Nicht so einfach mit einem Quantencomputer

D-Waves Computer, den sie Quanten nennt

Seit Anfang der 80er Jahre des letzten Jahrhunderts wurden Anstrengungen in Richtung eines Quantencomputers unternommen - ein Jahrhundert großer wissenschaftlicher Errungenschaften, unter denen QM an erster Stelle steht (obwohl es sich ohne SR nicht entwickelt hätte). Quantum Computing basiert auf dem Konzept der Verschränkung (Quantenverschränkung). Die vorherrschenden und weit verbreiteten Ansichten zu diesem Thema sind jedoch meiner Meinung nach zu weit von dem entfernt, was sich eigentlich streng aus CM ergibt. Der Artikel befasst sich mit dem Verwirrungsparadigma, und hier wird das Problem des Quantencomputers betrachtet. Der Hauptinhalt dieses Artikels ist die Kritik an den wissenschaftlichen Grundlagen des Traums vom Heiligen Gral des Internetzeitalters.

Über Qubits für diejenigen, die nicht im Thema sind

Das ursprüngliche Konzept ist ein Qubit (Quantenbit) - ein elementarer Informationsträger. Grundsätzlich kann jedes Quantenobjekt als physikalische Implementierung zwei Grundzustände haben, die mit bezeichnet sind $$$| 0 \ rangle$ und $$$| 1 \ rangle$ . Für die Rolle eines Qubits ist beispielsweise ein Photon mit einer von zwei senkrechten Polarisationen oder ein Elektron mit einer von zwei entgegengesetzten Spinrichtungen geeignet. Aus mathematischer Sicht sind Zustände Vektoren, die mit komplexen Zahlen multipliziert und auch addiert werden können. Also zusätzlich zu den Grundbedingungen $$$| 0 \ rangle$ und $$$| 1 \ rangle$ ein Qubit kann sich in einem Quantenzustand befinden, die in einem regulären Bit 0 und 1 ähnlich sind

$$

$$| x \ rangle = c_0 \ cdot | 0 \ rangle + c_1 \ cdot | 1 \ rangle \ qquad \ qquad (1)$$

wo $$$c_0, c_1$ - alle komplexen Zahlen (insbesondere reelle Zahlen). In diesem Fall ändert sich der physikalische Zustand des Qubits nicht, wenn die Koeffizienten $$$c_0, c_1$ mit der gleichen Zahl multiplizieren $$$a \ neq 0$ . Daher der Vektor $$$| x \ rangle$ kann normalisiert werden, d. h. einen Faktor wählen $$$a \ in {\ mathbb C}$ damit die neuen Chancen $$$c_j '= ac_j$ die Bedingung erfüllen $$$| c_0 '| ^ 2 + | c_1' | ^ 2 = 1$ . Dann der Vektor $$$| x '\ rangle = c_0' \ cdot | 0 \ rangle + c_1 '\ cdot | 1 \ rangle$ normalisiert oder einfach genannt.

Die physikalische Bedeutung von Zustand (1), die als Überlagerung von Grundzuständen bezeichnet wird, ist wie folgt. Wenn der Vektor $$$| x \ rangle$ Essenzeinheit dann Zahlen $$$| c_0 | ^ 2$ und $$$| c_1 | ^ 2$ Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass bei der Messung der Zustand des Qubits erhalten wird $$$| 0 \ rangle$ und $$$| 1 \ rangle$ entsprechend. Nach der Messung bleibt das Qubit in dem Grundzustand, der sich als gemessen herausstellte. Nur äußerer Einfluss kann daraus hervorgehen. Wir können also sagen, dass Qubit im normalisierten Zustand (1) mit Wahrscheinlichkeit ist $$$| c_0 | ^ 2$ gleich 0 und mit Wahrscheinlichkeit $$$| c_1 | ^ 2$ gleich 1. Mit einem regulären (klassischen) Bit kann so etwas nicht passieren. Überlagerung ist ein im Wesentlichen Quanteneffekt! Der Begriff "grundlegend" bezieht sich auf Bedingungen $$$| 0 \ rangle$ und $$$| 1 \ rangle$ bedeutet, dass jeder andere Qubit-Zustand für einige Zahlen durch ihre Überlagerung im Sinne von (1) ausgedrückt werden kann $$$c_0, c_1$ (definiert bis zur Verhältnismäßigkeit).

Das Arbeitsregister eines Quantencomputers wird als eine Menge von betrachtet $$$n$ Qubits, die irgendwie miteinander verbunden sind, sind verwickelt . Um seine grandiosen Möglichkeiten zu realisieren, die Zahl $$$n$ sollte groß genug sein, sagen wir $$$n> 100$ . Lassen Sie jede Qubit-Nummer $$$j$ im Register ist in seinem Zustand $$$| x_j \ rangle$ wo $$$x_ {j} \ in \ {0,1 \}$ . Wenn wir eine Reihe von betrachten $$$n$ Qubits als Quantenobjekt, dann kann sein Zustand durch eine Menge von Vektoren beschrieben werden $$$| x_1 \ rangle | x_2 \ rangle ... | x_n \ rangle$ was kurz angezeigt wird $$$| x_1x_2 ... x_n \ rangle$ . Der Begriff "Tensorprodukt" und Notation wie $$$| x_1 \ rangle \ otimes ... \ otimes | x_n \ rangle$ das kann viele Leser von Artikeln über Quantencomputer verwirren. Es kann empfohlen werden, das Symbol einfach zu ignorieren. $$$\ otimes$ glauben

$$

$$| x_1 \ rangle \ otimes | x_2 \ rangle \ otimes ... \ otimes | x_n \ rangle = | x_1x_2 ... x_n \ rangle \ qquad \ qquad (2)$$

Es gibt zwar keine Verwirrung - nur eine Reihe unabhängiger Qubits, obwohl sie als ein einzelnes Objekt betrachtet werden. Eine Verschränkung wird auftreten, wenn wir die Überlagerung von Zuständen (2) in Betracht ziehen, d. H. Vektoren (genauer Tensoren) von Registerzuständen der Form

$$

$$\ sum_ {j = 1} ^ n c_j \ cdot | x_ {1j} x_ {2j}, ..., x_ {nj} \ rangle \ qquad \ qquad (3)$$

wo $$$c_j$ - komplexe Zahlen $$$| x_ {kj} \ rangle$ - Zustandsvektor $$$k$ - Qubit, $$$x_ {kj} \ in \ {0,1 \}$ . Die Menge aller Arten von Vektoren der Form (3) wird als Tensorprodukt bezeichnet $$$n$ Zustandsräume einzelner Qubits, obwohl es durchaus möglich ist, auf das Wort „Tensor“ zu verzichten (es kommt im Dirac-Grundbuch „Prinzipien der Quantenmechanik“ nie vor).

Ein guter Artikel wird für eine erste, aber genaue und nicht populärwissenschaftliche Einführung in dieses Thema empfohlen, und die Absätze 2, 3, 4, 5 und 7.1 sind ausreichend. Absatz 6 kann unbeschadet des Verständnisses der Hauptideen weggelassen werden. Nachdem Sie diese Einführung gelesen haben, fällt es Ihnen leichter, damit umzugehen, und die Darstellung der Grundlagen der Quantenmechanik kann vollständig übersprungen werden.

Quantenverschränkung

Per Definition ist Zustand (3) verwickelt, wenn dieser Vektor nicht zu einem Produkt erweitert werden kann $$$| A_1 \ rangle | A_2 \ rangle ... | A_n \ rangle$ Zustandsvektoren einzelner Qubits. In diesem Fall kann sich die Auswirkung auf eines der Qubits in den Zuständen einiger anderer Qubits des Registers widerspiegeln. Beachten Sie, dass jeder Vektor $$$| A_j \ rangle$ Im Allgemeinen handelt es sich also um eine Überlagerung grundlegender $$$| A_j \ rangle = c_ {j0} | 0 \ rangle + c_ {j1} | 1 \ rangle$ für einige Zahlen $$$c_ {j0}, c_ {j1}$ .

Betrachten Sie zur Veranschaulichung den Fall von zwei Qubits. Ihr Allgemeinzustand $$$| 01 \ rangle$ nicht verwirrend, wie $$$| 01 \ rangle = | 0 \ rangle | 1 \ rangle$ . Wenn wir beispielsweise das zweite Qubit messen, finden wir es in einem Zustand $$$| 1 \ rangle$ . Der erste bleibt im selben Zustand. $$$| 0 \ rangle$ d.h. die Messung des zweiten beeinflusste ihn nicht. Lassen Sie jetzt ein paar Qubits in einem Zustand sein $$$| 01 \ rangle + | 10 \ rangle$ . Es ist verwirrend, weil Dieser Vektor kann nicht als Produkt dargestellt werden $$$| A_1 \ rangle | A_2 \ rangle$ (leicht zu überprüfen).

Bei der Messung des zweiten Qubits sind wir gleich wahrscheinlich $$$0.5$ finde ihn fähig $$$| 0 \ rangle$ oder $$$| 1 \ rangle$ . Wenn das zweite Qubit im Zustand erkannt wird $$$| 0 \ rangle$ , dann bedeutet dies, dass das verwickelte Paar in gelandet ist $$$| 10 \ rangle$ . Dementsprechend fiel das erste Qubit automatisch in einen Zustand $$$| 1 \ rangle$ . Wenn das zweite Qubit im Zustand gemessen wird $$$| 1 \ rangle$ dann landete das Paar in $$$| 01 \ rangle$ . Folglich konnte das erste Qubit $$$| 0 \ rangle$ in dem Moment, als wir die Sekunde gemessen haben. Das Messen des Zustands eines von zwei verschränkten Qubits wirkt sich somit sofort auf den Zustand des zweiten aus. In diesem Fall wird der anfängliche allgemeine Zustand eines Qubit-Paares zerstört, was dramatisch als Kollaps der Wellenfunktion bezeichnet wird (der Begriff „Wellenfunktion“ kann als Synonym für „Zustandsvektor“ angesehen werden, obwohl zwischen ihnen immer noch ein formaler Unterschied besteht).

Ein Beispiel für verschränkte Qubits sind die Elektronen eines Atoms oder eines Orbitals, die in Spinzuständen betrachtet werden. Das Pauli-Prinzip verbietet zwei Elektronen ein gemeinsames Energieniveau, Orbital- und Spinmoment. Angenommen, für ein Elektron war es möglich, den Spin zu messen, und zuvor befand er sich in einer Überlagerung von Spinzuständen. Dann erhält das zweite Elektron auf demselben Orbital sofort einen ihm gegenüberliegenden Spin, obwohl es sich zuvor ebenfalls in Überlagerung befand. Auch wenn das zweite Elektron bei der Messung des ersten Elektrons nicht betroffen war!



Die Abbildung zeigt die Messung eines Qubits in einem 6-Qubit-Quantenregister

Über den Schmetterling, der die Galaxie erschüttert

All dies folgt wirklich aus der Quantenmechanik, aber ... jedes mathematische Modell ist nur begrenzt anwendbar. Für die Anwendbarkeit von QM müssen Qubits offensichtlich wirklich in einem einzigen Quantensystem miteinander verbunden sein. Es ist schwierig, eine strenge Aussage zu machen, obwohl intuitiv alles klar ist.

Angenommen, Qubits sind Photonen in polarisierten Zuständen. Offensichtlich sollten sie als einzelnes Quantensystem Teil eines einzelnen verbundenen Feldes sein, was bei seiner Verteilung so bleibt. Wenn sich jedes der Photonen in einem separaten Wellenpaket befindet und sie räumlich voneinander getrennt sind (z. B. zwischen Paketen von ~ 1 m mit Paketgrößen von ~ 1 mm), lohnt es sich kaum, über ihre tatsächliche Komplexität zu sprechen.

Wir können formal Vektoren allgemeiner Zustände der Form (3) betrachten, aber dies wird unsere Photonen nicht verwirren. Physikalische Vektoren a 'priori entsprechen nur Vektoren der Form (2), die die Tatsache ausdrücken, dass sich jedes Photon in seinem "persönlichen" Polarisationszustand befindet, ohne irgendeine Verbindung mit anderen. Aus der Quantenmechanik folgt nicht, dass Überlagerungen (3) solcher „allgemeinen Zustände“ mit der physikalischen Realität zusammenhängen. Dies ist eine Frage zur Anwendbarkeit des mathematischen Modells, auf die es selbst keine Antwort geben wird.

Quantenmagie-Enthusiasten glauben jedoch im Wesentlichen, dass jede Menge homogener Quantenobjekte, die formal zu etwas Ganzem kombiniert werden, automatisch ein Quantensystem mit einem Zustandsraum bildet, der aus Vektoren der Form besteht (3). Da es unter diesen verwirrende Zustände gibt, können diese Objekte verwirrend sein. Sie müssen nur herausfinden, wie ... oder wo Sie es bereits verwirrend bekommen. Die Dogmatisierung dieser Idee wurde offenbar von Mathematikern mit ihrer Vorliebe für formale Konstruktionen erheblich erleichtert. Quantum Computing ist ein riesiges Feld für die Anwendung mathematischer Anstrengungen, auf denen schöne Ergebnisse wie der Shore-Algorithmus wachsen! Gleichzeitig bezeichnet jeder KM als eine angeblich verlässliche Grundlage für seinen Glauben.

Kehren wir mit ein paar Qubits in einem verwirrten Zustand zum Beispiel zurück $$$| 01 \ rangle + | 10 \ rangle$ . Angenommen, sie sind so weit voneinander entfernt, dass eine physische Interaktion (direkt und durch andere Körper) ausgeschlossen ist. Befürworter der Quantenmagie glauben, dass, wenn die Expansion durch Trägheit ohne äußeren Einfluss erfolgt, dieser verschränkte Zustand unabhängig vom Abstand zwischen den Qubits so bleibt. Formal hindert uns nichts daran, dies zu denken, sondern was tatsächlich passiert, nachdem wir das erste Qubit gemessen und in einem Zustand gefunden haben $$$| 1 \ rangle$ , z.B? Nach dem magischen Paradigma wird ein Paar Qubits dazu in der Lage sein $$$| 10 \ rangle$ . Dies würde jedoch bedeuten, dass wir durch Messen des 1. Qubits automatisch das 2. beeinflussen. Auch wenn er sich auf der anderen Seite der Galaxie befindet! Die Absurdität einer solchen Schlussfolgerung stört die wissenschaftliche Gemeinschaft nicht, die die EPR-Wunder akzeptiert, wie sie angeblich formal aus der Quantenmechanik abgeleitet sind.

Es ist vernünftiger anzunehmen, dass die Messung des 1. Qubits das 2. Qubit nicht beeinflusst, sondern nur ihren Gelenkzustand zerstört, ohne dass dies Konsequenzen für das 2. Qubit hat. Er wird in einem individuellen Zustand bleiben $$$| 0 \ rangle + | 1 \ rangle$ das war ursprünglich in. Unter Berücksichtigung dieser Sichtweise sollten wir einfach das Konzept der Messung eines Verbundsystems klarstellen. Das heißt: Seine Messung (die einen Sprung in den Eigenzustand der gemessenen Größe bewirken kann) ist nur eine solche Wechselwirkung mit einem makroskopischen Objekt, die alle Subsysteme betrifft, deren Kombination dieses System erhalten wird.

Die absurden Schlussfolgerungen aus dem Pseudoparadoxon des EPR, aus denen die Quantenmagie besteht, zwingen uns daher, das Konzept der Störung zu klären. Stattdessen geben sie ihm eine absolute Bedeutung, als ob das Flattern eines Schmetterlingsflügels als Störung des Universums angesehen würde ... obwohl dies aus philosophischer Sicht der Fall ist. Natürlich widerlegen diese Überlegungen das EPR-Paradigma nicht. Das Maß der Wahrheit ist nur ein Experiment. Alan Aspes grundlegende Experimente werden in Bezug auf die Quantenmechanik kritisiert. Es gibt ernsthafte Gründe zu der Annahme, dass sie falsch interpretiert wurden.

Eine magische Verschränkung ist notwendig, um Qubits zu kontrollieren. Offensichtlich kann eine Person mit einzelnen Qubits im Register interagieren, indem sie paarweise mit ihnen verschränkte, räumlich getrennte Objekte oder Qubits in makroskopische Entfernungen bewegt, während die Verschränkung zwischen ihnen aufrechterhalten wird. Andernfalls ist das Lesen / Schreiben von Daten in Quantenregister kaum möglich. Unabhängig von der Frage nach der physikalischen Realität der Verschränkung im Sinne von EPR hat die Theorie der Quantencomputer ihre eigenen Schwierigkeiten. Betrachten Sie das spezifische Problem des Quantencomputers, das vielen Experten bekannt ist, aber im Allgemeinen nicht die richtige Aufmerksamkeit auf sich zieht. Es ist mit der Symmetrie / Antisymmetrie der Gelenkzustände identischer Teilchen verbunden.



Produkt erfolgloser menschlicher Teleportation (Screenshot aus dem Film "Fly")

Quantenteleportation

Der EPR basiert auf der Idee der Teleportation, d. H. Einem Verfahren zum Übertragen des Zustands von Qubits auf andere Qubits, die sich in beliebiger Entfernung befinden. Sie können über diese Technologie in Abschnitt 4.2.2 des Artikels lesen, auf den ich verweisen werde, wobei nur Absätze angegeben werden. Die Beschreibung des Algorithmus folgt genau Abschnitt 4.1.

Ein kleiner Exkurs. Die Theorie des Quantencomputers geht von der Hypothese aus, dass jede einheitliche Transformation des Zustandsraums eines Quantenregisters durch die Wirkung auf seine Qubits (alle zusammen oder getrennt) physikalisch realisiert werden kann. Die Definition einer einheitlichen Transformation ist in Abschnitt 4 (Quantum Gates) angegeben. Die Bedingung der Einheitlichkeit liegt der Quantenmechanik zugrunde. Beim Quantencomputing werden solche Transformationen als Quantentore (Gate) bezeichnet, was auf eine Verbindung mit der Schaltung hinweist. Im Wesentlichen handelt es sich hierbei um reversible Logikschaltungen, die Daten in Registern konvertieren. Sie wirken nur auf Qubits und nicht auf Bits. Einige Quantentore haben jedoch keine klassischen Analoga, beispielsweise die 1-Qubit-Hadamard-Transformation $$$H$ (Absatz 4.1.1).

Zum Beispiel ein Ventil $$$C_ {not}$ es CONTROLLED-NOT wirkt auf ein Paar Qubits, wie der Klassiker $$$C_ {not}$ für ein paar Bits. Auch Quanten $$$C_ {not}$ hält Zustandsüberlagerungen, d.h.

$$

$$C_ {not} \ bigl (c_ {00} | 00 \ rangle + c_ {01} | 01 \ rangle + c_ {10} | 10 \ rangle + c_ {11} | 11 \ rangle \ bigr) = c_ {00 } | 00 \ rangle + c_ {01} | 01 \ rangle + c_ {10} | 11 \ rangle + c_ {11} | 10 \ rangle)$$

Zurück zur Teleportation. Lassen Sie Alice und den entfernten Bob ein Qubit von einem verwickelten Paar im allgemeinen Zustand haben $$$| \ psi_0 \ rangle = | 00 \ rangle + | 11 \ rangle$ . Alice möchte Bob zu einem anderen Qubit teleportieren, der sich in einem Zustand befindet $$$| \ varphi \ rangle = a | 0 \ rangle + b | 1 \ rangle$ . Der Zustand der Menge dieser Qubits kann durch einen Vektor angegeben werden

$$

$$| \ varphi \ psi_0 \ rangle = \ bigl (a | 0 \ rangle + b | 1 \ rangle \ bigr) \ bigl (| 00 \ rangle + | 11 \ rangle \ bigr) = a | 000 \ rangle + a | 011 \ rangle + b | 100 \ rangle + b | 111 \ rangle \ qquad (4)$$

Das erste Qubit in den Top Drei $$$| xyz \ rangle$ vorbehaltlich der Teleportation sind das zweite und dritte ein kompliziertes Paar von Alice- bzw. Bob-Qubits. Alice legt ein Ventil an einen Vektor an (4) $$$C_ {not} \ otimes I$ , Und danach $$$H \ otimes I \ otimes I$ wo $$$I$ - Identitätsumwandlung. Tatsächlich handelt sie $$$C_ {not}$ in die ersten beiden Qubits, die ihr zur Verfügung stehen, und die dritte bleibt unverändert. Dann wird das Ventil auf das erste Qubit angewendet $$$H$ , während die anderen beiden sich nicht berühren.

Dann misst Alice die ersten beiden Qubits, die sich in einem der Zustände befinden $$$| xy \ rangle$ wo $$$x, y \ in \ {0,1 \}$ . Dementsprechend geht das mit ihnen verwickelte Bob-Qubit in einen der vier Zustände über, die in der Tabelle am Ende von Abschnitt 4.2.2 angegeben sind. Alice sendet das während der Messung empfangene Bitpaar über eine Standard-Internetverbindung an Bob. Abhängig von den erhaltenen Werten legt er eines der Ventile an sein Qubit an $$$I, x, y, z$ gemäß der Tabelle am Ende von Abschnitt 4.2.2. Aktion $$$X, Y, Z$ beschrieben am Anfang von Abschnitt 4.1.

Infolge all dieser Manipulationen gerät Bobs Qubit in einen Zustand $$$a | 0 \ rangle + b | 1 \ rangle$ das Qubit, das Alice teleportieren wollte. In diesem Fall brach der Zustand des letzteren zusammen, weil staatliches Klonen ist unmöglich (bewiesen). Somit erfolgte eine Übertragung des Qubit-Zustands, und die dafür erforderlichen Informationen wurden auf übliche Weise übertragen.

Kann man das Teleportation nennen? Selbst wenn es möglich wäre, den Quantenzustand eines makroskopischen Objekts zu übertragen, würde die Reproduktion an einem anderen Ort ein physikalisch identisches Objekt erfordern. Zunächst muss dieses "Leerzeichen" am Ankunftsort platziert werden. Fantasien über Teleportationen als Mittel zur Überwindung monströser interstellarer Entfernungen haben daher keine Grundlage. Darüber hinaus würde dies für eine Person, die einen solchen „Nulltransport“ durchlaufen hat, einfach den Tod bedeuten. Eine Kopie der ursprünglichen Person, die am Ankunftsort entstanden ist, wäre eine andere Person, wenn auch mit denselben Erinnerungen (siehe den Film "Moon 2112" und den Artikel ). In jedem Fall bleibt die Einschränkung der Bewegungen durch die Lichtgeschwindigkeit gültig, weil Das Verfahren der Quantenteleportation beinhaltet die Übertragung von Informationen durch Signale.

Anscheinend kann nicht einmal der Zustand eines Qubits teleportiert werden. Der Grund ist, dass es kaum möglich ist, ein Paar verwickelter Qubits zu erzeugen, die voneinander entfernt sind. Angenommen, dies ist möglich.

Nach der Quantenmechanik werden Teilchen in zwei Klassen unterteilt: Bosonen und Fermionen. Die ersteren umfassen Photonen und die letzteren sind Elektronen. Wenn ein Satz von $$$n$ Da ein Boson ein einzelnes Quantenobjekt bildet, müssen die dafür zulässigen Zustandsvektoren (3) bezüglich einer Permutation von Teilchen symmetrisch sein. Dies bedeutet, dass wenn in jedem Begriff $$$| x_ {1j} x_ {2j} ... x_ {nj} \ rangle$ Ordnen Sie die Faktoren gleich neu an, dann sollte sich der Vektor (3) nicht ändern. Für eine Reihe von $$$n$ Die zulässigen Zustände der Fermionen (3) müssen in Bezug auf Permutationen antisymmetrisch sein. Dies bedeutet, dass sich der Vektor (3) für eine gerade Permutation nicht ändert, wenn sich die Faktoren in jedem Term auf die gleiche Weise neu anordnen, für die ungerade Permutation jedoch das Vorzeichen. Es ist der Unterschied im Verhalten beim Umordnen von Sätzen identischer Partikel, der sie in Bosonen und Fermionen unterteilt.

Somit kann sich ein Paar verwickelter Qubits, die Bosonen sind, in Zuständen befinden $$$| 00 \ rangle$ , $$$| 11 \ rangle$ , $$$| 01 \ rangle + | 10 \ rangle$ kann aber nicht können $$$| 10 \ rangle$ weil wenn transponiert, geht es in $$$| 01 \ rangle$ . Ein Paar Qubits, die Fermionen sind, können sich nicht in Zuständen befinden $$$| 00 \ rangle$ und $$$| 11 \ rangle$ weil bei der Transposition (ungerade Permutation) ändern sie sich nicht. Ein Paar Fermionen kann sich in einem (verwirrten) Zustand befinden $$$| 01 \ rangle- | 10 \ rangle$ weil wenn transponiert, geht es in $$$| 10 \ rangle- | 01 \ rangle = - (| 01 \ rangle- | 10 \ rangle)$ (d. h. ändert das Vorzeichen).

Die CONTROLLED-NOT-Transformation bewahrt nicht die Symmetrie und Antisymmetrie von Zuständen:

$$$C_ {not} (| 11 \ rangle) = | 10 \ rangle$ - das Bild eines symmetrischen Vektors ist nicht symmetrisch und nicht antisymmetrisch;

$$$C_ {not} (| 10 \ rangle- | 01 \ rangle) = | 11 \ rangle- | 01 \ rangle$ - Das Bild des antisymmetrischen Vektors ist nicht symmetrisch und nicht antisymmetrisch.

Also die Transformation anwenden $$$C_ {not}$ Für ein Paar verwickelter Bosonen erhalten wir einen Zustand, in dem dieses Paar nicht sein kann. Ebenso bewerben $$$C_ {not}$ zu einem Paar verwickelter Fermionen erhalten wir einen Zustand, in dem sie nicht zusammen sein können. Daher jeder Versuch einer physischen Implementierung $$$C_ {not}$ wird dazu führen, dass der Zustand von Alices zwei Qubits nicht mehr verwickelt ist, und ein einzelnes Quantensystem wird zu einem Paar unabhängiger Qubits mit einem gemeinsamen Zustand ausarten $$$| x \ rangle | y \ rangle$ .

Der Vektor (4), der als Anfangszustand des Tripel-Qubits dient, ist nicht symmetrisch und nicht antisymmetrisch. Dies gilt auch für das Ergebnis von Manipulationen (siehe Abschnitt 4.2.2). Somit kann dieses Dreifach von Qubits nicht in einem verwickelten Zustand sein, weil es kann kein einziges Quantensystem aus drei Bosonen oder drei Fermionen bilden. Der Algorithmus geht jedoch davon aus, dass das erste Qubit-Paar mit dem dritten verwechselt wird. Da das zweite und dritte Qubit verwickelt sind, müssen die ersten beiden Qubits untereinander verwickelt sein (bis Alice ihre Qubits misst). Aber wie oben gezeigt, die Konvertierung $$$C_ {not}$ wird diese Verbindung zerstören.

Daher kann dieser Teleportationsalgorithmus nicht unter Verwendung physikalisch identischer, d. H. Nicht unterscheidbarer Qubits implementiert werden. Und im Fall verschiedener Quantenteilchen funktioniert der Verschränkungsmechanismus nicht. In der Tat die Bedingung $$$| x \ rangle | y \ rangle + | y ​​\ rangle | x \ rangle$ macht keinen Sinn, weil wenn $$$| x \ rangle$ ist der Zustandsvektor des 1. Teilchens, dann kann es nicht der 2. Zustand sein, ähnlich $$$| y \ rangle$ . Sie können diese Faktoren nicht austauschen! Außerdem verliert die Teleportation für verschiedene Teilchen im Allgemeinen ihre Bedeutung (es ist unmöglich, den Zustand eines Protons auf ein Neutron zu kopieren).

Offensichtlich können Symmetrie / Antisymmetrie-Überlegungen verwendet werden, um die Unmöglichkeit zu beweisen, den Qubit-Zustand durch andere Algorithmen zu teleportieren.

Aber was ist mit erfolgreichen Experimenten zum Teleportieren eines Qubits, die in Abschnitt 4.2.2 besprochen werden ?! Das erste dieser Experimente ist im Artikel beschrieben . Aus der Anmerkung ist ersichtlich, dass dieses Experiment keine Teleportation im oben diskutierten Sinne war. Es wird vermutet, dass die Polarisation eines von zwei verschränkten und entfernten Photonen gemessen wurde. Es stellte sich heraus, dass (wie EPR vorhersagt) das zweite Photon die gleiche Polarisation hatte. Die Autoren nannten dieses Ergebnis Teleportation. Diese Freiheit, Science-Fiction-Begriffe zu manipulieren, führt zu einer gewissen Verwirrung!

Aber wurde durch diese Art von Experiment das Phänomen der Verschränkung voneinander entfernter Teilchen bestätigt, das die Grundlage der Quantenmagie bildet? Lass mich nein sagen! Experimente mit verschränkten Photonen wurden falsch interpretiert. In all diesen Experimenten wurden tatsächlich die Tatsachen der "Verschränkung" von Photonen mit sich selbst aufgezeichnet. Dieses Problem wird im Artikel ausführlich behandelt .

Quantencomputer

Wenn Fermionen als Qubits verwendet werden, beispielsweise Elektronen in Spinzuständen, dann mit der Anzahl der Qubits $$$n \ geq 3$ Jeder Registerzustandsvektor ist Null. Dies folgt aus der allgemeinen Aussage: Jeder Multivektor ist im Raum gleich Null, dessen Dimension kleiner als sein Rang ist. Es kann leicht direkt verifiziert werden, indem versucht wird, einen antisymmetrischen Zustand aus Vektoren der Form zusammenzusetzen $$$| 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots, | 111 \ rangle$ . Nichts wird daraus werden! Verwechseln Sie den Nullzustandsvektor des Registers, der keinem physikalischen Zustand entspricht, nicht mit dem Zustandsvektor, in dem alle Qubits den Wert 0 haben.

Somit sind Fermionen nicht für Quantenregister mit mehr als zwei Qubits geeignet. In der Praxis bedeutet dies, dass Quantencomputer nur auf der "Elementbasis" von Bosonen erstellt werden können . Zum Beispiel Photonen oder Alpha-Teilchen, obwohl für letztere nicht klar ist, was als Zustände zu betrachten ist $$$| 0 \ rangle$ und $$$| 1 \ rangle$ .

Da es jedoch üblich ist, Quantencomputer zu beschreiben, sind sie mit Boson-Qubits nicht realisierbar!

Es ist bekannt, dass jede Binärcode-Konvertierung durch eine Zusammensetzung von Fredkin-Gates durchgeführt werden kann. $$$F$ und Toffoli $$$T$ (Absatz 5.1). Es ist leicht zu überprüfen, ob das Quantentor $$$T$ zerstört die Symmetrie der Zustände: $$$T (| 111 \ rangle) = | 110 \ rangle$ . Ventil $$$F$ wirkt auf symmetrische Vektoren als Identitätstransformation. Tatsächlich:

$$$F (| 101 \ rangle + | 110 \ rangle + | 011 \ rangle) = | 110 \ rangle + | 101 \ rangle + | 011 \ rangle$

$$$F (| 100 \ rangle + | 010 \ rangle + | 001 \ rangle) = | 100 \ rangle + | 010 \ rangle + | 001 \ rangle$

$$$F (| 111 \ rangle) = | 111 \ rangle$$$$\ quad F (| 000 \ rangle) = | 000 \ rangle$

Es ist leicht zu verstehen, dass jeder symmetrische Drei-Qubit-Zustandsvektor eine lineare Kombination von Vektoren auf der linken Seite dieser Gleichungen ist. Folglich ändert das Fredkin-Ventil die symmetrischen Zustände nicht. Daher jede Folge von Transformationen $$$F$ und $$$T$ Das Anwenden auf Qubits-Tripel in den entsprechenden Bits von Datenregistern zerstört die verschränkten Zustände solcher Tripel oder lässt sie unverändert. Daher wird Quantencomputing durch eine Folge von Gates implementiert $$$F$ und $$$T$ körperlich nicht praktikabel. Aus ähnlichen Überlegungen (Verletzung der Symmetrie des allgemeinen Zustands von Qubits) folgt, dass fast alle Quantenberechnungen unmöglich sind .

Gottes Computer

Angenommen, Sie müssen eine Funktion berechnen $$$f (x)$ was für das ganze Argument mit $$$n$ Binärbits nehmen einen ganzzahligen Wert mit an $$$k$ Binärziffern. Dazu benötigen Sie ein Register von $$$n$ Qubits zum Schreiben von Argumentwerten und Groß- / Kleinschreibung $$$k$ Qubits zum Aufzeichnen von Funktionswerten. Variable $$$x$ kann gleich sein $$$0, 1, \ ldots, 2 ^ n-1$ . Jeder dieser Werte entspricht einem Zustandsvektor des ersten Registers, der den Zuständen von Qubits entspricht $$$| 0 \ rangle$ oder $$$| 1 \ rangle$ die durch die Binärziffern einer Zahl bestimmt werden $$$x$ . Solche Registerzustände werden bezeichnet $$$| x \ rangle$ zum Beispiel $$$| x \ rangle = | 01 \ ldots 01 \ rangle = | 0 \ rangle | 1 \ rangle \ ldots | 0 \ rangle | 1 \ rangle$ bei $$$x = 01 \ ldots 01$ .

Vor dem Start der Berechnungen wird der folgende (normalisierte) Zustand des ersten Registers eingeleitet:

$$

$$\ frac {1} {\ sqrt {2 ^ n}} \ cdot \ sum_ {x = 0} ^ {2 ^ n-1} | x \ rangle \ qquad \ qquad (5)$$

Damit dies angegeben wird $$$| 00 \ ldots 0 \ rangle$ Die Walsh-Hadamard-Transformation wird angewendet (Abschnitt 4.1.1). Bei der Messung von Qubit-Werten in Zustand (5) mit Wahrscheinlichkeit $$$P = 2 ^ {- n}$ kann jede ganze Zahl von bekommen$$ $ inline $ 0 $ inline $ vorher $$$2 ^ n-1$ . Dann wird das zweite Register auf gesetzt $$$| 0 \ ldots 0 \ rangle$ dann kann das Zwei-Register-System $$$2 ^ {- n / 2} \ cdot \ sum_ {x = 0} ^ {2 ^ n-1} | x, 0 \ rangle$ . Im Allgemeinen ist es nicht verwirrend. Es wird angenommen, dass dieser Zustand verwirrend wird, nachdem eine einheitliche Umwandlung auf ein Registerpaar angewendet wurde $$$U_f$ definiert durch Funktion $$$f (x)$ (Siehe den letzten Absatz auf Seite 27 von extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2015/07/RIFFEL.pdf , auf den ich mich ständig beziehe). Es stellt sich der folgende Zustand dieses Paares heraus:

$$

$$\ frac {1} {\ sqrt {2 ^ n}} \ cdot \ sum_ {x = 0} ^ {2 ^ n-1} | x, f (x) \ rangle \ qquad \ qquad (6)$$

Wie Sie sehen können, eine Anwendung des Ventils $$$U_f$ es war genug, dass die Werte berechnet wurden $$$f (x)$ für alle Werte $$$x = 0, 1, \ ldots, 2 ^ n-1$ zur gleichen Zeit.

Dies ist die natürliche Parallelität des Quantencomputers. Mit einer Arbeitszahl von Qubits des ersten Registers von mehreren hundert ist die Zahl $$$2 ^ n$ wird gigantisch sein, so dass diese Parallelität auf herkömmlichen Supercomputern grundsätzlich nicht verfügbar ist. Der Computer Gottes ist ein völlig angemessener Vergleich! Beim Lesen der Ergebnisse aus dem zweiten Register jedoch mit Wahrscheinlichkeit $$$P = 2 ^ {- n}$ kann einen der Werte erhalten $$$f (x)$ . Um dieses Problem zu lösen, wird der Grover-Algorithmus vorgeschlagen, der ebenfalls unter einer Symmetrieverletzung leidet (siehe unten).

Die physikalische Machbarkeit eines solchen parallelen Rechnens erscheint aufgrund von Symmetrieüberlegungen zweifelhaft. Wie oben gezeigt, können nur Bosonen als Qubits fungieren. Daher müssen die Vektoren ihrer verschränkten Zustände symmetrisch sein, d. H. Sie dürfen sich unter keinen Permutationen ändern. Es ist jedoch klar, dass der Vektor (6) nicht symmetrisch ist - die Transposition von Qubits aus dem ersten und zweiten Register kann ihn ändern.

Also nach dem Anwenden der Transformation $$$U_f$ Der allgemeine Zustand eines Registerpaares ist nicht verwirrend. Wenn wir also das zweite Register messen, um das Ergebnis von Berechnungen zu erhalten, erhalten wir eine bestimmte Zahl $$$f (x_0)$ , aber wir werden nicht herausfinden können, welcher Wert $$$x = x_0$ es passt zusammen. Tatsache ist, dass der Zustand (6) aufgrund von Symmetriebrechungen physikalisch unmöglich ist, daher der Vektor $$$| x_0, f (x_0) \ rangle$ - Einer der Terme des Vektors (6) kann beim Messen von Registern nicht erhalten werden.



Ein Supercomputer kann nicht mit einem Quantencomputer verglichen werden, nur letzterer kann im Prinzip kaum durchgeführt werden.

Grover-Algorithmus

Quantenparallelität bei der Berechnung beliebiger Funktionen kann also physikalisch nicht realisiert werden. Aber nehmen wir das für eine Funktion an $$$f (x)$ wir haben das geschafft und ein paar Register im Allgemeinzustand bekommen (6). Wie erhalte ich Zugriff auf die Berechnungsergebnisse, wenn alle Zustände in Überlagerung (6) gleich wahrscheinlich sind? Nur durch Messen des Zustands der Register erhalten wir ein zufälliges Paar von Binärzahlen $$$x, f (x)$ . In diesem Fall können die Register $$$| x \ rangle | f (x) \ rangle$ und alle anderen Berechnungsergebnisse gehen unwiederbringlich verloren (hier ist es - der Zusammenbruch der Wellenfunktion!). Um dieses Problem zu lösen, hat Grover einen schönen Algorithmus entwickelt (Abschnitt 7.1).

Nehmen wir an, wir wollen die Bedeutung wissen $$$f (x_0)$ für eine ganz bestimmte $$$x = x_0$ . Es ist notwendig, den Registern ein weiteres Qubit hinzuzufügen, um die Werte der logischen Funktion zu schreiben $$$P (x)$ , was per Definition gleich 1 für ist $$$f (x) = f (x_0)$ und gleich 0 für $$$f (x) \ neq f (x_0)$ . Dann zum Vektor

$$

$$\ frac {1} {\ sqrt {2 ^ n}} \ cdot \ sum_ {x = 0} ^ {2 ^ n-1} | x, f (x), P (x) \ rangle \ qquad \ qquad (7)$$

Das Ventil wird verwendet, um die Vorzeichen der Koeffizienten umzukehren $$$a_x$ für alle Vektoren $$$| x, f (x), P (x) \ rangle$ in der Summe (7) für die $$$P (x) = 1$ (Absatz 7.1.2). Anfangs alle $$$a_x = 1 / \ sqrt {2 ^ n}$ .

Auf den auf diese Weise veränderten Vektor (7) wird die Inversionstransformation aller Koeffizienten angewendet $$$a_x$ relativ zu ihrem Durchschnitt $$$A$ . Es ist in Abschnitt 7.1.1 beschrieben, und die Summe sollte eingehalten werden $$$N-1 = 2 ^ n-1$ wo $$$n$ - die Anzahl der Qubits im ersten Register. Zahlenumkehrung $$$a_x$ relativ zum Mittelwert bedeutet eine symmetrische Reflexion der entsprechenden Punkte relativ zum Punkt $$$A$ auf der komplexen Ebene. Infolge dieser genialen Aktionen werden die Koeffizienten vor den Vektoren der Form $$$| x, f (x), 1 \ rangle$ in Summe (7) erhöht sich der absolute Wert im Vergleich zu den Koeffizienten vor den Vektoren der Form $$$| x, f (x), 0 \ rangle$ .

Nach den beschriebenen Schritten wird der Grover-Algorithmus wiederholt $$$\ pi \ sqrt {2 ^ n} / 4$ Zeiten (nicht mehr möglich!), Wahrscheinlichkeitsamplituden (d. h. Koeffizienten) $$$a_x$ ) für Staaten $$$| x, f (x), 1 \ rangle$ wird deutlich größer als für Staaten $$$| x, f (x), 0 \ rangle$ . Dies bedeutet, dass das Messen des zweiten Registers höchstwahrscheinlich eine Zahl ergibt $$$f (x_0)$ und der Binärcode im ersten Register ist gleich einer Zahl $$$x = \ widetilde x$ so dass $$$f (x_0) = f (\ widetilde x)$ (vielleicht $$$\ widetilde x = x_0$ ) Somit wird der gewünschte Funktionswert erhalten $$$f (x)$ bei $$$x = x_0$ .

Wenn die Messung immer noch keine Zahl ergibt $$$f (x_0)$ Dann sollte der gesamte Prozess einschließlich des Quantencomputers wiederholt werden, bis das gewünschte Ergebnis erzielt wird. Da es in keinem Fall im Voraus bekannt ist, müssen Sie es mehrmals wiederholen und dann aus den erhaltenen Zahlen auswählen $$$f (x)$ die Nummer, die am häufigsten vorkommt. Aufgrund der hohen Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $$$P (x) = 1$ es wird nicht zu viele solcher Wiederholungen geben. So können Sie den Wert erhalten $$$f (x_0)$ für jeden $$$x_0 = 0, 1, \ ldots, 2 ^ n-1$ .

Das beschriebene Verfahren zur Erhöhung der Wahrscheinlichkeitsamplituden $$$a_x$ in Ansicht Staaten

$$

$$\ sum_ {x = 0} ^ {2 ^ n-1} a (x) \ cdot | x, f (x), P (x) \ rangle \ qquad \ qquad (8)$$

leidet auch an einer Verletzung der Symmetrie von Zuständen verschränkter Qubits. In der Tat, wenn ein Begriff $$$| x_0, f (x_0), 1 \ rangle$ in (8) mit dem Koeffizienten enthalten $$$a_ {x_0}$ , wobei die Koeffizienten für Vektoren der Form im absoluten Wert signifikant überschritten werden $$$| x, f (x), 0 \ rangle$ dann ist ein solcher Vektor (8) nicht symmetrisch (antisymmetrisch).

Folglich kann der Grover-Algorithmus nicht physisch in Registern implementiert werden, deren Qubits nicht unterscheidbare Bosonen (Fermionen) sind. Es kann auch nicht für eine ungeordnete Suche nach Datensätzen in einer Datei verwendet werden, außer in einigen Sonderfällen.

Emulation mit Fock Spaces

Das Problem mit der Symmetrie der Zustände ist bekannt, aber die meisten Experten denken offensichtlich nicht darüber nach. Als Lösung wird die Emulation von Quantenregistern unter Verwendung von Fermionketten (fermionische Gitter) oder mit anderen Worten Fock-Räumen vorgeschlagen. .

$$$n$ $$$|\psi_1\rangle,\ldots,|\psi_n\rangle$ - , . $$$|x_1x_2\ldots x_n\rangle$ , $$$k$ , $$$k$ — $$$x_1x_2\ldots x_n$ . , $$$|\psi_{j_1}\rangle,\ldots,|\psi_{j_k}\rangle$ wo $$$j_1,\ldots,j_k$ — , . , (3) .

, , $$$|\psi_j\rangle$ . . , ,$$0$0$ vorher $$$n$ .

, . , ! , 2 $$$n$ , $$$n$ , . Dabei $$$n$ , . , , , .

, . , . , $$$|10\rangle-|01\rangle$ , !

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