Wir verstehen die Teilchenphysik: 4) Wellen, die klassische Bewegungsgleichung

1. Ball auf einer Feder, Newtonsche Version
2. Eine Quantenkugel auf einer Feder
3. Wellen, klassischer Look
4. Wellen, die klassische Bewegungsgleichung
5. Quantenwellen
6. Felder
7. Teilchen sind Quanten
8. Wie Partikel mit Feldern interagieren

Kehren wir zur Schwingungsgleichung einer Kugel auf einer Feder zurück

In einem der ersten Artikel des Zyklus haben wir zunächst eine Formel für die Schwingungsbewegung einer Kugel abgeleitet

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

Und dann fanden sie die Bewegungsgleichung, für die diese Formel eine Lösung war

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$$

Hier
• d ² z / dt ² bezeichnet eine zeitliche Änderung gegenüber einer zeitlichen Änderung z (t).
• K ist die Federkraft, M ist die Masse der Kugel, z ₀ ist die Gleichgewichtsposition.
• ν = √ K / M / 2π

Der Schlüsselschritt zum Erhalten der letzten in K und M ausgedrückten Frequenzgleichung war die Berechnung von d ² z / dt ² für die Oszillationsbewegung der Kugel z (t) = z ₀ + A cos [2 π ν t]. Das haben wir gefunden

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (z - z_0)$$

Wellengleichung

Jetzt wollen wir dasselbe für Wellen tun. Wir haben eine Formel für die Form und Bewegung einer Welle gefunden, die sowohl räumlich als auch zeitlich schwingt.

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

Unter den Lösungen welcher Bewegungsgleichung ist eine solche Formel? Sie können sich die Antwort vorstellen. Offensichtlich beinhaltet es:

1. d ² Z / dt ² , Zeitänderung, Zeitänderung Z (x, t).
2. d ² Z / dx ² , eine Änderung des Raums einer Änderung des Raums Z (x, t).

Natürlich können wir davon ausgehen, dass die Gleichung ungefähr so ​​aussehen sollte:

$$

$$C_t d ^ 2Z / dt ^ 2 + C_x d ^ 2Z / dx ^ 2 = C_0 (Z - Z_0)$$

Wobei C _t , C _x und C ₀ Konstanten sind. Ich stelle fest, dass wir, wenn C _t = 1, C _x = 0 und C ₀ = -K / M ist, zur Schwingungsgleichung der Kugel auf der Feder zurückkehren. Was sind diese Konstanten in unserem Fall?

Wir können immer C _t = 1 setzen. Wenn Sie beispielsweise C _t = 5 setzen möchten, würde ich Sie nur bitten, die gesamte Gleichung durch 5 zu teilen, was Ihnen das Äquivalent der Option gibt, in der C _t = 1 ist, nur mit andere Werte anderer Konstanten.

Danach stellt sich heraus, dass die Werte von C _x und C ₀ in verschiedenen physikalischen Systemen unterschiedlich sind. Wir werden zwei verschiedene Klassen von Wellen mit unterschiedlichen Konstanten untersuchen.

Für beide Klassen ist C _x negativ, $$$C_x = -c_w ^ 2$ (hier bezeichnet c _w die Bewegungsgeschwindigkeit von Hochfrequenzwellen).

Diese Klassen unterscheiden sich darin, dass die erste Klasse, Klasse 1, C ₀ negativ ist und - (2 π μ) 2 ist und die zweite Klasse 0, C ₀ Null ist.

Wir untersuchen nun die Eigenschaften der Wellen dieser beiden Gleichungsklassen. Aber vorher müssen wir eine andere Berechnung durchführen, die wir bereits früher durchgeführt haben.

Schnelle Zählung

Für unsere endlose Welle

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

Wir müssen d ² Z / dt ² und d ² Z / dx ^{2 kennen} . Im vorherigen Artikel haben wir bereits gezeigt, dass sich für eine Kugel auf einer Feder, die sich gemäß z (t) = z ₀ + A cos [2 π ν t] bewegt, herausstellt, dass $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (z - z_0)$ . Eine Änderung der Zeit ergibt einen Faktor von 2 π ν, und eine Änderung der Zeit ergibt einen Faktor von zwei Faktoren. Zusätzlich gibt es ein gemeinsames Minuszeichen. Daher werden Sie nicht überrascht sein, dass:

• • $$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$
• • $$$d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$

Jede Änderung der Zeit ergibt den Faktor ν = 1 / T (je größer die Periode, desto langsamer die Änderung der Zeit), und jede Änderung des Raums ergibt den Faktor 1 / λ (je länger die Welle, desto langsamer die Änderung des Raums).

Beweis

Für eine unendliche Welle haben wir die Grundgleichung

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda])$$

Und das wollen wir zeigen

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

$$

$$d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Einige Fakten:

• Z - Z ₀ = A cos (2π [ν t - x / λ]) (nur in der Hauptgleichung haben sie Z ₀ nach links verschoben)
• Da Z ₀ eine von Zeit und Raum unabhängige Konstante ist, ist dZ ₀ / dt = 0 und dZ ₀ / dx = 0.
• d (cos t) / dt = - sin t und d (sin t) / dt = + cos t
• d (F [at + bx]) / dt = ad (F [at + bx]) / d (a t + bx), wobei a und b Konstanten sind und F eine beliebige Funktion von (at + bx) ist.
• d [A f (t)] / dt = A d [f (t)] / dt, wobei f (t) eine beliebige Funktion von t ist und A eine Konstante ist

Zusammen bedeutet dies:

$$

$$dZ / dt = d [A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt \\ = A (2 \ pi \ nu) d [cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / d (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = - ( 2 \ pi \ nu) Eine Sünde (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])$$

und

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = d [- (2 \ pi \ nu) A sin (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = \\ - (2 \ pi \ nu) A d [sin (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = \\ - (2 \ pi \ nu) ^ 2 A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda ]) = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Da sich die Grundformel für die Welle nicht ändert, wenn (ν t) durch (-x / λ) ersetzt wird, unterscheidet sich die Berechnung von d ² Z / dx ² nicht von der Berechnung von d ² Z / dt ² , nur anstatt dass d / dt den Faktor (2π ν ergibt ) haben wir d / dx, was den Faktor (- 2π / λ) ergibt. Da die Antwort jedoch zwei solche Faktoren enthält, ersetzen wir einfach (2π ν) ² durch (- 2π / λ) ² = (+ 2π / λ) ² ; Minus spielt keine Rolle (insgesamt bleibt die Minusaddition erhalten). Wie wir beweisen mussten

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Kleingedrucktes: Alle oben genannten Derivate sind tatsächlich partielle Derivate.

Klasse 0: Wellen beliebiger Frequenz und gleicher Geschwindigkeit

In dieser Klasse von Wellen lautet die Bewegungsgleichung:

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 - c_w ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

Nachdem wir die Formel Z (x, t) für eine unendliche Welle verbunden und die gerade von uns durchgeführten Berechnungen verwendet haben, stellen wir Folgendes fest:

$$

$$- (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0) - (-c_w ^ 2) (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0) = 0$$

Teilen Sie die Gleichung durch $$$- (2 \ pi) ^ 2 (Z - Z_0)$ wir bekommen

$$

$$\ nu ^ 2 - c_w ^ 2 / \ lambda ^ 2 = 0$$

Da die Frequenzen, Geschwindigkeiten und Wellenlängen positiv sind, können wir die Wurzel extrahieren und erhalten

ν = c _w / λ oder, wenn Sie möchten, λ = c _w / ν = c _w T.

Aus dieser Formel lernen wir Folgendes:

• Anfangs konnte unsere Welle, wie wir sie aufgenommen haben, jede Frequenz und jede Wellenlänge haben. Aber die Bewegungsgleichung macht sie voneinander abhängig. Für Wellen der Klasse 0 können Sie eine beliebige Frequenz wählen, danach wird die Wellenlänge durch λ = c _w / ν bestimmt.
• Alle Wellen der Klasse 0 bewegen sich unabhängig von der Frequenz mit der Geschwindigkeit c _w . Dies folgt aus der Formel λ = c _w T und Fig. 3 des vorherigen Artikels . Beobachten Sie, wie die Welle während einer Periode von T einen Schwingungszyklus durchläuft. Was passiert? Die Welle sieht nach T genauso aus, aber jeder Kamm hat sich dorthin verschoben, wo sein Nachbar war - in einem Abstand λ. Dies bedeutet, dass sich der Grat in der Zeit T um eine Strecke λ bewegt - eine Wellenlänge in einer Schwingungsperiode - und dass sich die Grate mit einer Geschwindigkeit von λ / T = c _w bewegen. Dies gilt für alle Frequenzen und ihre Perioden sowie alle Wellenlängen!
• Wie bei einer Kugel auf einer Feder kann die Amplitude A dieser Wellen beliebig groß oder klein sein. Dies gilt für alle Frequenzen.

Klasse 1: Wellen mit einer Frequenz größer als das Minimum mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten

Für diese Wellenklasse lautet unsere Bewegungsgleichung:

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Wenn wir eine unendliche Welle durch die Formel Z (x, t) ersetzen und die oben angegebene schnelle Berechnung verwenden, finden wir das

$$

$$- (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0) - (-cw ^ 2) (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0) = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 ( Z - Z_0)$$

Teilen Sie die Gleichung durch $$$- (2 \ pi) ^ 2 (Z - Z_0)$ wir bekommen

$$

$$\ nu ^ 2 - cw ^ 2 / \ lambda ^ 2 = \ mu ^ 2$$

Da die Frequenzen, Geschwindigkeiten und Wellenlängen positiv sind, können wir die Quadratwurzel extrahieren und erhalten

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2}$$

Ich möchte Sie daran erinnern, dass y ^1/2 dasselbe ist wie √y.

Diese Formel unterscheidet sich stark von der Formel für Wellen der Klasse 0, ebenso wie die Konsequenzen ihrer Anwendung.

Erstens zeigt die Bewegungsgleichung das Vorhandensein der minimal zulässigen Frequenz an. Da (cw / λ) ² immer positiv ist,

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2} ≥ \ mu$$

Um näher an ν = μ heranzukommen, muss λ erhöht werden. Bei sehr großen Wellenlängen nähert sich die Frequenz μ, kann jedoch nicht kleiner werden. Für Wellen der Klasse 0 war dies nicht der Fall. Sie hatten ν = cw / λ. Je mehr Sie λ tun, desto stärker nähert sich ν Null. Für Wellen der Klasse 1 ist jeder Wert von ν größer als μ möglich.

Zweitens haben wir Beweise dafür gefunden, dass alle Wellen der Klasse 0 die gleiche Geschwindigkeit haben, aber es funktioniert nicht für Wellen der Klasse 1. Die einzige Option, bei der es funktionieren kann, wenn wir ν nehmen, ist sehr viel größer als μ; dafür müssen wir λ sehr klein machen (und dementsprechend 1 / λ sehr groß). In diesem Fall

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2} ≈ cw / \ lambda$$

Das heißt, bei sehr großen Frequenzen und kleinen Wellenlängen haben Wellen der Klasse 1 ungefähr das gleiche Verhältnis zwischen Frequenz und Wellenlänge wie Wellen der Klasse 0, daher bewegen sich solche Wellen aus den gleichen Gründen wie Wellen der Klasse 0 mit einer Geschwindigkeit , (ungefähr) gleich cw.

Für Wellen beider Klassen gilt, dass die Amplitude A beliebig klein oder groß sein kann und nicht von der Frequenz abhängt.


Abb. 1. Für Wellen der Klassen 0 und 1 gibt die Bewegungsgleichung eine Beziehung zwischen Frequenz oder Periode und Wellenlänge oder 1 / Wellenlänge an. Jedes der Diagramme zeigt die Beziehung dieser Werte in Abhängigkeit von der Bewegungsgleichung. Drei Diagramme zeigen dasselbe, basieren jedoch auf unterschiedlichen Variablen. Blaue Linien beziehen sich auf Wellen der Klasse 0. Rote Linien bezeichnen Wellen der Klasse 1, deren Geschwindigkeit bei sehr hohen Frequenzen und kurzen Wellenlängen gleich ist, wenn sie mit den blauen Linien übereinstimmen. Bei der grün markierten minimalen Frequenz μ (und mit einer maximalen Periode von 1 / μ) divergieren die beiden Kurven jedoch mit zunehmenden Wellenlängen.

Kleingedrucktes: Sie haben vielleicht bemerkt, dass ich ein wenig betrogen habe. Ich habe die Geschwindigkeit der Wellen der Klasse 1 nicht berechnet. Tatsache ist, dass hier ein sehr kniffliger Fang lauerte. Für Wellen der Klasse 0 zählte ich ihre Geschwindigkeit nach den Bewegungen der Grate. Dies funktioniert, weil in Klasse 0 Wellen aller Frequenzen mit der gleichen Geschwindigkeit laufen. Aber in Klasse 1 oder in jeder anderen Klasse, in der sich Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, wird die Geschwindigkeit einer realen Welle nicht durch die Bewegungsgeschwindigkeit ihrer Kämme bestimmt! Es stellt sich heraus, dass sich die Grate schneller als cw bewegen, aber die Wellengeschwindigkeit geringer als cw ist. Um dies zu verstehen, ist es notwendig, eine sehr nicht offensichtliche Logik und den Unterschied zwischen der Geschwindigkeit "Gruppe" und "Phase" zu verwenden. Ich werde diesen Trick umgehen; Ich wollte nur Ihre Aufmerksamkeit auf seine Existenz lenken, damit Sie nicht auf die falsche Idee kommen.

Schlussbemerkungen zu klassischen Wellen

Sie finden viele bekannte Beispiele für Wellen der Klasse 0, einschließlich Schall in Luft, Wasser oder Metall (wobei cw die Geschwindigkeit von Schallwellen in einem Material ist), Licht und andere elektromagnetische Wellen (wobei cw = c im Vakuum) und Wellen an Seilen oder Saiten. wie in Abb. 2 im vorherigen Artikel. Daher werden Wellen der Klasse 0 in Grundkursen der Physik unterrichtet. Ich kann kein Beispiel für Wellen der Klasse 1 im normalen Leben geben, aber wir werden bald sehen, dass diese Wellen auch für das Universum wichtig sind.

Wir haben eine bequeme Formel E = 2 π ² ν ² A ² M für die Energie einer Kugel der Masse M auf einer Feder. Die Formeln für andere Oszillatoren hängen von ihrer Natur ab, aber ihre Form ist ungefähr gleich. Bei Wellen haben wir ihre Energie jedoch nicht erwähnt. Insbesondere, weil wir Wellen mit einer unendlichen Anzahl von Graten untersucht haben, um die Mathematik zu vereinfachen. Intuitiv muss irgendeine Art von Energie in der Bewegung und Form jedes Kamms und Tals gespeichert werden, und bei einer unendlichen Anzahl von Kämmen und Tälern ist die Energiemenge in der Welle unendlich. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu umgehen. Die genauen Formeln hängen von der Art der Welle ab, aber schauen wir uns die Wellen der Klasse 0 an einem Seil an.

• Die Energiemenge pro Wellenlänge (gespeichert zwischen dem Punkt x und dem Punkt x + λ) ist natürlich gleich 2 π ² ν ² A ² M _λ , wobei M _λ die Masse des Seilsegments der Länge λ ist.
• In Wirklichkeit sind Wellen nicht unendlich. Als Impuls mehrerer Grate und Vertiefungen, wie in Abb. 2 im letzten Artikel wird jede Welle endlich sein, sie wird eine endliche Anzahl von Graten und Vertiefungen haben. Wenn es sich bis zu einer Länge L erstreckt, das heißt, es hat L / λ-Grate, dann beträgt die darauf übertragene Energie 2 π ² ν ² A ² M _L , wobei M _L die Masse eines Stücks Seil der Länge L ist. Dies ist nur L / λ, multipliziert mit Energie mit einer Wellenlänge.

Bei Wellen, die sich aus Seilen ausbreiten, unterscheiden sich die Details der Gleichungen, aber die Energie pro Wellenlänge eines einfachen Schwingungssystems ist immer proportional zu ν ² A ² .

In Klasse 1 gibt es eine sehr interessante Welle, die in Klasse 0 nicht existiert. Dies ist der Fall, wenn ν = μ, der Minimalwert und λ = unendlich ist. In diesem Fall nimmt die Welle die Form an

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi \ mu t)$$

Diese Welle hängt zu keinem Zeitpunkt von x ab, dh Z (x, t) ist über den gesamten Raum konstant, und Z schwingt zeitlich wie eine Kugel auf einer Feder mit einer Frequenz μ. Eine solche stationäre Welle, wie in Fig. 1 gezeigt. 2, wird in weiteren Überlegungen sehr wichtig sein.


Abb. 2

Quantenwellen

Für eine Kugel auf einer Feder bestand der Unterschied zwischen dem klassischen und dem Quantensystem darin, dass im ersten Fall die Amplitude beliebige Werte wie Energie annehmen konnte und im Quantenfall Amplitude und Energie quantisiert wurden. Für jedes ähnliche Schwingungssystem funktioniert dies auf die gleiche Weise. Vielleicht können wir vermuten, dass dies auch für die Wellen gilt ...