🧗 📉 🧕 Was ist Feuer und warum brennt es? ☝🏾 👩🏿‍🤝‍👩🏽 💛

Ich habe kürzlich ein Feuer am Strand gemacht und festgestellt, dass ich nichts über das Feuer und seine Funktionsweise wusste. Zum Beispiel - was bestimmt seine Farbe? Also habe ich diese Frage studiert und hier ist, was ich gelernt habe.

Feuer

Feuer ist eine stabile Kettenreaktion mit Verbrennung , bei der es sich um eine exotherme Reaktion handelt, bei der ein Oxidationsmittel, normalerweise Sauerstoff, Kraftstoff, normalerweise Kohlenstoff, oxidiert, was zu Verbrennungsprodukten wie Kohlendioxid, Wasser, Wärme und Licht führt. Ein typisches Beispiel ist die Methanverbrennung:

CH ₄ + 2 O ₂ → CO ₂ + 2 H ₂ O.

Die durch die Verbrennung erzeugte Wärme kann verwendet werden, um die Verbrennung selbst anzutreiben. Wenn dies ausreicht und keine zusätzliche Energie zur Aufrechterhaltung der Verbrennung erforderlich ist, tritt ein Brand auf. Um das Feuer zu stoppen, können Sie Brennstoff (Brenner am Herd ausschalten), Oxidationsmittel (Feuer mit Spezialmaterial abdecken), Hitze (Feuer mit Wasser besprühen) oder die Reaktion selbst entfernen.

Brennen ist gewissermaßen das Gegenteil von Photosynthese , der endothermen Reaktion, bei der Licht, Wasser und Kohlendioxid eintreten und zu Kohlenstoff führen.

Es ist verlockend anzunehmen, dass bei der Holzverbrennung Kohlenstoff aus Zellulose verwendet wird . Anscheinend passiert jedoch etwas Komplexeres . Wenn ein Baum Hitze ausgesetzt wird, wird er einer Pyrolyse unterzogen (im Gegensatz zum Verbrennen, für das kein Sauerstoff benötigt wird), wodurch er in brennbarere Substanzen wie Gase umgewandelt wird. Diese Substanzen leuchten bei Bränden auf.

Wenn der Baum lange genug brennt, verschwindet die Flamme, aber der Verfall geht weiter und insbesondere der Baum leuchtet weiter. Schwelen ist eine unvollständige Verbrennung , die im Gegensatz zur vollständigen Verbrennung Kohlenmonoxid erzeugt .

Flamme

Flammen sind der sichtbare Teil des Feuers. Bei der Verbrennung tritt Ruß auf (ein Teil davon ist ein Produkt unvollständiger Verbrennung und ein Teil ist Pyrolyse), der erhitzt wird und Wärmestrahlung erzeugt . Dies ist einer der Mechanismen, die dem Feuer Farbe verleihen. Mit diesem Mechanismus erwärmt das Feuer auch seine Umgebung.

Wärmestrahlung entsteht durch die Bewegung geladener Teilchen: Alle Substanzen mit positiver Temperatur bestehen aus sich bewegenden geladenen Teilchen und geben daher Wärme ab. Ein häufigerer, aber weniger genauer Begriff ist die Schwarzkörperstrahlung. Diese Beschreibung bezieht sich auf ein Objekt, das die gesamte einfallende Strahlung absorbiert. Wärmestrahlung wird oft durch Strahlung des schwarzen Körpers angenähert, möglicherweise multipliziert mit einer Konstanten, weil sie eine nützliche Eigenschaft hat - sie hängt nur von der Temperatur ab. Die Strahlung des schwarzen Körpers tritt bei allen Frequenzen auf, und mit zunehmender Temperatur nimmt die Strahlung bei hohen Frequenzen zu. Die Spitzenfrequenz ist nach dem Wiener Verschiebungsgesetz proportional zur Temperatur .

Alltagsgegenstände geben ständig Wärme ab, die sich größtenteils im Infrarotbereich befindet . Seine Wellenlänge ist länger als die des sichtbaren Lichts, daher kann es ohne spezielle Kameras nicht gesehen werden . Das Feuer ist hell genug, um sichtbares Licht abzugeben, obwohl es genügend Infrarotstrahlung hat.

Ein weiterer Mechanismus für das Auftreten von Farbe in einem Feuer ist das Emissionsspektrum eines verbrannten Objekts. Im Gegensatz zur Schwarzkörperstrahlung weist das Emissionsspektrum diskrete Frequenzen auf. Dies liegt an der Tatsache, dass Elektronen Photonen mit bestimmten Frequenzen erzeugen, die von einem Zustand hoher Energie in einen Zustand niedriger Energie übergehen. Diese Frequenzen können verwendet werden, um die in der Probe vorhandenen Elemente zu bestimmen . Eine ähnliche Idee (unter Verwendung eines Absorptionsspektrums ) wird verwendet, um die Zusammensetzung von Sternen zu bestimmen. Das Emissionsspektrum ist auch für die Farbe von Feuerwerkskörpern und farbigem Feuer verantwortlich .

Die Form der Flamme auf der Erde hängt von der Schwerkraft ab. Wenn das Feuer die Umgebungsluft erwärmt, tritt Konvektion auf: Heiße Luft, die unter anderem heiße Asche enthält, steigt und kalt (sauerstoffhaltig), fällt, stützt das Feuer und gibt der Flamme ihre Form. Bei geringer Schwerkraft beispielsweise an einer Raumstation geschieht dies nicht. Feuer wird durch Sauerstoffdiffusion gespeist, daher brennt es langsamer und in Form einer Kugel (da die Verbrennung nur dort erfolgt, wo das Feuer mit sauerstoffhaltiger Luft in Kontakt steht. In der Kugel befindet sich kein Sauerstoff mehr).

Schwarzkörperstrahlung

Die Strahlung des schwarzen Körpers wird durch die quantenmechanische Planck-Formel beschrieben . Historisch gesehen war es eine der ersten Anwendungen der Quantenmechanik. Es kann wie folgt aus der quantenstatistischen Mechanik abgeleitet werden.

Wir berechnen die Häufigkeitsverteilung in einem Photonengas bei einer Temperatur T. Die Tatsache, dass sie mit der Häufigkeitsverteilung von Photonen übereinstimmt, die von einem vollständig schwarzen Körper gleicher Temperatur emittiert werden, folgt aus dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz. Die Idee ist, dass der schwarze Körper mit einem Photonengas ins Gleichgewicht gebracht werden kann (da sie die gleiche Temperatur haben). Ein Photonengas wird von einem schwarzen Impuls absorbiert, der auch Photonen emittiert. Für das Gleichgewicht ist es daher erforderlich, dass der schwarze Strahl für jede Frequenz, bei der er Strahlung emittiert, diese mit der gleichen Geschwindigkeit absorbiert, die durch die Frequenzverteilung im Gas bestimmt wird.

In der statistischen Mechanik ist die Wahrscheinlichkeit eines Systems im Mikrozustand s, wenn es sich bei einer Temperatur T im thermischen Gleichgewicht befindet, proportional zu

e ^{- β E _s,}

wobei E _s die Energie des Zustands s ist und β = 1 / k _B T oder thermodynamisches Beta (T ist die Temperatur , k _B -Boltzmann-Konstante ). Dies ist die Boltzmann-Distribution . Eine Erklärung dafür finden Sie im Terence Tao- Blogbeitrag . Dies bedeutet , dass die Wahrscheinlichkeit

P _s = (1 / die Z (beta)) * eine E ^{- beta E _s}

, wobei Z (β) - Normalisierungskonstante

der Z (beta) = Σ _s eine E ^{- beta E _s}

aufgerufen, um die Partitionsfunktion . Beachten Sie, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, wenn E _s um ± eine Konstante geändert wird (wodurch die Partitionsfunktion mit einer Konstanten multipliziert wird). Nur die Energien verschiedener Zustände unterscheiden sich.

Die Standardbeobachtung zeigt, dass eine statistische Summe bis zu einem konstanten Faktor die gleichen Informationen enthält wie die Boltzmann-Verteilung, sodass alles, was auf der Grundlage der Boltzmann-Verteilung berechnet werden kann, auch aus der statistischen Summe berechnet werden kann. Zum Beispiel beschreiben die Momente der Zufallsvariablen Energie

<E ^k > = (1 / Z) * Σ _s E ^k_s * e ^{- β E _s} = ((-1) ^k / Z) * ∂ ^k / ∂ β ^k * Z

und bis zur Lösung des Momentenproblems beschreibt dies die Boltzmann-Verteilung. Insbesondere ist die durchschnittliche Energie gleich

<E> = - ∂ / ∂β log Z.

Die Boltzmann-Verteilung kann zur Bestimmung der Temperatur verwendet werden. Es heißt, dass β in gewissem Sinne eine grundlegendere Größe ist, da es Null (was die gleiche Wahrscheinlichkeit aller Mikrozustände bedeutet; dies entspricht einer „unendlichen Temperatur“) oder negativ (in diesem Fall sind Mikrozustände mit hohen Energien wahrscheinlicher; dies entspricht) sein kann " negative absolute Temperatur ").

Um den Zustand eines Photonengases zu beschreiben, müssen Sie etwas über das Quantenverhalten von Photonen wissen. Bei der Standardquantisierung des elektromagnetischen Feldes kann das Feld als ein Satz von Quantenharmonischen Schwingungen betrachtet werden , von denen jede mit unterschiedlichen Winkelfrequenzen schwingtω. Die Energien der Eigenzustände eines harmonischen Oszillators werden durch eine nicht negative ganze Zahl n ∈ ℤ _{≥ 0 bezeichnet} , die als Anzahl der Photonen der Frequenz ω interpretiert werden kann. Die Energien der Eigenzustände (bis zu einer Konstanten):

E _n = n ℏ ω

wobei ℏ die reduzierte Planck-Konstante ist . Die Tatsache, dass wir nur die Anzahl der Photonen verfolgen müssen, folgt aus der Tatsache, dass Photonen zu Bosonen gehören . Dementsprechend ist für eine Konstante ω die Normalisierungskonstante

Z _ω (β) = ∑ [n = 0; ∞] e- ^nβℏω = 1 / (1 - e ^-βℏω )

Exkurs: falsche klassische Antwort

Die Annahme, dass n oder äquivalent die Energie E _n = n ℏ ω ganz sein muss, ist als Planck-Hypothese bekannt , und historisch gesehen war dies möglicherweise die erste Quantisierung (angewendet auf die Quantenmechanik) in der Physik. Ohne diese Annahme wird die obige Summe unter Verwendung klassischer harmonischer Oszillatoren zu einem Integral (wobei n proportional zum Quadrat der Amplitude ist), und wir erhalten eine „klassische“ Normalisierungskonstante:

Z ^cl_ω (β) = ∫ [0; ∞] e ^{- n β ℏ ω} dn = 1 / βℏω

Diese beiden Normalisierungskonstanten ergeben sehr unterschiedliche Vorhersagen, obwohl sich das Quanten-1 dem klassischen annähert, wenn βℏω → 0. Insbesondere ergibt die durch die Quantennormalisierungskonstante berechnete durchschnittliche Energie aller Photonen der Frequenz ω

<E> _ω = - d / dβ * log 1 / (1 - e - ^βℏω ) = ℏω / (e ^βℏω - 1)

Und die durch die klassische Normalisierungskonstante berechnete durchschnittliche Energie ist

<E> ^cl_ω = - d / dβ * log (1 / βℏω) = 1 / β = k _B T Die

Quantenantwort nähert sich der klassischen als ℏω → 0 (bei niedrigen Frequenzen), und die klassische Antwort entspricht dem Gleichverteilungssatz niiin der klassischen statistischen Mechanik, aber völlig im Widerspruch zu Experimenten. Sie sagt voraus, dass die durchschnittliche Energie der Schwarzkörperstrahlung bei einer Frequenz ω eine von ω unabhängige Konstante sein wird, und da Strahlung bei Frequenzen beliebiger Höhe auftreten kann, stellt sich heraus, dass der Schwarzkörper bei jeder Frequenz eine unendliche Energiemenge emittiert, was natürlich nicht der Fall ist. Dies ist das sogenannte " UV-Katastrophe ."

Die Quantennormalisierungskonstante sagt wiederum voraus, dass bei niedrigen Frequenzen (relativ zur Temperatur) die klassische Antwort ungefähr korrekt ist, aber bei hohen Frequenzen nimmt die durchschnittliche Energie exponentiell ab und die Abnahme ist bei niedrigeren Temperaturen groß. Dies liegt daran, dass ein Quantenharmonischer Oszillator bei hohen Frequenzen und niedrigen Temperaturen die meiste Zeit im Grundzustand verbringt und sich nicht so leicht auf die nächste Ebene bewegt, deren Wahrscheinlichkeit exponentiell geringer ist. Physiker sagen, dass der größte Teil dieses Freiheitsgrades (die Freiheit des Oszillators, mit einer bestimmten Frequenz zu schwingen) "eingefroren" ist.

Zustandsdichte und Plancksche Formel

Wenn man nun weiß, was bei einer bestimmten Frequenz ω passiert, muss man über alle möglichen Frequenzen summieren. Dieser Teil der Berechnungen ist klassisch und es sind keine Quantenkorrekturen erforderlich.

Wir verwenden die Standardvereinfachung, dass ein Photonengas in einem Volumen mit einer Seite der Länge L mit periodischen Randbedingungen eingeschlossen ist (das heißt, es wird wirklich ein flacher Torus T = ℝ ³ / L ℤ ^{3 sein} ). Mögliche Frequenzen werden nach den Lösungen der Gleichung der elektromagnetischen Wellen für stehende Wellen im Volumen mit den angegebenen Randbedingungen klassifiziert , die wiederum bis zu einem Faktor den Eigenwerten des Laplace-Δ entsprechen. Genauer gesagt, wenn Δ υ = λ υ ist, wobei υ (x) eine glatte Funktion T → ℝ ist, dann die entsprechende Lösung der elektromagnetischen Wellengleichungfür eine stehende Welle ist es

υ (t, x) = e ^{c √λ t} x (x)

und daher ist die entsprechende Frequenz

ω = c √ (-λ) , vorausgesetzt, dass λ normalerweise negativ ist und daher √λ normalerweise imaginär ist.

Eine solche Frequenz tritt schwach V _λ- mal auf, wobei V _λ der λ-Eigenwert des Laplace ist.

Wir vereinfachen die Bedingungen mit einem Volumen mit periodischen Randbedingungen, da es in diesem Fall sehr einfach ist, alle Eigenfunktionen des Laplace aufzuschreiben. Wenn der Einfachheit halber komplexe Zahlen verwendet werden, sind sie definiert als

υ _k (x) = e ^{i kx,}

wobei k = (k ₁ , k ₂ , k ₃ ) ∈ 2 π / L * ℤ ³, Der Wellenvektor . Der entsprechende Eigenwert des Laplace ist

λ _k = - | k | ² = - k ²₁ - k ²₂ - k ²_{3 Die}

entsprechende Frequenz ist

ω _k = c | k |

und die entsprechende Energie (ein Photon dieser Frequenz)

E _k = ℏ ω _k = ℏ c | k |

Hier approximieren wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung über mögliche Frequenzen ω _k , die genau genommen diskret sind, durch eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung und berechnen die entsprechende Zustandsdichteg (ω). Die Idee ist, dass g (ω) dω der Anzahl verfügbarer Zustände mit Frequenzen im Bereich von ω bis ω + dω entsprechen sollte. Dann integrieren wir die Zustandsdichte und erhalten die endgültige Normalisierungskonstante.

Warum ist diese Annäherung sinnvoll? Die vollständige Normalisierungskonstante kann wie folgt beschrieben werden. Für jede Wellenzahl k ∈ 2 π / L * ℤ ³ existiert eine Zahl n _k ∈ _{0 ≥ 0} , die die Anzahl der Photonen mit einer solchen Wellenzahl beschreibt. Die Gesamtzahl der Photonen n = ∑ n _{k ist} endlich. Jedes Photon addiert ω _k = ℏ c | k | zur Energie , was impliziert, dass

Z (β) = ∏ _k Z _{ω _k} (β) = ∏ _k 1 / (1 - e^{-βℏc | k |} )

über alle Wellenzahlen k wird daher sein Logarithmus als die Summe

log Z (β) = ∑ _k log 1 / (1 - e - ^{βℏc | k |} ) geschrieben,

und wir wollen diese Summe durch das Integral approximieren. Es stellt sich heraus, dass sich der Integrand bei vernünftigen Temperaturen und großen Volumina sehr langsam mit k ändert, so dass diese Annäherung sehr nahe kommt. Es funktioniert nur bei extrem niedrigen Temperaturen nicht mehr, bei denen Bose-Einstein-Kondensat auftritt .

Die Zustandsdichte wird wie folgt berechnet. Wellenvektoren können als einheitliche Gitterpunkte dargestellt werden, die im "Phasenraum" leben, dh die Anzahl der Wellenvektoren in einem bestimmten Bereich des Phasenraums ist proportional zu seinem Volumen, zumindest für Bereiche, die im Vergleich zum 2π / L-Gitterabstand groß sind. Tatsächlich beträgt die Anzahl der Wellenvektoren im Phasenraumbereich V / 8π ³ , wobei V = L ³ , unser begrenztes Volumen.

Es bleibt das Volumen des Phasenraumbereichs für alle Wellenvektoren k mit den Frequenzen ω _k = c | k | zu berechnen im Bereich von ω bis ω + dω. Dies ist eine Kugelschale mit der Dicke dω / c und dem Radius ω / c, daher beträgt ihr Volumen

2πω ² / c ³ dω

Daher ist die Dichte der Zustände für die Photonen

g (ω) d & ohgr; = V ω ² /2 π ² c ³ d & ohgr;

In der Tat, diese Formel zweimal unterschätzt: Wir haben zu berücksichtigen vergessen die Polarisation des Photons (oder, äquivalent, Spin Photon) , das die Anzahl von Zuständen verdoppelt für eine gegebene Wellenzahl. Die richtige Dichte:

g (ω) d & ohgr; = V ω ² / π ² c ³ dw

Tatsache , dass die lineare Dichte der Zustände in dem Volumen V nicht nur in einer flachen Torus arbeitet. Dies ist die Eigenschaft der Eigenwerte des Laplace nach Weils Gesetz . Dies bedeutet, dass der Logarithmus der Normalisierungskonstante

log Z = V / π ² c ist³ ∫ [0; ∞] ω ² log 1 / (1 - e ^{- βℏω} ) dω Die

Ableitung in Bezug auf β ergibt die durchschnittliche Photonengasenergie

<E> = - ∂ / ∂β log Z = V / π ² c ³ ∫ [0; ∞] ℏω ³ / (e ^βℏω - 1) dω

Für uns ist jedoch der Integrand wichtig, der die "Energiedichte"

E (ω) dω = Vℏ / π ² c ³ * ω ³ / (e ^βℏω - 1) dω ergibt

Beschreibung der Menge an Photonengasenergie, die von Photonen mit Frequenzen im Bereich von ω bis ω + dω ausgeht. Das Ergebnis ist eine Form der Planck-Formel, obwohl Sie ein wenig damit spielen müssen, um daraus eine Formel zu machen, die sich auf Schwarzkörperstrahlung und nicht auf Photonengase bezieht (Sie müssen durch V dividieren, um die Dichte pro Volumeneinheit zu erhalten, und etwas anderes tun, um zu erhalten Strahlungsmaß).

Die Planck-Formel weist zwei Einschränkungen auf. In dem Fall, in dem βℏω → 0 ist, tendiert der Nenner zu βℏω, und wir erhalten

E (ω) dω ≈ V / π ² c ³ * ω ² / β dω = V k _B T ω ² / π ² c ³ dω

Dies ist eine Variante des Gesetzes Rayleigh - Jeans, klassische Vorhersagen für Schwarzkörperstrahlung. Es wird ungefähr bei niedrigen Frequenzen durchgeführt, aber bei hohen weicht es von der Realität ab.

Zweitens tendiert der Nenner als βℏω → ∞ zu e ^βℏω , und wir erhalten

E (ω) dω ≈ V ℏ / π ² c ³ * ω ³ / e ^βℏω dω

Dies ist eine Variante der Wien-Näherung . Es wird ungefähr bei hohen Frequenzen durchgeführt.

Diese beiden Einschränkungen sind historisch vor Plancks Formel selbst aufgetreten.

Wiens Verdrängungsgesetz

Diese Art von Planck-Formel reicht aus, um herauszufinden, bei welcher Frequenz die Energie E (ω) bei der Temperatur T maximal ist (und welche Farbe der schwarze Körper daher bei der Temperatur T haben wird). Wir nehmen die Ableitung in Bezug auf ω und stellen fest, dass es notwendig ist, Folgendes zu lösen:

d / dω ω ³ / (e ^βℏω - 1) = 0

oder dass dasselbe (unter Verwendung der logarithmischen Ableitung)

3 / ω = βℏe ^βℏω / (e ^βℏω - 1) )

Sei ζ = βℏω, dann schreiben wir die Gleichung

3 = ζ e ^ζ / (e ^ζ - 1)

oder

3 - ζ = 3e ^{--ζ um}

Mit dieser Form der Gleichung ist es leicht, die Existenz einer eindeutigen positiven Lösung ζ = 2.821 ... zu zeigen, vorausgesetzt, dass ζ = βℏω und die maximale Frequenz

ω _max = ζ / βℏ = ζ k _B / ℏ * T

Dies ist das Wien-Verschiebungsgesetz für Frequenzen. Umschreiben unter Verwendung Wellenlänge 2πc = l / ω _max

2πc / ω _max = 2πcℏ / ζ k _B T = b / T

Wo 2πcℏ = b / ζ k _B ≈ 5,100 · 10 ^-3 mK (Kelvin-Meter). Diese Berechnung wird normalerweise auf etwas andere Weise durchgeführt, wobei zuerst die Energiedichte E (ω) dω in Wellenlängen ausgedrückt wird und dann das Maximum der resultierenden Dichte erhalten wird. Da dω proportional zu dl / l ^{2 ist} , ändert sich ω ³ zu ω⁵ , und ζ wird durch eine eindeutige Lösung ζ '

5 - ζ' = 5e ^{-ζ 'ersetzt,}

die ungefähr ^4,965 entspricht. Dies ergibt die maximale Wellenlänge

l _max = 2πcℏ / ζ 'k _B T = b' / T,

wobei

b '= 2πcℏ / ζ' k _B ≈ 2.898 * 10 ^-3 mK

Dies ist das Wien-Verschiebungsgesetz für Wellenlängen.

Die Temperatur eines brennenden Baumes beträgt ungefähr 1000 K, und wenn wir diesen Wert einsetzen, erhalten wir eine Wellenlänge von

2πc / ω _max = 5,100 * 10 ^-3 mK / 1000 K = 5,100 * 10 ^-6 m = 5100 nm

und

l _max = 2,898 * 10 & supmin; ³ mK / 1000 K = 2,898 ^· 10^-6 m = 2898 nm

Zum Vergleich liegen die Wellenlängen des sichtbaren Lichts im Bereich von 750 nm für Rot bis 380 nm für Violett. Beide Berechnungen zeigen, dass der größte Teil der Strahlung des Baumes im Infrarotbereich auftritt, diese Strahlung erwärmt sich, scheint aber nicht.

Die Oberflächentemperatur der Sonne beträgt jedoch etwa 5800 K, und

wenn wir sie in die Gleichungen einsetzen, erhalten wir 2πc / ω _max = 879 nm

und

l _max = 500 nm,

was bedeutet, dass die Sonne im gesamten sichtbaren Bereich viel Licht emittiert (und daher weiß erscheint). . In gewissem Sinne funktioniert dieses Argument rückwärts: Es ist möglich, dass das sichtbare Spektrum im Verlauf der Evolution so wurde, weil die Sonne bei bestimmten Frequenzen das meiste Licht emittiert.

Und jetzt eine ernstere Berechnung. Die Temperatur einer nuklearen Explosion erreicht 10 ⁷ K, was mit der Temperatur in der Sonne vergleichbar ist. Ersetzen Sie diese Daten und erhalten Sie

2πc / ω _max = 0,51 µm

und

l _max = 0,29 µm.

Dies ist die Wellenlänge der Röntgenstrahlung . Die Planck-Formel hört nicht bei einem Maximum auf, daher geben nukleare Explosionen Strahlung mit kürzeren Wellenlängen ab - nämlich Gammastrahlen . Eine nukleare Explosion erzeugt diese Strahlung nur aufgrund ihrer Temperatur - aufgrund ihrer nuklearen Natur erzeugt eine Explosion beispielsweise Neutronenstrahlung .