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Also glaubten die Alten. Babylon

Dies ist eine Fortsetzung der Reihe, die ich über die Geschichte des Rechnens und Zählens konzipiert habe. Der erste Artikel über Ägypten ist hier .

Jetzt werde ich versuchen, ein wenig über eine andere große Zivilisation und Kultur der Vergangenheit zu sprechen. Das babylonische Königreich entstand zu Beginn des 2. Jahrtausends v. Chr., Es ersetzte Sumer und Akkad und existierte, bevor die Perser 539 v. Chr. Eroberten. Sie schrieben in Babylon, wie sich jeder erinnert, auf Tontafeln mit Keilschrift, die im Gegensatz zu Papier, Papyrus und ähnlichen Dingen sehr gut erhalten sind. Wir wissen also ziemlich viel über Babylon und seine Mathematik. Aber wir wissen natürlich nicht alles. Im Gegensatz zu den Griechen hinterließen die Babylonier keine genauen Algorithmen und klaren Erklärungen ihrer Tricks. Jetzt können wir nur genau erraten, wie die Babylonier in einem bestimmten Fall bei der Lösung des Problems gehandelt haben. In dieser Arbeit werde ich mich hauptsächlich auf die babylonische Arithmetik konzentrieren und dabei Geometrie, Algebra und Astronomie beiseite lassen.


Die Babylonier in der Mathematik bewegten sich, soweit wir wissen, viel weiter als die Ägypter, obwohl sie anscheinend nicht den Griechen gleichkamen. Sie wussten bereits, wie man quadratische Gleichungen löst, außerdem hatten sie einige Grundlagen der numerischen Algebra. Eine ihrer Errungenschaften war die Einführung des Positionssystems mit sechs Dezimalzahlen ohne Null. Dies bedeutet, dass der Umgang mit Zahlen viel flexibler und einfacher geworden ist als in Ägypten. Es ist nicht genau bekannt, woher ein solches System stammt. Eine Version besagt, dass eine Mischung aus 6-Dezimal- und 10-Dezimal-Systemen der Völker von Sumer und Akkad dazu geführt hat. Aber es gibt noch andere Gedanken zu diesem Thema.
Leider wurde dieses System (vielleicht würde ich zum Glück ihre Multiplikationstabelle nicht lernen wollen) nicht von anderen Völkern der Antike beherrscht, und ich musste auf die Ankunft des indischen Positionssystems warten. Es gibt jedoch noch einige Überlegungen zur babylonischen Mathematik in unserer Kultur: Das Teilen einer Minute durch sechzig Sekunden und einer Stunde durch 60 Minuten ist ein Echo des alten babylonischen Zahlensystems.

Zahlen und Zahlensystem





Das Bild zeigt, wie die Babylonier 1 und 10 bezeichneten. Mit ihrer Hilfe wurden alle Zahlen von 1 bis 59 angezeigt. Die Zahl 33 ist im Bild unten dargestellt. Dies ähnelt römischen und anderen nicht positionellen Zahlenschreibsystemen.



Die Nummer 60 wurde genau als Einheit bezeichnet. Am Anfang wurde es größer gezeichnet, aber später wurde dieser Unterschied beseitigt. Zahlen größer als 60, aber kleiner als 120 wurden wie folgt bezeichnet: Zuerst wurde die Zahl 60 geschrieben, dann der Rest der Zahl, kleiner als 60, durch ein Leerzeichen getrennt.
Nachfolgend finden Sie ein Beispiel für die Zahl 63.



Zahlen der Form K * 60 + n (1 <= K <60; n = 1) , 2, 3, ... 59) wurden analog wie im folgenden Beispiel bezeichnet.



Die Babylonier hatten keine 0, aber im Laufe der Zeit kamen sie auf die Verwendung eines Zeichens, das fehlende Teile anzeigte. Dieses Zeichen wurde nur für Ziffern innerhalb der Nummer verwendet und nicht am Ende platziert. Hier ist ein Beispiel auf dem Bild.



Das Problem ist, dass diese Zahl sowohl als 2 * 60 ^ 2 + 2 als auch als 2 * 60 ^ 5 + 2 * 60 ^ 3 gelesen werden kann. Sehr ungemütlich! Ein solches Aufzeichnungssystem hätte zu zahlreichen Fehlern führen müssen, finden Sie nicht? Die Babylonier versuchten, die Entladungen sehr sorgfältig zu trennen, um Verwirrung zu vermeiden (viel genauer als ich). In einigen Fällen sind Fehler jedoch sehr wahrscheinlich. Beispiele für große Nummern sind bekannt, wenn ein Teil der Nummer auf eine andere Zeile übertragen wurde. Versuchen Sie hier herauszufinden, was gemeint war! Die Anzahl der Fehler in den babylonischen Texten ist jedoch gering, obwohl sie vorbei sind.
In gleicher Weise wurden auch Fraktionen bezeichnet. Nur für die sehr beliebten 1/2, 1/3 und 2/3 gab es spezielle Abzeichen.
Überall werde ich babylonische Zahlen schreiben und die Ziffern durch ein Komma und den ganzzahligen Teil mit einem Semikolon vom Bruchteil trennen. Zum Beispiel: 177 ist 2,57 usw. Fehlende Ziffern, ich werde 0 ersetzen.

Berechnungen



Da das System der Babylonier positionell war, waren ihre Berechnungen unseren sehr ähnlich. Beim Subtrahieren und Addieren addierten und subtrahierten sie einfach die Zahlen Stück für Stück. Ein zusätzliches Plus war, dass sechs Dezimalstellen nicht positionell mit Einheiten und Zehner bezeichnet wurden. In einem solchen System ist das Subtrahieren und Addieren viel einfacher als in unseren abstrakten Notationen, in denen eine spezielle Additionstabelle gelernt werden muss.
Wie Sie sich vorstellen können, war die Multiplikation auch unserer ähnlich. Aber wie haben sie ihre riesige Multiplikationstabelle verwendet? Hat sie es auswendig gelernt? Sie hatten spezielle Tische vorbereitet, an denen sie Werke sehen konnten.
Viele Multiplikationstabellen stammen von den Babyloniern, aber sie enthielten nicht alle Produkte von „einwertigen“ Zahlen, wie unsere Dezimaltabellen. Ihre Tabellen begannen von 1 bis einschließlich 20, dann folgten die Arbeiten von 30, 40, 50. Wenn die Babylonier 35 mit 47 multiplizieren wollten, musste er 35 * 40 in der Tabelle und dann 35 * 7 finden und hinzufügen. Dies erforderte unnötige Maßnahmen, konnte aber auf diese Weise erheblich Platz sparen.
Divisionen als unabhängige Aktion wussten die Babylonier nicht. Stattdessen verwendeten sie die inverse Multiplikation. Dazu brauchten sie natürlich Tabellen mit inversen Zahlen. Wenn es zum Beispiel notwendig wäre, 1,15 durch 5 zu teilen, dann fand der Babylonier 1/5, was in unserem Datensatz 0; 12 wäre und 1,15 mit 0; 12 multipliziert. Wenn eine solche Zahl nicht durch einen endlichen hexadezimalen Bruch ausgedrückt wurde, suchten die Babylonier nach einer Zahl, die, multipliziert mit einem Divisor, eine Dividende ergab.
Zum Beispiel müssen Sie 22.45.0 durch 6.30 teilen. In diesem Fall wird die folgende Bedingung formuliert: „Was muss ich ab 6.30 Uhr nehmen, um 22.45.0 zu erhalten? Die Antwort ist 3.30. Natürlich verwendeten die Babylonier bei Bedarf ungefähre Werte.
Inverse Tabellen sahen ungefähr so ​​aus:

2dreißig
3zwanzig
4fünfzehn
512
610
87; 30
96; 40
125
fünfzehn4
Sechszehn3; 45
achtzehn3; 20
zwanzig3

Usw.
Zusätzlich zur Tabelle der inversen Werte hatten die Babylonier viele andere Tabellen: Quadrate, Würfel, quadratische und kubische Wurzeln und einige andere.

Aufgaben



Welche Aufgaben konnten die Babylonier lösen?
Zum Beispiel sind dies:
„10 Brüder und 1 Ganzes und 2/3 Silberminen. Bruder ist höher als Bruder. Wie viel höher es ist, weiß ich nicht. Der Anteil des achten Bruders beträgt 6 Schekel. Bruder über Bruder wie viel höher? „
Die Aufgabe besteht darin, die Summe zwischen den Brüdern so aufzuteilen, dass der Anteil jedes einzelnen eine arithmetische Folge ist, und den Unterschied dieser Folge zu ermitteln.
Natürlich haben die Babylonier auch das interessierende Problem gelöst. Einschließlich Aufgaben für Zinseszins:
„Er gab dem Wachstum einen Gur. In wie vielen Jahren wird er auf sich selbst wachsen? “
Der Prozentsatz wird mit 0; 12 pro Jahr angenommen. Einige Gelehrte haben vorgeschlagen, dass die Babylonier die Grundlagen der Logarithmen besaßen. Andere sind mit ihnen nicht einverstanden.
Ein weiteres Beispiel sind quadratische Gleichungen:
„Ich addiere die Fläche von zwei Quadraten und das ist 37,5. Die Seite eines Quadrats ist 2/3 der Seite des anderen Quadrats. 10 zur Seite des größeren hinzugefügt, 5 zur Seite des kleineren hinzugefügt. Diese Quadrate sind was? "
In den Tabellen werden diese Aufgaben mit einer Erläuterung ihrer Lösungen angegeben. Sie können sehen, dass die Babylonier quadratische Gleichungen und lineare Gleichungssysteme kannten.
Die Babylonier kannten auch die Quadratwurzeln, die durch ungefähre Formeln berechnet wurden:
„Die Diagonale des Quadrats beträgt 10. Finden Sie die Seite des Quadrats. 10 s 0; 42,30 multiplizieren 7; 5 ist die Seite. 7; 5 s 1; 25 multiplizieren. 10; 25 gibt es. "

Source: https://habr.com/ru/post/de380927/

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