Erfahrungen der transzendentalen Mathematik oder der mathematischen Folklore

Am 16. März um 19:00 Uhr findet im Bukvoed-Laden (St. Petersburg, Ligovsky pr., 10) im Rahmen des Projekts „Wissenschaft ist kein Mehl“ für den World Pi Day ein interaktiver Vortrag statt: „Experimente in transzendentaler Mathematik oder mathematischer Folklore ".

Haben Sie keine Angst, wenn Sie bereits vergessen haben, was der Logarithmus ist und wie das Integral berechnet wird, brauchen Sie ihn nicht. Das notwendige Wissen für die Vorlesung ist gesunder Menschenverstand und elementare Logik.

Man kann oft hören, dass Mathematik unvorstellbar langweilig und zu abstrakt ist. Wir werden versuchen, das Gegenteil mit zahlreichen Beispielen mathematischer Folklore zu beweisen, und der Ausgangspunkt unseres Treffens wird das Buch von Eduard Frenkel „Liebe und Mathematik. Das Herz der verborgenen Realität . " Das Buch des berühmten Wissenschaftlers versucht, den Mythos zu zerstreuen, dass Mathematik eine langweilige Wissenschaft ist. In der Vorlesung erfahren Sie, warum alle Pferde die gleiche Farbe haben, warum der Mond aus Käse besteht und wie man eine Fliege auf der anderen Seite des Mondes fängt.

Ihr Führer in komplexen mathematischen Labyrinthen wird Vitaly Filippovsky sein - Mathematiker, Doktorand der ITMO, führender Mathematiker und Programmierer Emoji Apps.

Im Folgenden bieten wir Ihnen an, sich mit dem exquisiten Tanzauszug aus Frenkels Buch vertraut zu machen.

Im Herbst 1990 wurde ich Doktorand in Harvard. Dies war notwendig, um die Position eines Gastprofessors in eine dauerhaftere Position zu verwandeln. Joseph Bernstein erklärte sich bereit, mein offizieller Vorgesetzter zu werden. Zu diesem Zeitpunkt hatte ich genug Material für meine Dissertation gesammelt, und Arthur Jaffe überredete den Dekan der Fakultät ausnahmsweise, die Dauer des Aufbaustudiums (das nach den Regeln in der Regel 4 oder 5 Jahre und in jedem Fall mindestens 2 Jahre dauert) auf eins zu reduzieren Jahre, damit ich mich in einem Jahr verteidigen kann. Dank dessen hielt meine "Herabstufung" vom Professor zum Doktoranden ziemlich lange an.

In meiner Doktorarbeit ging es um ein neues Projekt, das ich gerade abgeschlossen habe. Alles begann mit einer Diskussion mit Drinfeld über das Langlands-Programm im Frühjahr dieses Jahres. Hier ist ein Beispiel für eine unserer Konversationen, die als Skript konzipiert sind.

AKTION 1
SZENE 1
DRINFELDS BÜRO IN HARVARD

Drinfeld geht durch den Raum an der Wand, an der eine Tafel hängt.
Edward, der auf einem Stuhl sitzt, macht sich Notizen (auf dem Tisch neben ihm steht eine Tasse Tee).

Drinfeld
Die Simura-Taniyama-Weil-Hypothese eröffnet also eine Verbindung zwischen kubischen Gleichungen und modularen Formen, aber Langlands ging noch weiter. Er sagte die Existenz einer allgemeineren Entsprechung voraus, in der automorphe Darstellungen der Lie-Gruppe die Rolle modularer Formen spielen.

Edward
Was ist eine automorphe Darstellung?

Drinfeld (nach langer Pause)
Die genaue Definition spielt für uns jetzt keine Rolle. In jedem Fall finden Sie es im Lehrbuch. Für uns ist es wichtig, dass dies eine Darstellung der Lie-Gruppe G ist, beispielsweise der Gruppe SO (3) der Rotationen einer Kugel.

Edward
Gut. Und womit sind diese automorphen Darstellungen verbunden?

Drinfeld
Das ist das interessanteste. Langlands sagte voraus, dass sie sollten
mit Darstellungen einer Galois-Gruppe in einer anderen Lie-Gruppe verbunden sein.

Edward
Ich verstehe. Meinen Sie damit, dass diese Lie-Gruppe nicht dieselbe Gruppe G ist?

Drinfeld
Nein! Dies ist eine weitere Lee-Gruppe namens Langlands Dual Group für G. Drinfeld, die das LG-Symbol an die Tafel schreibt.

Edward
Der Buchstabe L zu Ehren von Langlands?

Drinfeld (mit einem leichten Lächeln)
Ursprünglich war Langlands von dem Wunsch getrieben, Objekte zu verstehen, die als L-Funktionen bezeichnet wurden, weil er diese Gruppe eine L-Gruppe nannte ...

Edward
Das heißt, für jede Lie-Gruppe G gibt es eine andere Lie-Gruppe namens LG, oder?

Drinfeld
Ja Und sie ist laut Langlands anwesend, was schematisch so aussieht. Drinfeld zeichnet ein Diagramm an eine Tafel



Edward
Ich verstehe nicht ... zumindest vorerst. Aber lassen Sie mich eine einfachere Frage stellen: Wie wird zum Beispiel die duale Langlands-Gruppe für SO aussehen (3)?

Drinfeld
Es ist ziemlich einfach - doppelte Abdeckung SO (3). Hast du den Trick mit der Tasse gesehen?

Edward
Mit einer Tasse fokussieren? Oh ja, ich erinnere mich ...

SZENE 2
Harvard Graduate Home Party

Etwa ein Dutzend Studenten, etwas mehr als zwanzig, reden, trinken Bier und Wein. Edward spricht mit einem Doktoranden.

Doktorand
Hier erfahren Sie, wie es geht.
Eine Doktorandin nimmt einen Plastikbecher Wein und stellt ihn auf die offene Handfläche ihrer rechten Hand. Dann beginnt sie, ihre Handfläche zu drehen und ihre Hand wie in einer Folge von Fotos zu drehen
(unten). Sie macht eine vollständige Umdrehung (360 Grad) und ihr Arm ist auf den Kopf gestellt. Halten Sie die Tasse immer noch aufrecht und drehen Sie sie weiter
eine weitere volle Wende - Überraschung! - Ihre Hand und ihre Tasse kehren in ihre ursprüngliche normale Position zurück.

Ein weiterer Doktorand
Ich habe gehört, dass es auf den Philippinen einen traditionellen Tanz mit Wein gibt, bei dem sie diesen Trick mit beiden Händen ausführen. Er nimmt zwei Gläser Bier und versucht, beide Handflächen zu drehen
zur gleichen Zeit. Aber er kann seine Hände nicht im Auge behalten und verschüttet sofort Bier von beiden. Alle lachen.

SZENE 3
DRINFELDS BÜRO WIEDER

Drinfeld
Dieser Fokus zeigt die Tatsache, dass es in der Gruppe SO (3) einen nichttrivialen geschlossenen Pfad gibt, dessen doppelter Durchgang uns jedoch einen trivialen Pfad gibt.

Edward
Oh, ich verstehe. Die erste volle Drehung des Bechers dreht die Hand in einem ungewöhnlichen Winkel - dies ist das Analogon zum nicht trivialen Weg zu SO (3). Er nimmt eine Tasse Tee vom Tisch und macht den ersten Teil des Fokus.

Edward
Es scheint, dass die zweite Umdrehung Sie dazu bringen sollte, Ihre Hand noch mehr zu drehen, aber stattdessen kehrt die Hand in ihre normale Position zurück. Edward schließt den Umzug ab.

Drinfeld
Richtig

Edward
Aber was haben diese und die duale Langlands-Gruppe gemeinsam?

Drinfeld
Die duale Langlands-Gruppe für SO (3) ist die doppelte Abdeckung von SO (3), also ...


Edward
Jedes Element der Gruppe SO (3) entspricht also zwei Elementen aus der dualen Langlands-Gruppe.

Drinfeld
Deshalb gibt es in dieser neuen Gruppe keine nicht trivialen geschlossenen Pfade mehr.

Edward
Das heißt, der Übergang zur dualen Langlands-Gruppe ist ein Weg, um diese Versetzung loszuwerden?

Drinfeld
Richtig. Auf den ersten Blick scheint der Unterschied minimal zu sein, aber in Wirklichkeit sind die Konsequenzen mehr als signifikant. Dies erklärt zum Beispiel den Unterschied im Verhalten von Bausteinen der Materie wie Elektronen und Quarks und Teilchen, die sie tragen
Wechselwirkungen zwischen ihnen, wie Photonen. Bei allgemeineren Lie-Gruppen ist der Unterschied zwischen der Gruppe selbst und ihrer dualen Langlands-Gruppe noch stärker. Tatsächlich besteht in vielen Fällen nicht einmal eine sichtbare Verbindung zwischen zwei Doppelgruppen.

Edward
Warum erschien die Doppelgruppe im Allgemeinen in Übereinstimmung mit den Langlands? Eine Art Magie ...

Drinfeld
Das ist unbekannt.

Die Langlands-Dualität stellt eine Paarbeziehung zwischen Lie-Gruppen her: Für jede Lie-Gruppe G gibt es eine duale Lie-Langlands-Gruppe LG und eine duale
für LG ist G.9 selbst. Die Tatsache, dass das Langlands-Programm Objekte zweier verschiedener Typen verbindet (eines aus der Zahlentheorie und das zweite aus der harmonischen Analyse), ist an sich überraschend, aber die Tatsache, dass zwei Doppelgruppen, G und LG, in unterschiedlichen vorhanden sind Teile dieser Korrespondenz - es ist für den Verstand einfach unverständlich!

Wir haben darüber gesprochen, wie das Langlands-Programm verschiedene Kontinente in der Welt der Mathematik verbindet. Setzen wir die Analogie fort: Lass es Europa und Nordamerika sein und lass es einen Weg geben
Ordnen Sie jeder Person in Europa eine Person aus Nordamerika zu und umgekehrt. Nehmen wir außerdem an, dass diese Entsprechung die perfekte Übereinstimmung verschiedener Attribute wie Gewicht, Größe und Alter impliziert, mit einer Ausnahme: Jeder Mann ist einer Frau zugeordnet und umgekehrt. Diese Situation ist ein Analogon zum Ersetzen einer Lie-Gruppe durch ihre Doppelgruppe.
nach den Vorhersagen des Langlands-Programms.

In der Tat ist dieser Ersatz einer der mysteriösesten Aspekte des Langlands-Programms. Wir kennen verschiedene Mechanismen, die beschreiben, wie Doppelgruppen auftreten, aber wir
Ich verstehe immer noch nicht, warum dies geschieht. Diese Unwissenheit war einer der Gründe, warum Wissenschaftler versuchen, die Ideen des Langlands-Programms auf andere Bereiche der Mathematik (durch den Wealth Rosetta-Stein) und sogar auf die Quantenphysik auszudehnen, wie wir im nächsten Kapitel erfahren werden. Wir versuchen, weitere Beispiele für das Langlands-Dualismus-Phänomen zu finden, in der Hoffnung, dass dies uns zusätzliche Hinweise darauf gibt, warum sie entstehen und was sie bedeuten.

Konzentrieren wir uns auf die rechte Säule des Rosetta-Weil-Steins, die Riemann-Oberflächen gewidmet ist. Wie wir im vorigen Kapitel festgestellt haben, sind die Akteure in der für diese Spalte relevanten Version der Langlands-Korrespondenz „automorphe Bündel“. Sie spielen die Rolle von automorphen Funktionen (oder automorphen Darstellungen), die mit der Lie-Gruppe G assoziiert sind. Es stellt sich heraus, dass diese automorphen Garben in einem bestimmten Raum „leben“, der an die Riemann-Oberfläche X und die Gruppe G gebunden ist, die als Modulraum von G-Bündeln auf X bezeichnet wird Im Moment spielt es keine Rolle, was es ist. 10 Im entgegengesetzten Teil der Korrespondenz, wie wir in Kapitel 9 gesehen haben, spielt die Grundgruppe einer bestimmten Riemann-Oberfläche die Rolle von Galois-Gruppen. Aus dem obigen Diagramm folgt, dass die geometrische Langlands-Entsprechung schematisch wie folgt aussehen sollte:


Dies bedeutet, dass wir in der Lage sein sollten, jeder Darstellung der Grundgruppe in LG eine automorphe Garbe zuzuordnen. Und Drinfeld hatte eine radikal neue Idee, wie das geht.

AKTION 2
SZENE 1
DRINFELDS BÜRO IN HARVARD

Drinfeld
Wir müssen also eine Methode finden, um diese automorphen Bündel zu konstruieren. Und es scheint mir, dass die Darstellungen der Katz-Moody-Algebren uns helfen könnten.

Edward
Warum?

Drinfeld
Wir sind jetzt in der Welt der Riemannschen Oberflächen. Eine solche Oberfläche kann einen Rand aufweisen, der aus Schleifen besteht.

Drinfeld zeichnet ein Bild an die Tafel.



Drinfeld
Mit Hilfe von Schleifen können Riemann-Oberflächen Schleifengruppen und damit Kac-Moody-Algebren zugeordnet werden. Und diese Verbindung gibt uns die Möglichkeit, Ideen zu transformieren
Kac - Stimmungsvolle Algebren in Garben auf dem Modulraum von G-Bündeln auf unserer Riemann-Oberfläche. Lassen Sie uns vorerst nicht auf Details eingehen. Wie ich erwarte, schematisch dies
sollte so aussehen.

Drinfeld zeichnet ein Diagramm an die Tafel.



Drinfeld
Der zweite Pfeil ist mir klar. Die Hauptfrage ist, wie der erste Pfeil konstruiert wird. Feigin erzählte mir von Ihrer Arbeit an Darstellungen von Kac-Moody-Algebren. Ich denke, es muss hier nur angewendet werden.

Edward
Aber dann müssen die Darstellungen der Katz-Moody-Algebra für G irgendwie über die duale Langlands-Gruppe LG „bekannt“ sein.

Drinfeld
Genau so.

Edward
Aber wie ist das möglich?

Drinfeld
Und diese Frage müssen Sie beantworten.

Vorhang