مجموع جميع الأرقام الطبيعية: 1 + 2 + 3 + 4 + .... الجزء 2

كثير من الناس يعرفون ذلك

$$

$$1 + 2 + 3 + \ dots = - \ dfrac {1} {12}.$$

لكن في الواقع

$$

$$1 + 2 + 3 + \ dots = - \ dfrac {1} {8}.$$

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في النتيجة الأولى. بطبيعة الحال ، تتباين سلسلة من الأرقام الطبيعية بالمعنى الكلاسيكي (بمعنى التقارب بين سلسلة من المبالغ الجزئية: إنه ، بالطبع ، ليس له حدود). في هذه المقالة ، يذكر المؤلف طرق الجمع الأخرى ، مثل طريقة Cesaro وطريقة Abel. فيما يلي بعض الأمثلة: مجموع هذه السلسلة

$$

$$\ sum \ limit_ {n \ geqslant 0} (-1) ^ n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ dots$$

باستخدام طريقة سيزارو سوف تكون متساوية $$$\ dfrac12$ .

مثال آخر:

$$

$$1 - 2 + 3 - 4 + 5 + \ dots = \ dfrac14.$$

في رأيي ، من الخطأ القول إن مجموع الصف الأول يساوي $$$\ dfrac12$ . نقول بشكل صحيح أن مجموع الصف الأول بمعنى سيزارو يساوي $$$\ dfrac12$ . وبالمثل بالنسبة للثاني: مجموعه بمعنى هابيل يساوي $$$\ dfrac14$ .

في ضوء هذا ، في النتيجة الأولى (ذلك $$$- \ dfrac {1} {12}$ ) هناك استبدال للمفاهيم ، الأمر الذي يؤدي إلى تناقض مع المنطق السليم.

نعتبر الآن بمزيد من التفصيل النتيجة الثانية. أولاً ، نشير إلى المبلغ بالكامل لـ $$$X$ :

$$

$$1 + 2 + 3 + 4 + \ dots = X.$$

الآن نقوم بإجراء التحويلات التالية:

$$

$$1 + 2 + 3 + 4 + \ dots = 1 + \ underbrace {2 + 3 + 4} _ {9} + \ underbrace {5 + 6 + 7} _ {18} + \ underbrace {8 + 9 + 10} _ {27} + \ dots =$$

$$

$$1 + 9 + 18 + 27 + \ dots = 1 + 9 \ underbrace {\ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right)} _ X = X.$$

من هنا

$$

$$1 + 9X = X \ Rightarrow X = - \ dfrac {1} {8}.$$

هناك حل آخر. ادمج المصطلحات بطريقة أخرى:

$$

$$1 + 2 + \ underbrace {3 + 4 + 5 + 6 + 7} _ {25} + \ underbrace {8 + 9 + 10 + 11 + 12} _ {50} + \ dots =$$

$$

$$= 1 + 2 + 25 \ underbrace {\ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right)} _ X = X ،$$

هذا هو

$$

$$1 + 2 + 25X = X \ Rightarrow X = - \ dfrac {3} {24} = - \ dfrac {1} {8}.$$

في الواقع ، بدءًا من المراكز الثلاثة الأولى ، يمكننا التمييز بين 7 مصطلحات ، مجموعها 49 ، وسنصل إلى المعادلة

$$

$$1 + 2 + 3 + 49X = X ،$$

والتي سوف تعطي نفس النتيجة.

بشكل عام ، عليك أن تتصرف مثل هذا: حدد الأول $$$ن$ حيث ، ثم تأخذ بين قوسين $$ حيث:

$$

$$1 + \ dots + n + \ underbrace {\ left (n + 1 + \ dots + 3n + 1 \ right)} _ {(2n + 1) ^ 2} + \ underbrace {\ left (3n + 2 + \ dots + 5n + 2 \ right)} _ {2 (2n + 1) ^ 2} + \ dots =$$

$$

$$1 + \ dots + n + (2n + 1) ^ 2 \ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right) = X.$$

تقدم الحساب $$$1 + \ dots + n$ يساوي $$$\ dfrac {n (n + 1)} {2}$ ، لذلك ، نحصل على المعادلة

$$

$$\ dfrac {n (n + 1)} {2} + (2n + 1) ^ 2X = X ،$$

أين اتضح ذلك

$$

$$X = - \ dfrac {1} {8}.$$