اكتشفنا أخيرًا كيف يجب أن تكون مجموعة الأرقام كبيرة بحيث تضمن احتواء نمط يسمى "تقدم متعدد الحدود"
بعض الأنماط في الرياضيات نادرة جدًا بحيث يمكن البحث عنها طوال حياتك ولا يمكن العثور عليها. البعض الآخر شائع لدرجة أنه يبدو من المستحيل تجنبه.
تبين
الأدلة الجديدة ، التي قدمتها
سارة بيليوس من جامعة أكسفورد ، أن نمطًا عدديًا من نوع مهم بشكل خاص أمر لا مفر منه بشكل أساسي: إنه مضمون ليتم العثور عليه في أي مجموعة كبيرة بما يكفي من الأرقام ، بغض النظر عن كيفية اختيارهم.
وقال
تيرينس تاو من جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس: "هناك نوع من عدم التلازم المتأصل في هذه الأنماط".
يتعلق إثبات Pilyus بسلسلة من الأرقام تسمى "تقدم متعدد الحدود". إنها سهلة الإنشاء - يمكنك تكوينها بسرعة كبيرة - وتتصل بالاتصال بين الجمع وضرب الأرقام.
على مدار عدة عقود ، عرف علماء الرياضيات أنه بصغر حجم مجموعة (أو "مجموعة") من الأرقام - أي عندما تحتوي على أرقام قليلة نسبيًا - قد لا يكون لها أي تقدم متعدد الحدود على الإطلاق. لقد أدركوا أيضًا أنه مع نمو المجموعة ، فإنها تتجاوز في النهاية عتبة معينة ، وبعد ذلك تحتوي بالفعل على العديد من الأرقام التي يجب أن يفي بها أحد هذه التسلسلات. يبدو وكأنه وعاء من الحساء يحتوي على أحرف العجين - كلما زاد عدد الأحرف التي لديك ، زاد احتمال قيامك بإضافة كلمات منها.
ولكن قبل Pilius ، لم يكن علماء الرياضيات يعرفون ما هي هذه العتبة. يقدم دليلها إجابة على هذا السؤال - وهي صيغة محددة تحدد حجم المجموعة التي ينبغي أن تضمن تعدد الحدود.
وقبل ذلك ، لم يكن لدى علماء الرياضيات سوى أفكار غامضة تشير إلى أن التقدمات متعددة الحدود توجد بين الأعداد الصحيحة (1 ، 2 ، 3 ، إلخ). الآن يعرفون بالضبط أين يبحثون عنهم.
بحثا عن الأنماط
لتخيل هذه الأنماط ، فكر في واحدة منها ، أبسط قليلاً من تلك التي عمل بها Pilius. لنبدأ بالرقم 2 وسنضيف الثلاثي: 2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 14 ، إلخ. يسمى هذا النمط - بدءًا من رقم واحد وإضافة رقم آخر - "التقدم الحسابي". هذا هو واحد من التطورات الأكثر درسا ومتكررة في الرياضيات.
فيما يتعلق بتكرار حدوث التقدم الحسابي بين الأعداد الصحيحة ، يجب فهم شيئين.
أثبت
إندري كيميري أحدهم عام 1975. أولاً ، اختر طول تقدمك الحسابي. يمكن أن يكون هذا نمطًا يتكون من أربعة أعضاء (2 ، 5 ، 8 ، 11) ، أو عائلة (14 ، 17 ، 20 ، 23 ، 26 ، 29 ، 32) ، أو بشكل عام مع أي رقم. بعد ذلك ، يثبت أنه بمجرد وصول مجموعة الأرقام إلى حجم معين (لم يستطع تحديده) ، سيجد بالتأكيد تقدمًا حسابيًا بهذا الطول. وهكذا ، عزز فكرة أنه في مجموعات كبيرة بما فيه الكفاية من الأرقام في مكان ما هناك بالضرورة نمط.
في الواقع ، قال سميريدي إن الفوضى الكاملة أمر مستحيل. قال
بن غرين من جامعة أكسفورد: "بغض النظر عن العدد الذي تتقاضاه ، ستتمكن بعض الهياكل دائمًا من الدخول فيه".
ومع ذلك ، فإن نظرية سزميري لا تذكر شيئًا عن حجم مجموعة الأرقام حتى تصبح هذه الأنماط حتمية. لقد قال ببساطة إنه للحصول على تقدم حسابي لأي طول يتم اختياره ، يجب أن يكون هناك عدد كبير من الأرقام غير المعروفة التي تحتوي عليها.
بعد مرور أكثر من عقدين على ذلك ، حدد علماء الرياضيات هذا الحجم - وأثبتوا بهذه الطريقة الحقيقة الأساسية الثانية المتعلقة بقوانين الحساب.
في عام 2001 ،
أثبت تيموثي جاورز من جامعة كامبريدج أنه إذا كنت تريد أن تجد ، على سبيل المثال ، تقدمًا حسابيًا من خمسة أعضاء ، فأنت بحاجة إلى الكثير من الأرقام بحجم معين على الأقل - وتحديد الحجم الذي سيكون عليه (من الصعب وصف الحجم الدقيق ، وهذا تتضمن الصيغة أعدادًا هائلة الأسية).
لفهم ما قام به Gowers ، تحتاج إلى فهم ما يعنيه علماء الرياضيات من خلال الحديث عن "حجم" مجموعة من الأرقام وفكرة "الحجم الكبير إلى حد ما".
أولاً ، حدد فاصل زمني على سطر رقم ، على سبيل المثال ، من 1 إلى 1000 ، أو شيء أكثر عشوائية ، مثل من 17 إلى 1016. بداية ونهاية الفاصل الزمني لا يهم ، طوله هو المهم فقط. ثم حدد عدد الأرقام من هذا الفاصل الزمني الذي تريد إضافته إلى المجموعة. على سبيل المثال ، إذا أنشأت مجموعة مكونة من 100 رقم من 1 إلى 1000 ، فسيكون حجم مجموعتك 10٪ من الفاصل الزمني.
دليل Gowers يعمل بغض النظر عن كيفية اختيار الأرقام من هذه المجموعة. يمكنك أخذ 100 رقم فردي أولي من النطاق من 1 إلى 1000 ، أو 100 من الأرقام الأولى التي تنتهي بـ 6 ، أو حتى 100 رقم عشوائي. وقد أثبتت Gowers أنه بغض النظر عن الطريقة ، بمجرد أن تحتل المجموعة مساحة كبيرة بما فيه الكفاية (وليس بالضرورة 10٪) في فاصل زمني طويل بما فيه الكفاية ، سوف يظهر تقدم حسابي من خمسة أعضاء لا محالة فيه. لقد أثبت الشيء نفسه بالنسبة للتقدم الحسابي من أي طول.
"بعد Gowers ، نحن نعلم أنه إذا أعطوني تقدماً حسابياً بأي طول ، فإن أي مجموعة فرعية من" أرقام من حجم معين ستحتوي بالضرورة على هذا التقدم ، قال بيليس.
عمل Pilius يشبه إنجاز Gowers ، حيث ركزت فقط على التقدم متعدد الحدود.
في التقدم الحسابي ، نختار رقمًا أوليًا ونضيف إليه رقمًا آخر. في شكل التقدم متعدد الحدود الذي درسه Pilius ، يمكنك تحديد القيمة الأولية ، وإضافة صلاحيات رقم آخر إليها. على سبيل المثال: 2 ، 2 + 3
1 ، 2 + 3
2 ، 2 + 3
3 ، 2 + 3
4 . وهذا هو ، 2 ، 5 ، 11 ، 29 ، 83. في تقدمه ، كان هناك أيضا عضو واحد فقط لكل درجة - هذا الشرط يبسط العمل معهم.
ترتبط هذه التعقيدات متعددة الحدود ارتباطًا وثيقًا بانتظام مهم مثل التقدم الهندسي ، والذي يتكون عن طريق رفع العدد إلى درجة متزايدة: 3
1 ، 3
2 ، 3
3 ، 3
4 ، ... تظهر بشكل طبيعي في العديد من مجالات الرياضيات والفيزياء ، وعلماء الرياضيات البهائيين لعدة آلاف السنين. تكون التدرجات الهندسية أقل شيوعًا حتى في مجموعات كبيرة من الأرقام ، ولكن إذا قمت بتصحيحها قليلاً - على سبيل المثال ، إضافة ثابت لكل مصطلح - تحصل على تقدم متعدد الحدود. لكن يبدو أنها تظهر في كل مكان.
"يمكنك إنشاء مجموعات كبيرة من الأرقام التي لا تحتوي على تقدم هندسي. ولكن إذا أعطيت لنفسك بعض الحرية وحركت التقدم الهندسي "، مما أدى إلى تطور متعدد الحدود ، يبدو أن المجموعات الكبيرة مجبرة على احتوائها ، كما قال
شون برينديفيل من جامعة لانكستر ، الذي عمل مع بيليوس على التقدم متعدد الحدود.
في عام 1996 ،
أثبت فيتالي بيرجيلسون وألكساندر ليبمان أنه عندما يصل حجمهما إلى حد كبير من قبل جمهور ، يجب أن يظهر بالضرورة تقدم متعدد الحدود - كان هذا هو المعادل متعدد الحدود لعمل Cemeredi. ومع ذلك ، لم يكن لدى علماء الرياضيات أي فكرة عن حجم مجموعة "كبيرة بما يكفي".
أجاب Pilius على هذا السؤال بطريقة غير بديهية - التفكير في الخصائص التي يجب أن تحتوي عليها العديد من الأرقام بحيث لا توجد مثل هذه الأنماط.
قتال الأنماط بالأنماط
أراد Pilius تحديد حجم المجموعة - ما هي النسبة المئوية للأرقام الموجودة في الفاصل التي يجب تضمينها فيها - لضمان احتوائها على تقدم متعدد الحدود. للقيام بذلك ، قدمت كل الطرق التي يمكن بها لعدد كبير من الأرقام تجنب ظهور تقدم فيها - ثم أثبتت أنه حتى تجاوز حجم معين لا يعمل حتى أكثر هذه الاستراتيجيات براعة.
يمكن اعتبار هذه المهمة بمثابة منافسة. لنفترض أن شخصًا ما يطلب منك إنشاء مجموعة تحتوي على نصف الأرقام من 1 إلى 1000. يمكنك الفوز إذا لم يكن للمجموعة الأعضاء الأربعة الأوائل من التقدم متعدد الحدود. كيف يمكنك اختيار الأرقام؟
سارة بيلوس من جامعة أكسفورديمكنك محاولة غريزية لتحديد الأرقام عشوائيا. لكن هذه الغريزة ستكون خاطئة.
معظم المجموعات في منتصف
التوزيع الطبيعي . إنها تحتوي على متوسط عدد التقدمات متعددة الحدود. وهذه القيمة المتوسطة أكثر بكثير من الصفر المطلوبة منك.
يبدو الأمر كما لو أنك اخترت شخصًا عشوائيًا من جميع سكان الكوكب واحصل على شخص يقترب معدل نموه من المتوسط. إذا كان هدفك هو العثور على عينة نادرة طولها أكثر من 2 متر ، فأنت بحاجة لإجراء عمليات بحث بطريقة أكثر اتجاهية.
لذلك ، للفوز بمسابقة اختيار الأرقام ، فأنت بحاجة إلى طريقة أكثر تنظيماً لتحديد الأرقام المراد تضمينها في مجموعتك التي تضم 500 قطعة. على سبيل المثال ، قد تلاحظ أنه إذا قمت بتحديد أرقام زوجية فقط ، فيمكنك القضاء على احتمال احتواء المجموعة على تقدم متعدد الحدود يحتوي على أرقام فردية. التقدم! وبطبيعة الحال ، وبهذه الطريقة تزيد من احتمال احتواء مجموعتك على تقدم متعدد الحدود يتكون من أرقام زوجية.
ومع ذلك ، فإن خلاصة القول هي أن التوصل إلى طريقة منظمة لتحديد 500 رقم ، يمكنك القضاء على احتمال أن تكون في مجموعة من التعاقب متعدد الحدود. بمعنى آخر ، من الضروري مراقبة نمط لتجنب نمط.
قرر Pilius أن يثبت أنه عند الوصول إلى حجم معين ، فإن المجموعات المكوّنة بذكاء جدًا ستظل مضطرة لتضمين تطورات متعددة الحدود. في الواقع ، أرادت أن تحدد النقطة الحرجة التي تتوصل عندها ، في كل مرة تتجنب فيها إدراج تقدم متعدد الحدود من نوع ما ، إلى وجود تقدم متعدد الحدود من نوع آخر - كما هو الحال مع الأرقام الفردية والزوجية.
للقيام بذلك ، كانت بحاجة إلى إيجاد طريقة لتحديد هيكلة المجموعة.
قياس الهيكل
قبل عمل Pilius ، حاول العديد من علماء الرياضيات أن يفهموا تمامًا متى تظهر تطورات متعددة الحدود في أعداد كثيرة. شارك العديد من علماء الرياضيات الناجحين في هذا ، لكن لم يتمكن أي منهم من إحراز تقدم كبير نحو اكتشاف حجم المجموعة التي يجب أن يصل إليها من أجل احتواء تطورات متعددة الحدود بأطوال مختلفة.
كانت العقبة الرئيسية أمامهم هي أن علماء الرياضيات لم يكن لديهم أي فكرة عن كيفية توصيف الهياكل التي تتجنب ظهور التعقيدات المتعددة الحدود. كان هناك أسلوب محتمل واحد لهذا ، ولكن عندما بدأ Pilius العمل في هذا المجال ، لا يمكن تطبيقه على الأسئلة المتعلقة بالتطورات متعددة الحدود.
ظهرت هذه التقنية في ورقة غورز لعام 2001 حول التقدمات الحسابية. ابتكر جاورز الاختبار ، واصفًا إياه بـ "قاعدة جاورز" ، التي تكتشف الهياكل من نوع معين في عدد كبير من الأرقام. يُنتج الاختبار رقمًا واحدًا يحدد مقدار البنية في المجموعة - أي أنه يوضح عدديًا مدى انتقال المجموعة من مجموعة بسيطة من الأرقام العشوائية.
وقال غرين: "مفهوم" تبدو تبدو عشوائية "، غير محدد رياضياً". وجدت جاورز طريقة لقياس هذا المفهوم.
كثير يمكن أن يكون أكثر أو أقل تنظيما. المجموعات التي تحتوي على أرقام عشوائية ليس لها هيكل ، وبالتالي ، مع احتمال كبير تحتوي على أنماط رقمية. هذه المجموعات لديها قاعدة غورز منخفضة. تحتوي المجموعات التي تحتوي على أرقام فردية فقط أو أرقام قابلة للقسمة على 10 على بنية بدائية. من السهل إثبات أنه إذا تم تجاوز حجم معين ، فسوف تظهر أشكالًا مختلفة أيضًا في مجموعات من هذا الهيكل البسيط.
أصعب شيء هو العمل مع العديد من الهياكل المعقدة للغاية. قد تبدو عشوائية ، ولكن في نفس الوقت يتم بناؤها وفقًا لقاعدة صعبة للغاية. قاعدة Gowers الخاصة بهم عالية ، وهي توفر أفضل فرصة لتجنب الأنماط بشكل منتظم عندما ينمو حجم المجموعة.
نظرًا لاستخدام Gowers هذه التقنيات للبحث عن إجابات للأسئلة المتعلقة بالتطورات الحسابية ، لا يمكن تطبيقها على الأسئلة المتعلقة بالتطورات متعددة الحدود. التقدمات الحسابية لها فواصل زمنية متساوية ، والأرقام في التعاقب متعدد الحدود تقفز بنشاط كبير. كانت قواعد Gowers مفيدة لدراسة التقدمات متعددة الحدود بالإضافة إلى أداة قص العشب لتنظيف الطلاء القديم من المنزل: الفكرة متشابهة ، على الرغم من أنها ليست مناسبة تمامًا لهذا العمل.
في الدليل الجديد ، استخدم Pilius الفكرة الأساسية لقاعدة Gowers لإنشاء طريقة جديدة لتحليل الهياكل المرتبطة بتطورات متعددة الحدود. لقد استخدمت أسلوب "خفض درجة" لإثبات أنه في الإجراءات مع تقدم متعدد الحدود التي تهمها ، فإنه يستحق القلق فقط حول الهياكل البسيطة ذات القاعدة المنخفضة في Gowers. والحقيقة هي أن التقدمات متعددة الحدود تتغير كثيرا أثناء الانتقال من فترة إلى أخرى ، بحيث تندلع حتما في عقبات عددية أقل ديمومة - مثل فيل يدفع من خلال معارض خارج متجر صيني.
من الصعب وصف صيغة Pilius بعبارات بسيطة. يتضمن اللوغاريتم المزدوج لطول الفاصل الزمني الأصلي الذي تحدد منه الأرقام الخاصة بمجموعتك. لن يكون الحد الأدنى للحجم الذي حصلت عليه بالضرورة هو أصغر حجم ممكن - في الأعمال المستقبلية ، قد نجد أن العتبة الحقيقية أقل. لكن إلى أن ظهر دليلها ، لم يكن لدى علماء الرياضيات عمومًا فهم كمي لظهور ضمانة لوجود تقدم متعدد الحدود.
وقال برينيفيل: "كانت أول شخص يظهر حجم حجم المجموعة".
والدليل على Pilius يجيب كميا على سؤال واحد يتعلق بالتطورات متعددة الحدود. الآن يستخدمه علماء الرياضيات على أمل الحصول على إجابة لسؤال آخر - فيما يتعلق بظهور تقدم متعدد الحدود في مجموعات كاملة من الأعداد الأولية ، وأهم الأرقام في الرياضيات ، تقاوم أي نوع من التسلسل بعناد. قبل ظهور هذا الدليل ، لم يكن لدى علماء الرياضيات أي فكرة عن كيفية التعامل مع هذا السؤال.
وقال بيليوس: "هناك أمل في أن يتم تطبيق بعض حجج عملي في مجال الأعداد الأولية".