حقق علماء الرياضيات طفرة في دراسة المشكلة "الخطيرة"

يعتبر علماء الرياضيات فرضية كولاتز "مستنقعًا" ، ويحذرون بعضهم بعضًا من أن الأمر يستحق البقاء بعيدًا عنها. الآن ، ومع ذلك ، فقد أحرز تيرينس تاو تقدما أكثر من أي شخص منذ عقود.

خذ أي رقم. إذا كان الأمر كذلك ، قسّمه إلى قسمين. إذا كان الأمر غريبًا ، اضربه في ثلاثة ، أضف واحدًا. كرر. هل يصل العدد في النهاية إلى 1؟

ينصح علماء الرياضيات من ذوي الخبرة المبتدئين بالابتعاد عن فرضية Collatz . يسمونها أغنية صفارات الإنذار: تقع تحت تأثيرها ، ولا يمكنك الوصول إلى عمل ذي معنى.

فرضية Collatz ، وربما أبسط المشاكل التي لم يتم حلها في الرياضيات ، هي بالتحديد ما يجعلها جذابة للغاية.

هذه مهمة خطيرة للغاية. يقول جيفري لاجارياس ، عالم الرياضيات بجامعة ميشيجان ، وهو خبير في فرضية كولاتز: "لقد أصبح الناس مهووسين به ، رغم أنه من المستحيل تمامًا".

لكن في عام 2019 ، تجرأ أحد أفضل علماء الرياضيات في العالم على الاقتراب منه ، وتلقى أهم النتائج التي تحققت في عدة عقود.

في 8 أيلول (سبتمبر) 2019 ، نشر تيرينس تاو إثباتًا يوضح أن فرضية كولاتز "حقيقية" تقريبًا على الأقل لجميع الأرقام. على الرغم من أن نتائج Tao ليست دليلًا كاملًا على هذه الفرضية ، إلا أن هذا يمثل إنجازًا خطيرًا للغاية لمهمة ليس من السهل كشفها عن أسرارها.

قال تاو ، عالم الرياضيات في جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس: "لم أكن أتوقع حل المشكلة بالكامل". "لكنني تمكنت من فعل أكثر مما كنت أتوقع".

لغز اللغز

ربما طرح Lothar Collatz فرضية تحمل الاسم نفسه في ثلاثينيات القرن العشرين. التحدي يبدو وكأنه خدعة الحزب. خذ أي رقم. إذا كان الأمر كذلك ، قسّمه إلى قسمين. إذا كان الأمر غريبًا ، اضربه في ثلاثة ، أضف واحدًا. الحصول على رقم جديد. تطبيق القواعد نفسها بالنسبة له. تقول الفرضية ما سيحدث إذا كررت هذه العملية باستمرار.

الحدس يشير إلى أن رقم البداية يؤثر على النتيجة النهائية. ربما ستنخفض بعض الأرقام في النهاية إلى 1. ربما ستزيد الأرقام الأخرى إلى أجل غير مسمى.

ومع ذلك ، توقع Collatz أن هذا ليس كذلك. اقترح أنه إذا بدأت بـ عدد صحيح موجب وكررت التسلسل المشار إليه لفترة طويلة ، ثم من أي رقم أولي ستصل إلى 1. ووصولاً إلى الوحدة ، ستقيدك قواعد الفرضية في حلقة لا نهائية: 1 ، 4 ، 2 ، 1 ، 4 ، 2 ، 1 ، وهلم جرا ، إلى ما لا نهاية.

على مر السنين ، تم جذب العديد من محبي المهام إلى البساطة الجذابة لفرضية Collatz ، أو "مشكلة 3x + 1" ، كما يطلق عليها أيضًا. قام علماء الرياضيات بالفعل بفحص أمثلة خماسية (وهذا رقم يحتوي على 18 أصفار) ، ولم يجدوا استثناءً واحدًا لتنبؤات Collatz. يمكنك أنت بنفسك محاولة التحقق من بعض الأمثلة مع أي من " آلات حاسبة Collatz " الكثيرة المتوفرة على الإنترنت. الإنترنت مليء بأدلة الهواة غير المبررة لفرضية ، يدعي مؤلفوها أنهم كانوا قادرين على إثباتها أو دحضها.



"تحتاج فقط إلى أن تكون قادرًا على الضرب في 3 والقسمة على 2 ، ويمكنك بالفعل البدء في اللعب بها. وقال مارك تشامبرلين ، عالم الرياضيات في كلية غرينل ، الذي سجل مقطع فيديو شهيرًا على YouTube حول هذه المشكلة ، وهو "أبسط المشكلات المستحيلة" ، إنه أمر مغري للغاية.


ولكن هناك القليل من الأدلة الحقيقية.

في سبعينيات القرن الماضي ، أظهر علماء الرياضيات أن جميع سلاسل Collatz تقريبًا - قائمة بالأرقام التي تحصل عليها عند تكرار العملية - وصلت في النهاية إلى رقم أصغر من الرقم الأولي. كان هذا دليلًا ضعيفًا على أن جميع سلاسل Collatz تقريبًا تؤدي إلى 1 ، ولكن مع ذلك ، كان. ومن عام 1994 إلى نتيجة تاو في عام 2019 ، احتفظ إيفان كوريتس بسجل لإظهار الحد الأدنى للقيمة. حاولت أعمال أخرى بالمثل مهاجمة المهمة ، وليس الاقتراب من هدفها الرئيسي.

وقال كانان سونداراراجان ، عالم الرياضيات في جامعة ستانفورد الذي عمل على هذه الفرضية: "نحن لا نفهم حقًا سؤال كولتس جيدًا بما فيه الكفاية ، لذلك لم يكن هناك عمل مهم في هذه القضية".

أدت عبث هذه المحاولات إلى استنتاج أن العديد من علماء الرياضيات توصلوا إلى أن هذه الفرضية ببساطة غير متوفرة بالمستوى الحالي للمعرفة ، وأنه من الأفضل لهم قضاء وقتهم في دراسات أخرى.

وقال جوشوا كوبر من جامعة ساوث كارولينا: "مشكلة Collatz معروفة بتعقيدها - لدرجة أن علماء الرياضيات يسبقون عادة كل مناقشة بتحذير من عدم إضاعة الوقت في ذلك".

نصيحة غير متوقعة

لأول مرة ، أصبحت Lagarias مهتمة بهذه الفرضية كطالب قبل 40 عامًا على الأقل. على مدى عقود ، كان أمينًا غير رسمي لكل ما يتعلق بها. قام بجمع مكتبة كاملة من الأعمال المتعلقة بها ، وفي عام 2010 نشر بعضها في شكل كتاب بعنوان: " التحدي الحاسم: المشكلة 3x +1 ".

"الآن أعرف الكثير عن هذه المشكلة ، ولا يزال بإمكاني القول أنه من المستحيل حلها" ، قال لاجارياس.

تاو عادة لا يقضي وقته في مهام مستحيلة. في عام 2006 ، حصل على جائزة Fields ، وهي أعلى جائزة في الرياضيات ، ويعتبر أحد أفضل علماء الرياضيات في جيله. اعتاد على حل المشاكل ، وليس مطاردة القلاع في الهواء.

وقال "هذه هي المخاطر المرتبطة بمهنة الرياضيات". "يمكنك أن تصبح مهووسًا بأحد المهام العظيمة المعروفة التي تفوق قدرات أي شخص وتفقد الكثير من الوقت."

ومع ذلك ، لا ينجح تاو دائمًا في مقاومة الإغراءات من هذه المنطقة. يقضي كل عام يومًا أو يومين على أشهر المشكلات التي لم يتم حلها في الرياضيات. على مر السنين ، اتخذ العديد من النهج لفرضية Collatz ، ولكن دون جدوى.

ثم في أغسطس ، ترك قارئ مجهول التعليق على مدونة تاو. اقترح محاولة حل فرضية Collatz "لجميع الأرقام تقريبًا" ، دون محاولة إثبات ذلك تمامًا.

قال تاو "لم أجب ، لكنه جعلني أفكر في هذه المهمة مرة أخرى".

وقد أدرك أن فرضية كولاتز كانت تشبه إلى حد ما الأنواع الخاصة من المعادلات - المعادلات التفاضلية الجزئية - التي ظهرت في أهم النتائج التي تلقاها خلال حياته المهنية.

المدخلات والمخرجات

يمكن استخدام المعادلات التفاضلية الجزئية (PDE) لنمذجة العديد من العمليات الفيزيائية الأساسية في الكون ، مثل تطور السوائل أو مرور موجات الجاذبية عبر الزمان والمكان. تظهر في المواقف التي يكون فيها الوضع المستقبلي للنظام - على سبيل المثال ، حالة البركة بعد خمس ثوانٍ من إلقاء الحجر عليها - يعتمد على مساهمة عاملين أو أكثر ، مثل اللزوجة وسرعة الماء.

يبدو أن PDEs المعقدة ليس لها علاقة تذكر بسؤال حسابي بسيط مثل فرضية Collatz.

ولكن أدرك تاو أن لديهم شيء مشترك. من الممكن استبدال القيم في PDE ، والحصول على قيم أخرى ، وتكرار العملية - وكل هذا لفهم الحالة المستقبلية للنظام. بالنسبة لكل LDPE معين ، يحتاج علماء الرياضيات إلى معرفة ما إذا كانت القيم الأولية عند الإدخال ستؤدي إلى قيم لا حصر لها في الإخراج ، أو ما إذا كانت المعادلات ستنتج دائمًا قيمًا نهائية ، بغض النظر عن القيم الأولية.


حقق تيرينس تاو ، المستوحى من التعليق على مدونته ، أكبر تقدم خلال عقود في دراسة فرضية كولاتز

بالنسبة إلى Tao ، كان هذا الهدف بنفس الترتيب كما إذا كنت تحصل دائمًا على نفس القيمة (1) من عملية Collatz ، بغض النظر عن القيمة الأولية. ونتيجة لذلك ، أدرك أن تقنيات دراسة PDEs يمكن أن تكون مناسبة لدراسة فرضية Collatz.

تستخدم إحدى الأساليب المفيدة بشكل خاص طريقة إحصائية لدراسة السلوك طويل المدى لعدد صغير من القيم الأولية (شيء مثل عدد صغير من التكوينات المائية الأولية في البركة) وتمثل النتيجة النهائية للسلوك طويل الأجل لجميع التكوينات الأولية الممكنة للبركة.

في سياق فرضية Collatz ، تخيل أننا بدأنا بعينة كبيرة من الأرقام. هدفنا هو دراسة كيفية تصرف هذه الأرقام عندما نطبق عملية Collatz عليها. إذا وصل 100٪ تقريبًا من الأرقام الموجودة في العينة إلى 1 أو قريب جدًا من 1 ، فيمكننا استنتاج أن جميع الأرقام تقريبًا ستتصرف كما هي.

ولكن حتى يتم تبرير هذا الاستنتاج ، من الضروري تحديد العينة بعناية. تشبه هذه المهمة تجميع عينة من الناخبين في الانتخابات الرئاسية الأمريكية. لأخذ عينات دقيقة من جميع السكان ، يجب استخدام النسب الموزونة للجمهوريين والديمقراطيين ، الرجال والنساء ، وهلم جرا.

الأرقام لها المعلمات "الديموغرافية" الخاصة بها. الأرقام الفردية والزوجية ، والأرقام قابلة للقسمة على 3 ، والأرقام التي تختلف عن بعضها البعض بطرق أكثر صعوبة. من خلال إنشاء مجموعة مختارة من الأرقام ، يمكنك التأكد من إدخال أنواع معينة من الأرقام فيها ، وعدم إدخالها ، وفقًا لمبدأ متوازن - وكلما اخترت الأوزان بشكل أفضل ، كلما كانت استنتاجاتك أكثر دقة حول جميع الأرقام بشكل عام.

خيار مرجح

كانت مهمة Tao أكثر تعقيدًا من مجرد فهم كيفية إنشاء مجموعة أولية من الأرقام بالأوزان الصحيحة. في كل خطوة من خطوات عملية Collatz ، تتغير الأرقام التي تعمل بها. تغيير واحد واضح هو أن جميع الأرقام في العينة تقريبا تتناقص.

تغيير آخر ، ربما أقل وضوحًا ، هو أن الأرقام قد تبدأ في التراكم في مجموعات. على سبيل المثال ، يمكنك البدء بتوزيع موحد جميل للأرقام من واحد إلى مليون. ولكن بعد خمسة تكرارات ، من المحتمل أن تركز الأرقام على عدة فواصل زمنية صغيرة من خط الأرقام. بمعنى آخر ، يمكنك البدء بعينة جيدة ، والتي سيتم تشويهها بشكل ميئوس منه في خمس خطوات.

وقال تاو "عادة ما تتوقع أن يكون التوزيع بعد التكرار مختلفًا تمامًا عن التوزيع الأولي". ومع ذلك ، كانت فكرته الأساسية هي كيفية إنشاء عينة من الأرقام التي تحتفظ في معظمها بأوزانها الأصلية في عملية Collatz.

على سبيل المثال ، تم وزن العينة الأولية من Tao بحيث لا تحتوي على أرقام قابلة للقسمة على ثلاثة ، لأن عملية Collatz لا تزال تزيل هذه الأرقام بسرعة كبيرة. بعض الأوزان الأخرى التي اختارها تاو أكثر صعوبة. إنه يفضل الأرقام التي يتم تقسيم الباقي منها على 3 في 1 ، ويغادر من الأرقام التي الباقي من القسمة على 3 هي 2.

نتيجة لذلك ، تحتفظ العينة التي يبدأ Tao بشخصيتها حتى بعد بدء عملية Collatz.

وقال سونداراراجان: "لقد وجد طريقة لمواصلة هذه العملية حتى بعد خطوات قليلة ، لا يزال من الواضح ما الذي يحدث". "عندما رأيت هذا العمل لأول مرة ، كنت سعيدًا للغاية وقررت أنه كان رائعًا".

استخدم Tao أسلوب تعيين الوزن الخاص به لإثبات أن جميع القيم الأولية تقريبًا - على الأقل 99٪ - وصلت في نهاية المطاف إلى قيمة قريبة جدًا من 1. وهذا سمح له باستنتاج أن 99٪ من القيم الأولية أكبر من كوادريليون ، نتيجة لذلك ، توصل إلى قيم أقل من 200.

هذه هي النتيجة الأقوى في تاريخ هذه الفرضية الطويل.

"هذا إنجاز كبير في معرفتنا بما يحدث في هذه المهمة" ، قال Lagarias. "هذه بالتأكيد أفضل نتيجة في وقت طويل للغاية."

من شبه المؤكد أن طريقة تاو غير قادرة على الوصول إلى الدليل الكامل لفرضية كولاتز. والسبب هو أن اختياره الأولي لا يزال مشوهاً قليلاً بعد كل خطوة. سيكون التشويه ضئيلًا ، بينما لا تزال العينة تحتوي على العديد من القيم المختلفة ، بعيدًا عن 1. ولكن في عملية Collatz ، تبدأ جميع الأرقام في العينة في الميل إلى واحد ، ويصبح التشوه الصغير أكبر - تمامًا مثل الخطأ البسيط في حساب نتيجة التصويت. قيمة كبيرة في حالة عينة كبيرة ، ولكنها تؤثر بشدة على النتيجة عندما تكون العينة صغيرة.

من المرجح أن يستند أي دليل على فرضية كاملة إلى نهج مختلف. نتيجةً لذلك ، يعد عمل Tao بمثابة انتصار وتحذير لكل المهتمين: بمجرد أن يبدو لك أنك قد استعدت لهذه المهمة ، فإنها تتلاشى.

وقال تاو: "يمكنك أن تقرب تعسفًا من فرضية كولاتز ، لكنها لا تزال غير قابلة للتحقيق".