Mathematiker beleuchten eine minimalistische Hypothese

Auf dieser ursprünglich aus Babylon stammenden Tafel, die um 1800 v. Chr. Hergestellt wurde, sind die pythagoreischen Tripel aufgeführt - ganze Zahlen a, b und c, die die Polynomgleichung a ² + b ² = c ² erfüllen. Bis heute ist die Suche nach rationalen und ganzzahligen Lösungen von Polynomgleichungen ein ernstes Problem für Mathematiker.

Im fünften Jahrhundert vor Christus Der griechische Mathematiker machte eine Entdeckung, die die Grundlagen der Mathematik erschütterte und ihn der Legende nach das Leben kostete. Historiker glauben, dass dies Hippasus aus Metapont war , und er gehörte zur pythagoreischen Mathematikschule, deren Hauptdogma darin bestand, dass jedes physikalische Phänomen als ganze Zahlen und ihre Beziehungen ausgedrückt werden kann (was wir rationale Zahlen nennen). Diese Annahme fiel jedoch auseinander, als Gippas Historikern zufolge die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks berücksichtigte, die dem Satz von Pythagoras entsprechen sollten - der berühmten Beziehung a ² + b ² = c ² . Es wird gesagt, dass Gippas gezeigt hat, dass bei gleicher Länge der Beine eines Dreiecks, ausgedrückt durch eine rationale Zahl, seine Hypotenuse nicht durch eine rationale Zahl ausgedrückt werden kann.

Einer Version der Geschichte zufolge machte Gippas diese Entdeckung auf See, und seine Kollegen, die von dieser Entdeckung schockiert waren, warfen ihn über Bord.

Moderne Mathematiker schämen sich nicht mehr wie die alten Griechen für irrationale Zahlen (und im Allgemeinen entdeckten sie, dass es mehr irrationale als rationale Zahlen gibt). Aber die Liebe der Pythagoräer zu rationalen Gleichungslösungen versorgt die Mathematiker weiterhin mit Informationen. Es liegt der Zahlentheorie zugrunde, dem traditionellen theoretischen Zweig der Mathematik, der in unserem digitalen Zeitalter unerwartet viele Anwendungen gefunden hat.

Jetzt sind zwei junge Mathematiker bei ihrem Studium rationaler Lösungen kubischer Gleichungen an die Spitze der Wissenschaft vorgerückt. Polynomgleichungen, in denen Variablen in bestimmten Graden vorliegen, wie z. B. y = 3x ³ + 4 oder x ² + y ² = 1, gehören zu den grundlegenden Objekten, die von Mathematikern untersucht werden, und werden in verschiedenen praktischen Anwendungen sowie in Zweigen der Mathematik verwendet .

Polynomuniversum

Es ist leicht zu erkennen, dass eine Polynomgleichung, in der der Grad der Variablen 1 nicht überschreitet, wie z. B. y = 3x + 4, unendlich viele rationale Lösungen hat. Jeder rationale Wert von x ergibt einen rationalen Wert von y und umgekehrt.

Es ist seit tausend Jahren bekannt, wie man rationale Lösungen für Polynome mit Grad 2 findet, wie x ² + y ² = 1 oder y = 3x ³ + 2x - 7. Sie haben möglicherweise überhaupt keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Die Graphen solcher Kurven sind konische Schnitte - Kreise, Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln. Wenn sich ein rationaler Punkt P auf dem Diagramm befindet, gibt es eine schöne Möglichkeit, alle anderen rationalen Punkte zu finden. Sie müssen nur alle Linien, die durch P verlaufen, mit einer rationalen Steigung nehmen und den zweiten Schnittpunkt dieser Linie mit dem konischen Abschnitt berechnen.

1983 Gerd Faltings, der heute den Posten des Direktors des Instituts für Mathematik innehat. Max Planck in Bonn hat Polynomgleichungen mit Graden größer als 3 herausgefunden. Er hat gezeigt, dass die meisten von ihnen nur endlich viele rationale Lösungen haben können. Und es blieben kubische Gleichungen, hartnäckige Abweichler des Universums der Polynome.

Kubische Gleichungen widersetzten sich den Bemühungen der Mathematiker, ihre Lösungen zu klassifizieren. Versuche, rationale Lösungen kubischer Gleichungen zu klassifizieren - genauer gesagt eine Familie kubischer Gleichungen, die als elliptische Kurven bekannt sind, da sie mit Ausnahme einiger anderer rationale Lösungen haben können - wurden von allen großen Spezialisten der Zahlentheorie ausgehend vom französischen Mathematiker Pierre Fermat aus dem 17. Jahrhundert durchgeführt sagt Benedict Gross von der Harvard University.

Elliptische kubische Gleichungen können null, endliche oder unendlich viele Lösungen haben. Bisher konnten Mathematiker nur erraten, wie oft sich diese Optionen ergeben.

Elliptische Kurven haben eine unerklärliche Fähigkeit, an unerwarteten Orten sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik aufzutreten. Ihr Verständnis wurde zu einem Schlüsselelement für den Beweis des Fermat-Theorems von 1995 , obwohl es den Anschein hat, dass elliptische Kurven nicht mit seiner Formulierung zusammenhängen. Operationen mit elliptischen Kurven sind zu zentralen Bestandteilen vieler kryptografischer Protokolle geworden, die Bankkartennummern in Online-Transaktionen codieren. Rationale Lösungen elliptischer Kurven stehen im Mittelpunkt verschiedener geometrischer Probleme des pythagoreischen Stils, beispielsweise der Suche nach rechteckigen Dreiecken mit rationalen Seitenlängen und gleichzeitig rationaler Fläche.

„Intelligente Stimulation, hervorragende Struktur, praktische Anwendungen - all dies sind elliptische Kurven“, sagt Manjul Bhargava von der Princeton University.

Bargawa ist 38 Jahre alt, sein Kollege Arul Shankar ist 26 Jahre alt, sie arbeiten am Institute for Advanced Studies in Princeton und haben bereits in den letzten Jahrzehnten einen der größten Schritte unternommen, um die rationalen Lösungen elliptischer Kurven zu verstehen.

In ihrer Arbeit gibt es kein Rezept, um rationale Lösungen für eine bestimmte elliptische Kurve zu finden. Stattdessen erklärt sie, welche Szenarien für rationale Entscheidungen am wahrscheinlichsten sind, wenn die Kurve zufällig ausgewählt wird.

Die Entdeckungen von Bargava und Shankar "beginnen, einen großen Bereich unserer Unwissenheit zu beleuchten", sagte Gross. "Nach ihrer Arbeit sieht die ganze Welt anders aus."

Elliptische Sicherheit

Wenn wir zwei rationale Punkte auf einer elliptischen Kurve nehmen, schneidet die durch sie verlaufende Linie fast immer die Kurve an einem anderen Punkt, auch mit rationalen Koordinaten. Es ist sehr einfach, zwei verschiedene rationale Punkte zu verwenden, um den dritten zu erzeugen, aber es ist sehr schwierig, das Gegenteil zu tun - nehmen Sie einen rationalen Punkt und finden Sie zwei andere rationale Punkte, die ihn erzeugen würden. Diese Eigenschaft macht elliptische Kurven für die Kryptografie nützlich: Die kryptografische Sicherheit basiert auf Operationen, die in einer Richtung einfach und in einer anderen schwierig sind.

"Elliptische Kurven sind an vielen erstaunlichen Dingen beteiligt", sagte Peter Sarnak von der Princeton University. "Sie sind komplex genug, um eine große Menge an Informationen zu transportieren, aber einfach genug, um sie eingehend zu untersuchen."

Spaßfahrt

Das Finden rationaler Lösungen einer elliptischen Kurve reduziert sich auf das Finden von Punkten in ihrem Graphen auf der xy-Ebene, so dass ihre x- und y-Koordinaten rationale Zahlen sind. Und oft ist es ziemlich schwierig. Wenn Sie jedoch mehrere rationale Punkte finden, können Sie mit einfachen Verfahren, die vor zwei Jahrtausenden vom alexandrinischen Mathematiker Diophantus entdeckt wurden, mehr generieren. Wenn Sie beispielsweise eine Linie durch zwei rationale Punkte ziehen, schneidet sie die Kurve normalerweise an genau einem Punkt, ebenfalls rational.

Dieser Prozess ist „eine sehr komplexe Struktur, die kubischen Gleichungen haben etwas Besonderes, das ihnen Tiefe verleiht“, sagte Bargava.

1922 erwies sich Louis Mordell als etwas Erstaunliches. Für jede elliptische Kurve, auch wenn unendlich viele rationale Punkte vorhanden sind, können Sie alle rationalen Punkte generieren, beginnend mit einer kleinen Anzahl von ihnen, und sie dann miteinander verbinden. Wenn die Anzahl der rationalen Punkte auf einer elliptischen Kurve unendlich ist, wird die minimale Anzahl von Punkten, die erforderlich sind, um alle zu erzeugen, als Rang der Kurve bezeichnet. Wenn die Anzahl dieser Punkte endlich ist, ist der Rang der Kurve 0.



Jahrzehntelange Mathematik hat über eine minimalistische Hypothese nachgedacht, die den Rang elliptischer Kurven mit gemischten Beweisen schätzt. Die Hypothese besagt, dass statistisch gesehen etwa die Hälfte der elliptischen Kurven einen Rang von 0 hat (dh sie haben entweder eine endliche Anzahl rationaler Punkte oder Null) und die andere Hälfte 1 (dh ihre unendliche Anzahl rationaler Punkte kann aus einem erzeugt werden ) Nach dieser Hypothese ist die Anzahl aller anderen Fälle verschwindend gering. Dies bedeutet nicht, dass es keine oder nur eine begrenzte Anzahl von Ausnahmen gibt. Wenn wir jedoch immer mehr große Sammlungen elliptischer Kurven verwenden, werden die Kurven, die in andere Kategorien fallen, immer weniger prozentual und ihre Anzahl tendiert zu 0% .

Diese Annahme wurde erstmals 1979 von Dorian Goldfeld von der Columbia University unter Bezugnahme auf eine bestimmte Klasse von elliptischen Kurven formuliert. "Es ist seit langem Folklore", sagt Barry Mazur von der Harvard University.

Eine teilweise minimalistische Hypothese wird durch die weit verbreitete Überzeugung gestützt, dass elliptische Kurven nicht zu viele rationale Punkte haben sollten. In der Tat befindet sich eine Minderheit auf der Zahlenlinie der rationalen Zahlen.

"Die rationalen Punkte elliptischer Kurven sind zufällige Perlen der Mathematik, und es ist sehr schwer vorstellbar, dass es zu viele derart kostbare Unfälle gibt", schrieben Mazur und seine drei Co-Autoren 2007 für die Zeitschrift Bulletin der American Mathematical Society .

Auf den ersten Blick deutet dies darauf hin, dass die meisten elliptischen Kurven einen Rang von 0 haben sollten. Viele Mathematiker glauben jedoch an die Paritätshypothese, die davon ausgeht, dass elliptische Kurven mit geraden und ungeraden Rängen 50 bis 50 erfüllen. Wenn Sie die Paritätshypothese mit einer Seltenheit rationaler Punkte kombinieren, dann Wir erhalten eine minimalistische Hypothese - Teilen von 50 durch 50 zwischen den niedrigstmöglichen Rängen 0 und 1.

Zur Unterstützung der minimalistischen Hypothese sagen experimentelle Daten auch, dass es für elliptische Kurven wirklich schwierig ist, hohe Ränge zu haben. Spezialisten für elliptische Kurven verwendeten Computer, um nach hochrangigen Kurven zu suchen. Der aktuelle Rekord liegt bei 28 - aber es gibt nur sehr wenige solcher Kurven und ihre Koeffizienten sind gigantisch.

Aber andere Schätzungen sind nicht so inspirierend. Mathematiker berechneten die Ränge von Hunderttausenden von elliptischen Kurven, und bisher haben 20% aller Kurven einen Rang von 2. Für einen kleinen, aber nicht sehr kleinen Prozentsatz von Kurven beträgt der Rang 3. Nach der minimalistischen Hypothese sollte ihr Prozentsatz gegen Null tendieren, wenn alle elliptischen Kurven berücksichtigt werden. "Anscheinend sind die Daten gegen die Annahme", sagte Mazur.

Wenn die Daten nicht der Hypothese entsprechen, werden sie normalerweise korrekt verworfen. Aber viele Mathematiker halten an der minimalistischen Hypothese fest. Obwohl Computer viele Beispiele überarbeitet haben, weisen Mathematiker darauf hin, dass diese Berechnungen nur die Spitze des Eisbergs sind. "Es kann vorkommen, dass bis wir die Hypothesen beweisen, keine von uns gesammelten Daten, selbst wenn sie sehr solide sind, die Theoretiker beruhigen", schrieb Mazur mit Kollegen.

Sie fügten hinzu, dass ein ziemlich großer Teil der berechneten elliptischen Kurven mit einem Rang von mehr als 1 der Dunklen Materie in der Physik ähnlich ist. „Diese große Masse rationaler Punkte ist eindeutig vorhanden. Daran haben wir keinen Zweifel. Wir bezweifeln nur, wie wir die Tatsache, dass sie da sind, zufriedenstellend erklären können. “

Aufgrund des Konflikts zwischen Daten und Theorie, schreiben sie, wurde die minimalistische Hypothese jahrzehntelang "entweder abgelehnt oder als selbstverständlich angesehen".

Neue Methoden

Bis vor kurzem befand sich Manjul Bargava, der aufstrebende Stern der mathematischen Welt, im Lager der Zweifler. Eine der Zeitschriften Popular Science stufte ihn 2002 unter die "Top Ten der Genies" ein, und im nächsten Jahr wurde er mit 28 Jahren einer der jüngsten, der den Titel eines Professors an der Princeton University erhielt. Seine Kollegen bewundern nicht nur seine mathematischen Leistungen, sondern auch seine freundliche und kreative Einstellung.


Manjul Bargava bei 38

"Manjul ist ein sehr ungewöhnlicher Typ", sagte Gross. "Er betrachtet die Dinge anders als die meisten Menschen, und das ist es, woraus sein Genie besteht."

Bargawa, ein Spezialist für Zahlentheorie, interessierte sich für den klaren Kontrast zwischen den berechneten Daten und der minimalistischen Hypothese. "Dies deutet darauf hin, dass dort etwas Interessantes passiert", sagte er. „Ich ging zu meinem Kollegen Peter Sarnak und fragte ihn:„ Wie können Sie an diese Annahme glauben? “, Erinnert sich Bargava. "Für mich sah es lustig aus."

Sarnak glaubte jedoch, dass sich die Daten in die entgegengesetzte Richtung neigen werden, wenn es möglich sein wird, elliptische Kurven mit viel größeren Koeffizienten zu berechnen. "Er war sehr zuversichtlich in diese Hypothese", sagte Bargava.

Bargawa entschied sich auf die eine oder andere Weise, etwas Spezifisches über die Hypothese herauszufinden. "Es ist an der Zeit, etwas zu beweisen", sagt er. Er begann, Sätze von Algorithmen zu untersuchen, die die Reihen der elliptischen Kurven berechnen, die aus dem von Fermat im 17. Jahrhundert eingeführten Verfahren stammen. Dies ist eine Familie von Algorithmen, die als Abstiegsalgorithmen bezeichnet werden. Für jede Ganzzahl größer als 2 gibt es einen Algorithmus. Sie arbeiteten fachmännisch und fanden elliptische Kurven mit rationalen Punkten. Trotz zahlreicher Versuche konnte niemand beweisen, dass diese Algorithmen immer funktionieren.

Bargawa beschloss, einen anderen Ansatz zu versuchen. "Ich hatte die Idee, den Abstiegsalgorithmus für alle elliptischen Kurven gleichzeitig auszuprobieren und dann zu beweisen, dass er in den meisten Fällen funktioniert", sagte Bargava. Um die minimalistische Hypothese zu studieren, muss man nicht wissen, wie jede elliptische Kurve aussieht - es reicht aus zu wissen, nach welcher Art sie streben.

Ein solcher Ansatz umfasste Arbeiten auf dem Gebiet der Zahlengeometrie, bei denen Gitterknoten in verschiedenen Figuren gezählt wurden (der Gitterknoten ist ein Punkt mit ganzzahligen Koordinaten). In einfachsten Formen wie einem Kreis oder Quadrat entspricht die Anzahl der Gitterknoten ungefähr der Fläche der Figur. Die Aufgabe von Bargawa betraf jedoch komplexere Figuren, und wenn eine Figur komplexe Merkmale wie Tentakel aufweist, kann sie viel mehr oder weniger Gitterknoten aufweisen, als ihre Fläche vorhersagt.


Arul Shankar bei 26

Bevor Bargava sich solchen Formen anschloss, stellte er Arul Shankar, seinem Doktoranden, eine ähnliche, aber einfache Aufgabe. Oft haben Doktoranden jahrelang mit den Aufgaben von Dissertationen zu kämpfen, aber Shankar brachte die Lösung in nur drei Monaten. Deshalb sagt Bargava: "Ich habe ihn gefragt, ob er sich mir anschließen möchte."

Bargava und Shankar haben eine Reihe neuer Techniken entwickelt, deren Bedeutung wahrscheinlich weit über die ursprüngliche Aufgabe hinausgeht, die sie lösen, sagt Mazur. "Die Geometrie von Zahlen war schon immer eine tiefe und mächtige Methode, und jetzt haben sie ihre Kraft ernsthaft gesteigert." Er fügte hinzu, dass das Genie ihrer Technik "neue Möglichkeiten in der Zahlentheorie eröffnet".

Diese neuen Techniken "werden die Zahlentheorie noch viele Jahre beeinflussen", stimmt Gross zu.

Klares Muster

Wenn die minimalistische Hypothese wahr ist, sollte der durchschnittliche Rang der elliptischen Kurven ½ betragen, aber vor der Arbeit von Bargava und Sankar konnten Mathematiker nicht einmal beweisen, dass der Durchschnittswert endlich wäre. Mit einem Abstiegsalgorithmus 2 Ordnung konnten Bargava und Shankar zeigen, dass der durchschnittliche Rang für alle elliptischen Kurven 1,5 nicht überschreitet. Mit den Ordnungen 3, 4 und 5 für einige Kurven, die im vorherigen Schritt nicht verarbeitet wurden, konnten sie den oberen Balken auf 0,88 senken.

Und obwohl es eine Lücke zwischen diesem Wert und dem von der minimalistischen Hypothese vorhergesagten Durchschnitt gibt, ist die Entdeckung von Bargava und Shankar ein Sprung nach vorne. "Dies ist nur der erste Schritt, aber bereits sehr groß", sagt Sarnak. "Es ist großartig zu sehen, wie zwei so junge Leute sich aktiv weiterentwickeln."

Nachdem Bargava und Shankar gezeigt hatten, dass der durchschnittliche Rang unter 1 liegt, haben sie bewiesen, dass ein ziemlich großes Stück elliptischer Kurven - mindestens 12% - einen Rang von 0 hat (da sonst der Durchschnitt höher wäre). Sie verwendeten dies, um zu zeigen, dass derselbe Teil der Kurven die berühmte Birch-Swinnerton-Dyer-Hypothese , die alte Frage der elliptischen Kurven, erfüllt, für die das Clay Mathematics Institute eine Million Dollar Belohnung erhalten hat .

Bei einem Bargawa-Vortrag im Clay Institute fragte einer der Zuhörer scherzhaft, ob Bargava und Shankaru sich jetzt auf 12% des Preises in einer Million verlassen. "Die Vertreter des Instituts waren bei der Vorlesung und sagten sofort, nein, das sollten sie nicht", sagte Bargava traurig.

Die Entdeckungen von Bargava und Shankar alarmierten Spezialisten der Zahlentheorie, von denen viele keine Fortschritte auf dem Gebiet des mittleren Ranges erwarteten. "Sie fragen mich einen Monat, bevor Manjul mir von seiner Arbeit erzählt", sagt Gross, "ich würde Ihnen antworten, dass es hoffnungslos ist." Jetzt, sagte er, sehe die minimalistische Hypothese immer vielversprechender aus. "Ich würde Geld auf sie setzen."

Eine der möglichen Möglichkeiten - die wahrscheinlich die Infusion neuer Ideen erfordern, wie Mathematiker sagen - besteht darin, Algorithmen zum Verringern von Ordnungen über 5 zu verwenden, um die Grenzen des mittleren Ranges weiter zu verfeinern. "Mit der Verwendung von Abfahrten der 2., 3., 4. und 5. Ordnung gab es ein klares Muster, und höchstwahrscheinlich wird es weitergehen", sagte Bargava.

Bargava sieht sich nicht als alleiniger Eigentümer der Rechte an dieser Idee und hofft, dass ihre Arbeit junge Mathematiker zu weiteren Forschungen auf dem Gebiet der rationalen Punkte elliptischer Kurven inspirieren wird. "Die minimalistische Hypothese ist kein Selbstzweck", sagt er. - Jedes Mal, wenn Sie die Tür öffnen, stellt sich heraus, dass Sie viel mehr Türen öffnen müssen. Je mehr Menschen dies tun, desto mehr Türen können wir öffnen. “