Poisson-Gleichung und Boltzmann-Verteilung (Teil 2.1)

Boltzmann-Verteilung (Teil 1)

Bevor wir uns dem Abschluss der Boltzmann-Verteilung nähern und den physikalischen Sinn verstehen, müssen vorläufige Informationen zur Elementartheorie der Wahrscheinlichkeit gegeben werden. Tatsache ist, dass die Makrosysteme, die wir beobachten, wie Sie wissen, aus einer großen Anzahl kleinerer Teilchen bestehen, zum Beispiel besteht jede Substanz aus Atomen, und letztere wiederum sind in Kerne und Elektronen unterteilt, der Kern eines Atoms ist in Protonen und Neutronen unterteilt und usw. In einem Materialsystem mit einer großen Anzahl von Partikeln (im sogenannten Mikrosystem) ist es sinnlos, jedes Partikel einzeln zu betrachten, zum einen, weil niemand jedes Partikel beschreiben kann (selbst zu modernen Supercomputern), und zum anderen gibt es uns im Prinzip nichts. weil das Verhalten des Makrosystems durch gemittelte Parameter beschrieben wird, wie wir später sehen werden. Bei einer so großen Anzahl von Partikeln ist es sinnvoll, sich für die Wahrscheinlichkeiten zu interessieren, mit denen ein Parameter in einem bestimmten Wertebereich liegt.

Wir gehen also zu einigen Definitionen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie über und nähern uns dann, nachdem wir notwendigerweise die Maxwell-Verteilung erklärt haben, der Analyse der Boltzmann-Verteilung.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es so etwas wie ein zufälliges Ereignis - dies ist ein Phänomen, das nach einiger Erfahrung entweder stattfindet oder nicht. Stellen Sie sich zum Beispiel eine geschlossene Box vor, die Molekül A und ein bestimmtes zugewiesenes Volumen enthält $$$\ Delta \ tau$ in dieser Box (siehe Abb. 1).





Abb. 1

Ein zufälliges Ereignis trifft also entweder das Molekül A im zugewiesenen Volumen $$$\ Delta \ tau$ oder das Fehlen dieses Moleküls in diesem Volumen (weil sich das Molekül bewegt und zu jedem Zeitpunkt entweder in einem bestimmten Volumen existiert oder nicht).

Unter der Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses wird das Verhältnis der Anzahl der Versuche m, bei denen dieses Ereignis stattfand, zur Gesamtzahl der Versuche M verstanden, und die Gesamtzahl der Versuche sollte groß sein. Wir können nicht über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Versuch sprechen. Je mehr Versuche durchgeführt werden, desto genauer ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

In unserem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass Molekül A im Volumen ist $$$\ Delta \ tau$ ist gleich:

$$

$$W (A) = \ frac {m} {M} oder W (A) = \ lim_ {M \ bis \ infty} m / M$$

Betrachten Sie nun im selben Feld zwei zugewiesene Volumes $$$\ Delta \ tau_1$ und $$$\ Delta \ tau_2$ (siehe Abb. 2)


Abb.2

Wenn sich diese beiden Volumina nicht schneiden (siehe Fig. 2a), kann das Molekül A zu einem bestimmten Zeitpunkt t entweder ein Volumen aufweisen $$$\ Delta \ tau_1$ oder in Lautstärke $$$\ Delta \ tau_2$ . Gleichzeitig kann sich ein Molekül nicht an zwei verschiedenen Orten befinden. So kommen wir zum Konzept inkompatibler Ereignisse, wenn die Implementierung eines Ereignisses die Implementierung eines anderen Ereignisses ausschließt. In dem Fall, wenn die Volumes $$$\ Delta \ tau_1$ und $$$\ Delta \ tau_2$ Schnittpunkt (siehe Abb. 2b), dh die Wahrscheinlichkeit, dass das Molekül in den Schnittbereich fallen kann, und dann sind zwei Ereignisse kompatibel .

Die Wahrscheinlichkeit, dass Molekül A in das Volumen fällt $$$\ Delta \ tau_1$ ist gleich:

$$

$$W (1) = m_1 / M$$

wo $$$m_1$ - die Anzahl der Tests, bei denen das Molekül Volumen hatte $$$\ Delta \ tau_1$ . Ebenso die Wahrscheinlichkeit, dass Molekül A in das Volumen fällt $$$\ Delta \ tau_2$ ist gleich:

$$

$$W (2) = m_2 / M$$

Ferner wurde das Ereignis realisiert, dass das Molekül in mindestens eines der beiden Volumina fällt $$$m_1 + m_2$ mal. Daher ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses:

$$

$$W = \ frac {m_1 + m_2} {M} = \ frac {m_1} {M} + \ frac {m_2} {M} = W (1) + W (2)$$

Wir können daher den Schluss ziehen, dass die Wahrscheinlichkeit eines der inkompatiblen Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes dieser Ereignisse ist.

Eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse ist eine solche Kombination von Ereignissen, bei denen die Implementierung eines Ereignisses zuverlässig ist, d.h. Die Wahrscheinlichkeit eines der Ereignisse beträgt 1.

Ereignisse werden als gleich möglich bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eines von ihnen den gleichen Wert hat, d.h. Die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse sind gleich.

Betrachten Sie das letzte Beispiel und führen Sie das Konzept unabhängiger Ereignisse ein . Das erste Ereignis sei, dass das Molekül A zum Zeitpunkt t im Volumen ist $$$\ Delta \ tau_1$ und das zweite Ereignis - dass ein anderes Molekül B in das Volumen fällt $$$\ Delta \ tau_2$ . Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass Molekül B in das Volumen eintritt $$$\ Delta \ tau_2$ Es hängt nicht davon ab, ob sich Molekül A in befindet $$$\ Delta \ tau_1$ oder nicht, diese Ereignisse werden als unabhängig bezeichnet.

Angenommen, wir haben insgesamt n Tests durchgeführt und festgestellt, dass Molekül A war $$$m_1$ mal in volumen $$$\ Delta \ tau_1$ und Molekül B - $$$m_2$ mal in volumen $$$\ Delta \ tau_2$ dann sind die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse gleich:

$$

$$W (A) = \ frac {m_1} {n}, W (B) = \ frac {m_2} {n}$$

Wir werden aus den Tests nehmen $$$m_1$ für die A fiel in $$$\ Delta \ tau_1$ die Anzahl der Tests, in die auch B fiel $$$\ Delta \ tau_2$ . Offensichtlich ist diese Anzahl ausgewählter Versuche $$$m_1 (\ frac {m_2} {n})$ . Daher ist die Wahrscheinlichkeit der gemeinsamen Durchführung der Ereignisse A und B:

$$

$$W (AB) = \ frac {m_1 (\ frac {m_2} {n})} {n} = \ frac {m_1} {n} \ frac {m_2} {n} = W (A) W (B)$$

Das heißt, Die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse bei der gemeinsamen Implementierung ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses separat.

Wenn wir eine bestimmte Größe messen, zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Moleküls oder die Energie eines einzelnen Moleküls, kann der Wert einen beliebigen realen Wert auf der numerischen Achse annehmen (einschließlich negativer Werte), d. H. Diese Größe ist im Gegensatz zu dem, was wir oben betrachtet haben (die sogenannten diskreten Größen), stetig . Solche Größen werden Zufallsvariablen genannt . Für eine kontinuierliche Zufallsvariable ist es falsch, an der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Wertes interessiert zu sein. Die richtige Formulierung der Frage besteht darin, die Wahrscheinlichkeit herauszufinden, dass diese Größe im Bereich von beispielsweise x bis x + dx liegt. Diese Wahrscheinlichkeit ist mathematisch gleich:

$$

$$dW = w (x) dx$$

Hier ist w (x) eine Funktion, die als Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet wird. Seine Dimension ist die Umkehrung der Dimension der Zufallsvariablen x.

Und schließlich muss noch ziemlich offensichtlich gesagt werden, dass die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses oder die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer vollständigen Gruppe inkompatibler Ereignisse gleich eins ist.
Im Prinzip reichen diese Definitionen aus, um die Ableitung der Maxwell-Verteilung und dann der Boltzmann-Verteilung zu zeigen.

Wir werden also ein ideales Gas betrachten (es kann auch ein Elektronengas sein, das so verdünnt ist, dass die Wechselwirkung von Elektronen vernachlässigt werden kann). Jedes Teilchen dieses Gases hat eine Geschwindigkeit v oder einen Impuls $$$p = m_0v$ und all diese Geschwindigkeiten und Impulse können alles sein. Diese Parameter sind also Zufallsvariablen und wir werden an der Wahrscheinlichkeitsdichte interessiert sein $$$w_p$ .

Ferner ist es zweckmäßig, das Konzept des Impulsraums einzuführen. Wir verschieben die Komponenten des Teilchenimpulses entlang der Achsen des Koordinatensystems (siehe Abb. 3).


Abb. 3

Wir müssen herausfinden, wie wahrscheinlich es ist, dass jede Komponente des Impulses in den Bereichen liegt:

$$

$$p_x \ div (p_x + dp_x); p_y \ div (p_y + dp_y); p_z \ div (p_z + dp_z)$$

Das heißt, das Ende des Vektors p liegt im rechteckigen Volumen dΩ:

$$

$$d \ Omega = dp_xdp_ydp_z$$

Maxwell stellte zwei Postulate auf, aus denen er die Verteilung der Impulse ableitete. Er schlug vor:

A) Alle Richtungen im Raum sind gleich und diese Eigenschaft wird als Isotropie bezeichnet, insbesondere die Wahrscheinlichkeitsdichteisotropie $$$w_p$ .

B) Die Bewegung von Partikeln entlang drei zueinander senkrechten Achsen ist unabhängig, d.h. Impulswert $$$p_x$ hängt nicht vom Wert seiner anderen Komponenten ab $$$p_y$ und $$$p_z$ .

Partikel bewegen sich in verschiedene Richtungen, sowohl in positiver als auch in negativer Richtung. Das heißt, entlang der x-Achse kann der Impulswert den Wert als annehmen $$$p_x$ , so und $$$-p_x$ . Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist jedoch eine gerade Funktion (d. H. Für negative Werte des Arguments ist die Funktion positiv), so dass sie vom Quadrat abhängt $$$p_x$ ::

$$

$$w_ {px} = \ phi (p_x ^ 2)$$

Aus den Eigenschaften der Isotropie (siehe oben) folgt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichten der beiden anderen Komponenten ähnlich ausgedrückt werden:

$$

$$w_ {py} = \ phi (p_y ^ 2); w_ {pz} = \ phi (p_z ^ 2)$$

Per Definition ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Impuls p in das Volumen dΩ eintritt, gleich:

$$

$$dW = w_pd \ Omega$$

Wir erinnern daran, dass wir oben herausgefunden haben, dass diese Wahrscheinlichkeit für unabhängige Ereignisse durch das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse jeder Komponente ausgedrückt werden kann:

$$

$$w_pd \ Omega = w_ {px} dp_xw_ {py} dp_yw_ {pz} dp_z = \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_y ^ 2) \ phi (p_z ^ 2) dp_xdp_ydp_z$$

Deshalb:

$$

$$w_p = \ psi (p ^ 2) = \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_y ^ 2) \ phi (p_z ^ 2)$$

Lassen Sie uns diesen Ausdruck logarithmieren und erhalten:

$$

$$ln \ psi = ln \ phi (p_x ^ 2) + ln \ phi (p_y ^ 2) + ln \ phi (p_z ^ 2)$$

Dann unterscheiden wir diese Identität in Bezug auf $$$p_x$ ::

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'}} {\ psi} 2p_x = \ frac {\ phi ^ {'}} {\ phi} 2p_x$$

wobei die Primzahl die Ableitung der entsprechenden Funktion in Bezug auf ihr komplexes Argument bezeichnet.

Nach der Reduktion dieses Ausdrucks auf $$$2p_x$ wir bekommen:

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)}$$

Gleiches gilt für andere Komponenten der Impulse, die wir erhalten:

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y ^ 2)} ;; \ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ 2)}$$

Dies impliziert wichtige Beziehungen:

$$

$$\ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ 2)}$$

Aus diesen Ausdrücken ist klar, dass die Beziehungen der Ableitung der Funktion in Bezug auf die Funktion der einen oder anderen Komponente des Impulses eine Konstante sind. Wir können wie folgt schreiben (wir bezeichnen die Konstante als $$$- \ beta$ ):

$$

$$\ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)} = - \ beta$$

Wenn wir diese Differentialgleichung lösen, erhalten wir (wie solche Gleichungen gelöst werden, finden Sie in jedem Lehrbuch über gewöhnliche Differentialgleichungen):

$$

$$\ phi (p_x ^ 2) = Ce ^ {- \ beta p_x ^ 2}$$

Wobei C und β Konstanten sind, die wir noch ableiten müssen (im nächsten Artikel). Aus dem Zustand der Isotropie und der Unabhängigkeit der Bewegung entlang der Koordinatenachsen folgt also die Wahrscheinlichkeit $$$dW_ {px}$ dieser Komponente des Impulses $$$p_x$ wird in der Pause sein $$$dp_x$ bestimmt durch das Verhältnis:

$$

$$dW_ {px} = Ce ^ {- \ beta p_x ^ 2} dp_x$$

und die Wahrscheinlichkeit dW, dass der Impuls im Volumen dΩ liegt, ist (erinnere dich an das Produkt der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse):

$$

$$dW = C ^ 3e ^ {- \ beta p ^ 2} d \ Omega$$

Im nächsten Artikel werden wir die Ableitung der Maxwell-Verteilung abschließen, die physikalische Bedeutung dieser Verteilung herausfinden und direkt zur Ableitung der Boltzmann-Verteilung übergehen.