، دعنا نعود إلى مثالنا السابق ورسم رسمًا بيانيًا للمعادلة x ² + y ² + z ² = 1.

سيكون المجال. ومع ذلك ، فإن هذا السطح ليس مجرد مجموعة من الحلول لهذه المعادلة: إنه أيضًا مجموعة من العديد من الرسوم البيانية الأصغر أو الرسومات الفرعية لحلول المعادلات الأخرى. على سبيل المثال ، على سطح الكرة ، يمكنك رسم دائرة بطريقة خط الاستواء للأرض. هذا رسم فرعي واحد يمثل حلولًا للمعادلة الجبرية x ² + y ² = 1. أو يمكنك عزل نقطة واحدة على القطب الشمالي للكرة المقابلة للمعادلة z = 1. من خلال دراسة الأشكال الفرعية المختلفة التي يمكن رسمها في رسم بياني أكبر - شيء يشبه الأجزاء المكونة له - يمكنك معرفة بعض خصائص المخطط الأكبر.

لأكثر من 50 عامًا ، طور علماء الرياضيات نظرية المخططات الفرعية للمعادلات الجبرية. تماما كما تتكون المادة العادية من الذرات ، لذلك ، وفقا لعلماء الرياضيات ، تتكون المعادلات الجبرية من أجزاء أساسية تسمى "الدوافع". المصطلح يأتي من الكلمة الفرنسية عزر ، والتي تشير إلى العناصر الأساسية للحن.


إينا زاخاريتش من جامعة كورنيل

"الدوافع مكونات أساسية. سيتحدثون عن كل شيء تتألف منه المعادلات الجبرية ، مثل اللحن ، من مكونات مختلفة. الكرة ، على سبيل المثال ، تتكون من دوائر ونقاط وطائرات. كل واحد منهم يتكون من مكونات (تتجلى نتيجة لإجراءات رياضية عليها) ، وهكذا ، أقل وأقل ، حتى نصل إلى الدوافع ، الأساس المزعوم للمعادلات الجبرية.

يحتاج علماء الرياضيات إلى تصنيف المعادلات الجبرية وفقًا لدوافعهم من أجل الحصول على صورة كاملة ومنهجية لمعادلات تنتمي إلى أهم الأشياء الرياضية. هذه مهمة صعبة وغير مكتملة. لكن في عام 1996 ، اقترح جونشاروف أن فرز الأرقام حسب التكوين المتساوي وفرز المعادلات الجبرية بدافع ، هما وجهان لمهمة واحدة - أي أن تصنيف أحدهما يمنحك مبدأ يمكن من خلاله تصنيف الآخر.

اقترح أن يستند هذا الاتصال على التناظرية من Dehn ثابت. فقط بدلاً من الظهور من أبسط العمليات الحسابية الهندسية ، يجب أن ينشأ هذا التماثل من حساب مشابه لدوافع المعادلات الجبرية ("الدافع الثانوي ").

وقال ويبيل: "الفكرة هي أن مشكلة دان الثابتة توازي مشكلة أخرى تتعلق بالدوافع".

ولكن لاكتشاف مثل هذا الاتصال ، يحتاج علماء الرياضيات أولاً إلى إثبات أن متغير Dehn يقوم بترتيب الأرقام حسب مجموعات متساوية. أظهر دن نفسه أن أي شخصيات ثلاثية الأبعاد متساوية الأبعاد لها أحجام متساوية ودن دن. ومع ذلك ، لم يدحض Den ، وأي شخص آخر من بعده ، احتمال وجود أرقام معينة ذات أبعاد أعلى من نفس الحجم وبنفس دان الثابت ، والتي ليست متساوية. في عملهم الجديد ، حاول كامبل وزاخاريتش إغلاق هذه الفرصة بشكل دائم.

اثنان بسعر واحد

في يونيو 2018 ، عمل كامبل وزاخاريتش معًا لمدة ثلاثة أسابيع في معهد الأبحاث المتقدمة في برينستون ، نيو جيرسي. لقد كانوا مهتمين منذ زمن طويل بالمساواة في المعاملة ، لكن زاخاريتش اعتقد أن فرضيات جونشاروف معقدة للغاية بحيث لا يمكن التعامل معها في مثل هذا الوقت القصير. لكن لا يزال كامبل يريد المحاولة ، ولم يضطر زاخاريفيتش إلى الإقناع لفترة طويلة.

"قال جوناثان:" أمامنا ثلاثة أسابيع ، دعونا نحاول أن نقترب من هذا ونرى ما حدث ، مع نهاية الأسبوع الأول "، قال زاخاريفيتش. بعد أسبوعين ، طوروا العديد من الأفكار الأساسية التي تقوم عليها عملهم الجديد.

في العمل ، يقومون بإجراء تجربة فكرية غير بديهية. لفهم ذلك ، تخيل أن لديك فندق به العديد من الغرف. تحتاج إلى ترتيب جميع الشخصيات على قدم المساواة مع بعضها البعض في نفس الغرفة. نحن لا نعرف كيفية تحديد أن الأرقام متباعدة بالتساوي - هذا هو أصل المشكلة. ومع ذلك ، بالنسبة لتجربة تفكيرنا ، فلنتخيل أن هذا ممكن. أو ، كما يقول زاخريفيش ، "سوف ندعي أن هناك شخصًا كلي العلم يعرف ما إذا كان هناك رقمان متساويان أم لا."

بعد فرز الأرقام حسب الغرف ، نتحقق من أن جميع الأرقام الموجودة في نفس الغرفة لها نفس الحجم ونفس القيمة. من المهم أيضًا التحقق من أن جميع الأرقام من نفس الحجم وبنفس القيمة Den denant كانت في الغرفة الصحيحة - أن الأشخاص الذين سقطوا على المجموعة الجماعية لم يكونوا معلقين في حانة الفندق. الهدف من تجربة التفكير هو إثبات وجود مراسلات مثالية بين مجموعات من شخصيات متساوية ومجموعات من شخصيات لها نفس الحجم ونفس دان. سوف يثبت وجود مثل هذه المراسلات أن الحجم ودون دان فقط سيكونان كافيان بالفعل لتحديد التكوين المتساوي للأرقام.

تنبأ جونشاروف بوجود مثل هذه المراسلات ، وأثبت كامبل وزاخاريتش وجودهما - تحت شرط واحد. توجد المراسلات إذا كانت نتيجة أخرى غير مثبتة تتعلق بفرضيات بيلينسون صحيحة.

فرضيات جونشاروف - تصنيف الأشكال المتساوية من حيث الحجم وثابتة دهن ، بالإضافة إلى تصنيف المعادلات الجبرية من خلال تناظرية دهن ديران - لم يثبت بالكامل من قبل كامبل وزاخريفيش. ومع ذلك ، فإن عملهم يوفر لعلماء الرياضيات فكرة أوضح عن كيفية إثباتهم جميعًا: إذا أمكنك إثبات فرضيات بيلينسون ، فبفضل عمل كامبل وزاخاريتش ، ستحصل أيضًا على مساواة مجانية.

وقال ويبيل: "إن عملهم يعيد التفكير حقًا في هذه المهمة". "عند توصيل فرضيتين بهذه الطريقة ، يلقي الضوء على بنية الكائن الذي تتم دراسته."

يعمل كامبل وزاخاريتش الآن مع عالم رياضيات آخر ، هو دانييل رودينكو من جامعة شيكاغو ، في محاولة لتحديد العلاقة بين تقطيع الأرقام والتحليل إلى أجزاء من المعادلات التي اقترحها جونشاروف. أحرز رودينكو بالفعل بعض التقدم في هذا الاتجاه. الآن ، مع كامبل وزاخاريتش ، يأمل في المضي قدمًا.

أعتقد أن لدينا كل فرصة لتحقيق تقدم كبير. وقال رودنكو: "بهذه الطريقة ربما يثبت فرضيات جونشاروف".