مقدمة
في الجزء الأول من هذه
السلسلة من المقالات ، سننظر في الجانب النظري من التدرج ، القليل من التاريخ وتطبيقه على إشارات 1D وأخذ العينات. سأحاول إجراء تحليل متكرر لأخطاء التقدير وإجراء محادثات حول كيفية مساعدة التدرج في تصحيحها. ستكون هذه مقالة نظرية بشكل أساسي ، لذا إذا كنت مهتمًا بتطبيقات أكثر عملية ، فانتظر الأجزاء التالية.
دفتر Mathematica لإعادة إنتاج النتائج يمكن العثور عليه
هنا ، وإصدار pdf
هنا .
ما هو التردد؟
يمكن وصف التدرج على أنه الإدخال المتعمد / المتعمد للضوضاء في إشارة لمنع الأخطاء واسعة النطاق / منخفضة الدقة الناتجة عن أخذ العينات أو أخذ العينات الفرعية.
إذا كنت قد عملت مع:
- إشارات الصوت
- 90s تنسيقات صورة لوحة
كان يجب عليهم تلبية خيارات التدرج التي ، وذلك بفضل إضافة الضوضاء والتحف منخفضة الدقة ، "بطريقة سحرية" تحسين جودة الصوت أو الصور.
ومع ذلك ، وجدت في ويكيبيديا حقيقة مثيرة للدهشة إلى حد ما حول كيفية تعريف التدرج لأول مرة واستخدامها:
... نشأت واحدة من أوائل تطبيقات الإرتعاش أثناء الحرب العالمية الثانية. استخدمت الطائرات القاذفة أجهزة الكمبيوتر الميكانيكية للتنقل وحساب مسار القنابل. من الغريب أن أجهزة الكمبيوتر هذه (الصناديق المملوءة بمئات التروس والتروس) عملت بشكل أكثر دقة عند الطيران على متن طائرة مقارنةً بالأرض. أدرك المهندسون أن الاهتزاز الناجم عن الطائرة يقلل من الخطأ الناجم عن الأجزاء المتحركة اللزجة. على الأرض ، تحركوا في حركات قصيرة متشنجة ، وفي الهواء كانت حركتهم أكثر استمرارية. تم تصميم محركات اهتزاز صغيرة في أجهزة الكمبيوتر ، وكان يطلق على اهتزازها "تدرج" من الكلمة الإنجليزية الوسطى "didderen" التي تعني "الارتعاش". اليوم ، عندما تطرق العداد الميكانيكي لزيادة دقته ، يمكنك تطبيق تدرج. عند استخدامه بكميات صغيرة ، يحول التدرج بنجاح نظام الرقمنة إلى نظير أكثر ، بالمعنى الجيد للكلمة.
- كين بولمان ، مبادئ الصوت الرقمي
هذه حقيقة تاريخية ملهمة ومثيرة للاهتمام ، وأنا أفهم لماذا تسمح لنا بتجنب الانحرافات في الحسابات والرنينات عن طريق كسر دورات التغذية المرتدة من الاهتزاز الميكانيكي بشكل عشوائي.
لكن قصة كافية ، دعونا أولاً نلقي نظرة على عملية التدرج في إشارات 1D ، على سبيل المثال ، في الصوت.
أخذ العينات عن طريق تردد إشارة ثابتة
سنبدأ بتحليل أكثر إشارة مملة في العالم - إشارة ثابتة. إذا كنت تعرف القليل عن المعالجة الرقمية للإشارات المتعلقة بالصوت ، فيمكنك أن تقول: لكنك وعدت بالنظر في الصوت ، وبالتأكيد لا يوجد عنصر ثابت في الصوت! (علاوة على ذلك ، في البرامج وفي معدات معالجة الصوت ، يتم التخلص من
إزاحة DC المتعمد.)
هذا صحيح ، وسننظر قريبًا في وظائف أكثر تعقيدًا ، لكننا سنبدأ من جديد.
تخيل أننا نقوم بأخذ عينات 1 بت لإشارة الفاصلة العائمة العادية. هذا يعني أننا نتعامل فقط مع القيم الثنائية المحدودة ، 0 أو 1.
إذا كانت الإشارة
0.3 ، فإن التقريب البسيط دون التدرج سيكون أكثر الوظائف مملة -
صفر فقط!
الخطأ ثابت أيضًا ويساوي
0.3 ، وبالتالي فإن الخطأ المتوسط يساوي
0.3 . هذا يعني أننا أدخلنا انحرافًا كبيرًا في الإشارة وفقدنا تمامًا معلومات الإشارة الأصلية.
يمكننا محاولة تحجيم هذه الإشارة وإلقاء نظرة على النتائج.
في هذه الحالة ، يطبق التدرج (عند استخدام وظيفة التقريب) ضوضاء بيضاء عشوائية عشوائية (قيمة عشوائية لكل عنصر ، مما يخلق طيفًا موحدًا للضوضاء) ويضيف فاصلًا عشوائيًا (-0.5 ، 0.5) للإشارة قبل أخذ العينات.
quantizedDitheredSignal =
Round [constantSignalValue + RandomReal [] - 0.5] & / @ Range [sampleCount]؛
من الصعب أن نرى شيئًا ما هنا ، والآن نتيجة التقديس هي مجرد مجموعة من الأصفار العشوائية والأصفار. مع (المتوقع) الكثير من الأصفار. في حد ذاتها ، هذه الإشارة ليست مثيرة للاهتمام بشكل خاص ، ولكن
الجدول الزمني الخطأ والخطأ المتوسط مثيرة للاهتمام للغاية.
لذا ، كما توقعنا ، يختلف الخطأ أيضًا ، لكن من المخيف أن يكون الخطأ في بعض الأحيان أكبر (القيمة المطلقة 0.7)! وهذا يعني أن الخطأ الأقصى للأسف أصبح أسوأ ، ولكن متوسط الضوضاء مهم:
يعني [ditheredSignalError]
0.013
أفضل بكثير من الخطأ الأولي 0.3. مع وجود عدد كبير من العينات ، يميل هذا الخطأ إلى الصفر (إلى الحد الأقصى). لذلك ، أصبح خطأ المكون الثابت أقل بكثير ، ولكن دعونا ننظر إلى الرسم البياني تردد جميع الأخطاء.
الرسم البياني الأحمر / الاندفاع = طيف التردد للخطأ في غياب التدرج (إشارة ثابتة بدون ترددات). أسود - مع التدرج باستخدام الضوضاء البيضاء.كل شيء أصبح أكثر إثارة للاهتمام! يوضح هذا الاستنتاج الأول من هذا
التدرج اللاحق الذي
يوزع خطأ / انحراف أخذ العينات بين ترددات متعددة .
في القسم التالي ، سنكتشف كيف سيساعدنا ذلك.
حساسية التردد وتصفية تمرير منخفضة
أعلاه ، لاحظنا تدرج إشارة ثابتة للعينات:
- زاد الحد الأقصى للخطأ.
- تقريبا الصفر متوسط الخطأ.
- إضافة ضوضاء بيضاء ثابتة (مع تغطية كاملة للطيف) إلى طيف تردد الخطأ ، مما يقلل من خطأ التردد المنخفض.
في حد ذاته ، لا يفيدنا كثيرًا ... ومع ذلك ، فإننا لا نفكر في تقديرية أي وظيفة / إشارة رياضية تعسفية. نحن نعتبر الإشارات التي سيتصورها الإنسان. من الواضح أن الإدراك البشري محدود. فيما يلي بعض الأمثلة على ذلك:
- رؤيتنا لها حد الحدة. كثير من الناس يعانون من قصر النظر ودون نظارات يرون صورًا ضبابية لأشياء بعيدة.
- نحن ندرك أن متوسط نطاق التفاصيل أفضل بكثير من الترددات العالية جدًا أو المنخفضة جدًا (يمكن أن تكون التفاصيل الصغيرة للتدرجات الملساء للغاية غير مرئية).
- تعمل السمع في نطاق تردد معين (20 هرتز - 20 كيلو هرتز ، ولكن يزداد سوءًا بمرور الوقت) ونحن أكثر حساسية للمجال الأوسط - 2 كيلو هرتز - 5 كيلو هرتز.
لذلك ، فإن أي خطأ في الترددات الأقرب إلى المدى العلوي من التردد المتوقع سيكون أقل وضوحًا.
علاوة على ذلك ، فإن أجهزتنا الإعلامية تتحسن وأفضل ، مما يوفر قدرًا كبيرًا من
الاختلاف . على سبيل المثال ، في حالة أجهزة التلفاز والشاشات ، لدينا تقنية "شبكية العين" وشاشات 4K (والتي يستحيل عليها رؤية بكسل واحد) ، في مجال الصوت ، نستخدم تنسيقات الملفات بمعدل أخذ عينات لا يقل عن 44 كيلو هرتز حتى بالنسبة للسماعات الرخيصة التي لا يمكن تشغيلها غالبًا أكثر من 5-10 كيلو هرتز.
هذا يعني أنه يمكننا تقريب المظهر المتصور للإشارة عن طريق إجراء تصفية منخفضة المرور. على الرسم البياني ، قمت بإجراء ترشيح تمرير منخفض (ملء الأصفار على اليسار هو "ارتفاع"):
أحمر - إشارة غير مطلوبة للعينة. الأخضر - إشارة منفصلة مع التدرج. الأزرق هو مرشح تمرير منخفض لهذه الإشارة.تبدأ الإشارة في الظهور بالقرب من الوظيفة الأصلية التي لم يتم أخذ عينات منها!
لسوء الحظ ، بدأنا نرى ترددات منخفضة ملحوظة للغاية وغائبة في الإشارة الأصلية. في الجزء الثالث من السلسلة ، سنحاول إصلاحها بمساعدة الضوضاء الزرقاء. في غضون ذلك ، إليك الشكل الذي قد يبدو عليه الرسم البياني بوظيفة الضوضاء الزائفة التي تحتوي على محتوى بتردد أقل بكثير:
هذا ممكن لأن تسلسلنا العشوائي العشوائي يحتوي على طيف التردد التالي:
ولكن دعونا ننهي النظر في وظائف بسيطة ثابتة. ألق نظرة على موجة جيبية (إذا كنت معتادًا على نظرية فورييه ، فأنت تعلم أنها لبنة في أي إشارة دورية!).
موجة جيبية أخذ العينات
إذا أخذنا عينات من الجيوب الأنفية بأخذ عينات من 1 بت ، نحصل على إشارة مستطيلة بسيطة.
تعد الإشارة المستطيلة مثيرة للاهتمام لأنها تتضمن كلاً من التردد الأساسي
والتوافقيات الفردية .
هذه خاصية مثيرة للاهتمام يتم استخدامها بنشاط في أجهزة المزج التناظرية التناظرية لإنشاء صوت الأدوات المجوفة / النحاسية. يأخذ التركيب التوليفي صوتًا معقدًا غنيًا ومتناسقًا ويرشحه ، مما يلغي بعض الترددات (تختلف معاملات المرشح بمرور الوقت) لإعطاء الأصوات الشكل المطلوب.
طيف التردد لموجة مربعة:
لكن في هذا المنشور نحن مهتمون أكثر بأخطاء أخذ العينات! لنقم بإنشاء رسم بياني للأخطاء ، فضلاً عن مجموعة من ترددات الأخطاء:
في هذه الحالة ، يكون الموقف أفضل بكثير - الخطأ المتوسط يقترب من الصفر! لسوء الحظ ، لا يزال لدينا العديد من الترددات المنخفضة غير المرغوب فيها والتي تكون قريبة جدًا من ترددنا الرئيسي (المضاعفات الفردية ذات الحجم المتناقص). وتسمى هذه الظاهرة التعرجات أو الضوضاء المتدلية - تظهر الترددات التي كانت غائبة في الإشارة الأصلية ، وهي كبيرة جدًا.
حتى التصفية المنخفضة تمرير لن تكون قادرة على مساعدة إشارة كبيرة. الخطأ لديه الكثير من الترددات المنخفضة:
تقديري شرط موجة منخفضة تمرير تصفيةدقة عينات موجة جيبيةدعونا نلقي نظرة على كيفية تغير الوضع عند إضافة التدرج. للوهلة الأولى ، لا توجد أي تحسينات تقريبًا:
ومع ذلك ، إذا اعتبرنا هذه الصورة ، فيبدو أنها تبدو أفضل:
لاحظ أن أخطاء أخذ العينات يتم توزيعها مرة أخرى على ترددات مختلفة:
يبدو واعدا جدا! لا سيما بالنظر إلى أنه يمكننا الآن تجربة التصفية:
هذه موجة جيبية مشوهة قليلاً ، لكنها تبدو أقرب إلى الأصل من الإصدار دون تدرج ، باستثناء تحول الطور الذي أدخله المرشح غير المتماثل (لن أشرح ذلك هنا ؛ يمكنني فقط أن أقول إن المشكلة يمكن حلها عن طريق تطبيق مرشحات متماثلة):
الأحمر هو موجة جيبية الأصلية. الأخضر - إشارة تمريرة منخفضة تمرير دون تردد. الأزرق - إشارة تمرير منخفض المصفاة مع التدرج.تؤكد الرسوم البيانية لكلا الخطأين رقميًا أن الخطأ أصغر بكثير:
الأحمر - خطأ إشارة تمرير منخفض المصفاة دون تردد. الأزرق - خطأ إشارة تمرير منخفض المصفاة مع التدرج.أخيرًا ، دعونا ننظر لفترة وجيزة إلى إشارة ذات وظيفة تدرج أفضل تحتوي على ترددات عالية فقط:
الصورة العليا هي وظيفة من الضوضاء البيضاء. الصورة السفلى هي وظيفة تحتوي على ترددات أعلى.نسخة ذات ترشيح منخفض ، تدرج ، وظيفة مُحسّنة - نتائج مثالية تقريبًا ، إذا كنت لا تأخذ في الاعتبار تحول المرحلة الناجم عن المرشح!وأخيراً ، مقارنة بين أطياف الأخطاء الثلاثة:
أحمر - طيف خطأ أخذ العينات دون تردد. أسود - طيف خطأ أخذ العينات مع تدني الضوضاء البيضاء. الطيف الأزرق من خطأ أخذ العينات مع التدرج مع ترددات أعلى.يؤدي
هذا هو الجزء الأول من سلسلة ينتهي. النتائج الرئيسية:
- التدرج يوزع خطأ / انحراف أخذ العينات بين عدد وافر من الترددات ، وهذا يعتمد على وظيفة التدرج ؛ أنها لا تركز على الترددات المنخفضة.
- تصور الشخص لأي إشارة (صوت ، رؤية) يعمل بشكل أفضل في نطاقات تردد محددة للغاية. غالبًا ما يتم تجاوز الإشارات عند حدود الطيف الحسي ، حيث الإدراك غير حساس. على سبيل المثال ، تسمح لك معدلات أخذ العينات الصوتية القياسية بتكرار الإشارات التي لا يستطيع معظم البالغين سماعها على الإطلاق. نظرًا للفقرة السابقة ، فإن هذا يجعل فكرة استخدام الأخطاء المتدرجة وتحويلها إلى نطاق التردد هذا جذابة للغاية.
- تخلق وظائف الضوضاء المختلفة أطيافًا مختلفة للخطأ يمكن استخدامها ، ومعرفة طيف الأخطاء المرغوب فيه.
في الجزء التالي ، سننظر في العديد من وظائف التدرج - تلك التي استخدمتها في هذه المقالة (سلسلة النسب الذهبية) والضوضاء الزرقاء.