Wir verstehen die Teilchenphysik: 2) eine Quantenkugel auf einer Feder

1. Ball auf einer Feder, Newtonsche Version
2. Eine Quantenkugel auf einer Feder
3. Wellen, klassischer Look
4. Wellen, die klassische Bewegungsgleichung
5. Quantenwellen
6. Felder
7. Teilchen sind Quanten
8. Wie Partikel mit Feldern interagieren

Das Hauptergebnis des vorherigen Artikels war, dass die Oszillationsbewegung eines Balls auf einer Feder in der Vorquantenphysik von Newton und seinen Freunden die Form annimmt

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

Wo:
• z ist die Position des Balls als Funktion der Zeit t,
• z ₀ ist die Gleichgewichtsposition des Balls (wo er ruhen würde, wenn er nicht geschwankt hätte),
• A - Schwingungsamplitude (die wir beliebig groß oder klein wählen können),
• ν [nackt] - Schwingungsfrequenz (nur abhängig von der Kraft der Feder K und der Masse der Kugel M und nicht abhängig von A).

Zusätzlich beträgt die in der Schwingung gespeicherte Gesamtenergie

$$

$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$$

Durch Ändern von A können wir jede Energiemenge in Schwingung halten.

In der Quantenmechanik ändert sich alles. Auf den ersten Blick (und wir brauchen nichts anderes) ändert sich nur eines - die Behauptung, dass wir die Amplitude der Schwingungen so groß oder klein wählen können, wie wir möchten. Es stellt sich heraus, dass dies nicht so ist. Dementsprechend kann die in der Schwingung gespeicherte Energie nicht willkürlich ausgewählt werden.


Abb. 1

Quantisierung der Schwingungsamplitude

Max Planck, der berühmte Physiker des frühen 20. Jahrhunderts, entdeckte, dass es im Universum etwas Quantenhaftes gibt, und führte eine neue Naturkonstante ein, die Planck-Konstante h genannt wird. Jedes Mal, wenn Sie auf etwas in der Quantenmechanik stoßen, sehen Sie h. Quantitativ

$$

$$h = 6,626068 \ mal 10 ^ {- 34} m ^ 2 kg / s$$

- ein sehr kleiner Wert für das normale menschliche Leben. Und hier kommt was heraus:

Eine Quantenkugel auf einer Feder kann nur mit Amplituden schwingen

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M}$$

Wobei n eine ganze Zahl ist, zum Beispiel 0, 1, 2, 1798 oder 2.348.979. Die Schwingungen sind nicht willkürlich, sondern quantisiert: Wir können n das Quantum der Schwingungen nennen. Definition: Wir sagen, dass sich eine mit dem Quantum n schwingende Kugel im n-ten angeregten Zustand befindet. Wenn das Quantum Null ist, sagen wir, dass es sich im Grundzustand befindet.

Damit Sie verstehen, was dies bedeutet, sind in Abb. 1 die ersten fünf angeregten Zustände und der Grundzustand dargestellt (eher naiv - nehmen Sie das Bild nicht zu ernst). 1. Die kleinstmögliche Schwingung tritt im Zustand n = 1 auf. Dies ist ein Quantum von Schwingungen; Es gibt keinen Bruchteil eines Quanten. Ein Ball kann nicht weniger schwingen, es sei denn, er befindet sich in einem Zustand ohne Schwingungen, wenn n = 0 ist.

Alles andere ist auf den ersten Blick gleich. Tatsächlich ist die Geschichte der Quantenmechanik jedoch viel komplizierter! Aber jetzt können wir uns von dieser Verwirrung entfernen und fast 100% korrekte Physik verwenden.

Warum können wir nicht sagen, dass Schwingungen basierend auf unserer Erfahrung quantisiert werden? Denn in alltäglichen Systemen ist die Quantisierung zu klein. Nehmen Sie einen echten Ball und eine Feder - zum Beispiel wiegt ein Ball 50 Gramm und seine Schwingungsfrequenz beträgt einmal pro Sekunde. Dann entspricht die Amplitude für ein Quantum, n = 1, der Amplitude

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M} = 1,8 \ mal 10 ^ {- 16} m$$

Dies ist ein paar Zehntausendstel Millionstel Millionstel Meter oder zehnmal weniger als ein Proton! Ein Schwingungsquantum bewegt den Ball nicht einmal um eine Strecke in der Größenordnung des Atomkerns! Kein Wunder, dass wir keine Quantisierung sehen! Wenn sich der Ball in einer sichtbaren Entfernung bewegt, enthält er eine große Anzahl von Quanten - und für ein so großes n können wir aus unserer Sicht jedes A machen, siehe Abb. 2. Wir können A nicht genau genug messen, um solche subtilen Einschränkungen seiner Größe zu bemerken.


Abb. 2. Die Amplitude der Schwingungen A für den Zustand n. Für kleines n liegen die einzelnen Werte von A weit voneinander entfernt, aber bereits für n = 100 liegen die zulässigen Werte von A so nahe beieinander, dass eine Diskretion bereits sehr schwer zu bemerken ist. In alltäglichen Situationen sind die Werte von n so groß, dass eine Diskretion nicht zu bemerken ist.

Es ist zu beachten, dass solche Werte insbesondere aufgrund der großen Masse der Kugel erhalten werden. Wenn die Kugel aus 100 Eisenatomen bestehen würde und einen Radius von einem Tausendstel Millionstel Meter hätte, wäre ihre minimale Amplitude ein Millionstel Meter, das heißt, sie wäre das Tausendfache ihres Radius. Und dies ist ein ausreichend großer Wert, der durch ein Mikroskop gesehen werden kann. Eine so kleine Kugel wäre jedoch Kräften ausgesetzt, die auf atomarer Ebene wirken, und würde viel schneller als einmal pro Sekunde schwingen - und eine große Frequenz entspricht kleinen Amplituden. Selbst mit einem kleinen Ball ist es ziemlich schwierig, die Quantisierung der Natur zu bemerken.

Quantisierung der Schwingungsenergie

Nehmen Sie nun die Quantisierung der Amplitude und setzen Sie sie in die Formel für die Schwingungsenergie ein, die wir bereits am Anfang des Artikels erwähnt haben. $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$. Wenn wir die zulässigen Werte für A einsetzen, erhalten wir ein erstaunliches Ergebnis:

$$

$$E = n h \ nu$$

Erstaunlich einfache Antwort! Die in einer Quantenkugel auf einer Feder gespeicherte Energie (naiv gesprochen) ist proportional zu n, der Anzahl der Schwingungsquanten, der Planck-Konstante h und der Schwingungsfrequenz ν. Noch überraschender ist, dass diese einfache Formel tatsächlich fast genau ist! Was zeigt sie richtig?

• Die Energie, die benötigt wird, um die Anzahl der Quanten in Schwingungen pro Einheit (n → n + 1) zu erhöhen, ist gleich h ν.
• In jedem Oszillator, der im Alltag anzutreffen ist, ist die Energie eines Quanten so gering, dass wir nie etwas über seine Quantisierung erfahren.

Schau es dir an. Für einen Ball mit einer Feder, der einmal pro Sekunde schwingt, entspricht ein Energiequant 6,6 × 10 ^-34 J oder 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 66 Joule. Und der Joule ist die Energie, die Sie aufwenden, um einen Apfel vom Boden auf die Höhe des Gürtels zu heben - nicht so groß! Das ist also eine unglaublich kleine Energiemenge. Nur in kleinen Molekülen und noch kleineren Systemen kann die Schwingungsfrequenz so groß sein, dass eine Energiequantisierung erfasst werden kann.

Es stellt sich heraus, dass die Formel für Energie nicht ganz richtig ist. Wenn Sie diese Berechnungen für die Quantenmechanik abgeschlossen haben, werden Sie feststellen, dass die richtige Formel für Energie lautet:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

Wir müssen oft nicht auf diese kleine Verschiebung von n um 1/2 achten. Es ist jedoch sehr interessant - von ihm beginnt die gesamte Verschränkung der Quantenmechanik. Ist das nicht neugierig? Selbst wenn der Oszillator überhaupt keine Schwingungsquanten hat, enthält er bei n = 0 immer noch eine kleine Energiemenge. Es wird die Energie der Nullschwingungen oder der Nullenergie genannt und stammt aus dem Grundzittern, der Grundvorhersehbarkeit, die im Herzen der Quantenmechanik lebt. Schau dir das Bild an. 3, die unweigerlich schematisch und ungenau zu demonstrieren versucht, wie Jitter für Nullenergie verantwortlich ist. Der Ball bewegt sich zufällig, auch im Grundzustand. In Zukunft werden wir zu Null Energie zurückkehren, da dies uns zu den tiefsten Problemen aller Physik führen wird.


Abb. 3. Die grundsätzliche Unvorhersehbarkeit der Quantenmechanik kann als zufälliger Jitter vorgestellt werden, der die Position des Balls verändert. Es bewegt sich zufällig sogar im Grundzustand und beeinflusst auch die angeregten, obwohl sein Einfluss mit zunehmendem n nicht mehr so ​​spürbar ist. Die Zeichnung ist lückenhaft und sollte nicht zu ernst genommen werden.