Teilchenphysik verstehen: 5) Quantenwellen

1. Ball auf einer Feder, Newtonsche Version
2. Eine Quantenkugel auf einer Feder
3. Wellen, klassischer Look
4. Wellen, die klassische Bewegungsgleichung
5. Quantenwellen
6. Felder
7. Teilchen sind Quanten
8. Wie Partikel mit Feldern interagieren

Erinnerung: Quantenkugel im Frühling

Im ersten Artikel der Serie haben wir eine Kugel der Masse M an einer Feder der Steifheit K untersucht und festgestellt, dass ihre Schwingungen:

• Es wird eine Formel geben $$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$.
• Energie $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$.
• Die Bewegungsgleichung $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$

Wobei die Bewegungsgleichung ν = √ K / M / 2π erzwingt, die Amplitude A jedoch einen beliebigen positiven Wert haben kann. Dann haben wir im zweiten Artikel gesehen, dass die Quantenmechanik, die auf Schwingungen anwendbar ist, ihre Amplitude begrenzt - sie kann keine mehr sein. Stattdessen wird es quantisiert, es muss eine von unendlich vielen diskreten Größen annehmen.

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h} / \ nu M$$

Wobei n = 0, 1, 2, 3 oder 44 ist oder im Allgemeinen eine ganze Zahl größer oder gleich Null ist. Insbesondere kann A gleich sein $$$(1/2 \ pi) \ sqrt {2 h} / \ nu M$, aber es kann nicht schon weniger sein - nur Null. Wir sagen, dass n die Anzahl der Schwingungsquanten der Kugel ist. Die Energie des Balls wird nun auch quantisiert:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

Das Wichtigste dabei ist, dass zum Hinzufügen eines Quantums von Schwingungen des Balls eine Energie der Größe hν erforderlich ist - wir können sagen, dass jedes Quantum Energie hν überträgt.

Quantenwelle

Bei den Wellen ist im Wesentlichen alles gleich. Für eine Welle mit einer Frequenz ν und einer Wellenlänge λ, die mit der Amplitude A um die Gleichgewichtsposition Z ₀ schwingt,

• Bewegungsgleichung: $$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])$.
• Energie pro Wellenlänge: $$$2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 J_ \ lambda$.

(wobei J _λ eine Konstante ist, die beispielsweise von einem Seil abhängt, wenn wir über Wellen an einem Seil sprechen), mehrere mögliche Bewegungsgleichungen, von denen wir zwei für das Studium auswählen werden:

$$

$$Klasse 0: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

$$

$$Klasse 1: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Und wieder begrenzt die Quantenmechanik die Amplitude A auf diskrete Werte. Genau wie bei Vibrationen an einer Feder,

• Eine einfache Welle einer bestimmten Frequenz und Länge besteht aus n Quanten,
• Die zulässigen Werte der Amplitude A sind proportional zu √n,
• Die zulässigen Energiewerte E sind proportional zu (n + 1/2).

Genauer gesagt, wie bei einem Ball auf einer Feder,

• Zulässige Energiewerte E = (n + 1/2) h ν
• Jedes Wellenquanten überträgt Energie mit dem Wert h ν

Die Formel zum Ausdrücken von A ist ziemlich kompliziert, da wir wissen müssen, wie lang die Welle ist und die genaue Formel zu verwirrend sein wird. Schreiben wir also einfach eine Formel, die die richtige Idee vermittelt. Wir haben die meisten Formeln durch Untersuchung unendlicher Wellen erhalten, aber für jede reale Welle in der Natur ist die Dauer endlich. Wenn die Wellenlänge ungefähr gleich L ist und L / λ-Rippen aufweist, ist die Amplitude ungefähr gleich

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {\ frac {2 n h \ lambda} {\ nu L J_ \ lambda}}$$

Welches ist proportional $$$\ sqrt {n h / \ nu}$wie im Fall einer Feder, hängt jedoch von L ab. Je länger die Welle ist, desto kleiner ist ihre Amplitude - so dass für jedes Quantum der Welle die Energie immer gleich hν ist.

Das ist alles - es ist in der folgenden Abbildung dargestellt.


Links ist ein naives Bild von Wellen zu sehen, bei dem die Amplitude proportional zur Quadratwurzel der Anzahl der Quanten ist und andere Amplituden nicht existieren können. Rechts ist ein etwas weniger naives Bild zu sehen, das die der Quantenwelt innewohnenden Quantenschwingungen berücksichtigt. Selbst im Fall n = 0 existieren einige Schwingungen.

Folge

Was bedeutet das für unsere Wellen der Klassen 0 und 1?

Da Wellen der Klasse 0 eine beliebige Frequenz haben können, können sie eine beliebige Energie haben. Selbst für einen winzigen Wert von ε kann man immer ein Quant einer Welle der Klasse 0 mit einer Frequenz ν = ε / h erzeugen. Für eine so kleine Energie hat diese Quantenwelle eine sehr niedrige Frequenz und eine sehr lange Wellenlänge, aber sie kann existieren.

Wellen, die eine Klasse-1-Gleichung erfüllen, sind es nicht. Da es für sie eine minimale Frequenz ν _min = μ gibt, gibt es für sie auch ein Quantum minimaler Energie:

$$

$$E_ {min} = h \ nu_ {min} = h \ mu$$

Wenn Ihre winzige Energiemenge ε ​​geringer ist, kann ein Quantum einer solchen Welle nicht erzeugt werden. Für alle Wellenquanten der Klasse 1 mit endlicher Wellenlänge und höherer Frequenz ist E ≥ h μ.

Zusammenfassung

Bevor wir beginnen, die Quantenmechanik zu berücksichtigen, kann sich die Amplitude der Wellen wie die Amplitude einer Kugel auf einer Feder kontinuierlich ändern. Sie können beliebig groß oder klein gemacht werden. Die Quantenmechanik impliziert jedoch die Existenz einer minimalen Wellenamplitude ungleich Null, wie im Fall von Kugelschwingungen an einer Feder. Und normalerweise kann die Amplitude nur diskrete Werte annehmen. Zulässige Amplituden sind derart, dass sowohl für die Schwingungen der Kugel auf der Feder als auch für Wellen jeder Klasse mit einer bestimmten Frequenz ν

• Um ein Schwingungsquantum zu addieren, wird die Energie h ν benötigt
• Für Schwingungen von n Quanten ist die Schwingungsenergie gleich (n + 1/2) h ν

Jetzt ist es an der Zeit, das erworbene Wissen auf die Felder anzuwenden und zu sehen, wann und wie die Wellenquanten in diesen Feldern als das interpretiert werden können, was wir die „Teilchen“ der Natur nennen.